Математика возникла независимо в Китае в 11 веке до нашей эры. [1] Китайцы самостоятельно разработали действительную систему счисления , включающую в себя значительно большие и отрицательные числа , более чем одну систему счисления ( двоичную и десятичную ), алгебру , геометрию , теорию чисел и тригонометрию .
Со времен династии Хань , когда диофантова аппроксимация была выдающимся численным методом , китайцы добились существенного прогресса в области полиномиальной оценки . Алгоритмы, такие как regula falsi , и выражения, такие как непрерывные дроби , широко используются и с тех пор хорошо документированы. Они намеренно находят главный корень n- й степени из положительных чисел и корни уравнений . [2] [3] Основные тексты того периода, « Девять глав о математическом искусстве» и « Книга о числах и вычислениях», подробно описывают процессы решения различных математических задач в повседневной жизни. [4] В обоих текстах все процедуры были вычислены с использованием счетной доски и включали обратные элементы , а также евклидовы деления . В текстах представлены процедуры, аналогичные методу исключения Гаусса и методу Горнера для линейной алгебры . [5] Достижения китайской алгебры достигли апогея в 13 веке во времена династии Юань с развитием Тянь юань шу .
Предполагается, что в результате очевидных языковых и географических барьеров, а также содержания китайская математика и математика древнего Средиземноморья развивались более или менее независимо до того времени, когда « Девять глав о математическом искусстве» достигли своей окончательной формы. , а « Книга о числах и вычислениях» и «Хуайнаньцзы» примерно современны классической греческой математике. Вероятен некоторый обмен идеями по всей Азии посредством известных культурных обменов, по крайней мере, со времен Римской империи. Часто элементы математики ранних обществ соответствуют элементарным результатам, найденным позже в таких областях современной математики, как геометрия или теория чисел. Например, теорема Пифагора была засвидетельствована во времена герцога Чжоу . Также было показано , что знание треугольника Паскаля существовало в Китае за несколько столетий до Паскаля , [6] например, у эрудита эпохи Сун Шэнь Го .
Династия Шан (1600–1050 до н. э.). Одним из старейших сохранившихся математических трудов является « И Цзин» , оказавший большое влияние на письменную литературу во времена династии Чжоу (1050–256 гг. до н. э.). Что касается математики, книга включала сложное использование гексаграмм . Лейбниц указывал, что И Цзин (И Цзин) содержит элементы двоичных чисел .
Начиная с периода Шан, китайцы уже полностью разработали десятичную систему. С давних времен китайцы понимали основы арифметики (которая доминировала в истории Дальнего Востока), алгебру, уравнения и отрицательные числа со счетными палочками . [ нужна цитата ] Хотя китайцы были больше сосредоточены на арифметике и продвинутой алгебре для астрономических целей, они также были первыми, кто разработал отрицательные числа, алгебраическую геометрию и использование десятичных дробей.
Математика была одним из шести искусств , которые ученики должны были освоить во времена династии Чжоу (1122–256 гг. до н.э.). Чтобы выучить их все в совершенстве, нужно было стать совершенным джентльменом, сравнимым с понятием « человек эпохи Возрождения ». Шесть искусств берут свое начало в конфуцианской философии .
Самая старая из существующих в Китае работ по геометрии происходит из философского мохистского канона ок. 330 г. до н. э. , составлено последователями Мози (470–390 гг. до н. э.). « Мо Цзин» описал различные аспекты многих областей, связанных с физической наукой, а также предоставил небольшой объем информации по математике. Он дал «атомарное» определение геометрической точки, заявив, что линия разделена на части, а часть, которая не имеет оставшихся частей (т. е. не может быть разделена на более мелкие части) и, таким образом, образует крайний конец линии, является точкой. . [7] Подобно первому и третьему определениям Евклида и « началу линии» Платона, Мо Цзин утверждал, что «точка может стоять в конце (линии) или в ее начале, как представление головы». в родах. (Что касается его невидимости) нет ничего подобного ему». [8] Подобно атомистам Демокрита , Мо Цзин утверждал, что точка — это наименьшая единица, и ее нельзя разрезать пополам, поскольку «ничто» не может быть разделено пополам». [ 8] В нем говорилось, что две линии одинаковой длины будут всегда заканчиваются в одном и том же месте» [8] , давая определения для сравнения длин и параллелей », [9] наряду с принципами пространства и ограниченного пространства. [10] Он также описывал тот факт, что плоскости без качества Толщину нельзя сложить, поскольку они не могут соприкасаться друг с другом. [11] В книге предусмотрено распознавание слов для обозначения окружности, диаметра и радиуса, а также определение объема. [12]
В истории развития математики отсутствуют некоторые доказательства. По поводу некоторых математических классиков до сих пор ведутся споры. Например, «Чжоуби Суаньцзин» датируется примерно 1200–1000 гг. до н. э., однако многие ученые полагают, что он был написан между 300 и 250 гг. до н. э. Чжоуби Суаньцзин содержит углубленное доказательство теоремы Гоугу (частный случай теоремы Пифагора ), но больше фокусируется на астрономических вычислениях. Однако недавнее археологическое открытие бамбуковых пластинок Цинхуа , датированных ок. 305 г. до н. э ., раскрыл некоторые аспекты математики доциньской эпохи, такие как первая известная десятичная таблица умножения . [13]
Впервые счеты были упомянуты во втором веке до нашей эры, наряду с «вычислением палочками» ( суань-цзы ) , при котором маленькие бамбуковые палочки помещались в последовательные квадраты шахматной доски. [14]
О математике династии Цинь или раньше известно немногое из-за сожжения книг и захоронения ученых , около 213–210 гг. до н.э. Знания об этом периоде можно определить на основе гражданских проектов и исторических свидетельств. Династия Цинь создала стандартную систему весов. Гражданские проекты династии Цинь были значительным достижением человеческой инженерии. Император Цинь Шихуан приказал многим людям построить большие статуи в натуральную величину для дворцовой гробницы, а также других храмов и святынь, а форма гробницы была разработана с использованием геометрических навыков архитектуры. Несомненно, одно из величайших достижений человеческой истории — Великая Китайская стена — потребовало использования многих математических методов. Во всех зданиях и грандиозных проектах династии Цинь использовались передовые формулы расчета объема, площади и пропорций.
