Математика во время Золотого века ислама , особенно в течение IX и X веков, была построена на греческой математике ( Евклид , Архимед , Аполлоний ) и индийской математике ( Арьябхата , Брахмагупта ). Был достигнут важный прогресс, такой как полная разработка десятичной системы разрядов, включающая десятичные дроби , первое систематизированное изучение алгебры , а также достижения в геометрии и тригонометрии . [1]
Средневековый исламский мир претерпел значительные изменения в математике. Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми сыграл ключевую роль в этой трансформации, представив алгебру как отдельную область в 9 веке. Подход Аль-Хорезми , отошедший от более ранних арифметических традиций, заложил основу для арифметизации алгебры , оказав влияние на математическую мысль на длительный период. Преемники, такие как аль-Караджи, расширили его работу, внося свой вклад в развитие различных математических областей. Практичность и широкая применимость этих математических методов способствовали распространению арабской математики на Западе, внося существенный вклад в развитие западной математики. [2]
Арабские математические знания распространялись по различным каналам в эпоху средневековья , благодаря практическому применению методов аль-Хорезми . На это распространение повлияли не только экономические и политические факторы, но и культурные обмены, примером которых являются такие события, как крестовые походы и переводческое движение. Золотой век ислама , продолжавшийся с 8 по 14 века, ознаменовал период значительного прогресса в различных научных дисциплинах, привлекая ученых из средневековой Европы, ищущих доступ к этим знаниям. Торговые пути и культурные взаимодействия сыграли решающую роль в представлении арабских математических идей на Западе. Перевод арабских математических текстов, а также греческих и римских работ в XIV-XVII веках сыграл ключевую роль в формировании интеллектуального ландшафта эпохи Возрождения .
Арабская математика, особенно алгебра, получила значительное развитие в период средневековья . Работа Мухаммада ибн Мусы аль-Хорезми ( араб . محمد بن موسى الخوارزمي ; ок. 780 – ок. 850 ) между 813 и 833 годами нашей эры в Багдаде стала поворотным моментом. Он ввел термин «алгебра» в название своей книги « Китаб аль-джабр ва аль-мукабала », обозначив ее как отдельную дисциплину. Он считал свою работу «краткой работой по вычислениям по (правилам) завершения». и сокращение, ограничивая его тем, что проще и полезнее в арифметике». [3] Позже люди отметили, что его работа была не просто теоретическим трактатом, но и практическим, направленным на решение проблем в таких областях, как торговля и землемерие.
Подход Аль-Хорезми был новаторским в том смысле, что он не возник из какой-либо предыдущей «арифметической» традиции, включая традицию Диофанта . Он разработал новый словарь алгебры, различая чисто алгебраические термины и термины, общие для арифметики. Аль-Хорезми заметил, что представление чисел имеет решающее значение в повседневной жизни. Таким образом, он хотел найти или обобщить способ упростить математическую операцию, названную позже алгеброй. [3] Его алгебра первоначально была сосредоточена на линейных и квадратных уравнениях и элементарной арифметике биномов и трехчленов. Этот подход, который включал решение уравнений с использованием радикалов и связанные с ним алгебраические вычисления, повлиял на математическое мышление еще долго после его смерти.
Доказательство Аль-Хорезми правила решения квадратных уравнений вида (ax^2 + bx = c), обычно называемого «квадраты плюс корни равные числа», было монументальным достижением в истории алгебры. Этот прорыв заложил основу для систематического подхода к решению квадратных уравнений, который стал фундаментальным аспектом алгебры по мере ее развития в западном мире. [4] Метод Аль-Хорезми, который включал заполнение квадрата, не только обеспечил практическое решение уравнений этого типа, но также представил абстрактный и обобщенный подход к математическим проблемам. Его работа, воплощенная в его основополагающем тексте «Аль-Китаб аль-Мухтасар фи Хисаб аль-Джабр валь-Мукабала» («Сводная книга по расчетам путем завершения и балансировки»), была переведена на латынь в XII веке. Этот перевод сыграл решающую роль в передаче алгебраических знаний в Европу, оказав значительное влияние на математиков эпохи Возрождения и определив эволюцию современной математики. [4] Вклад Аль-Хорезми, особенно его доказательство квадратных уравнений, являются свидетельством богатого математического наследия исламского мира и его непреходящего влияния на западную математику.
