Частично упорядоченная группа

Group with a compatible partial order

В абстрактной алгебре частично упорядоченная группа — это группа ( G , +), наделенная частичным порядком «≤», который является трансляционно-инвариантным ; другими словами, «≤» обладает тем свойством, что для всех a , b и g в G , если a ≤ b , то a + g ≤ b + g и g + a ≤ g + b .

Элемент x группы G называется положительным , если 0 ≤ x . Набор элементов 0 ≤ x часто обозначается G ⁺ и называется положительным конусом G .

По трансляционной инвариантности мы имеем a ≤ b тогда и только тогда, когда 0 ≤ - a + b . Таким образом, мы можем свести частичный порядок к монадическому свойству: a ≤ b тогда и только тогда, когда - a + b ∈ G ⁺ .

Для общей группы G существование положительного конуса задает порядок в G. Группа G является частично упорядочиваемой группой тогда и только тогда, когда существует подмножество H (которое есть G ⁺ ) группы G такое, что:

• 0 ∈ Н
• если a € H и b € H , то a + b € H
• если a ∈ H , то - x + a + x ∈ H для каждого x из G
• если a ∈ H и -a ∈ H , то a = 0

Частично упорядоченная группа G с положительным конусом G ⁺ называется неперфорированной, если из n · g ∈ G ⁺ для некоторого натурального числа n следует g ∈ G ⁺ . Отсутствие перфорации означает, что в положительном конусе G ⁺ нет «зазора» .

Если порядок в группе является линейным , то ее называют линейно упорядоченной группой . Если порядок в группе является решеточным порядком , то есть любые два элемента имеют наименьшую верхнюю границу, то это группа с решетчатым упорядочением (сокращенно l-group , хотя обычно набирается шрифтом l : ℓ-group).

Группа Рисса — это неперфорированная частично упорядоченная группа , обладающая свойством немного более слабым, чем свойство решеточно-упорядоченной группы. А именно, группа Рисса удовлетворяет свойству интерполяции Рисса : если x ₁ , x ₂ , y ₁ , y ₂ являются элементами G и x _i ≤ y _j , то существует z ∈ G такой, что x _i ≤ z ≤ y _j .

Если G и H — две частично упорядоченные группы, отображение из G в H является морфизмом частично упорядоченных групп, если оно одновременно является групповым гомоморфизмом и монотонной функцией . Частично упорядоченные группы вместе с понятием морфизма образуют категорию .

Частично упорядоченные группы используются при определении оценок полей .

Примеры

• Целые числа в их обычном порядке
• Упорядоченное векторное пространство — это частично упорядоченная группа.
• Пространство Рисса — это решеточно упорядоченная группа.
• Типичным примером частично упорядоченной группы является Z ⁿ , где групповая операция представляет собой покомпонентное сложение, и мы пишем ( a ₁ ,..., a _n ) ≤ ( b ₁ ,..., b _n ) тогда и только тогда, когда a _i ≤ b _i (в обычном порядке целых чисел) для всех i = 1,..., n .
• В более общем смысле, если G — частично упорядоченная группа, а X — некоторое множество, то множество всех функций от X до G снова является частично упорядоченной группой: все операции выполняются покомпонентно. Более того , каждая подгруппа G является частично упорядоченной группой: она наследует порядок от G .
• Если A — приблизительно конечномерная C*-алгебра или, в более общем смысле, если A — стабильно конечная единичная C*-алгебра, то K0 ( A ) — частично упорядоченная абелева группа . (Эллиотт, 1976)

Характеристики

Архимед

Архимедово свойство действительных чисел можно обобщить на частично упорядоченные группы.