Наличники из бамбука Цинь, купленные на антикварном рынке Гонконга Академией Юэлу , по предварительным данным, содержат самый ранний эпиграфический образец математического трактата.
Во времена династии Хань числа были преобразованы в десятичную систему разрядов и использовались на счетной доске с набором счетных стержней , называемых стержневым исчислением , состоящих всего из девяти символов с пустым местом на счетной доске, обозначающим ноль. [3] Отрицательные числа и дроби также использовались в решениях великих математических текстов того периода. Математические тексты того времени, « Книга чисел и вычислений» и «Цзючжан суаньшу», решали основные арифметические задачи, такие как сложение, вычитание, умножение и деление. [4] Кроме того, они описали процессы извлечения квадратных и кубических корней, которые в конечном итоге были применены для решения квадратных уравнений до третьего порядка. [5] Оба текста также добились существенного прогресса в линейной алгебре, а именно в решении систем уравнений с несколькими неизвестными. [15] В обоих текстах значение числа «пи» принято равным трем. [16] Однако математики Лю Синь (ум. 23) и Чжан Хэн (78–139) дали более точные приближения для числа Пи , чем использовали китайцы предыдущих столетий. [4] Математика была разработана для решения практических задач того времени, таких как раздел земли или проблем, связанных с разделением платежей. [17] Китайцы не уделяли особого внимания теоретическим доказательствам, основанным на геометрии или алгебре в современном смысле доказательства уравнений для нахождения площади или объема. «Книга вычислений» и «Девять глав математического искусства» содержат множество практических примеров, которые можно использовать в повседневной жизни. [18]
Книга «Числа и вычисления» содержит около семи тысяч знаков и написана на 190 бамбуковых полосках. [19] Он был обнаружен вместе с другими письменами в 1984 году, когда археологи открыли гробницу в Чжанцзяшане в провинции Хубэй . Из документальных свидетельств известно, что эта гробница была закрыта в 186 г. до н.э., в начале правления династии Западная Хань . [4] Хотя его связь с Девятью главами все еще обсуждается учеными, некоторые его содержания явно имеют там параллели. Однако текст «Суань шу шу» гораздо менее систематичен, чем «Девять глав», и, по-видимому, состоит из ряда более или менее независимых коротких фрагментов текста, взятых из ряда источников. [19]
Книга вычислений содержит множество пояснений к решению задач, которые будут подробно рассмотрены в «Девяти главах математического искусства». [19] Пример элементарной математики в Суан сю сю : квадратный корень аппроксимируется с использованием метода ложного положения , который гласит: «объединить избыток и недостаток в качестве делителя; (беря) числитель дефицита, умноженный на знаменатель избытка, и избыточный числитель, умноженный на знаменатель дефицита, объедините их в дивиденд». [19] Кроме того, «Книга вычислений» решает системы двух уравнений и двух неизвестных, используя тот же метод ложного положения. [20]
«Девять глав о математическом искусстве» археологически датируются 179 годом нашей эры, хотя традиционно они датируются 1000 годом до нашей эры, но они были написаны, возможно, еще в 300–200 годах до нашей эры. [21] Хотя автор(ы) неизвестны, они внесли большой вклад в восточном мире. Проблемы создаются с помощью вопросов, за которыми сразу следуют ответы и процедура. [17] В тексте нет формальных математических доказательств, только пошаговая процедура. [22] Комментарий Лю Хуэя предоставил геометрические и алгебраические доказательства проблем, изложенных в тексте. [3]
«Девять глав математического искусства» были одной из самых влиятельных из всех китайских математических книг и состояли из 246 задач. [21] Позднее оно было включено в « Десять вычислительных канонов» , которые стали основой математического образования в последующие столетия. [17] Эта книга включает 246 задач по геодезии, сельскому хозяйству, партнерству, инженерному делу, налогообложению, расчетам, решению уравнений и свойствам прямоугольных треугольников. [17] Девять глав внесли существенные дополнения в решение квадратных уравнений способом, аналогичным методу Горнера . [5] Он также внес значительный вклад в фанчэн , или то, что сейчас известно как линейная алгебра. [20] В седьмой главе решается система линейных уравнений с двумя неизвестными с использованием метода ложного положения, аналогично книге вычислений. [20] Восьмая глава посвящена решению одновременных определенных и неопределенных линейных уравнений с использованием положительных и отрицательных чисел, причем одна задача связана с решением четырех уравнений с пятью неизвестными. [20] Девять глав решают системы уравнений, используя методы, аналогичные современному исключению Гаусса и обратной замене . [20]