Распространению арабской математики на Запад способствовало несколько факторов. Практичность и общая применимость методов аль-Хорезми были значительными. Они были разработаны для преобразования числовых или геометрических задач в уравнения нормальной формы, приводящие к каноническим формулам решения. Его работа и работа его преемников, таких как аль-Караджи, заложили основу для достижений в различных математических областях, включая теорию чисел , численный анализ и рациональный диофантов анализ . [5]
Алгебра Аль-Хорезми была автономной дисциплиной со своей исторической перспективой, что в конечном итоге привело к «арифметизации алгебры». Его преемники расширили его работу, адаптировав ее к новым теоретическим и техническим задачам и переориентировав ее в сторону более арифметического направления абстрактных алгебраических вычислений.
Арабская математика, воплощенная в работах аль-Хорезми, сыграла решающую роль в формировании математического ландшафта. Его распространение на Запад было обусловлено его практическим применением, расширением математических концепций его преемниками, а также переводом и адаптацией этих идей в западный контекст. Это распространение представляло собой сложный процесс, включающий экономику, политику и культурный обмен, сильно повлиявший на западную математику.
Период, известный как Золотой век ислама (8-14 века), характеризовался значительными достижениями в различных областях, включая математику . Ученые исламского мира внесли значительный вклад в математику , астрономию , медицину и другие науки . В результате интеллектуальные достижения исламских ученых привлекли внимание ученых средневековой Европы, которые стремились получить доступ к этому богатству знаний. Торговые пути, такие как Шелковый путь , способствовали перемещению товаров, идей и знаний между Востоком и Западом. Такие города, как Багдад , Каир и Кордова , стали центрами обучения и привлекли ученых из разных культур. Таким образом, математические знания из исламского мира попали в Европу по различным каналам. Тем временем крестовые походы связали западных европейцев с исламским миром. Хотя основной целью крестовых походов была военная деятельность, происходил также культурный обмен и знакомство с исламскими знаниями, включая математику. Европейские ученые, посетившие Святую Землю и другие части исламского мира, получили доступ к арабским рукописям и математическим трактатам. В XIV–XVII веках перевод арабских математических текстов, наряду с греческими и римскими , сыграл решающую роль в формировании интеллектуального ландшафта эпохи Возрождения. Такие фигуры, как Фибоначчи , который учился в Северной Африке и на Ближнем Востоке, помогли представить и популяризировать арабские цифры и математические концепции в Европе.
Изучение алгебры , название которой происходит от арабского слова, означающего завершение или «воссоединение сломанных частей», [6] процветало в период золотого века ислама . Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми , персидский учёный из Дома Мудрости в Багдаде , был основателем алгебры, наряду с греческим математиком Диофантом , известным как отец алгебры. В своей книге «Сборник вычислений путем завершения и балансировки» Аль-Хорезми рассматривает способы поиска положительных корней полиномиальных уравнений первой и второй степени (линейных и квадратных) . Он вводит метод приведения и, в отличие от Диофанта, дает еще и общие решения уравнений, которыми занимается. [7] [8] [9]
Алгебра Аль-Хорезми была риторической, а это значит, что уравнения записывались полными предложениями. Это отличалось от алгебраической работы Диофанта, которая была синкопирована, то есть использовалась некоторая символика. Переход к символической алгебре, где используются только символы, можно увидеть в работах Ибн аль-Банны аль-Марракуши и Абу аль-Хасана ибн Али аль-Калашади . [10] [9]
О работе, проделанной Аль-Хорезми, Дж. Дж. О'Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон сказали: [11]
«Возможно, одно из самых значительных достижений арабской математики началось в это время с работы аль-Хорезми, а именно с зарождения алгебры. Важно понять, насколько значимой была эта новая идея. Это был революционный шаг в сторону от греческая концепция математики, которая, по сути, была геометрией. Алгебра была объединяющей теорией, которая позволяла рассматривать рациональные числа , иррациональные числа , геометрические величины и т. д. как «алгебраические объекты». Она дала математике совершенно новый путь развития, гораздо более широкий в концепции к тому, что существовало раньше, и обеспечило средство для будущего развития предмета. Другим важным аспектом введения алгебраических идей было то, что оно позволило применить математику к самой себе таким образом, чего раньше не было».
