Индийская математика

Развитие математики в Южной Азии

Индийская математика возникла на Индийском субконтиненте ^[1] с 1200 г. до н.э. ^[2] до конца 18 века. В классический период индийской математики (с 400 г. по 1200 г. н.э.) важный вклад внесли такие ученые, как Арьябхата , Брахмагупта , Бхаскара II и Варахамихира . Используемая сегодня десятичная система счисления ^[3] была впервые зафиксирована в индийской математике. ^[4] Индийские математики внесли ранний вклад в изучение понятия нуля как числа, ^[5] отрицательных чисел , ^[6] арифметики и алгебры . ^[7] Кроме того, в Индии дальнейшее развитие получила тригонометрия ^[8] и, в частности, там были разработаны современные определения синуса и косинуса . ^[9] Эти математические концепции были переданы на Ближний Восток, в Китай и Европу ^[7] и привели к дальнейшим разработкам, которые сейчас составляют основу многих областей математики.

Древние и средневековые индийские математические труды, написанные на санскрите , обычно состояли из раздела сутр , в котором набор правил или задач излагался с большой экономией в стихах, чтобы облегчить запоминание ученику. За этим следовал второй раздел, состоящий из прозаических комментариев (иногда нескольких комментариев разных ученых), в которых проблема объяснялась более подробно и обосновывалась ее решение. В разделе прозы форма (а значит, и ее запоминание) не считалась столь важной, как заложенные в ней идеи. ^{[1] [10]} Все математические работы передавались устно примерно до 500 г. до н. э.; после этого они передавались как устно, так и в рукописной форме. Самый старый сохранившийся математический документ , созданный на Индийском субконтиненте, — это берестяная рукопись Бахшали , обнаруженная в 1881 году в деревне Бахшали , недалеко от Пешавара (современный Пакистан ) и, вероятно, датируемая VII веком нашей эры. ^{[11] [12]}

Более поздней вехой в индийской математике стала разработка разложения в ряд тригонометрических функций (синуса, косинуса и арктангенса ) математиками школы Кералы в 15 веке нашей эры. Их работа, завершенная за два столетия до изобретения исчисления в Европе, предоставила то, что сейчас считается первым примером степенного ряда (не считая геометрического ряда). ^[13] Однако они не сформулировали систематическую теорию дифференциации и интеграции , и нет никаких прямых доказательств того, что их результаты были переданы за пределы Кералы . ^{[14] [15] [16] [17]}

Предыстория

Раскопки в Хараппе , Мохенджо-Даро и других памятниках цивилизации долины Инда обнаружили свидетельства использования «практической математики». Люди цивилизации долины Инда производили кирпичи, размеры которых находились в пропорции 4:2:1, что считалось благоприятным для устойчивости кирпичной конструкции. Они использовали стандартизированную систему весов, основанную на соотношениях: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 и 500 с единицей измерения. вес, равный примерно 28 граммам (и примерно равный английской унции или греческой унции). Они массово производили гири правильной геометрической формы, включая шестигранники , бочки , конусы и цилиндры , тем самым демонстрируя знание основ геометрии . ^[18]

Жители цивилизации Инда также пытались стандартизировать измерение длины до высокой степени точности. Они разработали линейку — линейку Мохенджо-Даро , единица длины которой (приблизительно 1,32 дюйма или 3,4 сантиметра) была разделена на десять равных частей. Кирпичи, изготовленные в древнем Мохенджо-Даро, часто имели размеры, кратные этой единице длины. ^{[19] [20]}

Показано , что полые цилиндрические объекты, сделанные из ракушек и найденные в Лотале (2200 г. до н.э.) и Дхолавире , обладают способностью измерять углы на плоскости, а также определять положение звезд для навигации. ^[21]

Ведический период

Самхиты и Брахманы

Религиозные тексты Ведического периода свидетельствуют об использовании больших чисел . Ко времени «Яджурведасамхиты» (1200–900 гг. до н. э.) в тексты включались числа до 10 ^{12 . [2]} Например, мантра (священное чтение) в конце аннахомы ( «обряда подношения еды»), выполняемая во время ашвамедхи и произносимая незадолго до, во время и сразу после восхода солнца, вызывает силы десяти из от сотни до триллиона: ^[2]

Слава Шате («сто», 10 ² ), слава Сахасре («тысяча», 10 ³ ), слава Аюте («десять тысяч», 10 ⁴ ), слава Ниюте («сто тысяч», 10 ⁵ ), слава Прайуте («миллион», 10 ⁶ ), слава арбуде («десять миллионов», 10 ⁷ ), слава ньярбуде («сто миллионов», 10 ⁸ ), слава самудре («миллиарды», 10 ⁹ , буквально «океан»), слава мадхье («десять миллиардов», 10 ¹⁰ , буквально «середина»), слава анта («сто миллиардов», 10 ¹¹ , букв., «конец»), слава парардхе («один триллион ,» 10 ¹² букв., «за пределами частей»), приветствую ушас (рассвет), приветствую вьюшти (сумерки), приветствую удешьят (тот, который собирается подняться), приветствую удят (тот, который восходящий), слава Удита (тому, кто только что воскрес), слава сварге (небу), слава Мартье (миру), слава всем. ^[2]

Решение частичной дроби было известно людям Ригведы как говорится в Пуруш-Сукте (RV 10.90.4):

С тремя четвертями Пуруша поднялся: одна четверть его снова была здесь.

Сатапатха -брахман ( ок. 7 век до н.э.) содержит правила ритуальных геометрических построений, аналогичные Сульба-сутрам. ^[22]

Шулба Сутры

В Сульба-сутрах (буквально «Афоризмы аккордов» на ведическом санскрите ) (ок. 700–400 гг. до н.э.) перечислены правила строительства жертвенных огненных алтарей. ^[23] Большинство математических проблем, рассматриваемых в «Шулба-сутрах» , возникают из «одного богословского требования» ^[24] — строительства огненных алтарей, которые имеют разные формы, но занимают одну и ту же площадь. Алтари должны были быть построены из пяти слоев обожженного кирпича с тем условием, чтобы каждый слой состоял из 200 кирпичей и чтобы никакие два соседних слоя не имели одинакового расположения кирпичей. ^[24]

По словам Хаяши, Сульба-сутры содержат «самое раннее из дошедших до нас словесных выражений теоремы Пифагора в мире, хотя оно уже было известно древним вавилонянам ».

Диагональная веревка ( акшайа-раджью ) продолговатого (прямоугольника) производит то и другое, что боковая ( паршвамани ) и горизонтальная ( тирьянмани ) <веревки> производят отдельно» ^.

Поскольку утверждение представляет собой сутру , оно обязательно сжато, и то, что производят веревки , не уточняется, но контекст ясно подразумевает квадратные области, построенные на их длинах, и учитель объяснил бы это ученику. ^[25]

Они содержат списки пифагоровых троек ^[26] , которые являются частными случаями диофантовых уравнений . ^[27] Они также содержат утверждения (которые, как мы теперь знаем, приблизительные) о квадратуре круга и «обхождении квадрата». ^[28]

Баудхаяна (ок. 8 век до н.э.) составил Баудхаяну Сульба Сутру , самую известную Сульба Сутру , которая содержит примеры простых пифагорейских троек, таких как: (3, 4, 5) , (5, 12, 13) , (8 , 15, 17) , (7, 24, 25) и (12, 35, 37) , ^[29] а также формулировку теоремы Пифагора для сторон квадрата: «Веревка, натянутая поперёк Диагональ квадрата дает площадь, вдвое превышающую размер исходного квадрата». ^{[29] [30]} Он также содержит общее утверждение теоремы Пифагора (для сторон прямоугольника): «Веревка, натянутая по длине диагонали прямоугольника, образует площадь, которую вместе составляют вертикальная и горизонтальная стороны. " ^[29] Баудхаяна дает выражение для квадратного корня из двух : ^[31]

${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}=1.4142156\ldots }$

Выражение имеет точность до пяти знаков после запятой, истинное значение составляет 1,41421356... ^[32] Это выражение по структуре похоже на выражение, найденное на месопотамской табличке ^[33] древневавилонского периода (1900–1600 гг. до н. э .): ^[31]

${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}=1.41421297\ldots }$

который выражает √ 2 в шестидесятеричной системе и имеет точность до 5 десятичных знаков.

По мнению математика С.Г. Дэни, вавилонская клинописная табличка Плимптон 322, написанная ок. 1850 г. до н.э. ^[34] «содержит пятнадцать пифагорейских троек с довольно большими записями, в том числе (13500, 12709, 18541), которая является примитивной тройкой, ^[35] что указывает, в частности, на то, что существовало глубокое понимание этой темы» в Месопотамии в 1850 году. до нашей эры. «Поскольку эти таблички предшествуют периоду Сульбасутры на несколько столетий, принимая во внимание контекстуальное появление некоторых троек, разумно ожидать, что подобное понимание существовало бы и в Индии». ^[36] Дэни продолжает:

Поскольку основной целью Сульвасутр было описание конструкций алтарей и задействованных в них геометрических принципов, тема пифагорейских троек, даже если бы она была хорошо понята, возможно, все еще не фигурировала в Сульвасутрах . Появление троек в Сульвасутрах сравнимо с математикой, с которой можно столкнуться в вводной книге по архитектуре или другой аналогичной прикладной области, и не соответствовало бы непосредственно общим знаниям по этой теме на тот момент. Поскольку, к сожалению, других современных источников не обнаружено, удовлетворительное решение этого вопроса, возможно, никогда не удастся. ^[36]

Всего было составлено три Сульба-сутры . Остальные две, Манава Сульба Сутра , составленная Манавой (750–650 гг. до н. э.) и Апастамба Сульба Сутра , составленная Апастамбой (ок. 600 г. до н. э.), содержали результаты, аналогичные Баудхайана Сульба Сутре .

Вьякарана

Важной вехой ведического периода стала работа санскритского грамматика Панини (ок. 520–460 до н. э.). Его грамматика включает раннее использование булевой логики , нулевого оператора и контекстно-свободных грамматик , а также предшественника формы Бэкуса-Наура (используемой в языках описания программирования ). ^{[37] [38]}

Пингала (300 г. до н.э. – 200 г. до н.э.)

Среди ученых постведического периода, внесших вклад в математику, наиболее известен Пингала ( пингала ) ( ок. 300–200 гг. до н. э.), теоретик музыки , написавший Чхандас Шастру ( чандах-шастра , также Чхандас Сутра чхандах-сутра). ), санскритский трактат по просодии . Есть сведения, что в своей работе по перечислению слоговых сочетаний Пингала наткнулся и на треугольник Паскаля , и на биномиальные коэффициенты , хотя знаний самой биномиальной теоремы он не имел . ^{[39] [40]} Работа Пингалы также содержит основные идеи чисел Фибоначчи (называемых маатраамеру ). Хотя Чанда сутра не сохранилась полностью, сохранился комментарий Халаюдхи к ней X века. Халаюдха, который называет треугольник Паскаля Меру -прастара (буквально «лестница на гору Меру»), говорит следующее:

Нарисуйте квадрат. Начиная с половины квадрата, нарисуйте под ним еще два таких же квадрата; под этими двумя, тремя другими квадратами и так далее. Начинать разметку следует с постановки 1 в первом квадрате. Поставьте по 1 в каждый из двух квадратов второй линии. В третьей строке поставьте 1 в двух квадратах по краям, а в среднем квадрате — сумму цифр в двух квадратах, лежащих над ним. В четвертой строке поставьте 1 в два квадрата на концах. В средние поместите сумму цифр в двух квадратах над каждым. Продолжайте таким образом. Из этих строк вторая дает односложные сочетания, третья — двусложные,... ^[39]

В тексте также указывается, что Пингала осознавал комбинаторную идентичность: ^[40]

${\displaystyle {n \choose 0}+{n \choose 1}+{n \choose 2}+\cdots +{n \choose n-1}+{n \choose n}=2^{n}}$

Катьяяна

Катьяяна (ок. III век до н.э.) известен как последний из ведических математиков. Он написал Сутру Катьяяна Сульба , в которой представлено много геометрии , включая общую теорему Пифагора и вычисление квадратного корня из 2 с точностью до пяти десятичных знаков.

