Отношение конгруэнтности

В абстрактной алгебре отношение конгруэнтности ( или просто конгруэнтности ) — это отношение эквивалентности в алгебраической структуре (такой как группа , кольцо или векторное пространство ), которая совместима со структурой в том смысле, что алгебраические операции , выполненные с эквивалентными элементами, дадут результат. эквивалентные элементы. ^[1] Каждое отношение конгруэнтности имеет соответствующую факторструктуру , элементами которой являются классы эквивалентности (или классы конгруэнтности ) для этого отношения. ^[2]

Определение

Определение сравнения зависит от типа рассматриваемой алгебраической структуры . Частные определения конгруэнтности могут быть даны для групп , колец , векторных пространств , модулей , полугрупп , решеток и т. д. Общая тема заключается в том, что конгруэнция — это отношение эквивалентности алгебраического объекта, совместимое с алгебраической структурой в том смысле, что операции четко определены в классах эквивалентности .

Общий

Общее понятие отношения конгруэнтности может быть формально определено в контексте универсальной алгебры — области, которая изучает идеи, общие для всех алгебраических структур . В этом случае отношение в данной алгебраической структуре называется совместимым , если $R$

для каждой -арной операции , определенной в структуре: всякий раз и ... и , то .

п

п

\mu

a_{1}\mathrel {R} a'_{1}

a_{n}\mathrel {R} a'_{n}

\mu (a_{1},\ldots,a_{n})\mathrel {R} \mu (a'_{1},\ldots,a'_{n})

Отношение конгруэнтности в структуре тогда определяется как отношение эквивалентности, которое также является совместимым. ^[3]^[4]

Примеры

Базовый пример

Прототипическим примером отношения конгруэнтности является конгруэнтность по модулю на множестве целых чисел . Для данного положительного целого числа два целых числа и называются конгруэнтными по модулю , записываются $п$ $п$ $а$ $б$ $п$

a\equiv b{\pmod {n}}

if делится на (или, что то же самое, если и имеют одинаковый остаток при делении на ). $аб$ $п$ $а$ $б$ $п$

Например, и конгруэнтны по модулю , $37$ $57$ $10$

37\equiv 57{\pmod {10}}

поскольку кратно 10 или, что то же самое, поскольку оба и имеют остаток от деления на . $37-57=-20$ $37$ $57$ $7$ $10$

Сравнение по модулю (для фиксированного ) совместимо как со сложением , так и с умножением целых чисел. То есть, $п$ $п$

если

a_{1}\equiv a_{2}{\pmod {n}}

b_{1}\equiv b_{2}{\pmod {n}}

затем

a_{1}+b_{1}\equiv a_{2}+b_{2}{\pmod {n}}

a_{1}b_{1}\equiv a_{2}b_{2}{\pmod {n}}

Соответствующее сложение и умножение классов эквивалентности известно как модульная арифметика . С точки зрения абстрактной алгебры, сравнение по модулю — это отношение сравнения на кольце целых чисел, а арифметика по модулю возникает на соответствующем факторкольце . $п$ $п$

Пример: Группы

Например, группа — это алгебраический объект, состоящий из множества вместе с одной бинарной операцией , удовлетворяющий определённым аксиомам. Если группа с операцией , то отношение сравнения на является отношением эквивалентности на элементах, удовлетворяющих $G$ $\ast$ $G$ $\equiv$ $G$

g_{1}\equiv g_{2}\ \ \,

\ \ \,h_{1}\equiv h_{2}\подразумевает g_{1}\ast h_{1}\equiv g_{2}\ast h_{2}

для всех . Для сравнения в группе класс эквивалентности, содержащий единичный элемент, всегда является нормальной подгруппой , а другие классы эквивалентности — другими смежными классами этой подгруппы. Вместе эти классы эквивалентности являются элементами факторгруппы . $g_{1},g_{2},h_{1},h_{2}\in G$

Пример: Кольца

Когда алгебраическая структура включает более одной операции, отношения сравнения должны быть совместимы с каждой операцией. Например, в кольце возможны как сложение, так и умножение, а отношение конгруэнтности на кольце должно удовлетворять

r_{1}+s_{1}\equiv r_{2}+s_{2}

r_{1}s_{1}\equiv r_{2}s_{2}

когда угодно и . Для сравнения на кольце класс эквивалентности, содержащий 0, всегда является двусторонним идеалом , а две операции над множеством классов эквивалентности определяют соответствующее факторкольцо. $r_{1}\equiv r_{2}$ $s_{1}\equiv s_{2}$

Связь с гомоморфизмами

Если это гомоморфизм между двумя алгебраическими структурами (например, гомоморфизм групп или линейное отображение между векторными пространствами ), то отношение, определяемое формулой ${\ displaystyle f: A \, \ rightarrow B}$ $R$

a_{1}\,R\,a_{2}

если и только если

f(a_{1})=f(a_{2})

является отношением конгруэнтности на . По первой теореме об изоморфизме образ A под является подструктурой B , изоморфной фактору A по этому сравнению. $А$ $е$

С другой стороны, отношение сравнения индуцирует единственный гомоморфизм, заданный формулой $R$ $f:A\rightarrow A/R$

f(x)=\{y\mid x\,R\,y\}

Таким образом, существует естественное соответствие между конгруэнциями и гомоморфизмами любой данной алгебраической структуры.