Свойство: Частично упорядоченная группа называется архимедовой, если для любого , если и для всех то . Эквивалентно, когда , то для любого существует такое, что . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a,b\in G}$ ${\displaystyle e\leq a\leq b}$ ${\displaystyle a^{n}\leq b}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle a=e}$ ${\displaystyle a\neq e}$ ${\displaystyle b\in G}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle b<a^{n}}$

Полностью закрытый

Частично упорядоченная группа G называется целозамкнутой, если для всех элементов a и b группы G , если a ⁿ ⩽ b для всех натуральных n , то a ⩽ 1. ^[1]

Это свойство несколько сильнее, чем тот факт, что частично упорядоченная группа является архимедовой , хотя для решеточно-упорядоченной группы быть целозамкнутой и быть архимедовой эквивалентно. ^[2] Существует теорема о том, что каждая целозамкнутая направленная группа уже абелева . Это связано с тем, что направленная группа вкладывается в полную решеточно-упорядоченную группу тогда и только тогда, когда она целозамкнута. ^[1]

Смотрите также

• Циклически упорядоченная группа  - группа с циклическим порядком, соблюдаемым групповой операцией.
• Линейно упорядоченная группа  – группа с трансляционно-инвариантным полным порядком; т.е. если a ≤ b, то ca ≤ cb
• Упорядоченное поле  – алгебраический объект с упорядоченной структурой.
• Заказное кольцо  – кольцо с совместимым общим порядком.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Упорядоченное топологическое векторное пространство
• Упорядоченное векторное пространство  - векторное пространство с частичным порядком.
• Частично упорядоченное кольцо  - Кольцо с совместимым частичным порядком.
• Частично упорядоченное пространство  - Частично упорядоченное топологическое пространство.

Примечание

1. Гласс (1999)
2. Биркгоф (1942)

Рекомендации

• М. Андерсон и Т. Фейл, Решетчато-упорядоченные группы: введение , Д. Рейдель, 1988.
• Биркгоф, Гаррет (1942). «Решетчато-упорядоченные группы». Анналы математики . 43 (2): 313. дои : 10.2307/1968871. ISSN  0003-486X.
• М. Р. Дарнел, Теория решеточно-упорядоченных групп , Конспект лекций по чистой и прикладной математике 187, Марсель Деккер, 1995.
• Л. Фукс, Частично упорядоченные алгебраические системы , Pergamon Press, 1963.
• Стекло, AMW (1982). Упорядоченные группы перестановок . дои : 10.1017/CBO9780511721243. ISBN 9780521241908.
• Стекло, AMW (1999). Частично упорядоченные группы. ISBN 981449609X.
• В. М. Копытов и А. И. Кокорин (пер. Д. Лувиша), Полностью упорядоченные группы , Halsted Press (John Wiley & Sons), 1974.
• В.М. Копытов и Н.Я. Медведев, Правоупорядоченные группы , Сибирская школа алгебры и логики, Консультантское бюро, 1996.
• Копытов В.М.; Медведев, Н.Я. (1994). Теория решеточно-упорядоченных групп . дои : 10.1007/978-94-015-8304-6. ISBN 978-90-481-4474-7.
• Р.Б. Мура и А. Ремтулла, Упорядоченные группы , Конспекты лекций по чистой и прикладной математике 27, Марсель Деккер, 1977.
• Решетки и упорядоченные алгебраические структуры . Университеттекст. 2005. дои : 10.1007/b139095. ISBN 1-85233-905-5., гл. 9.
• Эллиотт, Джордж А. (1976). «О классификации индуктивных пределов последовательностей полупростых конечномерных алгебр». Журнал алгебры . 38 : 29–44. дои : 10.1016/0021-8693(76)90242-8.

дальнейшее чтение

Эверетт, CJ; Улам, С. (1945). «Об упорядоченных группах». Труды Американского математического общества . 57 (2): 208–216. дои : 10.2307/1990202 . JSTOR  1990202.

Внешние ссылки

• Копытов В.М. (2001) [1994], «Частично упорядоченная группа», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Копытов, В.М. (2001) [1994], "Решёточно-упорядоченная группа", Энциклопедия Математики , EMS Press
• Эта статья включает в себя материалы из частично упорядоченной группы PlanetMath , которая распространяется под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .