Number that, when added to the original number, yields the additive identity
В математике аддитивный обратный элемент x , обозначаемый как -x [1] , — это элемент, который при добавлении к x дает аддитивное тождество , 0 [2] . В наиболее известных случаях это число 0 , но оно также может относиться к более обобщенному нулевому элементу .
Эту концепцию можно также распространить на алгебраические выражения, что часто используется при балансировке уравнений .
Отношение к вычитанию
Аддитивная обратная функция тесно связана с вычитанием , которое можно рассматривать как сложение с использованием обратной функции:
а − б = а + (− б ) .
Наоборот, аддитивную инверсию можно рассматривать как вычитание из нуля:
− а = 0 − а .
Эта связь привела к тому, что знак минус использовался как для противоположных величин, так и для вычитания еще в 17 веке. Хотя эта нотация является стандартной сегодня, в то время она встретила сопротивление, поскольку некоторые математики считали, что она может быть неясной и приводить к ошибкам. [8]
Формальное определение
При наличии алгебраической структуры, определенной относительно сложения с аддитивным тождеством , элемент имеет аддитивный обратный элемент тогда и только тогда , когда , , и . [7]
Сложение обычно используется только для обозначения коммутативной операции, но оно не обязательно ассоциативно . Когда оно ассоциативно, то есть левые и правые обратные, если они существуют, будут согласовываться, а аддитивная обратная будет уникальной. В неассоциативных случаях левые и правые обратные могут не согласовываться, и в этих случаях обратная не считается существующей.
Определение требует замыкания , чтобы аддитивный элемент находился в . Вот почему, несмотря на то, что сложение определено над натуральными числами, оно не имеет аддитивной инверсии для своих членов. Связанные обратные элементы были бы отрицательными числами , поэтому целые числа имеют аддитивную инверсию.
В модульной арифметике модульное аддитивное обратное число x — это число a, такое что a + x ≡ 0 (mod n ) и всегда существует. Например, обратное число 3 по модулю 11 равно 8, так как 3 + 8 ≡ 0 (mod 11) . [10]
В булевом кольце , имеющем элементы, сложение часто определяется как симметричная разность . Так что , , , и . Наше аддитивное тождество равно 0, и оба элемента являются своими собственными аддитивными обратными как и . [11]
^ Галлиан, Джозеф А. (2017). Современная абстрактная алгебра (9-е изд.). Бостон, Массачусетс: Cengage Learning. стр. 52. ISBN 978-1-305-65796-0.
^ Фрейли, Джон Б. (2014). Первый курс абстрактной алгебры (7-е изд.). Harlow: Pearson. стр. 169–170. ISBN978-1-292-02496-7.
^ Мазур, Изабела (26 марта 2021 г.). "2.5 Свойства действительных чисел — Вводная алгебра" . Получено 4 августа 2024 г.
^ "Стандарты::Понимать p + q как число, расположенное на расстоянии |q| от p, в положительном или отрицательном направлении в зависимости от того, является ли q положительным или отрицательным. Покажите, что число и его противоположность имеют сумму 0 (являются аддитивными обратными числами). Интерпретировать суммы рациональных чисел, описывая контексты реального мира". learninglab.si.edu . Получено 04.08.2024 .
^ Гупта, Пракаш С. (2015). Криптография и сетевая безопасность . Издание восточной экономики. Дели: PHI Learning Private Limited. стр. 15. ISBN978-81-203-5045-8.
^ Мартин, Урсула; Нипков, Тобиас (1989-03-01). «Булево объединение — история до сих пор». Журнал символических вычислений . Объединение: Часть 1. 7 (3): 275–293. doi :10.1016/S0747-7171(89)80013-6. ISSN 0747-7171.