Джайнская математика (400 г. до н.э. – 200 г. н.э.)

Хотя джайнизм как религия и философия возник еще до своего самого известного представителя, великого Махавирасвами (6 век до н.э.), большинство джайнских текстов на математические темы были написаны после 6 века до н.э. Математики -джайны исторически важны как важнейшие связующие звенья между математикой ведического периода и математикой «классического периода».

Значительный исторический вклад джайнских математиков заключался в освобождении индийской математики от религиозных и ритуальных ограничений. В частности, их увлечение перечислением очень больших чисел и бесконечностей привело их к классификации чисел на три класса: перечислимые, неисчислимые и бесконечные . Не довольствуясь простым понятием бесконечности, их тексты определяют пять различных типов бесконечности: бесконечность в одном направлении, бесконечность в двух направлениях, бесконечность по площади, бесконечность повсюду и бесконечность вечно. Кроме того, джайнские математики разработали обозначения для простых степеней (и показателей) чисел, таких как квадраты и кубы, что позволило им определять простые алгебраические уравнения ( beejganita samikaran ). Математики-джайны, очевидно, также были первыми, кто использовал слово шунья (буквально «пустота» на санскрите ) для обозначения нуля. Более чем тысячелетие спустя их название превратилось в английское слово «ноль» после извилистого пути переводов и транслитераций из Индии в Европу. (См. Ноль: Этимология .)

Помимо Сурьи Праджняпти , важные джайнские работы по математике включали Стхананга-сутру (ок. 300 г. до н.э. – 200 г. н.э.); Ануйогадвара -сутра (ок. 200 г. до н.э. – 100 г. н.э.), которая включает самое раннее известное описание факториалов в индийской математике; ^[41] и Саткхандагама (ок. 2 века н. э.). Среди выдающихся джайнских математиков были Бхадрабаху (ум. 298 г. до н.э.), автор двух астрономических работ, « Бхадрабахави-Самхита» и комментария к « Сурья Праджинапти» ; Ятивришам Ачарья (ок. 176 г. до н. э.), автор математического текста под названием Тилояпаннати ; и Умасвати (ок. 150 г. до н.э.), который, хотя и был более известен своими влиятельными работами по джайнской философии и метафизике , написал математический труд под названием « Таттвартхадхигама-Сутра Бхашья ».

Устная традиция

Математики древней и раннесредневековой Индии почти все были санскритскими пандитами ( pandita «ученый человек»), ^[42] которые обучались санскритскому языку и литературе и обладали «общим запасом знаний в грамматике ( vyākaraṇa ), экзегезе ( mīmāṃsā ) и логика ( ньяя )». ^[42] Запоминание «того, что услышано» ( шрути на санскрите) посредством декламации сыграло важную роль в передаче священных текстов в древней Индии. Запоминание и декламация также использовались для передачи философских и литературных произведений, а также трактатов по ритуалам и грамматике. Современные учёные древней Индии отмечают «поистине замечательные достижения индийских пандитов, которые на протяжении тысячелетий сохраняли в устной форме чрезвычайно объёмные тексты». ^[43]

Стили запоминания

Древняя индийская культура потратила колоссальную энергию на то, чтобы эти тексты передавались из поколения в поколение с необычайной точностью. ^[44] Например, запоминание священных Вед включало до одиннадцати форм чтения одного и того же текста. Впоследствии тексты были «вычитаны» путем сравнения различных прочитанных версий. Формы декламации включали джата-патху (буквально «сетчатая декламация»), в которой каждые два соседних слова в тексте сначала читались в исходном порядке, затем повторялись в обратном порядке и, наконец, повторялись в исходном порядке. ^[45] Таким образом, чтение продолжалось так:

слово1слово2, слово2слово1, слово1слово2; слово2слово3, слово3слово2, слово2слово3; ...

В другой форме декламации, дхваджа-патха ^[45] (буквально «декламация флага»), последовательность из N слов читалась (и запоминалась) путем объединения первых двух и последних двух слов, а затем действовала следующим образом:

слово ₁ слово ₂ , слово _{N − 1} слово _N ; слово ₂ слово ₃ , слово _{N - 2} слово _{N - 1} ; ...; слово _{N - 1} слово _N , слово ₁ слово ₂ ;

Наиболее сложная форма декламации, гхана-патха (буквально «плотное декламирование»), по мнению Филлиозата ^[45] , имела вид:

слово1слово2, слово2слово1, слово1слово2слово3, слово3слово2слово1, слово1слово2слово3; слово2слово3, слово3слово2, слово2слово3слово4, слово4слово3слово2, слово2слово3слово4; ...

Об эффективности этих методов свидетельствует сохранение самого древнего индийского религиозного текста, Ригведы (ок. 1500 г. до н.э.), как единого текста, без каких-либо вариантов прочтения. ^[45] Подобные методы использовались для запоминания математических текстов, передача которых оставалась исключительно устной до конца ведического периода (ок. 500 г. до н. э.).

Жанр Сутры _

Математическая деятельность в древней Индии началась как часть «методологического размышления» над священными Ведами , которое приняло форму работ под названием « Ведангас », или «Вспомогательные материалы к Ведам» (7–4 века до н.э.). ^[46] Необходимость сохранить звучание священного текста с помощью шикши ( фонетики ) и чхандаса ( метрики ); сохранить его значение, используя вьякарану ( грамматику ) и нирукту ( этимологию ); и правильное выполнение обрядов в нужное время с помощью кальпы ( ритуала ) и джйотиши ( астрологии ) породили шесть дисциплин Веданг . ^[46] Математика возникла как часть двух последних дисциплин — ритуальной и астрономии (в которую входила и астрология). Поскольку Веданги непосредственно предшествовали использованию письменности в древней Индии, они образовали последнюю из исключительно устной литературы. Они были выражены в сильно сжатой мнемонической форме — сутре (буквально «нить»):

Знатоки сутры знают , что она имеет мало фонем, лишена двусмысленности, содержит суть, обращена ко всему, не имеет пауз и не вызывает возражений. ^[46]

Чрезвычайная краткость была достигнута за счет множества средств, в том числе использования многоточия «за пределами естественного языка» ^[46] , использования технических названий вместо более длинных описательных названий, сокращения списков за счет упоминания только первой и последней записей, а также использования маркеров и переменных. ^[46] Сутры создают впечатление, что общение посредством текста было «лишь частью всего наставления. Остальная часть наставления, должно быть, передавалась так называемой Гуру-шишья парампарой , ' непрерывной преемственностью от учителя ( гуру ) студенту ( śisya )», и это не было открыто для широкой публики» и, возможно, даже держалось в секрете. ^[47] Краткость, достигнутая в сутре , демонстрируется в следующем примере из Баудхаяны Шулба-сутры (700 г. до н. э.).

Дизайн домашнего алтаря огня в Шулба-сутре

Домашний огненный алтарь в ведический период согласно ритуалу должен был иметь квадратное основание и состоять из пяти слоев кирпича по 21 кирпичу в каждом слое. Один из методов построения алтаря заключался в том, чтобы разделить одну сторону квадрата на три равные части с помощью шнура или веревки, затем разделить поперечную (или перпендикулярную) сторону на семь равных частей и тем самым разделить квадрат на 21 равный прямоугольник. . Затем кирпичам придали форму составляющего прямоугольника, и был создан слой. Для формирования следующего слоя использовалась та же формула, но кирпичи располагались поперечно. ^[48] ​​Затем процесс был повторен еще три раза (с чередующимися направлениями), чтобы завершить строительство. В Баудхаяна Шулба Сутре эта процедура описана следующими словами:

II.64. Разделив четырехугольник на семь, делят поперечный [шнур] на три.
II.65. В другом слое размещаются [кирпичи] с направлением на север. ^[48]

По словам Филлиозата, ^[49] служитель, сооружающий алтарь, имеет в своем распоряжении лишь несколько инструментов и материалов: веревку (санскрит, раджу , ф.), два колышка (санскрит, śanku , м.) и глину для изготовления кирпичи (санскрит, иштака , ф.). Краткость в сутре достигается за счет отсутствия явного упоминания того, что характеризует прилагательное «поперечный»; однако, судя по женской форме используемого (санскритского) прилагательного, легко сделать вывод, что оно характеризует «шнур». Точно так же во второй строфе «кирпичи» не упоминаются явно, но снова выводятся из формы женского множественного числа слова «указание на север». Наконец, в первой строфе никогда прямо не говорится, что первый слой кирпичей ориентирован в направлении восток-запад, но это также подразумевается явным упоминанием «направления на север» во второй строфе ; ибо, если бы ориентация должна была быть одинаковой в двух слоях, она либо не упоминалась бы вообще, либо упоминалась бы только в первой строфе. Все эти выводы делает служащий, вспоминая формулу из своей памяти. ^[48]

Письменная традиция: прозаический комментарий

С ростом сложности математики и других точных наук требовались как письмо, так и вычисления. В результате многие математические работы стали записываться в рукописях, которые затем переписывались и переписывались из поколения в поколение.