Версия «Девяти глав» , послужившая основой для современных интерпретаций, стала результатом усилий ученого Дай Чжэня. Записав задачи непосредственно из энциклопедии Юнлэ , он затем приступил к внесению изменений в исходный текст, а также к включению своих собственных заметок, объясняющих причины внесения изменений. [23] Его законченная работа будет впервые опубликована в 1774 году, но в 1776 году будет опубликована новая редакция, исправляющая различные ошибки, а также включающая версию « Девяти глав из Южной песни», содержащую комментарии Луи Хуэя и Ли Чуньфэна. . Окончательная версия работы Дай Чжэня вышла в 1777 году под названием « Павильон пульсации» , причем эта окончательная версия получила широкое распространение и стала стандартом для современных версий « Девяти глав ». [24] Однако эта версия подверглась тщательному анализу со стороны Го Шучэня, утверждающего, что отредактированная версия по-прежнему содержит множество ошибок и что не все первоначальные поправки были внесены самим Дай Чжэнем. [23]
В задачах «Девяти глав математического искусства» число «пи» принимается равным трем при расчете задач, связанных с кругами и сферами, например, с площадью сферической поверхности. [21] В тексте нет явной формулы для вычисления числа Пи, равного трем, но она используется в задачах как «Девяти глав математического искусства», так и «Записей ремесленника», которые были созданы в один и тот же период времени. . [16] Историки полагают, что эта цифра Пи была рассчитана с использованием соотношения 3:1 между длиной окружности и диаметром круга. [21] Некоторые ханьские математики пытались улучшить это число, например, Лю Синь, который, как полагают, оценил число Пи в 3,154. [4] Позже Лю Хуэй попытался улучшить расчет, вычислив число Пи равным 3,141024. Лю рассчитал это число, используя многоугольники внутри шестиугольника в качестве нижнего предела по сравнению с кругом. [25] Цзу Чунчжи позже обнаружил, что число пи составляет 3,1415926 < π < 3,1415927, используя многоугольники с 24 576 сторонами. Этот расчет был обнаружен в Европе в 16 веке. [26]
Не существует явного метода или записи того, как он рассчитал эту оценку. [4]
Основные арифметические процессы, такие как сложение, вычитание, умножение и деление, существовали еще до династии Хань. [4] Девять глав о математическом искусстве принимают эти основные операции как нечто само собой разумеющееся и просто инструктируют читателя выполнять их. [20] Математики Хань вычисляли квадратные и кубические корни аналогично делению, а задачи деления и извлечения корня встречаются в четвертой главе « Девяти глав математического искусства» . [27] Вычисление квадратных и кубических корней чисел осуществляется посредством последовательного приближения, так же, как и деление, и на протяжении всего процесса часто используются аналогичные термины, такие как делимое ( ши ) и делитель ( фа ). [5] Этот процесс последовательного приближения был затем распространен на решение квадратичных уравнений второго и третьего порядка, таких как , с использованием метода, аналогичного методу Горнера. [5] Во времена династии Хань метод не был распространен на решение квадратичных уравнений n-го порядка; однако этот метод в конечном итоге был использован для решения этих уравнений. [5]
Книга вычислений — первый известный текст по решению систем уравнений с двумя неизвестными. [20] Всего в «Книге вычислений» есть три набора задач , связанных с решением систем уравнений с помощью метода ложного положения, которые снова переводятся на практический уровень. [20] Глава седьмая из девяти глав о математическом искусстве также посвящена решению системы двух уравнений с двумя неизвестными с помощью метода ложного положения. [20] Чтобы найти большее из двух неизвестных, метод ложного положения предписывает читателю перекрестно умножить второстепенные члены или zi (которые представляют собой значения, заданные для избытка и дефицита) с основными членами mu . [20] Чтобы найти меньшее из двух неизвестных, просто сложите второстепенные члены. [20]
Восьмая глава из девяти глав математического искусства посвящена решению бесконечных уравнений с бесконечным количеством неизвестных. [20] На протяжении всей главы этот процесс называется «процедурой фанчэн». [20] Многие историки предпочли оставить термин фанчэн непереведенным из-за противоречивых свидетельств того, что этот термин означает. Многие историки сегодня переводят это слово на линейную алгебру . В этой главе процесс исключения Гаусса и обратной замены используется для решения систем уравнений со многими неизвестными. [20] Задачи решались на счетной доске и включали в себя использование как отрицательных чисел, так и дробей. [20] Счётная доска фактически представляла собой матрицу , где верхняя строка — это первая переменная одного уравнения, а нижняя — последняя. [20]
Комментарий Лю Хуэя к «Девяти главам математического искусства» является самым ранним доступным изданием оригинального текста. [21] Многие считают, что Хуэй стал математиком вскоре после династии Хань. В своем комментарии Хуэй уточнил и доказал некоторые проблемы с алгебраической или геометрической точки зрения. [18] Например, в «Девяти главах математического искусства » значение числа «пи» принимается равным трем в задачах, касающихся кругов и сфер. [16] В своем комментарии Лю Хуэй находит более точную оценку числа Пи, используя метод исчерпывания . [16] Этот метод предполагает создание последовательных многоугольников внутри круга, так что в конечном итоге площадь многоугольника более высокого порядка будет идентична площади круга. [16] Используя этот метод, Лю Хуэй установил, что значение числа Пи составляет около 3,14. [4] Лю Хуэй также представил геометрическое доказательство извлечения квадратного и кубического корня, аналогичное греческому методу, который включал разрезание квадрата или куба на любой прямой или секции и определение квадратного корня через симметрию остальных прямоугольников. [27]
В третьем веке Лю Хуэй написал свой комментарий к Девяти главам, а также написал Хайдао Суаньцзин , в котором речь шла об использовании теоремы Пифагора (уже известной по девяти главам) и тройной, четверной триангуляции для геодезии; его достижения в области математических изысканий на тысячелетие превзошли достижения Запада. [28] Он был первым китайским математиком, вычислившим π = 3,1416 с помощью своего π -алгоритма . Он обнаружил использование принципа Кавальери для нахождения точной формулы объема цилиндра, а также разработал элементы исчисления бесконечно малых в III веке нашей эры.
В четвертом веке другой влиятельный математик по имени Цзу Чунчжи представил Да Мин Ли. Этот календарь был специально рассчитан для предсказания множества космологических циклов, которые произойдут в определенный период времени. О его жизни на самом деле известно очень мало. Сегодня единственными источниками являются «Книга Суй» , теперь мы знаем, что Цзу Чунчжи был одним из поколений математиков. Он использовал пи-алгоритм Лю Хуэя, примененный к 12288-угольникам, и получил значение числа пи с точностью до 7 десятичных знаков (между 3,1415926 и 3,1415927), что останется наиболее точным приближением числа π, доступным в течение следующих 900 лет. Он также применил интерполяцию Хэ Чэнтяня для аппроксимации иррационального числа дробью в своих астрономических и математических работах, которые он получил как хорошее приближение дроби для числа Пи; Ёсио Миками заметил, что ни греки, ни индусы, ни арабы не знали об этом приближении дроби к числу пи, пока голландский математик Адриан Антонисзум не открыл его заново в 1585 году, «поэтому китайцы обладали этим самым необычным из всех дробных значений за всю историю человечества». на целое тысячелетие раньше, чем Европа». [29]
Вместе со своим сыном Цзу Гэном Цзу Чунчжи применил принцип Кавальери, чтобы найти точное решение для расчета объема сферы. Помимо формул для объема сферы, его книга также включала формулы кубических уравнений и точное значение числа Пи. Его работа «Чжуй Шу» была исключена из программы математики во времена династии Сун и утеряна. Многие считали, что Чжуй Шу содержит формулы и методы линейной , матричной алгебры , алгоритм вычисления значения π , формулы объёма сферы. Текст должен также ассоциироваться с его астрономическими методами интерполяции, которые содержали бы знания, подобные нашей современной математике.
Математическое руководство под названием « Математическая классика Сунзи», датированное периодом между 200 и 400 годами нашей эры, содержало наиболее подробное пошаговое описание алгоритма умножения и деления со счетными палочками. Любопытно, что Сунзи , возможно, повлиял на развитие систем стоимости мест и систем стоимости мест и связанного с ними подразделения Галер на Западе. Европейские источники узнали о методах определения стоимости в 13 веке из латинского перевода работы Аль-Хорезми начала 9 века . Представление Хорезми почти идентично алгоритму деления в Сунци , даже в отношении стилистических вопросов (например, использование пробелов для обозначения конечных нулей); сходство предполагает, что результаты, возможно, не были независимым открытием. Исламские комментаторы работы Аль-Хорезми считали, что она в первую очередь обобщает индуистские знания; Неспособность аль-Хорезми процитировать свои источники затрудняет определение того, научились ли эти источники этой процедуре в Китае. [30]
В пятом веке в руководстве под названием « Чжан Цюцзянь суаньцзин » обсуждались линейные и квадратные уравнения. К этому моменту у китайцев уже была концепция отрицательных чисел .
