Теорема Евклида — фундаментальное утверждение теории чисел , утверждающее, что существует бесконечно много простых чисел. Впервые это было доказано Евклидом в его работе «Начала» . Существует несколько доказательств теоремы.
Евклид предложил доказательство, опубликованное в его работе «Начала» (книга IX, предложение 20), [1] , которое здесь перефразировано. [2]
Рассмотрим любой конечный список простых чисел p 1 , p 2 , ..., p n . Будет показано, что существует хотя бы одно дополнительное простое число, которого нет в этом списке. Пусть P — произведение всех простых чисел в списке: P = p 1 p 2 ... p n . Пусть q = P + 1. Тогда q либо простое, либо нет:
Это доказывает, что для каждого конечного списка простых чисел существует простое число, которого нет в списке. [4] В оригинальной работе, поскольку у Евклида не было возможности написать произвольный список простых чисел, он использовал метод, который он часто применял, то есть метод обобщающего примера. А именно, он выбирает всего три простых числа и, используя общий метод, изложенный выше, доказывает, что всегда может найти дополнительное простое число. Евклид, по-видимому, предполагает, что его читатели убеждены, что подобное доказательство сработает, независимо от того, сколько простых чисел будет выбрано изначально. [5]
Часто ошибочно сообщается, что Евклид доказал этот результат от противного, начиная с предположения, что первоначально рассматриваемое конечное множество содержит все простые числа, [6] хотя на самом деле это доказательство по случаям , метод прямого доказательства . Философ Торкель Франзен в книге по логике утверждает: «Доказательство Евклида о том, что существует бесконечно много простых чисел, не является косвенным доказательством [...] Этот аргумент иногда формулируется как косвенное доказательство, заменяя его предположением: «Предположим, что q 1 , ... q n — все простые числа». Однако, поскольку это предположение даже не используется в доказательстве, переформулировка бессмысленна». [7]
Существует несколько вариаций доказательства Евклида, в том числе следующие:
Факториал n ! _ положительного целого числа n делится на каждое целое число от 2 до n , поскольку оно является произведением всех из них. Следовательно, н ! + 1 не делится ни на одно из целых чисел от 2 до n включительно (при делении на каждое из них получается остаток 1). Следовательно, н ! + 1 либо простое, либо делится на простое число, большее n . В любом случае для каждого положительного целого числа n существует хотя бы одно простое число, большее n . Вывод: число простых чисел бесконечно. [8]
Другое доказательство, предложенное швейцарским математиком Леонардом Эйлером , основано на фундаментальной теореме арифметики : каждое целое число имеет уникальную факторизацию простых чисел. То, что написал Эйлер (не используя эти современные обозначения и, в отличие от современных стандартов, не ограничивая аргументы в суммах и произведениях любыми конечными наборами целых чисел), эквивалентно утверждению, что мы имеем [9]
где обозначает набор k первых простых чисел, а - набор натуральных чисел, все простые множители которых находятся в
Чтобы показать это, каждый множитель произведения разлагается как геометрический ряд и распределяется произведение по сумме (это частный случай формулы произведения Эйлера для дзета-функции Римана ).
В предпоследней сумме каждое произведение простых чисел появляется ровно один раз, и поэтому последнее равенство истинно в соответствии с основной теоремой арифметики. В своем первом следствии этого результата Эйлер обозначает символом, подобным «абсолютной бесконечности», и пишет, что бесконечная сумма в утверждении равна «стоимости» , которой, таким образом, равно и бесконечное произведение (в современной терминологии это эквивалентно можно сказать, что частичная сумма до гармонического ряда расходится асимптотически как ). Затем в своем втором следствии Эйлер замечает, что произведение
сходится к конечному значению 2, и, следовательно, простых чисел больше, чем квадратов («sequitur infinities plures esse numeros primos»). Это доказывает теорему Евклида. [10]
В той же статье (теорема 19) Эйлер фактически использовал приведенное выше равенство, чтобы доказать гораздо более сильную, неизвестную до него теорему, а именно, что ряд
расходится , где P обозначает множество всех простых чисел (Эйлер пишет, что бесконечная сумма , что в современной терминологии эквивалентно тому, что частичная сумма до этого ряда ведет себя асимптотически подобно ).
Пауль Эрдеш дал доказательство [11] , которое также опирается на фундаментальную теорему арифметики. Каждое положительное целое число имеет уникальную факторизацию на свободное от квадратов число r и квадратное число s 2 . Например, 75 600 = 2 4 3 3 5 2 7 1 = 21 ⋅ 60 2 .