Сегодня в Индии, по оценкам, насчитывается около тридцати миллионов рукописей, что является крупнейшим собранием рукописных материалов для чтения в мире. Грамотная культура индийской науки восходит, по крайней мере, к пятому веку до нашей эры… о чем свидетельствуют элементы месопотамской литературы и астрономии по предсказаниям, которые проникли в Индию в то время и (были) определенно не… сохранились в устной форме. ^[50]

Самый ранний комментарий в математической прозе был к работе «Арьябхатия» (написанной в 499 г. н.э.), работе по астрономии и математике. Математическая часть Арьябхатия состояла из 33 сутр (в стихотворной форме), состоящих из математических утверждений или правил, но без каких-либо доказательств. ^[51] Однако, по мнению Хаяси, ^[52] «это не обязательно означает, что их авторы их не доказали. Вероятно, это был вопрос стиля изложения». Со времен Бхаскары I (600 г. н.э.) прозаические комментарии все чаще стали включать в себя некоторые выводы ( упапатти ). Комментарий Бхаскары I к «Арьябхатия» имел следующую структуру: ^[51]

• Правило («сутра») в стихах Арьябхаты
• Комментарий Бхаскары I, состоящий из:
  • Разъяснение правила (выводы тогда были еще редки, но позже стали более распространенными)
  • Пример ( уддешака ) обычно в стихах.
  • Установка ( ньяса/стхапана ) числовых данных.
  • Работа ( карана ) решения.
  • Проверка ( пратьяякарана , буквально «убедить») ответа. К 13 веку они стали редкими, и к тому времени предпочтение отдавалось выводам или доказательствам. ^[51]

Как правило, по любой математической теме студенты в древней Индии сначала запоминали сутры , которые, как объяснялось ранее, были «намеренно неадекватны» ^[50] в пояснительных деталях (чтобы содержательно передать основные математические правила). Затем студенты прорабатывали темы прозаических комментариев, записывая (и рисуя схемы) на меловых и пылевидных досках ( т. е. досках, покрытых пылью). Последняя деятельность, являющаяся основным элементом математической работы, позже побудила математика-астронома Брахмагупту ( 7 век н.э.) охарактеризовать астрономические вычисления как «работу пыли» (санскрит: dhulikarman ). ^[53]

Цифры и десятичная система счисления

Хорошо известно, что используемая сегодня десятичная система счисления была впервые записана в Индии, затем передана в исламский мир и, в конечном итоге, в Европу. ^[54] Сирийский епископ Северус Себохт писал в середине VII века нашей эры о «девяти знаках» индейцев для выражения чисел. ^[54] Однако, как, когда и где была изобретена первая десятичная система значений, не так ясно. ^[55]

Самым ранним сохранившимся письмом, использовавшимся в Индии, было письмо Хароштхи , используемое в культуре Гандхара на северо-западе. Считается, что он имеет арамейское происхождение и использовался с 4 века до нашей эры до 4 века нашей эры. Почти одновременно с этим на большей части субконтинента появилось другое письмо, письмо брахми , которое позже стало основой многих письменностей Южной и Юго-Восточной Азии. Оба сценария имели цифровые символы и системы счисления, которые изначально не были основаны на позиционной системе. ^[56]

Самые ранние сохранившиеся свидетельства использования десятичных цифр в Индии и Юго-Восточной Азии относятся к середине первого тысячелетия нашей эры. ^[57] На медной пластине из Гуджарата, Индия, упоминается дата 595 г. н.э., записанная в виде десятичного знака, хотя есть некоторые сомнения относительно ее подлинности. ^[57] Десятичные цифры, обозначающие 683 год нашей эры, также были обнаружены в каменных надписях в Индонезии и Камбодже, где индийское культурное влияние было существенным. ^[57]

Существуют более старые текстовые источники, хотя дошедшие до нас рукописные копии этих текстов относятся к гораздо более позднему времени. ^[58] Вероятно, самым ранним таким источником является работа буддийского философа Васумитры, датированная, вероятно, I веком нашей эры. ^[58] Обсуждая счетные ямы торговцев, Васумитра замечает: «Когда [одна и та же] глиняная счетная единица стоит на месте единиц, она обозначается как единица, когда в сотнях — как сто». ^[58] Хотя такие ссылки, кажется, подразумевают, что его читатели знали представление значений десятичных знаков, «краткость их намеков и двусмысленность их дат, однако, не устанавливают твердо хронологию развития этой концепции». ^[58]

Третье десятичное представление использовалось в технике составления стихов, позже названной Бхута-санкхья (буквально «числа объектов»), используемой ранними санскритскими авторами технических книг. ^[59] Поскольку многие ранние технические работы были написаны в стихах, числа часто представлялись соответствующими им объектами природного или религиозного мира; это позволило обеспечить соответствие «многие к одному» для каждого числа и облегчило составление стихов. ^[59] Согласно Плофкеру, ^[60] число 4, например, могло быть представлено словом « Веда » (поскольку таких религиозных текстов было четыре), число 32 — словом «зубы» (поскольку полное набор состоит из 32 штук), а цифра 1 — «луна» (поскольку луна только одна). ^[59] Таким образом, Веда/зубы/луна будут соответствовать десятичному числу 1324, поскольку по соглашению о числах их цифры нужно было нумеровать справа налево. ^[59] Самая ранняя ссылка, использующая номера объектов, - это c. 269 ​​г. н.э. Санскритский текст « Яванаджатака» (буквально «греческая гороскопия») Схуджидхваджи, стихосложение более ранней (около 150 г. н.э.) индийской прозаической адаптации утраченного труда по эллинистической астрологии. ^[61] Такое использование, по-видимому, доказывает, что к середине III века нашей эры десятичная система значений была знакома, по крайней мере, читателям астрономических и астрологических текстов в Индии. ^[59]

Было высказано предположение, что индийская система десятичных знаков была основана на символах, используемых на китайских счетных досках еще с середины первого тысячелетия до нашей эры. ^[62] Согласно Плофкеру, ^[60]

Эти счетные доски, как и индийские счетные ямы, ... имели структуру значений десятичных знаков ... Индийцы вполне могли узнать об этих «стержневых цифрах» с десятичными знаками от китайских буддийских паломников или других путешественников, или они, возможно, разработали эта концепция независима от их более ранней системы неместных ценностей; не сохранилось никаких документальных подтверждений того или иного вывода» ^{[62] .}

Рукопись Бахшали

Самая старая сохранившаяся математическая рукопись в Индии — это « Манускрипт Бахшали », рукопись из бересты, написанная на «буддийском гибридном санскрите» ^[12] шрифтом Шарада , который использовался в северо-западном регионе Индийского субконтинента между 8-м и 12-м веками нашей эры. ^[63] Рукопись была обнаружена в 1881 году фермером при раскопках каменного ограждения в деревне Бахшали, недалеко от Пешавара (тогда в Британской Индии , а теперь в Пакистане ). Рукопись неизвестного автора, ныне хранящаяся в Бодлианской библиотеке Оксфордского университета , недавно была датирована 224–383 годами нашей эры. ^[64]

Сохранившаяся рукопись состоит из семидесяти листов, некоторые из которых фрагментированы. Его математическое содержание составляют правила и примеры, написанные в стихах, а также прозаические комментарии, включающие решения примеров. ^[63] Рассматриваемые темы включают арифметику (дроби, квадратные корни, прибыль и убытки, простые проценты, правило трех и ложные правила ) и алгебру (одновременные линейные и квадратные уравнения ), а также арифметические прогрессии. Кроме того, существует несколько геометрических задач (включая задачи об объемах неправильных тел). В рукописи Бахшали также «используется десятичная система значений с точкой вместо нуля». ^[63] Многие из его проблем относятся к категории, известной как «задачи уравнения», которые приводят к системам линейных уравнений. Один из примеров из фрагмента III-5-3v следующий:

У одного купца семь лошадей асава , у второго девять лошадей хайя , а у третьего десять верблюдов. Они будут одинаково обеспечены ценностью своих животных, если каждый отдаст по два животных, по одному каждому из остальных. Найдите цену каждого животного и общую стоимость животных, принадлежащих каждому торговцу. ^[65]

Прозаический комментарий, сопровождающий пример, решает проблему, преобразуя ее к трем (недоопределенным) уравнениям с четырьмя неизвестными и предполагая, что все цены являются целыми числами. ^[65]

В 2017 году радиоуглеродное датирование показало, что три образца рукописи относятся к трем разным векам: с 224 по 383 год нашей эры, с 680 по 779 год нашей эры и с 885 по 993 год нашей эры. Неизвестно, как фрагменты разных веков оказались собраны вместе. ^{[66] [67] [68]}

Классический период (400–1600 гг.)

Этот период часто называют золотым веком индийской математики. В этот период такие математики, как Арьябхата , Варахамихира , Брахмагупта , Бхаскара I , Махавира , Бхаскара II , Мадхава Сангамаграма и Нилакантха Сомаяджи, придали более широкую и четкую форму многим разделам математики. Их вклад распространится на Азию, Ближний Восток и, в конечном итоге, на Европу. В отличие от ведической математики, их работы включали как астрономические, так и математические работы. Фактически математика того периода была включена в «астральную науку» ( джьотихшастра ) и состояла из трех субдисциплин: математических наук ( ганита или тантра ), гороскопической астрологии ( хора или джатака ) и гадания (самхита). ^[53] Это трехчастное деление можно увидеть в компиляции Варахамихиры VI века — Панчасиддхантика ^[69] (буквально панча , «пять», сиддханта , «заключение обсуждения», датированной 575 годом н.э. ) — пяти более ранних работ, Сурья Сиддханта , Ромака Сиддханта , Паулиса Сиддханта , Васиштха Сиддханта и Пайтамаха Сиддханта , которые были адаптацией еще более ранних работ месопотамской, греческой, египетской, римской и индийской астрономии. Как объяснялось ранее, основные тексты были составлены стихами на санскрите и сопровождались комментариями в прозе. ^[53]

Четвертый-шестой века

Сурья Сиддханта

Хотя ее авторство неизвестно, Сурья Сиддханта (ок. 400 г.) содержит корни современной тригонометрии . ^{[ нужна цитата ]} Поскольку он содержит много слов иностранного происхождения, некоторые авторы считают, что он был написан под влиянием Месопотамии и Греции. ^{[70] [ нужен лучший источник ]}

В этом древнем тексте в качестве тригонометрических функций впервые используются ^{следующие значения :}

• Синус ( Джья ).
• Косинус ( Койя ).
• Обратный синус ( Открам джя ).

Позже индийские математики, такие как Арьябхата, ссылались на этот текст, а более поздние арабские и латинские переводы имели большое влияние в Европе и на Ближнем Востоке.

Календарь Чхеди

Этот календарь Чхеди (594 г.) содержит раннее использование современной индуистско -арабской системы счисления, которая сейчас используется повсеместно.

Арьябхата I

Арьябхата (476–550) написал « Арьябхатию». Он описал важные фундаментальные принципы математики в 332 шлоках . Трактат содержал:

• Квадратные уравнения
• Тригонометрия
• Значение π с точностью до 4 десятичных знаков.

Арьябхата также написал «Арья Сиддханту» , которая сейчас утеряна. Вклад Арьябхаты включает:

Тригонометрия:

(См. также: таблицу синусов Арьябхаты )

• Ввел тригонометрические функции .
• Определил синус ( jya ) как современное соотношение между половиной угла и половиной хорды.
• Дал определение косинусу ( коджа ).
• Дал определение стиху ( уткрама-джья ).
• Определил обратный синус ( открам джа ).
• Дал методы расчета их примерных численных значений.
• Содержит самые ранние таблицы значений синуса, косинуса и версуса с интервалом 3,75 ° от 0 ° до 90 °, с точностью до 4 десятичных знаков.
• Содержит тригонометрическую формулу sin( n + 1) x - sin nx = sin nx - sin( n - 1) x - (1/225)sin nx .
• Сферическая тригонометрия .

Арифметика:

• Непрерывные дроби .

Алгебра:

• Решения одновременных квадратных уравнений.
• Целочисленное решение линейных уравнений методом, эквивалентным современному методу.
• Общее решение неопределенного линейного уравнения.