Несколько других математиков в этот период расширили алгебру Аль-Хорезми. Абу Камиль Шуджа написал книгу по алгебре, сопровождаемую геометрическими иллюстрациями и доказательствами. Он также перечислил все возможные решения некоторых своих проблем. Абу аль-Джуд , Омар Хайям вместе с Шараф ад-Дином ат-Туси нашли несколько решений кубического уравнения . Омар Хайям нашел общее геометрическое решение кубического уравнения. [ нужна цитата ]
Омар Хайям (ок. 1038/48 в Иране – 1123/24) [12] написал «Трактат о демонстрации задач алгебры», содержащий систематическое решение кубических уравнений или уравнений третьего порядка , выходящий за рамки « Алгебры аль-Хорезми». [13] Хайям получил решения этих уравнений, найдя точки пересечения двух конических сечений . Этот метод использовался греками [14] , но они не обобщили его, чтобы охватить все уравнения с положительными корнями . [13]
Шараф ад-Дин ат-Туси (? в Тусе, Иран – 1213/4) разработал новый подход к исследованию кубических уравнений — подход, который заключался в нахождении точки, в которой кубический многочлен получает максимальное значение. Например, чтобы решить уравнение с положительными a и b , он должен отметить, что максимальная точка кривой возникает в точке , и что уравнение не будет иметь решений, одно решение или два решения, в зависимости от того, будет ли высота кривой в этот момент было меньше, равно или больше . Его сохранившиеся работы не дают никаких указаний на то, как он обнаружил формулы максимумов этих кривых. Были выдвинуты различные гипотезы, объясняющие их открытие. [15]
Самые ранние неявные следы математической индукции можно найти в доказательстве Евклида бесконечности числа простых чисел (ок. 300 г. до н. э.). Первая явная формулировка принципа индукции была дана Паскалем в его «Трактате о треугольной арифметике» (1665).
Между тем, неявное доказательство индукцией для арифметических последовательностей было введено аль-Караджи (ок. 1000 г.) и продолжено ас -Самавалем , который использовал его для особых случаев биномиальной теоремы и свойств треугольника Паскаля .
Греки открыли иррациональные числа , но не были ими довольны и смогли справиться только с проведением различия между величиной и числом . С точки зрения греков, величины постоянно менялись и могли использоваться для таких объектов, как отрезки линий, тогда как числа были дискретными. Следовательно, с иррациональными числами можно обращаться только геометрически; и действительно, греческая математика была в основном геометрической. Исламские математики, в том числе Абу Камиль Шуджа ибн Аслам и Ибн Тахир аль-Багдади , постепенно устранили различие между величиной и числом, позволив иррациональным величинам появляться в качестве коэффициентов в уравнениях и быть решениями алгебраических уравнений. [16] [17] Они свободно работали с иррациональными числами как с математическими объектами, но не исследовали внимательно их природу. [18]
В двенадцатом веке латинские переводы « Арифметики индийских цифр » Аль-Хорезми представили западному миру десятичную позиционную систему счисления . [19] Его Сборная книга по расчетам путем завершения и балансировки представила первое систематическое решение линейных и квадратных уравнений . В Европе эпохи Возрождения его считали первооткрывателем алгебры, хотя сейчас известно, что его работы основаны на более древних индийских или греческих источниках. [20] [21] Он пересмотрел «Географию » Птолемея и написал по астрономии и астрологии. Однако К.А. Наллино предполагает, что первоначальная работа аль-Хорезми была основана не на Птолемее, а на производной карте мира, [22] предположительно на сирийском или арабском языке .
Сферический закон синусов был открыт в 10 веке: его по-разному приписывали Абу-Махмуду Ходжанди , Насиру ад-Дину ат-Туси и Абу Насру Мансуру , а также Абу аль-Вафе Бузджани . [16] Книга Ибн Муада аль-Джайани « Книга неизвестных дуг сферы» в 11 веке представила общий закон синусов. [23] Плоский закон синусов был описан в 13 веке Насир ад-Дином ат-Туси . В своей работе «О секторной фигуре» он сформулировал закон синусов для плоских и сферических треугольников и привел доказательства этого закона. [24]
В 9 веке исламские математики были знакомы с отрицательными числами из работ индийских математиков, но признание и использование отрицательных чисел в этот период оставалось робким. [25] Аль-Хорезми не использовал отрицательные числа или отрицательные коэффициенты. [25] Но в течение пятидесяти лет Абу Камиль проиллюстрировал правила знаков для расширения умножения . [26] Аль-Караджи написал в своей книге « Аль-Фахри », что «отрицательные величины следует считать членами». [25] В 10 веке Абу аль-Вафа аль-Бузджани рассматривал долги как отрицательные числа в « Книге о том, что необходимо из науки арифметики для писцов и бизнесменов» . [26]