Во времена династии Тан изучение математики было довольно стандартным в великих школах. «Десять вычислительных канонов» представляли собой сборник из десяти китайских математических работ, составленный математиком ранней династии Тан Ли Чуньфэном (李淳風 602–670) в качестве официальных математических текстов для императорских экзаменов по математике. Династии Суй и Тан управляли «Школой вычислений». [31]
Ван Сяотун был великим математиком в начале династии Тан , и он написал книгу: Цзигу Суаньцзин ( Продолжение древней математики ), где впервые появляются численные решения общих кубических уравнений. [32]
Первые знания по математике (арифметике) тибетцы получили из Китая во время правления Намри сронг бцана , умершего в 630 году. [33] [34]
Таблицы синусов индийского математика Арьябхаты были переведены в китайскую математическую книгу Кайюань Чжаньцзин , составленную в 718 году нашей эры во времена династии Тан. [35] Хотя китайцы преуспели в других областях математики, таких как твердотельная геометрия , биномиальная теорема и сложные алгебраические формулы, ранние формы тригонометрии не получили такого широкого признания, как в современной индийской и исламской математике . [36]
И Сину , математику и буддийскому монаху, приписывают вычисление таблицы касательных. Вместо этого ранние китайцы использовали эмпирическую замену, известную как чунг ча , в то время как практическое использование плоской тригонометрии для использования синуса, тангенса и секанса было известно. [36] И Син был известен своим гением и, как известно, рассчитал количество возможных позиций в настольной игре го (хотя без символа нуля у него были трудности с выражением числа).
Математик династии Северная Сун Цзя Сянь разработал аддитивный мультипликативный метод извлечения квадратного и кубического корня, который реализовал правило «Хорнера». [37]
Четыре выдающихся математика возникли во времена династий Сун и Юань , особенно в двенадцатом и тринадцатом веках: Ян Хуэй , Цинь Цзюшао , Ли Чжи (Ли Е) и Чжу Шицзе . Ян Хуэй, Цинь Цзюшао, Чжу Шицзе шестьсот лет назад использовали метод Хорнера - Руффини для решения определенных типов одновременных уравнений, корней, квадратных, кубических уравнений и уравнений четвертой степени. Ян Хуэй также был первым человеком в истории, который открыл и доказал « треугольник Паскаля », а также его биномиальное доказательство (хотя самое раннее упоминание о треугольнике Паскаля в Китае существует до одиннадцатого века нашей эры). Ли Чжи, с другой стороны, исследовал форму алгебраической геометрии, основанную на тянь юань шю . Его книга; Цэюань Хайцзин произвел революцию в идее вписания круга в треугольники, превратив эту геометрическую задачу с помощью алгебры вместо традиционного метода использования теоремы Пифагора. Го Шоуцзин того времени также работал над сферической тригонометрией для точных астрономических расчетов. На этом этапе математической истории многие современные западные математики уже были открыты китайскими математиками. На какое-то время все стихло, пока не наступил Ренессанс китайской математики в тринадцатом веке. Это привело к тому, что китайские математики решали уравнения методами, которые Европа не знала до восемнадцатого века. Кульминацией этой эпохи стали две книги Чжу Шицзе « Суаньсюэ цимэн» и « Нефритовое зеркало четырех неизвестных» . Сообщается, что в одном случае он предложил метод, эквивалентный стержневой конденсации Гаусса .
Цинь Цзюшао ( ок. 1202 – 1261) был первым, кто ввёл в китайскую математику символ нуля ». [38] До этого нововведения в системе счётных палочек вместо нулей использовались пробелы . [39] Один из наиболее Важным вкладом Цинь Цзюшао был его метод решения числовых уравнений высокого порядка. Ссылаясь на решение Цинь уравнения четвертого порядка, Ёсио Миками выразился так: «Кто может отрицать тот факт, что выдающийся процесс Горнера использовался в Китае, по крайней мере, в течение почти шести долгих столетий?» раньше, чем в Европе?» [40] Цинь также решил уравнение 10-го порядка. [41]
Треугольник Паскаля впервые был проиллюстрирован в Китае Ян Хуэем в его книге «Сянцзе Цзючжан Суанфа» (詳解九章算法), хотя ранее около 1100 года он был описан Цзя Сянем . [42] Хотя «Введение в вычислительные исследования» (算學啓蒙), написанное Чжу Шицзе ( фл. 13 век) в 1299 году, не содержало ничего нового в китайской алгебре, оно оказало большое влияние на развитие японской математики . [43]
Цейюань хайцзин ( китайский :測圓海鏡; пиньинь : Cèyuán Hώijìng ), или Морское зеркало измерений круга , представляет собой сборник из 692 формул и 170 задач, связанных с вписанным кругом в треугольник, написанный Ли Чжи (или Ли Е). ) (1192–1272 гг. н.э.). Он использовал Тянь юань шу для преобразования сложных геометрических задач в задачи чистой алгебры. Затем он использовал фан фа , или метод Горнера , для решения уравнений степени до шести, хотя он не описал свой метод решения уравнений. [44] «Ли Чжи (или Ли Е, 1192–1279), пекинский математик, которому Хубилай-хан предложил в 1206 году правительственный пост, но он вежливо нашел предлог, чтобы отклонить его. Его Цзэ-юань хай-цзин (« Морское зеркало измерений круга ») включает 170 задач, касающихся[...]некоторых задач, приводящих к полиномиальным уравнениям шестой степени.Хотя он не описал свой метод решения уравнений, оказывается, что он был не очень Метод Хорнера отличался от того, который использовали Чу Ши-цзе и Хорнер. Другими, кто использовал метод Хорнера, были Цинь Цзю-шао (ок. 1202 – ок. 1261) и Ян Хуэй (ок. 1261–1275).
«Нефритовое зеркало четырех неизвестных» было написано Чжу Шицзе в 1303 году нашей эры и знаменует собой пик развития китайской алгебры. Четыре элемента, называемые небом, землей, человеком и материей, представляли четыре неизвестных величины в его алгебраических уравнениях. Речь идет об одновременных уравнениях и уравнениях степени до четырнадцати. Для решения этих уравнений автор использует метод веера fa , сегодня называемый методом Горнера. [45]
В «Зеркале» есть много уравнений рядов суммирования, приведенных без доказательства . Вот некоторые из серий суммирования: [46]
«Математический трактат в девяти разделах» был написан богатым правителем и министром Цинь Цзю-шао ( ок. 1202 – ок. 1261 ) и с изобретением метода решения одновременных сравнений знаменует собой высшую точку китайской неопределенности. анализ. [44]
Самые ранние известные магические квадраты порядка больше трех приписываются Ян Хуэю (ок. 1261–1275), который работал с магическими квадратами порядка десяти. [47] «То же устройство «Горнера» использовал Ян Хуэй, о жизни которого почти ничего не известно и чьи работы сохранились лишь частично. Среди его дошедших до нас вкладов - самые ранние китайские магические квадраты порядка больше трех, в том числе по два от каждого порядка с четвертого по восьмой и по одному от каждого порядка с девятого и десятого». Он также работал с магическим кругом .
Зачаточное состояние тригонометрии в Китае начало медленно меняться и развиваться во время династии Сун (960–1279), когда китайские математики начали уделять больше внимания необходимости сферической тригонометрии в календарной науке и астрономических расчетах. [36] Эрудит и чиновник Шэнь Го (1031–1095) использовал тригонометрические функции для решения математических задач хорд и дуг. [36] Джозеф В. Добен отмечает, что в формуле Шена «техника пересекающихся кругов» он создает аппроксимацию дуги окружности s выражением s = c + 2 v 2 / d , где d — диаметр , v — versine , c — длина хорды c , стягивающей дугу. [48] Сал Рестиво пишет, что работа Шена по длинам дуг окружностей послужила основой сферической тригонометрии , разработанной в 13 веке математиком и астрономом Го Шоуцзином (1231–1316). [49] Гоше и Нидэм заявляют, что Го использовал сферическую тригонометрию в своих расчетах для улучшения китайского календаря и астрономии . [36] [50] Наряду с поздней китайской иллюстрацией математических доказательств Го 17-го века, Нидхэм пишет:
Го использовал четырехугольную сферическую пирамиду, базальный четырехугольник которой состоял из одной экваториальной и одной эклиптической дуги вместе с двумя дугами меридиана , одна из которых проходила через точку летнего солнцестояния ... Такими методами он смог получить ду люй. (градусы экватора, соответствующие градусам эклиптики), джи ча (значения хорд для заданных дуг эклиптики) и ча лю (разница между хордами дуг, отличающихся на 1 градус). [51]
Несмотря на достижения работ Шэня и Го в области тригонометрии, еще одна существенная работа по китайской тригонометрии не будет опубликована снова до 1607 года, когда « Начала Евклида» были опубликованы одновременно китайским чиновником и астрономом Сюй Гуанци (1562–1633) и итальянским иезуитом Маттео Риччи. (1552–1610). [52]
После свержения династии Юань Китай стал с подозрением относиться к знаниям, предпочитаемым монголами. Суд отказался от математики и физики в пользу ботаники и фармакологии . Имперские экзамены включали мало математики, и то немногое, что они включали, игнорировало последние события. Марцлов пишет:
В конце XVI века китайская автохтонная математика, известная самим китайцам, почти не представляла собой ничего, немногим больше, чем расчет на счетах, тогда как в XVII и XVIII веках ничто не могло сравниться с революционным прогрессом на театре европейской науки. . Более того, в этот же период никто не мог сообщить о том, что происходило в более отдаленном прошлом, поскольку сами китайцы имели об этом лишь отрывочные сведения. Не следует забывать, что в самом Китае автохтонная математика не была заново открыта в больших масштабах до последней четверти XVIII века. [53]
Соответственно, ученые меньше внимания уделяли математике; выдающиеся математики, такие как Гу Инсян и Тан Шуньчжи, похоже, не знали о методе «умножить, умножить» . [54] Без устных собеседников, которые могли бы их объяснить, тексты быстро становились непонятными; что еще хуже, большинство проблем можно решить более элементарными методами. Таким образом, для среднего ученого Тяньюань казалась нумерологией. Когда У Цзин сопоставил все математические труды предыдущих династий в « Аннотациях вычислений в девяти главах математического искусства» , он опустил Тянь юань шу и метод увеличения умножения. [55] [ не удалось проверить ]
Вместо этого математический прогресс сосредоточился на вычислительных инструментах. В 15 веке счеты приобрели форму суан-пан . Простой в использовании и переноске, быстрый и точный, он быстро вытеснил стержневой исчисление как предпочтительную форму вычислений. Чжусуань , арифметические вычисления на счетах, вдохновил на создание множества новых работ. Суанфа Тунцзонг («Общий источник вычислительных методов»), 17-томный труд, опубликованный в 1592 году Ченг Давеем , использовался более 300 лет. [ нужна цитация ] Чжу Цзайюй, принц Чжэн, использовал 81-позиционные счеты для вычисления квадратного корня и кубического корня с точностью от 2 до 25 цифр, точность, которая позволила ему разработать систему равного темперамента .