Пусть N — целое положительное число, а k — количество простых чисел, меньших или равных N. Назовите эти простые числа p 1 , ... , p k . Любое положительное целое число a , меньшее или равное N , можно записать в виде
где каждый e i равен 0 или 1 . Существует 2k способов образовать свободную от квадратов часть . И s 2 может быть не более N , поэтому s ≤ √ N. Таким образом, в такой форме можно записать не более 2 k √ N чисел. Другими словами,
Или, переставив, k , количество простых чисел, меньшее или равное N , больше или равно1/2журнал 2 Н. _ Поскольку N было произвольным, k может быть сколь угодно большим, если выбрать N соответствующим образом.
В 1950-х годах Гилель Фюрстенберг представил доказательство от противного, используя топологию множества точек . [12]
Определите топологию целых чисел Z , называемую равноотстоящей целочисленной топологией , объявив подмножество U ⊆ Z открытым множеством тогда и только тогда, когда это либо пустое множество , ∅, либо объединение арифметических последовательностей S ( a , b ) (при a ≠ 0), где
Тогда противоречие следует из того свойства, что конечное множество целых чисел не может быть открытым, и того свойства, что базисные множества S ( a , b ) одновременно открыты и закрыты , поскольку
не может быть замкнутым, поскольку его дополнение конечно, но замкнуто, поскольку представляет собой конечное объединение замкнутых множеств.
Хуан Пабло Пинаско написал следующее доказательство. [13]
Пусть p 1 , ..., p N — наименьшие N простых чисел. Тогда согласно принципу включения-исключения количество натуральных чисел, меньших или равных x , которые делятся на одно из этих простых чисел, равно
Разделив на x и положив x → ∞, получим
Это можно записать как
Если других простых чисел, кроме p 1 , ..., p N не существует, то выражение в (1) равно , а выражение в (2) равно 1, но очевидно, что выражение в (3) не равно 1. Следовательно, простых чисел должно быть больше, чем p 1 , ..., p N .
В 2010 году Чуно Питер Ван опубликовал следующее доказательство от противного. [14] Пусть k — любое положительное целое число. Тогда по формуле Лежандра (иногда приписываемой де Полиньяку )
где
Но если существует лишь конечное число простых чисел, то
(числитель дроби будет расти одинарно экспоненциально, в то время как в приближении Стирлинга знаменатель растет быстрее, чем одинарно экспоненциально), что противоречит тому факту, что для каждого k числитель больше или равен знаменателю.
Филип Сайдак дал следующее доказательство по конструкции , которое не использует доведение до абсурда [15] или лемму Евклида (что если простое число p делит ab , то оно должно делить a или b ).
Поскольку каждое натуральное число (>1) имеет хотя бы один простой делитель , а два последовательных числа n и ( n + 1) не имеют общего делителя, произведение n ( n + 1) имеет больше разных простых делителей, чем само число n . . Итак цепочка пронических чисел :
1×2 = 2 {2}, 2×3 = 6 {2, 3}, 6×7 = 42 {2, 3, 7}, 42×43 = 1806 {2, 3, 7, 43}, 1806×1807 = 3263442 {2, 3, 7, 43, 13, 139}, · · ·
обеспечивает последовательность неограниченного растущего набора простых чисел.
Предположим, что существует только k простых чисел ( p 1 , ..., p k ). По основной теореме арифметики любое положительное целое число n можно представить в виде
Это гораздо более эффективное кодирование, чем непосредственное представление n в двоичном формате, требующее битов. Установленный результат сжатия данных без потерь гласит, что обычно невозможно сжать N бит информации менее чем в N бит. Представление, приведенное выше, нарушает это правило, когда n достаточно велико, поскольку . Следовательно, количество простых чисел не должно быть конечным. [16]
Из теорем этого раздела одновременно вытекают теорема Евклида и другие результаты.
Теорема Дирихле утверждает, что для любых двух положительных взаимно простых целых чисел a и d существует бесконечно много простых чисел вида a + nd , где n также является положительным целым числом. Другими словами, существует бесконечно много простых чисел , конгруэнтных модулю d .
Пусть π ( x ) будет функцией подсчета простых чисел , которая дает количество простых чисел, меньших или равных x , для любого действительного числа x . Теорема о простых числах затем утверждает, что x /log x является хорошим приближением к π ( x ) в том смысле, что предел частного двух функций π ( x ) и x / log x при неограниченном увеличении x равен 1 :
Используя асимптотические обозначения, этот результат можно переформулировать как
Это дает теорему Евклида, поскольку
В теории чисел постулат Бертрана — это теорема , утверждающая, что для любого целого числа всегда существует хотя бы одно простое число такое, что
Теорему Бертрана – Чебышева также можно сформулировать как связь с , где – функция подсчета простых чисел (количество простых чисел, меньшее или равное ):
Впервые это утверждение было высказано в 1845 году Жозефом Бертраном [17] (1822–1900). Сам Бертран проверил свое утверждение для всех чисел интервала [2, 3 × 10 6 ]. Его гипотеза была полностью доказана Чебышевым (1821–1894) в 1852 году [18] , поэтому постулат также называют теоремой Бертрана - Чебышева или теоремой Чебышева .