К XII веку преемники аль-Караджи должны были сформулировать общие правила знаков и использовать их для решения полиномиального деления . [25] Как пишет ас-Самаваль :
произведение отрицательного числа — ан-накиш — на положительное число — аз-заид — отрицательно, а на отрицательное число — положительно. Если мы вычтем отрицательное число из большего отрицательного числа, остаток будет их отрицательной разницей. Разница останется положительной, если мы вычтем отрицательное число из меньшего отрицательного числа. Если из положительного числа вычесть отрицательное число, то остаток будет их положительной суммой. Если мы вычтем положительное число из пустой степени ( мартаба халия ), остаток будет таким же отрицательным, а если мы вычтем отрицательное число из пустой степени, остаток будет тем же положительным числом. [25]
Между 9 и 10 веками египетский математик Абу Камиль написал ныне утерянный трактат об использовании двойной ложной позиции, известный как «Книга двух ошибок» ( Китаб аль-Хатаайн ). Самым старым из сохранившихся сочинений о двойной ложной позиции на Ближнем Востоке является сочинение Кусты ибн Луки (10 век), арабского математика из Баальбека , Ливан . Он обосновал эту технику формальным геометрическим доказательством в евклидовом стиле . В традиции мусульманской математики Золотого века двойная ложная позиция была известна как хисаб аль-хатаайн («расчет по двум ошибкам»). Он использовался на протяжении веков для решения практических проблем, таких как коммерческие и юридические вопросы (раздел имущества в соответствии с правилами наследования Корана ), а также чисто развлекательные проблемы. Алгоритм часто запоминался с помощью мнемоники , такой как стих, приписываемый Ибн аль-Ясамину, и диаграммы весов, объясненные аль-Хассаром и Ибн аль-Банной , каждый из которых был математиком марокканского происхождения. [27]
Влияние средневековой арабо-исламской математики на остальной мир широко и глубоко, как в сфере науки, так и в области математики. Знания арабов проникли в западный мир через Испанию и Сицилию во время переводческого движения. «Мавры (западные мусульмане из той части Северной Африки, которая когда-то называлась Мавританией) перешли в Испанию в начале седьмого века, принося с собой культурные ресурсы арабского мира». [28] В 13 веке король Кастилии Альфонсо X основал Толедскую школу переводчиков в Королевстве Кастилия , где ученые переводили многочисленные научные и философские труды с арабского языка на латынь . Переводы включали исламский вклад в тригонометрию , которая помогает европейским математикам и астрономам в их исследованиях. Европейские ученые, такие как Герард Кремонский (1114–1187), сыграли ключевую роль в переводе и распространении этих произведений, сделав их доступными для более широкой аудитории. Говорят, что Кремона перевел на латынь «не менее 90 полных арабских текстов». [28] Европейские математики, опираясь на фундамент, заложенный исламскими учеными, продолжили разработку практической тригонометрии для применения в навигации, картографии и астрономической навигации, тем самым продвинув эпоху открытий и научной революции. Практическое применение тригонометрии в навигации и астрономии становилось все более важным в эпоху географических открытий.
Аль-Баттани — один из исламских математиков, внесших большой вклад в развитие тригонометрии. Он «ввел новые тригонометрические функции, создал таблицу котангенсов и составил несколько формул сферической тригонометрии». [29] Эти открытия, вместе с его астрономическими работами, которые хвалят за их точность, значительно продвинули астрономические расчеты и инструменты.
Аль-Хайям (1048–1131) был персидским математиком, астрономом и поэтом, известным своими работами по алгебре и геометрии, особенно исследованиями решений кубических уравнений. Он был «первым в истории, кто разработал геометрическую теорию уравнений со степенями ≤ 3» [30] и оказал большое влияние на работы Декарта, французского математика, которого часто считают основателем аналитической геометрии. В самом деле, «читать «Геометрию» Декарта — значит смотреть вверх по течению, на аль-Хайяма и аль-Туси; и вниз по течению, на Ньютона, Лейбница, Крамера, Безу и братьев Бернулли». [30] Многочисленные проблемы, которые появляются в «Геометрии» (Геометрии), имеют основу, восходящую к аль-Хайяму.