Хотя переход от счетных палочек к счетам позволил сократить время вычислений, он также мог привести к застою и упадку китайской математики. Богатое расположение цифр на счетных стержнях на счетных досках вдохновило китайцев на многие изобретения в математике, такие как принцип перекрестного умножения дробей и методы решения линейных уравнений. Точно так же японские математики находились под влиянием расположения цифр на счетных стержнях при определении понятия матрицы. Алгоритмы счетов не привели к аналогичным концептуальным достижениям. (Это различие, конечно, современное: до 20-го века китайская математика была исключительно вычислительной наукой. [56]
В конце 16 века Маттео Риччи решил публиковать западные научные труды, чтобы занять должность при императорском дворе. С помощью Сюй Гуанци он смог перевести « Начала » Евклида , используя те же методы, которые используются для преподавания классических буддийских текстов. [57] Другие миссионеры последовали его примеру, переводя западные работы по специальным функциям (тригонометрии и логарифмам), которыми пренебрегали в китайской традиции. [58] Однако современные учёные сочли акцент на доказательствах, а не на решённых задачах, сбивающим с толку, и большинство из них продолжали работать только на классических текстах. [59]
При императоре Канси , который изучал западную математику у иезуитов и был открыт для внешних знаний и идей, китайская математика пользовалась кратким периодом официальной поддержки. [60] По указанию Канси Мэй Гоучэн и трое других выдающихся математиков составили 53-томный труд под названием Шули Цзинъюнь («Сущность математического исследования»), который был напечатан в 1723 году и дал систематическое введение в западные математические знания. [61] В то же время Мэй Гоучэн также развился до Мэйши Цуншу Цзияна [Сборник сочинений Мэй]. Мэйши Цуншу Цзиян представлял собой энциклопедическое изложение почти всех школ китайской математики того времени, но оно также включало межкультурные работы Мэй Вэньдинга (1633–1721), дедушки Гоучэна. [62] [63] Предприятие стремилось облегчить трудности для китайских математиков, работающих над западной математикой, при отслеживании цитат. [64]
Однако едва были изданы энциклопедии, как император Юнчжэн взошел на престол. Юнчжэн внес резкий антизападный поворот в китайскую политику и изгнал большинство миссионеров из двора. Не имея доступа ни к западным текстам, ни к понятным китайским текстам, китайская математика находилась в застое.
В 1773 году император Цяньлун решил составить Полную библиотеку Четырех сокровищниц (или Сику Цюаньшу ). Дай Чжэнь (1724–1777) выбрал и вычитал «Девять глав математического искусства» из энциклопедии Юнлэ и несколько других математических работ династий Хань и Тан. [65] Давно пропавшие математические работы династий Сун и Юань, такие как Си-юань Ю-цзянь и Цюань Хайцзин , также были найдены и напечатаны, что непосредственно привело к волне новых исследований. [56] Наиболее аннотированными работами были «Цзючжан суаньшу ксиаотушуо» («Иллюстрации процесса вычислений для девяти глав математического искусства »), предоставленные Ли Хуаном, и Сиюань юйцзянь сякао («Подробное объяснение Си-юань юй-цзянь») Ло Шилиня. [66]
В 1840 году Первая опиумная война вынудила Китай открыть свои двери и взглянуть на внешний мир, что также привело к притоку западных математических исследований темпами, не имеющими себе равных в предыдущие столетия. В 1852 году китайский математик Ли Шаньлан и британский миссионер Александр Уайли совместно перевели последние девять томов « Элементов» и 13 томов по алгебре . [67] [68] С помощью Джозефа Эдкинса вскоре последовали новые работы по астрономии и исчислению. Китайские ученые поначалу не были уверены, стоит ли подходить к новым работам: было ли изучение западных знаний формой подчинения иностранным захватчикам ? Но к концу века стало ясно, что Китай может начать восстанавливать свой суверенитет только путем внедрения западных достижений. Китайские ученые, обучавшиеся в западных миссионерских школах на основе (переведенных) западных текстов, быстро потеряли связь с местной традицией. Те, кто обучался самостоятельно или принадлежал к традиционалистским кругам, тем не менее продолжали работать в традиционных рамках алгоритмической математики, не прибегая к западному символизму. [69] Однако, как отмечает Марцлофф, «с 1911 года в Китае практикуется исключительно западная математика». [70]
Китайская математика пережила мощный всплеск возрождения после создания современной китайской республики в 1912 году . С тех пор современные китайские математики добились многочисленных достижений в различных математических областях.
Некоторые известные современные этнические китайские математики включают:
В 1949 году, в начале основания Китайской Народной Республики, правительство уделяло большое внимание делу науки, хотя страна находилась в затруднительном положении из-за нехватки средств. Китайская академия наук была основана в ноябре 1949 года. Институт математики был официально основан в июле 1952 года. Затем Китайское математическое общество и его учредительные журналы восстановили и добавили другие специальные журналы. За 18 лет после 1949 года количество опубликованных статей более чем в три раза превысило общее количество статей до 1949 года. Многие из них не только заполнили пробелы в прошлом Китая, но и достигли передового мирового уровня. [74]
Во время хаоса Культурной революции наука пришла в упадок. В области математики, помимо Чэнь Цзинжуня, Хуа Луоген, Чжан Гуанхоу и другие математики изо всех сил пытаются продолжить свою работу. После катастрофы, с публикацией литературной книги Го Моро «Весна науки», китайские науки и математика пережили возрождение. В 1977 г. в Пекине был сформулирован новый план развития математики, была возобновлена работа математического общества, переиздан журнал, стал издаваться академический журнал, усилилось математическое образование, усилились фундаментальные теоретические исследования. [74]
Важным математическим достижением китайского математика в направлении системы власти является то, как Ся Чжихун доказал гипотезу Пенлеве в 1988 году. При наличии некоторых начальных состояний N небесных тел одно из небесных тел убегало до бесконечности или скорости за ограниченное время. время. Достигнута бесконечность, т. е. имеются нестолкновительные особенности. Гипотеза Пенлеве - важная гипотеза в области энергетических систем, предложенная в 1895 году. Очень важным недавним развитием проблемы четырех тел является то, что Сюэ Цзиньсинь и Долгопят доказали особенность отсутствия столкновений в упрощенной версии системы четырех тел. примерно в 2013 году. [75]
Кроме того, в 2007 году Шен Вэйсяо и Козловски Ван-Стриен доказали гипотезу реального Фату : вещественные гиперболические многочлены плотны в пространстве вещественных многочленов с фиксированной степенью. Эту гипотезу можно проследить до Фату в 1920-х годах, а позже Смейла сформулировал ее в 1960-х годах. Доказательство гипотезы Реального Фату — одно из наиболее важных достижений в области конформной динамики за последнее десятилетие. [75]
По сравнению с другими странами-участницами Международной математической олимпиады , Китай имеет самые высокие командные результаты и наибольшее количество раз выигрывал золото IMO для всех членов с полной командой. [76]
Первое упоминание о книге, используемой при изучении математики в Китае, датируется вторым веком нашей эры ( Хоу Ханьшу : 24, 862; 35,1207). Нам говорят, что Ма Сюй, молодой человек c. 110 , и Чжэн Сюань (127–200) изучали Девять глав, посвященных математическим процедурам . Кристофер Каллен утверждает, что математика, как и медицина, преподавалась устно. Стилистика Суань сю из Чжанцзяшаня позволяет предположить, что текст был собран из различных источников, а затем подвергся кодификации. [77]
{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)...гНам-ри сронг бцан, умерший в 630 году. Во время его правления тибетцы получили свои первые знания в арифметике и медицине из Китая.
В шестом веке тибетцы получили свои первые знания в арифметике и медицине от китайцев.
{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link){{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь ){{cite book}}: CS1 maint: date and year (link)
В эту статью включен текст из « Британской энциклопедии: словаря искусств, наук, литературы и общей информации», том 26 , Хью Чизхолма, публикации 1911 года, которая сейчас находится в свободном доступе в Соединенных Штатах. В эту статью включен текст из « Жизни Будды и ранней истории его ордена», взятый из тибетских работ в Бках-хгюр и Бстан-хгьюр, за которыми следуют заметки о ранней истории Тибета и Хотена , переведенные Уильямом Вудвиллом Рокхиллом, Эрнст Леуманн, Бунью Наньцзио, публикация 1907 года, сейчас находящаяся в свободном доступе в США.