Сравнения групп, нормальных подгрупп и идеалов

В частном случае групп отношения сравнения можно описать элементарно следующим образом: Если G — группа (с единичным элементом e и операцией *), а ~ — бинарное отношение на G , то ~ является конгруэнцией всякий раз, когда:

Для любого элемента a из G a ~ a ( рефлексивность ) ;
Для любых элементов a и b из G , если a ~ b , то b ~ a ( симметрия );
Для любых элементов a , b и c из G , если a ~ b и b ~ c , то a ~ c ( транзитивность );
Для любых элементов a , a ', b и b ' из G , если a ~ a ' и b ~ b ' , то a * b ~ a ' * b ' ;
Учитывая любые элементы a и a ′ из G , если a ~ a ′ , то a ⁻¹ ~ a ′ ⁻¹ (это подразумевается остальными четырьмя, ^{[примечание 1]}^{[ необходима ссылка на источник ],} поэтому это строго избыточно).

Условия 1, 2 и 3 говорят, что ~ является отношением эквивалентности .

Сравнение ~ целиком определяется множеством { a ∈ G | a ~ e } тех элементов группы G , которые конгруэнтны единичному элементу, и это множество является нормальной подгруппой . В частности, a ~ b тогда и только тогда, когда b ⁻¹ * a ~ e . Поэтому вместо того, чтобы говорить о конгруэнтности групп, люди обычно говорят о их нормальных подгруппах; на самом деле каждая конгруэнция однозначно соответствует некоторой нормальной подгруппе G .

Идеалы колец и общий случай

Подобный прием позволяет говорить о ядрах в теории колец как об идеалах , а не об отношениях конгруэнтности, а в теории модулей — как о подмодулях , а не об отношениях конгруэнтности.

Более общая ситуация, когда этот трюк возможен, — это омега-группы (в общем смысле, допускающие операторы с множественной арностью). Но этого нельзя сделать, например, с моноидами , поэтому изучение отношений конгруэнтности играет более центральную роль в теории моноидов.

Универсальная алгебра

Общее понятие сравнения особенно полезно в универсальной алгебре . Эквивалентная формулировка в этом контексте следующая: ^[4]

Отношение конгруэнтности на алгебре A — это подмножество прямого произведения A × A , которое одновременно является отношением эквивалентности на A и подалгеброй A × A.

Ядро гомоморфизма всегда является конгруэнцией . Действительно, всякое сравнение возникает как ядро. Для данного сравнения ~ на A множеству A / ~ классов эквивалентности можно естественным образом придать структуру алгебры — фактор-алгебру . Функция, которая отображает каждый элемент А в его класс эквивалентности, является гомоморфизмом, и ядром этого гомоморфизма является ~.

Решетка Con ( A ) всех отношений сравнения на алгебре A является алгебраической .

Джон М. Хоуи описал, как теория полугрупп иллюстрирует отношения конгруэнтности в универсальной алгебре:

В группе сравнение определяется, если мы знаем один класс сравнения, в частности, если мы знаем нормальную подгруппу, которая является классом, содержащим тождество. Аналогично, в кольце сравнение определяется, если мы знаем идеал, который представляет собой класс сравнения, содержащий ноль. В полугруппах такого счастливого случая нет, и поэтому мы стоим перед необходимостью изучения сравнений как таковых. Более чем что-либо еще, именно эта необходимость придает теории полугрупп ее характерный оттенок. Полугруппы фактически являются первым и простейшим типом алгебры, к которому должны быть применены методы универсальной алгебры... ^[5]

Смотрите также

Заметки с пояснениями

^ Поскольку a ′ ⁻¹ = a ′ ⁻¹ * a * a ⁻¹ ~ a ′ ⁻¹ * a ′ * a ⁻¹ = a ⁻¹

Примечания

^ Хангерфорд (1974), с. 27
^ Хангерфорд (1974), с. 26
^ Барендрегт (1990), с. 338, по умолчанию. 3.1.1
^ аб Бергман (2011), разд. 1.5 и упражнение 1(a) в наборе упражнений 1.26 (Бергман использует выражение, имеющее свойство подстановки для совместимости )
^ Хоуи (1975), с. в