Абу Камиль (араб. أبو كامل شجاع بن أسلم بن محمد بن شجاع , также известный как Аль-Хасиб аль-мишри — букв. «Египетский калькулятор») (ок. 850 – ок. 930) изучал алгебру после автор Алгебра , аль-Хорезми. Его Книга по алгебре (Китаб фи аль-джабр ва аль-мукабала) «по сути является комментарием и развитием работы аль-Хорезми; отчасти по этой причине, а отчасти по своим собственным достоинствам, книга пользовалась широкой популярностью в мусульманском мире». мир". [31] Он содержит 69 задач, что больше, чем у аль-Хорезми, у которого в книге было 40. [31] Алгебра Абу Камиля играет значительную роль в формировании траектории западной математики, особенно в ее влиянии на работы итальянского математика Леонардо Пизанского, широко известного как Фибоначчи. В своей «Liber Abaci» (1202 г.) Фибоначчи широко включил идеи арабских математиков, используя примерно 29 задач из «Книги алгебры» с небольшими изменениями. [31]
Несмотря на фундаментальные работы арабских математиков по развитию алгебры и алгебраической геометрии, западные историки XVIII и начала XIX веков по-прежнему считали фактом, что классическая наука и математика были уникальными явлениями Запада. Несмотря на то, что некоторые математические достижения арабских математиков иногда признаются, они считаются «вне истории или интегрированы лишь постольку, поскольку они вносят вклад в науку, которая по сути является европейской» [ 32] и представляют собой лишь некоторые технические инновации в греческом наследии . вместо того, чтобы открыть совершенно новую отрасль математики. В работах французского философа Эрнеста Ренана арабская математика является просто «отражением Греции в сочетании с персидским и индийским влиянием». А по мнению Дюэма , «арабская наука лишь воспроизвела учения, полученные от греческой науки». Помимо того, что математические работы арабских математиков рассматриваются как лишь некоторые незначительные дополнения или размышления к великой традиции греческой классической науки, их также обвиняют в недостатке строгости и слишком сосредоточенности на практических приложениях и вычислениях, и именно поэтому западные историки утверждали, что они никогда не смогут достичь уровень греческих математиков. [32] Как писал Таннери , арабская математика «ни в коей мере не превзошла уровень, достигнутый Диофантом». С другой стороны, они понимали, что западные математики пошли совершенно другим путем как в используемом методе, так и в конечной цели: «отличительной чертой западной науки как в ее греческом происхождении, так и в ее современном возрождении является ее соответствие строгим стандартам». . [32] Таким образом, воспринимаемое нестрогое доказательство в книге арабских математиков позволяет Бурбаки исключить арабский период, когда он проследил эволюцию алгебры. [32] И вместо этого история классической алгебры написана как работа эпохи Возрождения , а происхождение алгебраической геометрии восходит к Декарту, в то время как вклад арабских математиков намеренно игнорируется. По словам Рашеда: «Чтобы оправдать исключение науки, написанной на арабском языке, из истории науки, ссылаются на ее отсутствие строгости, ее расчетливый вид и ее практические цели. норм, ученым того времени была отведена роль совестливых хранителей эллинистического музея». [32]
В Германии и Франции XVIII века преобладала ориенталистская точка зрения: «Восток и Запад противостоят друг другу не как географические, а как исторические позитивности» [32] , которые называли « рационализм » сущностью Запада, в то время как «Зов Востока » «движение, возникшее в XIX веке, интерпретировалось как «против рационализма» [32] и возвращение к более «духовному и гармоничному» образу жизни. Таким образом, преобладающий в тот период ориентализм был одной из основных причин, почему арабских математиков часто игнорировали за их вклад, поскольку считалось, что людям за пределами Запада не хватает необходимой рациональности и научного духа, чтобы внести значительный вклад в математику и науку.
Средневековый арабо-исламский мир сыграл решающую роль в формировании траектории развития математики, а алгебраические инновации аль-Хорезми послужили краеугольным камнем. Распространение арабской математики на Западе во время Золотого века ислама , чему способствовали культурные обмены и переводы, оказало длительное влияние на западную математическую мысль. Такие математики, как Аль-Баттани , Аль-Хайям и Абу Камиль , с их вкладом в тригонометрию , алгебру и геометрию , расширили свое влияние за пределы своего времени. Несмотря на основополагающий вклад арабских математиков, западные историки XVIII и начала XIX веков под влиянием взглядов востоковедов иногда маргинализировали эти достижения. Восток, лишенный рациональности и научного духа, увековечил предвзятую точку зрения, препятствующую признанию значительной роли, которую сыграла арабская математика в развитии алгебры и других математических дисциплин. Переоценка истории математики требует признания взаимосвязи различных математических традиций и развенчания представления об уникальном европейском математическом наследии. Вклад арабских математиков, отмеченный практическими применениями и теоретическими нововведениями, составляет неотъемлемую часть богатого полотна математической истории и заслуживает признания.
Салли П. Рагеп, историк науки в исламе, подсчитала в 2019 году, что «десятки тысяч» арабских рукописей по математическим наукам и философии остаются непрочитанными, в которых содержатся исследования, «отражающие индивидуальные предубеждения и ограниченное внимание к относительно небольшому числу текстов и учёные». [33] [ нужна полная цитата ]
{{cite book}}: |work=игнорируется ( помощь ){{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )Sowjetische Beiträge zur Geschichte der Naturwissenschaft, стр. 62–160.{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )