Рефлексия (математика)

Отображение евклидова пространства в себя

Отражение через ось.

В математике отражение (также пишется как отражение ) ^[1] — это отображение евклидова пространства в себя, которое представляет собой изометрию с гиперплоскостью как набором неподвижных точек ; этот набор называется осью (в измерении 2) или плоскостью (в измерении 3) отражения. Изображение фигуры отражением — это ее зеркальное отражение в оси или плоскости отражения. Например, зеркальное изображение маленькой латинской буквы p , обозначающей отражение относительно вертикальной оси ( вертикальное отражение ), будет выглядеть как q . Его изображение при отражении по горизонтальной оси ( горизонтальное отражение ) будет выглядеть как b . Отражение — это инволюция : при двукратном применении каждая точка возвращается в исходное положение, а каждый геометрический объект возвращается в исходное состояние.

Термин «отражение» иногда используется для обозначения более широкого класса отображений евклидова пространства в себя, а именно нетождественных изометрий, которые являются инволюциями. Такие изометрии имеют набор неподвижных точек («зеркало»), который представляет собой аффинное подпространство , но, возможно, меньше гиперплоскости. Например, отражение через точку — это инволютивная изометрия только с одной фиксированной точкой; изображение буквы р под ней будет выглядеть как d . Эта операция также известна как центральная инверсия (Коксетер 1969, §7.2) и демонстрирует евклидово пространство как симметричное пространство . В евклидовом векторном пространстве отражение в точке, расположенной в начале координат, аналогично отрицанию вектора. Другие примеры включают отражения в линии в трехмерном пространстве. Однако обычно безоговорочное использование термина «отражение» означает отражение в гиперплоскости .

Некоторые математики используют слово « флип » как синоним слова «отражение». ^{[2] [3] [4]}

Строительство

Точка Q является отражением точки P через линию AB .

В плоской (или, соответственно, трехмерной) геометрии, чтобы найти отражение точки, опустите перпендикуляр из точки к линии (плоскости), используемой для отражения, и продлите его на такое же расстояние в другую сторону. Чтобы найти отражение фигуры, отразите каждую точку фигуры.

Чтобы отразить точку Р через линию АВ с помощью циркуля и линейки , поступите следующим образом (см. рисунок):

• Шаг 1 (красный): постройте круг с центром в точке P и некоторым фиксированным радиусом r , чтобы создать точки A ' и B' на линии AB , которые будут равноудалены от P.
• Шаг 2 (зеленый): постройте круги с центрами A' и B' и радиусом r . P и Q будут точками пересечения этих двух окружностей.

Тогда точка Q является отражением точки P через линию AB .

Характеристики

Матрица отражения ортогональна с определителем -1 и собственными значениями -1, 1 , 1, ..., 1. Произведение двух таких матриц представляет собой специальную ортогональную матрицу, представляющую вращение. Каждое вращение является результатом отражения четного числа отражений в гиперплоскостях, проходящих через начало координат, а каждое неправильное вращение является результатом отражения нечетного числа. Таким образом, отражения порождают ортогональную группу , и этот результат известен как теорема Картана-Дьедонне .

Аналогично евклидова группа , состоящая из всех изометрий евклидова пространства, порождается отражениями в аффинных гиперплоскостях. В общем, группа , порожденная отражениями в аффинных гиперплоскостях, известна как группа отражений . Порожденные таким образом конечные группы являются примерами групп Кокстера .

Отражение от прямой на плоскости

Отражение через произвольную линию через начало координат в двух измерениях можно описать следующей формулой

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{l}(v)=2{\frac {v\cdot l}{l\cdot l}}l-v,}$

где обозначает отражаемый вектор, обозначает любой вектор в линии , через которую выполняется отражение, и обозначает скалярное произведение с . Обратите внимание, что приведенную выше формулу также можно записать как ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle v\cdot l}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle l}$

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{l}(v)=2\operatorname {Proj} _{l}(v)-v,}$

говоря, что отражение поперек равно 2-кратной проекции на минус вектор . Отражения в линии имеют собственные значения 1 и −1. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle v}$

Отражение через гиперплоскость в n измерениях

Учитывая вектор в евклидовом пространстве формула для отражения в гиперплоскости через начало координат, ортогональное к , определяется выражением ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{a}(v)=v-2{\frac {v\cdot a}{a\cdot a}}a,}$

где обозначает скалярное произведение с . Обратите внимание, что второй член в приведенном выше уравнении всего лишь в два раза превышает векторную проекцию на . Это можно легко проверить ${\displaystyle v\cdot a}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle a}$

• Ref _a ( v ) = − v , если параллельно , ​​и ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle a}$
• Ref _a ( v ) = v , если перпендикулярно a . ${\displaystyle v}$

Используя геометрическое произведение , формула имеет вид

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{a}(v)=-{\frac {ava}{a^{2}}}.}$

Поскольку эти отражения представляют собой изометрии евклидова пространства, фиксирующие начало координат, они могут быть представлены ортогональными матрицами . Ортогональной матрицей, соответствующей приведенному выше отражению, является матрица

${\displaystyle R=I-2{\frac {aa^{T}}{a^{T}a}},}$

где обозначает единичную матрицу и является транспонированием a. Его записи ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle a^{T}}$

${\displaystyle R_{ij}=\delta _{ij}-2{\frac {a_{i}a_{j}}{\left\|a\right\|^{2}}},}$

где δij _— дельта Кронекера .

Формула отражения в аффинной гиперплоскости не через начало координат имеет вид ${\displaystyle v\cdot a=c}$

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{a,c}(v)=v-2{\frac {v\cdot a-c}{a\cdot a}}a.}$

Смотрите также

• Противоположное число
• Координатные вращения и отражения
• Преобразование домохозяина
• Инверсивная геометрия
• Плоскость вращения
• Отображение отражений
• Группа отражения

Примечания

1. «Рефлексия» — архаичное написание.
2. Чайлдс, Линдси Н. (2009), Конкретное введение в высшую алгебру (3-е изд.), Springer Science & Business Media, стр. 251, ISBN 9780387745275
3. Галлиан, Джозеф (2012), Современная абстрактная алгебра (8-е изд.), Cengage Learning, стр. 32, ISBN 978-1285402734
4. Айзекс, И. Мартин (1994), Алгебра: аспирантура, Американское математическое общество, стр. 6, ISBN 9780821847992

Рекомендации

• Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд (1969), Введение в геометрию (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50458-0, МР  0123930
• Попов, В.Л. (2001) [1994], «Отражение», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Вайсштейн, Эрик В. «Отражение». Математический мир .

Внешние ссылки

• Отражение в линии при разрезании узла
• Понимание 2D-отражения и Понимание 3D-отражения, Роджер Гермундссон, Демонстрационный проект Wolfram .