Математическая астрономия:

• Точные расчеты астрономических констант, таких как:
  • Солнечное затмение .
  • Лунное затмение .
  • Формула суммы кубов , которая явилась важным шагом в развитии интегрального исчисления. ^[71]

Варахамихира

Варахамихира (505–587) создал «Панча Сиддханту» ( «Пять астрономических канонов »). Он внес важный вклад в тригонометрию, включая таблицы синусов и косинусов с точностью до 4 десятичных знаков и следующие формулы, связывающие функции синуса и косинуса :

• ${\displaystyle \sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1}$
• ${\displaystyle \sin(x)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)}$
• ${\displaystyle {\frac {1-\cos(2x)}{2}}=\sin ^{2}(x)}$

Седьмой и восьмой века

Теорема Брахмагупты утверждает, что AF = FD .

В VII веке в индийской математике начали возникать две отдельные области — арифметика (включавшая в себя измерение ) и алгебра . Эти две области позже будут называться пати-ганита (буквально «математика алгоритмов») и биджа-ганита (буквально «математика семян», где «семена» — подобно семенам растений — представляют собой неизвестные, способные порождать, в данном случае решения уравнений). ^[72] Брахмагупта в своем астрономическом труде «Брахма Спхута Сиддханта » (628 г. н.э.) включил две главы (12 и 18), посвященные этим областям. Глава 12, содержащая 66 стихов на санскрите, была разделена на два раздела: «основные операции» (включая кубические корни, дроби, соотношение и пропорции, а также обмен) и «практическая математика» (включая смешивание, математические ряды, плоские фигуры, укладку кирпичей, распиловка леса и складывание зерна). ^[73] В последнем разделе он сформулировал свою знаменитую теорему о диагоналях вписанного четырёхугольника : ^[73]

Теорема Брахмагупты: если вписанный четырехугольник имеет диагонали, перпендикулярные друг другу, то перпендикуляр, проведенный из точки пересечения диагоналей к любой стороне четырехугольника, всегда делит противоположную сторону пополам.

Глава 12 также включала формулу площади вписанного четырехугольника (обобщение формулы Герона ), а также полное описание рациональных треугольников ( т.е. треугольников с рациональными сторонами и рациональными площадями).

Формула Брахмагупты: площадь A вписанного четырехугольника со сторонами длиной a , b , c , d соответственно определяется выражением

${\displaystyle A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}\,}$

где s , полупериметр , определяемый формулой ${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.}$

Теорема Брахмагупты о рациональных треугольниках: Треугольник с рациональными сторонами и рациональной площадью имеет вид: ${\displaystyle a,b,c}$

${\displaystyle a={\frac {u^{2}}{v}}+v,\ \ b={\frac {u^{2}}{w}}+w,\ \ c={\frac {u^{2}}{v}}+{\frac {u^{2}}{w}}-(v+w)}$

для некоторых рациональных чисел и . ^[74] ${\displaystyle u,v,}$ ${\displaystyle w}$

Глава 18 содержала 103 санскритских стиха, которые начинались с правил арифметических операций с нулем и отрицательными числами ^[73] и считается первым систематическим рассмотрением этого предмета. Все правила (включая и ) были правильными, за одним исключением: . ^[73] Позже в этой главе он дал первое явное (хотя и не совсем общее) решение квадратного уравнения : ${\displaystyle a+0=\ a}$ ${\displaystyle a\times 0=0}$ ${\displaystyle {\frac {0}{0}}=0}$

${\displaystyle \ ax^{2}+bx=c}$

К абсолютному числу, умноженному на четырехкратный [коэффициент] квадрата, прибавляют квадрат [коэффициента] среднего члена; квадратный корень из того же самого минус [коэффициент] среднего члена, разделенный на двойной [коэффициент] квадрата, является значением. ^[75]

Это эквивалентно:

${\displaystyle x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}}$

Также в главе 18 Брахмагупта смог добиться прогресса в нахождении (интегральных) решений уравнения Пелла , ^[76]

${\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=1,}$

где – неквадратное целое число. Он сделал это, обнаружив следующее тождество: ^[76] ${\displaystyle N}$

Личность Брахмагупты: которая была обобщением более ранней личности Диофанта : ^[76] Брахмагупта использовал свою личность, чтобы доказать следующую лемму: ^[76] ${\displaystyle \ (x^{2}-Ny^{2})(x'^{2}-Ny'^{2})=(xx'+Nyy')^{2}-N(xy'+x'y)^{2}}$

Лемма (Брахмагупта): Если является решением и является решением , то: ${\displaystyle x=x_{1},\ \ y=y_{1}\ \ }$ ${\displaystyle \ \ x^{2}-Ny^{2}=k_{1},}$ ${\displaystyle x=x_{2},\ \ y=y_{2}\ \ }$ ${\displaystyle \ \ x^{2}-Ny^{2}=k_{2},}$

${\displaystyle x=x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2},\ \ y=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\ \ }$является решением ${\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=k_{1}k_{2}}$

Затем он использовал эту лемму, чтобы сгенерировать бесконечное количество (целых) решений уравнения Пелла при наличии одного решения, а также сформулировать следующую теорему:

Теорема (Брахмагупта): Если уравнение имеет целочисленное решение для любого из уравнений Пелла: ${\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=k}$ ${\displaystyle \ k=\pm 4,\pm 2,-1}$

${\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=1}$

также имеет целочисленное решение. ^[77]

Брахмагупта на самом деле не доказал теорему, а разработал примеры, используя свой метод. Первый пример, который он представил, был: ^[76]

Пример (Брахмагупта): Найдите целые числа такие, что: ${\displaystyle \ x,\ y\ }$

${\displaystyle \ x^{2}-92y^{2}=1}$

В своем комментарии Брахмагупта добавил: «Человек, решивший эту задачу за год, — математик». ^[76] Решение, которое он предложил, было:

${\displaystyle \ x=1151,\ y=120}$

Бхаскара I

Бхаскара I (ок. 600–680) расширил творчество Арьябхаты в своих книгах под названием « Махабхаскария» , «Арьябхатия-бхашья » и «Лагху-бхаскария» . Он произвел:

• Решения неопределенных уравнений.
• Рациональное приближение функции синуса .
• Формула вычисления синуса острого угла без использования таблицы с точностью до двух десятичных знаков.

Девятый-двенадцатый века

Вирасена

Вирасена (8 век) был джайнским математиком при дворе царя Раштракуты Амогхаварши из Маньяхеты , штат Карнатака. Он написал « Дхавалу» , комментарий к джайнской математике, в котором:

• Рассматривается концепция ardhaccheda , сколько раз число может быть уменьшено вдвое, и перечислены различные правила, связанные с этой операцией. Это совпадает с двоичным логарифмом при применении к степеням двойки , ^{[78] [79]} , но отличается от других чисел, более близко напоминающих 2-адический порядок .

Вирасена также дал:

• Получение объема усеченной пирамиды с помощью своего рода бесконечной процедуры.

Считается, что большая часть математического материала в Дхавале может быть приписана предыдущим авторам, особенно Кундакунде, Шамакунде, Тумбулуре, Самантабхадре и Баппадеве, и датируется периодом между 200 и 600 годами нашей эры. ^[79]

Махавира

Махавира Ачарья (ок. 800–870) из Карнатаки , последний из известных джайнских математиков, жил в 9 веке и находился под покровительством царя Раштракуты Амогхаварши. Он написал книгу под названием «Ганит Саар Санграха» по числовой математике, а также написал трактаты по широкому кругу математических тем. К ним относятся математика:

• Нуль
• Квадраты
• Кубики
• квадратные корни , кубические корни и ряды , выходящие за их пределы.
• Плоская геометрия
• Твердая геометрия
• Проблемы, связанные с отбрасыванием теней
• Формулы, выведенные для расчета площади эллипса и четырехугольника внутри круга .

Махавира также:

• Утверждал, что квадратный корень из отрицательного числа не существует.
• Дал сумму ряда, членами которого являются квадраты арифметической прогрессии , и дал эмпирические правила для площади и периметра эллипса.
• Решаемые кубические уравнения.
• Решенные уравнения четвертой степени.
• Решил некоторые уравнения пятой степени и полиномы более высокого порядка .
• Дал общие решения полиномиальных уравнений высшего порядка:
  • ${\displaystyle \ ax^{n}=q}$
  • ${\displaystyle a{\frac {x^{n}-1}{x-1}}=p}$
• Решены неопределенные квадратные уравнения.
• Решены неопределенные кубические уравнения.
• Решены неопределенные уравнения высшего порядка.

Шридхара

Шридхара (ок. 870–930), живший в Бенгалии , написал книги под названием «Нав Шатика» , «Три Шатика» и «Пати Ганита ». Он дал:

• Хорошее правило для нахождения объема шара .
• Формула решения квадратных уравнений .

Пати Ганита — это труд по арифметике и измерению . Он занимается различными операциями, в том числе:

• Элементарные операции
• Извлечение квадратных и кубических корней.
• Фракции.
• Восемь правил даны для операций с нулем.
• Методы суммирования различных арифметических и геометрических рядов, которые стали стандартными справочниками в более поздних работах.

Манджула

Уравнения Арьябхаты были разработаны в 10 веке Манджулой (также Мунджалой ), который понял, что выражение ^[80]

${\displaystyle \ \sin w'-\sin w}$

может быть приблизительно выражено как

${\displaystyle \ (w'-w)\cos w}$

Это было развито его более поздним предшественником Бхаскарой II, тем самым найдя производную синуса. ^[80]

Арьябхата II

Арьябхата II (ок. 920–1000) написал комментарий к Шридхаре и астрономический трактат « Маха-Сиддханта» . Маха-Сиддханта состоит из 18 глав и обсуждает:

• Вычислительная математика ( Анк Ганит ).
• Алгебра.
• Решения неопределенных уравнений ( куттака ).

Шрипати

Шрипати Мишра (1019–1066) написал книги «Сиддханта Шекхара» , крупный труд по астрономии в 19 главах, и «Ганит Тилака» , неполный арифметический трактат в 125 стихах, основанный на произведении Шридхары. В основном он работал над:

• Перестановки и комбинации .
• Общее решение совместного неопределенного линейного уравнения.

Он также был автором «Дхикотидакараны» , произведения из двадцати стихов на тему:

• Солнечное затмение .
• Лунное затмение .

Дхруваманаса — это произведение из 105 стихов, посвященное :

• Расчет планетарной долготы
• затмения .
• планетарные транзиты .

Немичандра Сиддханта Чакравати

Немичандра Сиддханта Чакравати (ок. 1100 г.) написал математический трактат под названием « Гоме-мат Саар» .

Бхаскара II

Бхаскара II (1114–1185) был математиком-астрономом, написавшим ряд важных трактатов, а именно « Сиддханта Широмани », «Лилавати », «Биджаганита» , «Гола Аддхая » , «Гриха Ганитам» и «Каран Каутоохал ». Ряд его работ позже был передан на Ближний Восток и в Европу. Его вклад включает в себя:

Арифметика:

• Расчет процентов
• Арифметические и геометрические прогрессии
• Плоская геометрия
• Твердая геометрия
• Тень гномона
• Решения комбинаций
• Дал доказательство того, что деление на ноль равно бесконечности .

Алгебра:

• Распознавание положительного числа, имеющего два квадратных корня.
• Сурдс .
• Операции с произведениями нескольких неизвестных.
• Решения:
  • Квадратные уравнения.
  • Кубические уравнения.
  • Уравнения четвертой степени.
  • Уравнения с более чем одним неизвестным.
  • Квадратные уравнения с несколькими неизвестными.
  • Общий вид уравнения Пелла с использованием метода чакравалы .
  • Общее неопределенное квадратное уравнение методом чакравалы .
  • Неопределенные кубические уравнения.
  • Неопределенные уравнения четвертой степени.
  • Неопределенные полиномиальные уравнения высшего порядка.

Геометрия:

• Дал доказательство теоремы Пифагора .

Исчисление:

• Предварительная концепция дифференциации
• Обнаружил дифференциальный коэффициент .
• Изложенная ранняя форма теоремы Ролля , частного случая теоремы о среднем значении (одной из наиболее важных теорем исчисления и анализа).
• Вывел дифференциал синусоидальной функции, хотя и не обманул понятие производной.
• Вычисленное число π с точностью до пяти десятичных знаков.
• Рассчитал длину обращения Земли вокруг Солнца с точностью до 9 знаков после запятой. ^[81]

Тригонометрия:

• Развитие сферической тригонометрии
• Тригонометрические формулы:
  • ${\displaystyle \ \sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)}$
  • ${\displaystyle \ \sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\sin(b)\cos(a)}$

Математика Кералы (1300–1600 гг.)

Керальская школа астрономии и математики была основана Мадхавой Сангамаграмы в Керале, Южная Индия , и среди ее членов входили: Парамешвара , Нилаканта Сомаяджи , Джьештадева , Ачьюта Пишарати , Мельпатур Нараяна Бхаттатири и Ачьюта Паниккар. Она процветала между 14 и 16 веками, и первые открытия школы, похоже, закончились Нараяной Бхаттатири (1559–1632). Пытаясь решить астрономические проблемы, астрономы школы Кералы независимо друг от друга создали ряд важных математических концепций. Важнейшие результаты — разложение в ряды для тригонометрических функций — были даны в стихах на санскрите в книге Нилаканты под названием « Тантрасангграха» и комментарии к этому труду под названием «Тантрасанграха-вакхья» неизвестного автора. Теоремы были сформулированы без доказательства, но доказательства рядов для синуса , косинуса и обратного тангенса были представлены век спустя в работе Юктибхаша (ок. 1500–1610), написанной на малаялам Джьестхадевой . ^[82]

Их открытие этих трех важных серий расширений исчисления — за несколько столетий до того, как исчисление было разработано в Европе Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницем — было достижением. Однако школа Кералы не изобрела исчисление , ^[83] потому что, хотя они были в состоянии разработать разложения в ряд Тейлора для важных тригонометрических функций , они не разработали ни теорию дифференцирования или интегрирования , ни фундаментальную теорему исчисления . ^[71] Результаты, полученные школой Кералы, включают:

• (Бесконечная) геометрическая серия : ^[84] ${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ for }}|x|<1}$
• Полустрогое доказательство (см. замечание об «индукции» ниже) результата: для больших n . ^[82] ${\displaystyle 1^{p}+2^{p}+\cdots +n^{p}\approx {\frac {n^{p+1}}{p+1}}}$
• Интуитивное использование математической индукции , однако, индуктивная гипотеза не была сформулирована и не использовалась в доказательствах. ^[82]
• Применение идей дифференциального и интегрального исчисления (того, что должно было стать) для получения бесконечных рядов (Тейлора – Маклорена) для sin x, cos x и arctan x. ^[83] Тантрасанграха -вакхья представляет серию в стихах, которые при переводе в математические обозначения можно записать так: ^[82]

${\displaystyle r\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)={\frac {1}{1}}\cdot {\frac {ry}{x}}-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {ry^{3}}{x^{3}}}+{\frac {1}{5}}\cdot {\frac {ry^{5}}{x^{5}}}-\cdots ,{\text{ where }}y/x\leq 1.}$

${\displaystyle r\sin x=x-x{\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}+x{\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}-\cdots }$

${\displaystyle r-\cos x=r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}-r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}{\frac {x^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}+\cdots ,}$

где при r  = 1 ряд сводится к стандартному степенному ряду для этих тригонометрических функций, например:

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$

и

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots }$

• Использование ректификации (вычисления длины) дуги окружности для доказательства этих результатов. (Поздний метод Лейбница, использующий квадратуру, т. е. вычисление площади под дугой круга, не использовался.) ^[82]
• Использование разложения в ряд для получения формулы Лейбница для π : ^[82] ${\displaystyle \arctan x}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots }$

• Рациональная аппроксимация ошибки для конечной суммы интересующего их ряда. Например, ошибка , (для n нечетных и i = 1, 2, 3) для ряда: ${\displaystyle f_{i}(n+1)}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\cdots +(-1)^{(n-1)/2}{\frac {1}{n}}+(-1)^{(n+1)/2}f_{i}(n+1)}$

${\displaystyle {\text{where }}f_{1}(n)={\frac {1}{2n}},\ f_{2}(n)={\frac {n/2}{n^{2}+1}},\ f_{3}(n)={\frac {(n/2)^{2}+1}{(n^{2}+5)n/2}}.}$

• Манипулирование погрешностью для получения более быстро сходящегося ряда для : ^[82] ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}+{\frac {1}{3^{3}-3}}-{\frac {1}{5^{3}-5}}+{\frac {1}{7^{3}-7}}-\cdots }$

• Используя улучшенный ряд для получения рационального выражения, ^[82] 104348/33215 для π исправьте до девяти десятичных знаков, т.е.  3,141592653.
• Использование интуитивного понятия предела для вычисления этих результатов. ^[82]
• Полустрогий (см. замечание о пределах выше) метод дифференцирования некоторых тригонометрических функций. ^[71] Однако они не сформулировали понятие функции и не знали показательных или логарифмических функций.

Работы школы Кералы были впервые написаны для западного мира англичанином К. М. Уишем в 1835 году. По словам Уиша, математики Кералы «заложили основу для полной системы флюксий », и эти работы изобиловали « флюксионными формами и рядами ». нельзя найти ни в одном произведении зарубежных стран » . ^[85]

Однако результаты Уиша почти полностью игнорировались до тех пор, пока более века спустя открытия школы Кералы не были снова исследованы К. Раджагопалом и его коллегами. Их работа включает комментарии к доказательствам ряда арктанов в Юктибхаше , приведенные в двух статьях, ^{[86] [87]} комментарий к доказательству рядов синуса и косинуса в Юктибхаше ^[88] и две статьи, содержащие санскритские стихи Тантрасанграхавахья для серии арктана, греха и косинуса (с английским переводом и комментариями) . ^{[89] [90]}

Нараяна Пандит — математик XIV века, написавший две важные математические работы: арифметический трактат « Ганита Каумуди » и алгебраический трактат « Биджганита Ватамса» . Нараяна также считается автором подробного комментария к « Лилавати » Бхаскары II под названием «Кармапрадипика» (или «Карма-Паддхати »). Мадхава Сангамаграма (ок. 1340–1425) был основателем школы Кералы. Хотя вполне возможно, что он написал «Карана Паддхати» — произведение, написанное где-то между 1375 и 1475 годами, все, что мы действительно знаем о его работе, взято из работ более поздних ученых.

Парамешвара (ок. 1370–1460) написал комментарии к произведениям Бхаскары I , Арьябхаты и Бхаскары II. Его «Лилавати Бхасья» , комментарий к « Лилавати» Бхаскары II , содержит одно из его важных открытий: версию теоремы о среднем значении . Нилакантха Сомаяджи (1444–1544) составил « Тантра-Самграха » (которая «породила» более поздний анонимный комментарий «Тантрасанграха-вьякхья» и дальнейший комментарий под названием «Юктидипайка» , написанный в 1501 году). Он разработал и расширил вклад Мадхавы.

Читрабхану (ок. 1530 г.) был математиком XVI века из Кералы, который дал целочисленные решения 21 типа систем двух одновременных алгебраических уравнений с двумя неизвестными. Эти типы представляют собой все возможные пары уравнений следующих семи форм:

${\displaystyle {\begin{aligned}&x+y=a,\ x-y=b,\ xy=c,x^{2}+y^{2}=d,\\[8pt]&x^{2}-y^{2}=e,\ x^{3}+y^{3}=f,\ x^{3}-y^{3}=g\end{aligned}}}$

В каждом случае Читрабхану давал объяснение и обоснование своего правила, а также приводил пример. Некоторые из его объяснений алгебраические, другие — геометрические. Джьестхадева (ок. 1500–1575) был еще одним членом школы Кералы. Его ключевой работой была «Юкти-бхаша» (написанная на малаяламе, региональном языке Кералы). Джьештхадева представил доказательства большинства математических теорем и бесконечных рядов, ранее открытых Мадхавой и другими математиками школы Кералы.

Обвинения в европоцентризме

Было высказано предположение, что вклад Индии в математику не получил должного признания в современной истории и что многие открытия и изобретения индийских математиков в настоящее время культурно приписываются их западным коллегам в результате европоцентризма . Согласно взглядам Г.Г. Джозефа на « Этноматематику »:

[Их работа] принимает во внимание некоторые возражения, высказанные по поводу классической европоцентрической траектории. Осведомленность [об индийской и арабской математике], скорее всего, будет сдерживаться пренебрежительным отрицанием их важности по сравнению с греческой математикой. Вклад других цивилизаций – в первую очередь Китая и Индии – воспринимается либо как заимствованный из греческих источников, либо как внесший лишь незначительный вклад в основное направление математического развития. К сожалению, отсутствует открытость к результатам последних исследований, особенно в случае индийской и китайской математики» ^[91].

Историк математики Флориан Каджори предположил, что он и другие «подозревают, что Диофант впервые получил алгебраические знания из Индии». ^[92] Однако он также писал, что «несомненно, некоторые части индуистской математики имеют греческое происхождение». ^[93]

Совсем недавно, как обсуждалось в предыдущем разделе, бесконечные серии исчисления тригонометрических функций (переоткрытые Грегори, Тейлором и Маклореном в конце 17 века) были описаны в Индии математиками школы Кералы , что примечательно, примерно двумя столетиями ранее. . Некоторые ученые недавно предположили, что знания об этих результатах могли быть переданы в Европу по торговому пути из Кералы торговцами и миссионерами -иезуитами . ^[94] Керала находилась в постоянном контакте с Китаем и Аравией , а примерно с 1500 года — с Европой. Наличие путей сообщения и подходящая хронология, безусловно, делают такую ​​передачу возможной. Однако прямых доказательств того, что такая передача действительно имела место, в виде соответствующих рукописей нет. ^[94] По словам Дэвида Брессуда , «нет никаких доказательств того, что индийские сериалы были известны за пределами Индии или даже за пределами Кералы до девятнадцатого века». ^{[83] [95]}

И арабские, и индийские ученые сделали открытия до 17 века, которые сейчас считаются частью исчисления. ^{[71] Однако они, как} Ньютон и Лейбниц , не «объединили множество различных идей в рамках двух объединяющих тем — производной и интеграла , не показали связь между ними и не превратили исчисление в великий инструмент решения проблем, который мы можем использовать». есть сегодня». ^[71] Интеллектуальная карьера как Ньютона, так и Лейбница хорошо документирована, и нет никаких указаний на то, что их работы не были их собственными; ^[71] однако достоверно неизвестно, узнали ли непосредственные предшественники Ньютона и Лейбница, «включая, в частности, Ферма и Роберваля о некоторых идеях исламских и индийских математиков из источников, которые нам сейчас не известны. " ^[71] Это активная область текущих исследований, особенно в коллекциях рукописей Испании и Магриба . Эти исследования проводятся, в частности, в CNRS . ^[71]

Смотрите также

• Шульба Сутры
• Керальская школа астрономии и математики
• Сурья Сиддханта
• Брахмагупта
• Шриниваса Рамануджан
• Бахшалинская рукопись
• Список индийских математиков
• Индийская наука и технологии
• Индийская логика
• Индийская астрономия
• История математики
• Список чисел в индуистских писаниях

Примечания

1. (Ким Плофкер 2007, стр. 1)
2. (Хаяши 2005, стр. 360–361)
3. (Ифра 2000, стр. 346): «Мера гения индийской цивилизации, которой мы обязаны нашей современной (числовой) системой, тем более велика, что она была единственной во всей истории, которая достигла этого триумфа. ...Некоторым культурам удалось раньше, чем индийская, открыть одну или в лучшем случае две характеристики этого интеллектуального подвига. Но ни одна из них не сумела объединить в полную и связную систему необходимые и достаточные условия для системы счисления с тот же потенциал, что и наш».
4. (Плофкер 2009, стр. 44–47)
5. (Бурбаки 1998, стр. 46): «...наша десятичная система, которая (с помощью арабов) заимствована из индуистской математики, где ее использование засвидетельствовано уже с первых веков нашей эры. Она должна быть более того, отметил, что концепция нуля как числа, а не простого символа разделения) и его введение в вычисления также относятся к оригинальному вкладу индусов».
6. (Бурбаки 1998, стр. 49): Современная арифметика была известна в средние века как «Modus Indorum» или метод индейцев. Леонардо Пизанский писал, что по сравнению с методом индейцев все другие методы являются ошибкой. Этот метод индусов есть не что иное, как наша простейшая арифметика сложения, вычитания, умножения и деления. Правила этих четырех простых процедур были впервые записаны Брахмагуптой в 7 веке нашей эры. «В этом отношении индусы уже осознают интерпретацию, которую отрицательные числа должны иметь в определенных случаях (например, долг в коммерческой проблеме). В последующие столетия, по мере распространения на Запад (при посредничестве арабы) методов и результатов греческой и индийской математики, человек привыкает обращаться с этими числами и начинает иметь для них другое «представление», геометрическое или динамическое».
7. "алгебра" 2007. Краткая энциклопедия Britannica. Архивировано 29 сентября 2007 года в Wayback Machine . Британская энциклопедия Интернет. 16 мая 2007 г. Цитата: «Полноценная десятичная позиционная система, безусловно, существовала в Индии к 9 веку (н.э.), однако многие из ее основных идей были переданы задолго до этого времени в Китай и исламский мир. Индийская арифметика, более того, разработали последовательные и правильные правила для работы с положительными и отрицательными числами и для обращения с нулем как с любым другим числом, даже в таких проблемных контекстах, как деление. Прошло несколько сотен лет, прежде чем европейские математики полностью интегрировали такие идеи в развивающуюся дисциплину алгебру».
8. (Pingree 2003, стр. 45) Цитата: «Геометрия и ее ветвь тригонометрия были математикой, которую индийские астрономы использовали чаще всего. Греческие математики использовали полную хорду и никогда не представляли себе полухорду, которую мы используем сегодня. Впервые была использована полухорда. Арьябхата, который значительно упростил тригонометрию. Фактически, индийские астрономы в третьем или четвертом веке, используя греческую таблицу аккордов до Птолемея, создали таблицы синусов и версинов, из которых было тривиально выводить косинусы. Система тригонометрии, созданная в Индии, была передана арабам в конце восьмого века, а ими, в расширенной форме, на Латинский Запад и Византийский Восток в двенадцатом веке».
9. (Бурбаки 1998, стр. 126): «Что касается тригонометрии, то геометры презирают ее и оставляют геодезистам и астрономам; именно эти последние ( Аристарх , Гиппарх , Птолемей ) устанавливают фундаментальные отношения между сторонами и углами прямоугольный треугольник (плоский или сферический) и составить первые таблицы (они состоят из таблиц, дающих хорду дуги , вырезанной углом на окружности радиуса r , иначе говоря, число ; введение синуса, подробнее легко обрабатывается, принадлежит индуистским математикам Средневековья)». ${\displaystyle \theta <\pi }$ ${\displaystyle 2r\sin \left(\theta /2\right)}$
10. (Филлиозат 2004, стр. 140–143)
11. (Хаяши 1995)
12. (Ким Плофкер 2007, стр. 6)
13. (Стилвелл 2004, стр. 173)
14. (Брессуд 2002, стр. 12) Цитата: «Нет никаких доказательств того, что индийские работы над сериалами были известны за пределами Индии или даже за пределами Кералы до девятнадцатого века. Голд и Пингри утверждают [4], что к тому времени, когда эти серии были вновь открыты в Европе, но практически потеряны для Индии. Разложения синуса, косинуса и арктангенса передавались через несколько поколений учеников, но они оставались бесплодными наблюдениями, для которых никто не мог найти много пользы».
15. (Плофкер 2001, стр. 293) Цитата: «В дискуссиях по индийской математике нередко можно встретить такие утверждения, как то, что «концепция дифференциации была понята [в Индии] со времен Манджулы (... в 10-м веке). века)» [Джозеф 1991, 300], или что «мы можем считать Мадхаву основателем математического анализа» (Джозеф 1991, 293), или что Бхаскара II может утверждать, что он «предшественник Ньютона и Лейбница в открытие принципа дифференциального исчисления» (Bag 1979, 294). Малабарское побережье в 15 веке или позже в латинском научном мире (например, в (Bag 1979, 285)).... Следует, однако, иметь в виду, что такой акцент на сходстве санскрита (или малаялама) а латинская математика рискует уменьшить нашу способность полностью увидеть и понять первое. Говоря об индийском «открытии принципа дифференциального исчисления», несколько затемняется тот факт, что индийские методы выражения изменений синуса посредством косинуса или наоборот, как в примерах, которые мы видели, оставались в рамках этого специфического тригонометрического исчисления. контекст. Дифференциальный «принцип» не был обобщен на произвольные функции — фактически, явное понятие произвольной функции, не говоря уже о понятии ее производной или алгоритме получения производной, здесь не имеет значения».
16. (Pingree 1992, стр. 562) Цитата: «Один пример, который я могу вам привести, относится к демонстрации индийским Мадхавой примерно в 1400 году нашей эры бесконечных степенных рядов тригонометрических функций с использованием геометрических и алгебраических аргументов. Когда это было впервые описано в Это заявление и достижения Мадхавы были проигнорированы западными историками, по-видимому, сначала потому, что они не могли признать , что индейцы открыли исчисление, но позже потому что никто больше не читал « Трудов Королевского азиатского общества» , в которых была опубликована статья Уиша . исчисление; но многие историки до сих пор находят невозможным представить проблему и ее решение в терминах чего-либо иного, кроме исчисления, и заявляют, что исчисление — это то, что нашел Мадхава. В этом случае элегантность и блеск математики Мадхавы искажаются, поскольку они погребены под нынешним математическим решением проблемы, для которой он нашел альтернативное и мощное решение».
17. (Кац 1995, стр. 173–174) Цитата: «Насколько близко исламские и индийские ученые подошли к изобретению исчисления? Исламские ученые почти разработали общую формулу для поиска интегралов полиномов к 1000 году нашей эры - и, очевидно, смогли найти такую ​​формулу. для любого многочлена, который их интересовал. Но, по-видимому, их не интересовал ни один многочлен степени выше четырех, по крайней мере, в любом из дошедших до нас материалов. Индийские ученые, с другой стороны, были К 1600 году они смогли использовать формулу суммы Ибн аль-Хайсама для произвольных целых степеней при вычислении степенных рядов для функций, которые их интересовали. В то же время они также знали, как вычислять дифференциалы этих функций. Итак, некоторые из основных идеи исчисления были известны в Египте и Индии за много столетий до Ньютона. Их, видимо, интересовали лишь конкретные случаи, в которых эти идеи были необходимы. ... Поэтому нет опасности, что нам придется переписать исторические тексты, чтобы удалить утверждение о том, что Ньютон и Лейбниц изобрели исчисление. Они, безусловно, были теми, кто смог объединить множество различных идей в рамках двух объединяющих тем — производной и интеграла, показать связь между ними и превратить исчисление в великий инструмент решения проблем, который мы имеем сегодня».
18. Сержан, Бернар (1997), Женез де л'Инд (на французском языке), Париж: Payot, стр. 113, ISBN 978-2-228-89116-5
19. Коппа, А.; и другие. (6 апреля 2006 г.), «Ранненеолитическая традиция стоматологии: кремневые наконечники были удивительно эффективны для сверления зубной эмали у доисторического населения», Nature , 440 (7085): 755–6, Bibcode : 2006Natur.440..755C, doi : 10.1038/440755a, PMID  16598247, S2CID  6787162.
20. Бишт, Р.С. (1982), «Раскопки в Банавали: 1974–77», в Посселе, Грегори Л. (редактор), Хараппская цивилизация: современная перспектива , Нью-Дели: Oxford and IBH Publishing Co., стр. 113– 124
21. Рао, SR (июль 1992 г.). «Навигационный инструмент хараппских моряков» (PDF) . Морская археология . 3 : 61–62. Архивировано из оригинала (PDF) 8 августа 2017 года.
22. А. Зайденберг, 1978. Происхождение математики. Архив истории точных наук, том 18.
23. (Стаал, 1999)
24. (Хаяши 2003, стр. 118)
25. (Хаяши 2005, стр. 363)
26. Тройки Пифагора — это тройки целых чисел (a, b, c) со свойством: a ² +b ² = c ² . Таким образом, 3 ² +4 ² = 5 ² , 8 ² +15 ² = 17 ² , 12 ² +35 ² = 37 ² и т.д.
27. (Кук 2005, стр. 198): «Арифметическое содержание Шульва- сутр состоит из правил поиска пифагорейских троек, таких как (3, 4, 5) , (5, 12, 13) , (8, 15, 17). , и (12, 35, 37) . Неизвестно, какое практическое применение имели эти арифметические правила. Лучшее предположение состоит в том, что они были частью религиозного ритуала. В индуистском доме требовалось иметь три огня, горящих на трех разных алтарях. три алтаря должны были быть разной формы, но все три должны были иметь одинаковую площадь. Эти условия приводили к определенным «диофантовым» проблемам, частным случаем которых является порождение пифагорейских троек, чтобы одно квадратное целое число было равно сумма двух других».
28. (Кук 2005, стр. 199–200): «Требование трех алтарей одинаковой площади, но разной формы могло бы объяснить интерес к преобразованию территорий. Среди других проблем преобразования территорий индуисты рассматривали, в частности, проблему квадратуры круга. " Бодхаяна Сутра" ставит обратную задачу построения круга, равного данному квадрату. В качестве решения дается следующая приблизительная конструкция.... этот результат является лишь приблизительным. Однако авторы не сделали различия между этими двумя результатами. В терминах, которые мы можем оценить, эта конструкция дает значение π , равное 18 (3 − 2 √ 2 ), что составляет около 3,088».
29. (Джозеф 2000, стр. 229)
30. "Полная информация о ведической математике" . АЛЛЕН IntelliBrain . Проверено 22 октября 2022 г.
31. (Кук 2005, стр. 200)
32. Значение этого приближения, 577/408, является седьмым в последовательности все более точных приближений от 3/2, 7/5, 17/12, ... до √ 2 , числители и знаменатели которых были известны как « числа сторон и диаметра» у древних греков, а в современной математике называются числами Пелла . Если x / y — один член в этой последовательности приближений, следующим будет ( x  + 2 y )/( x  +  y ). Эти аппроксимации также могут быть получены путем усечения представления цепной дроби √ 2 .
33. Нойгебауэр, О. и А. Сакс. 1945. Математические клинописные тексты , Нью-Хейвен, Коннектикут, издательство Йельского университета. п. 45.
34. Факультет математики Университета Британской Колумбии, The Babylonian table Plimpton 322. Архивировано 17 июня 2020 года в Wayback Machine .
35. Три положительных целых числа образуют примитивную тройку Пифагора, если c ² = a ² +b ² и если старший общий делитель a, b, c равен 1. В конкретном примере Plimpton322 это означает, что 13500 ² +12709 ² = 18541 ² и что эти три числа не имеют общих делителей. Однако некоторые ученые оспаривают пифагорейскую интерпретацию этой таблички; подробности см. в Plimpton 322. ${\displaystyle (a,b,c)}$
36. (Дэни 2003)
37. Ингерман, Питер Зилахи (1 марта 1967 г.). «Предложена «форма Панини-Бакуса»». Коммуникации АКМ . 10 (3): 137. дои : 10.1145/363162.363165 . ISSN  0001-0782. S2CID  52817672.
38. "Панини-Бакус". infinityfoundation.com . Проверено 16 марта 2018 г.
39. (Фаулер 1996, стр. 11)
40. (Сингх 1936, стр. 623–624)
41. Датта, Бибхутибхусан; Сингх, Авадхеш Нараян (2019). «Использование перестановок и комбинаций в Индии». В Колачане Адитья; Махеш, К.; Рамасубраманиан, К. (ред.). Исследования по индийской математике и астрономии: избранные статьи Крипы Шанкара Шуклы . Источники и исследования по истории математики и физических наук. Спрингер Сингапур. стр. 356–376. дои : 10.1007/978-981-13-7326-8_18. S2CID  191141516.. Отредактировано К.С. Шуклой на основе статьи в Индийском журнале истории науки 27 (3): 231–249, 1992, MR MR1189487. См. стр. 363.
42. (Филлиозат 2004, стр. 137)
43. (Пингри 1988, стр. 637)
44. (Стаал, 1986)
45. (Филлиозат 2004, стр. 139)
46. (Филлиозат 2004, стр. 140–141)
47. (Яно 2006, стр. 146)
48. (Филлиозат 2004, стр. 143–144)
49. (Филлиозат 2004, стр. 144)
50. (Pingree 1988, стр. 638)
51. (Хаяши 2003, стр. 122–123)
52. (Хаяши 2003, стр. 123)
53. (Хаяши 2003, стр. 119)
54. (Плофкер 2007, стр. 395)
55. (Плофкер 2007, стр. 395); (Плофкер, 2009, стр. 47–48)
56. (Хаяши 2005, стр. 366)
57. (Плофкер 2009, стр. 45)
58. (Плофкер 2009, стр. 46)
59. (Плофкер 2009, стр. 47)
60. (Плофкер 2009)
61. (Пингри 1978, стр. 494)
62. (Плофкер 2009, стр. 48)
63. (Хаяши 2005, стр. 371)
64. «Освещая Индию: в главной роли старейшее зарегистрированное происхождение нуля, рукопись Бахшали» .
65. Антон, Ховард и Крис Роррес. 2005. Элементарная линейная алгебра с приложениями. 9-е издание. Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. 864 страницы. ISBN 0-471-66959-8 . 
66. Девлин, Ханна (13 сентября 2017 г.). «Много шума из ничего: древнеиндийский текст содержит самый ранний нулевой символ». Хранитель . ISSN  0261-3077 . Проверено 14 сентября 2017 г.
67. Мейсон, Робин (14 сентября 2017 г.). «Оксфордский радиоуглеродный ускоритель датирует старейшее в мире зарегистрированное происхождение символа нуля». Школа археологии Оксфордского университета . Архивировано из оригинала 14 сентября 2017 года . Проверено 14 сентября 2017 г.
68. «Углеродное датирование обнаружило, что рукопись Бахшали содержит старейшее зарегистрированное происхождение символа «ноль»» . Бодлианская библиотека . 14 сентября 2017 года . Проверено 14 сентября 2017 г.
69. (Нойгебауэр и Пингри, 1970)
70. Кук, Роджер (1997), «Математика индусов», История математики: краткий курс , Wiley-Interscience, стр. 197, ISBN 978-0-471-18082-1Слово Сиддханта означает то , что доказано или установлено . Сульва -сутры имеют индуистское происхождение, но сиддханты содержат так много слов иностранного происхождения, что они, несомненно, имеют корни в Месопотамии и Греции.
71. (Кац 1995)
72. (Хаяши 2005, стр. 369)
73. (Хаяши 2003, стр. 121–122)
74. (Стилвелл 2004, стр. 77)
75. (Стилвелл 2004, стр. 87)
76. (Stillwell 2004, стр. 72–73)
77. (Стилвелл, 2004, стр. 74–76)
78. Гупта, RC (2000), «История математики в Индии», в Хойберге, Дейл; Рамчандани, Инду (ред.), «Студенческая Британика Индия: избранные эссе» , «Популярный Пракашан», стр. 329
79. Сингх, А.Н., Математика Дхавалы, Университет Лакхнау, заархивировано из оригинала 11 мая 2011 г. , получено 31 июля 2010 г.
80. Джозеф (2000), с. 298–300.
81. Кук, Роджер (1997). История математики: краткий курс. Интернет-архив. Нью-Йорк: Уайли. ISBN 978-0-471-18082-1.
82. (Рой, 1990)
83. (Брессуд, 2002)
84. (Сингх, 1936)
85. (Уиш 1835)
86. Раджагопал, К.; Рангачари, MS (1949), «Забытая глава индуистской математики», Scripta Mathematica , 15 : 201–209.
87. Раджагопал, К.; Рангачари, MS (1951), «Об индуистском доказательстве ряда Грегори», Scripta Mathematica , 17 : 65–74.
88. Раджагопал, К.; Венкатараман, А. (1949), «Степенные ряды синуса и косинуса в индуистской математике», Журнал Королевского азиатского общества Бенгалии (наука) , 15 : 1–13.
89. Раджагопал, К.; Рангачари, MS (1977), «О неиспользованном источнике средневековой керальской математики», Архив истории точных наук , 18 (2): 89–102, doi : 10.1007/BF00348142, S2CID  51861422.
90. Раджагопал, К.; Рангачари, MS (1986), «О средневековой математике Кералы», Архив истории точных наук , 35 (2): 91–99, doi : 10.1007/BF00357622, ​​S2CID  121678430.
91. Джозеф, Г.Г. 1997. «Основы европоцентризма в математике». В «Этноматематике: вызов европоцентризму в математическом образовании» (ред. Пауэлл, AB и др.). СУНИ Пресс. ISBN 0-7914-3352-8 . стр.67-68. 
92. Каджори, Флориан (1893), «Индусы», История математики, стр. 86 , Macmillan & Co., В алгебре, вероятно, существовала взаимная отдача и получение [между Грецией и Индией]. Мы подозреваем, что Диофант впервые познакомился с алгебраическими знаниями из Индии.
93. Флориан Каджори (2010). « История элементарной математики - с намеками на методы обучения ». стр.94. ISBN 1-4460-2221-8 
94. Алмейда, DF; Джон, Дж. К.; Задорожный, А. (2001), «Кералская математика: ее возможное распространение в Европе и вытекающие из этого последствия для образования», Journal of Natural Geometry , 20 : 77–104.
95. Голд, Д.; Пингри, Д. (1991), «До сих пор неизвестная санскритская работа, касающаяся вывода Мадхавой степенного ряда для синуса и косинуса», Historia Scientiarum , 42 : 49–65.

Рекомендации

• Бурбаки, Николя (1998), Элементы истории математики , Берлин, Гейдельберг и Нью-Йорк: Springer-Verlag , 301 страница, ISBN 978-3-540-64767-6.
• Бойер, CB; Мерцбак (впереди Исаака Азимова), Калифорнийский университет (1991), История математики, Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья, 736 страниц, ISBN 978-0-471-54397-8.
• Брессуд, Дэвид (2002), «Было ли исчисление изобретено в Индии?», The College Mathematics Journal , 33 (1): 2–13, doi : 10.2307/1558972, JSTOR  1558972.
• Бронкхорст, Йоханнес (2001), «Панини и Евклид: размышления об индийской геометрии», Журнал индийской философии , Springer Нидерланды, 29 (1–2): 43–80, doi : 10.1023/A: 1017506118885, S2CID  115779583.
• Бернетт, Чарльз (2006), «Семантика индийских цифр на арабском, греческом и латинском языках», Журнал индийской философии , Springer-Netherlands, 34 (1–2): 15–30, doi : 10.1007/s10781-005-8153 -z, S2CID  170783929.
• Бертон, Дэвид М. (1997), История математики: Введение , The McGraw-Hill Companies, Inc., стр. 193–220..
• Кук, Роджер (2005), История математики: краткий курс , Нью-Йорк: Wiley-Interscience, 632 страницы, ISBN 978-0-471-44459-6.
• Дэни, С.Г. (25 июля 2003 г.), «О пифагорейских тройках в Шулвасутрах» (PDF) , Current Science , 85 (2): 219–224.
• Датта, Бибхутибхусан (декабрь 1931 г.), «Ранние литературные свидетельства использования нуля в Индии», The American Mathematical Monthly , 38 (10): 566–572, doi : 10.2307/2301384, JSTOR  2301384.
• Датта, Бибхутибхусан; Сингх, Авадеш Нараян (1962), История индуистской математики: справочник , Бомбей: Издательство Asia Publishing House..
• Де Янг, Грегг (1995), «Евклидова геометрия в математической традиции исламской Индии», Historia Mathematica , 22 (2): 138–153, doi : 10.1006/hmat.1995.1014.
• Ким Плофкер (2007), «Математика, Южная Азия», Британская энциклопедия Online , стр. 1–12 , получено 18 мая 2007 г..
• Филлиоза, Пьер-Сильвен (2004), «Древняя санскритская математика: устная традиция и письменная литература», в Чемле, Карин ; Коэн, Роберт С.; Ренн, Юрген; и другие. (ред.), История науки, История текста (Бостонская серия по философии науки) , Дордрехт: Springer Нидерланды, 254 страницы, стр. 137–157, стр. 360–375, doi : 10.1007/1-4020- 2321-9_7, ISBN 978-1-4020-2320-0.
• Фаулер, Дэвид (1996), «Функция биномиального коэффициента», The American Mathematical Monthly , 103 (1): 1–17, doi : 10.2307/2975209, JSTOR  2975209.
• Хаяши, Такао (1995), Рукопись Бахшали, древнеиндийский математический трактат , Гронинген: Эгберт Форстен, 596 страниц, ISBN 978-90-6980-087-5.
• Хаяши, Такао (1997), «Правило Арьябхаты и таблица синус-разностей», Historia Mathematica , 24 (4): 396–406, doi : 10.1006/hmat.1997.2160.
• Хаяси, Такао (2003), «Индийская математика», в книге Граттан-Гиннесс, Айвор (ред.), Сопутствующая энциклопедия истории и философии математических наук , том. 1, Балтимор, Мэриленд: Издательство Университета Джонса Хопкинса, стр. 118–130, ISBN. 978-0-8018-7396-6.
• Хаяси, Такао (2005), «Индийская математика», во Фладе, Гэвине (редактор), « Спутник Блэквелла по индуизму» , Оксфорд: Бэзил Блэквелл, 616 страниц, стр. 360–375, стр. 360–375, ISBN 978-1-4051-3251-0.
• Хендерсон, Дэвид В. (2000), «Квадратные корни в сутрах Сульбы», в Горини, Кэтрин А. (ред.), Геометрия в работе: статьи по прикладной геометрии , том. 53, Вашингтон, округ Колумбия: Заметки Американской математической ассоциации , стр. 39–45, ISBN. 978-0-88385-164-7.
• Ифра, Жорж (2000). Универсальная история чисел: от предыстории до компьютеров . Нью-Йорк: Уайли. ISBN 0471393401.
• Джозеф, Г.Г. (2000), Герб павлина: неевропейские корни математики , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, 416 страниц, ISBN 978-0-691-00659-8.
• Кац, Виктор Дж. (1995), «Идеи исчисления в исламе и Индии», Mathematics Magazine , 68 (3): 163–174, doi : 10.2307/2691411, JSTOR  2691411.
• Кац, Виктор Дж., изд. (2007), Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, стр. 385–514, ISBN 978-0-691-11485-9.
• Келлер, Агата (2005), «Заставить диаграммы говорить в комментарии Бхаскары I к Арьябхатия» (PDF) , Historia Mathematica , 32 (3): 275–302, doi : 10.1016/j.hm.2004.09.001.
• Киченассами, Сатынад (2006), «Правило Баудхаяны для квадратуры круга», Historia Mathematica , 33 (2): 149–183, doi : 10.1016/j.hm.2005.05.001.
• Нойгебауэр, Отто ; Пингри, Дэвид , ред. (1970), Панчасиддхантика Варахамихиры , Копенгаген{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link). Новое издание с переводом и комментариями (2 тома).
• Пингри, Дэвид (1971), «О греческом происхождении индийской планетарной модели, использующей двойной эпицикл», Журнал исторической астрономии , 2 (1): 80–85, Бибкод : 1971JHA.....2...80P , doi : 10.1177/002182867100200202, S2CID  118053453.
• Пингри, Дэвид (1973), «Месопотамское происхождение ранней индийской математической астрономии», Журнал исторической астрономии , 4 (1): 1–12, Бибкод : 1973JHA.....4....1P, doi : 10.1177 /002182867300400102, S2CID  125228353.
• Пингри, Дэвид , изд. (1978), Яванаджатака Сфуджидхваджи , Harvard Oriental Series 48 (2 тома), отредактировано, переведено и прокомментировано Д. Пингри, Кембридж, Массачусетс.{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link).
• Пингри, Дэвид (1988), «Рецензируемые работы: Верность устной традиции и истоки науки Фрица Стаала», Журнал Американского восточного общества , 108 (4): 637–638, doi : 10.2307/603154 , JSTOR  603154.
• Пингри, Дэвид (1992), «Элленофилия против истории науки», Isis , 83 (4): 554–563, Бибкод : 1992Isis...83..554P, doi : 10.1086/356288, JSTOR  234257, S2CID  68570164
• Пингри, Дэвид (2003), «Логика незападной науки: математические открытия в средневековой Индии», Daedalus , 132 (4): 45–54, doi : 10.1162/001152603771338779 , S2CID  57559157.
• Плофкер, Ким (1996), «Пример секущего метода итеративной аппроксимации в санскритском тексте пятнадцатого века», Historia Mathematica , 23 (3): 246–256, doi : 10.1006/hmat.1996.0026.
• Плофкер, Ким (2001), «Ошибка» в индийском «приближении ряда Тейлора» к синусу», Historia Mathematica , 28 (4): 283–295, doi : 10.1006/hmat.2001.2331.
• Плофкер, К. (2007), «Математика Индии», Кац, Виктор Дж. (редактор), « Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник» , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, стр. 385–514, ISBN. 978-0-691-11485-9.
• Плофкер, Ким (2009), Математика в Индии: 500 г. до н.э. – 1800 г. н.э. , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12067-6.
• Прайс, Джон Ф. (2000), «Прикладная геометрия Сульба-сутр» (PDF) , в Горини, Кэтрин А. (ред.), Геометрия в работе: статьи по прикладной геометрии , том. 53, Вашингтон, округ Колумбия: Заметки Математической ассоциации Америки, стр. 46–58, ISBN. 978-0-88385-164-7, заархивировано из оригинала (PDF) 27 сентября 2007 г. , получено 20 мая 2007 г..
• Рой, Ранджан (1990), «Открытие формулы ряда Лейбницем, Грегори и Нилакантой», Mathematics Magazine , 63 (5): 291–306, doi : 10.2307/2690896, JSTOR  2690896 ${\displaystyle \pi }$.
• Сингх, АН (1936), «Об использовании рядов в индуистской математике», Osiris , 1 (1): 606–628, doi : 10.1086/368443, JSTOR  301627, S2CID  144760421
• Стаал, Фриц (1986), «Верность устной традиции и истоки науки», Mededelingen der Koninklijke Nederlandse Akademie von Wetenschappen, Afd. Letterkunde , Новая серия, Амстердам: Издательство Северной Голландии, 49 (8).
• Стаал, Фриц (1995), «Санскрит науки», Журнал индийской философии , Springer Нидерланды, 23 (1): 73–127, doi : 10.1007/BF01062067, S2CID  170755274.
• Стаал, Фриц (1999), «Греческая и ведическая геометрия», Журнал индийской философии , 27 (1–2): 105–127, doi : 10.1023/A: 1004364417713, S2CID  170894641.
• Стаал, Фриц (2001), «Квадраты и прямоугольники в Веде», Журнал индийской философии , Springer Нидерланды, 29 (1–2): 256–272, doi :10.1023/A:1017527129520, S2CID  170403804.
• Стаал, Фриц (2006), «Искусственные языки в науках и цивилизациях», Журнал индийской философии , Springer Нидерланды, 34 (1): 89–141, doi : 10.1007/s10781-005-8189-0, S2CID  170968871.
• Стиллвелл, Джон (2004), Математика и ее история , Тексты для студентов по математике (2-е изд.), Спрингер, Берлин и Нью-Йорк, 568 страниц, номер документа : 10.1007/978-1-4684-9281-1, ISBN 978-0-387-95336-6.
• Тибо, Джордж (1984) [1875], Математика в процессе становления в Древней Индии: переиздания «О Сульвасутрах» и «Баудхьяяна Сульва-сутра», Калькутта и Дели: КП Багчи и компания (оригинал Журнал Азиатского общества Бенгалии), 133 страницы..
• ван дер Варден, Б.Л. (1983), Геометрия и алгебра в древних цивилизациях , Берлин и Нью-Йорк: Springer, 223 страницы, ISBN 978-0-387-12159-8
• ван дер Варден, Б.Л. (1988), «О ромака-сиддханте», Архив истории точных наук , 38 (1): 1–11, doi : 10.1007/BF00329976, S2CID  189788738
• ван дер Варден, Б.Л. (1988), «Реконструкция греческой таблицы аккордов», Архив истории точных наук , 38 (1): 23–38, Бибкод : 1988AHES...38...23V, doi : 10.1007 /BF00329978, S2CID  189793547
• Ван Нутен, Б. (1993), «Двоичные числа в индийской древности», Журнал индийской философии , Springer Нидерланды, 21 (1): 31–50, doi : 10.1007/BF01092744, S2CID  171039636
• Виш, Чарльз (1835 г.), «Об индуистской квадратуре круга и бесконечной серии пропорций окружности к диаметру, представленных в четырех шастрах, Тантра Санграхам, Юкти Бхаша, Чарана Падхати и Садратнамала» , Труды Королевского азиатского общества Великобритании и Ирландии , 3 (3): 509–523, doi : 10.1017/S0950473700001221, JSTOR  25581775
• Яно, Мичио (2006), «Устная и письменная передача точных наук на санскрите», Журнал индийской философии , Springer Нидерланды, 34 (1–2): 143–160, doi : 10.1007/s10781-005-8175-6 , S2CID  170679879

дальнейшее чтение

Справочники на санскрите

• Келлер, Агата (2006), Излагая математическое семя. Том. 1: Перевод: перевод Бхаскары I по математической главе Арьябхатии , Базель, Бостон и Берлин: Birkhäuser Verlag, 172 страницы, ISBN 978-3-7643-7291-0.
• Келлер, Агата (2006), Излагая математическое семя. Том. 2: Дополнения: перевод Бхаскары I к математической главе Арьябхатии , Базель, Бостон и Берлин: Birkhäuser Verlag, 206 страниц, ISBN 978-3-7643-7292-7.
• Сарма, К.В. , изд. (1976), Арьябхатия Арьябхаты с комментарием Сурьядевы Яджвана , критически отредактированный с введением и приложениями, Нью-Дели: Индийская национальная академия наук..
• Сен, СН; Сумка, АК, ред. (1983), Шулбасутры Баудхаяны, Апастамбы, Катьяяны и Манавы , с текстом, английским переводом и комментариями, Нью-Дели: Индийская национальная академия наук.
• Шукла К.С., изд. (1976), Арьябхата Арьябхаты с комментариями Бхаскары I и Сомешвары , критически отредактированный с введением, английским переводом, примечаниями, комментариями и указателями, Нью-Дели: Индийская национальная академия наук.
• Шукла К.С., изд. (1988), Арьябхатия Арьябхаты , критически отредактированный с введением, английским переводом, примечаниями, комментариями и указателями, в сотрудничестве с К.В. Сармой , Нью-Дели: Индийская национальная академия наук..

Внешние ссылки

• Наука и математика в Индии
• Обзор индийской математики, Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс , 2000.
• Индийские математики
• Указатель древнеиндийской математики, Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс, 2004.
• Индийская математика: восстановление баланса, студенческие проекты по истории математики. Ян Пирс. Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс, 2002.
• Индийская математика в программе «В наше время» на BBC
• InSIGHT 2009, семинар по традиционным индийским наукам для школьников, проводимый факультетом компьютерных наук Университета Анны, Ченнаи, Индия.
• Математика в древней Индии Р. Шридхарана
• Комбинаторные методы в древней Индии
• Математика до С. Рамануджана