Описательная теория множеств

Подраздел математической логики

В математической логике описательная теория множеств ( DST ) представляет собой исследование определенных классов « хороших » подмножеств действительной прямой и других польских пространств . Помимо того, что это одна из основных областей исследований в теории множеств , она имеет приложения и в других областях математики, таких как функциональный анализ , эргодическая теория , изучение операторных алгебр и групповых действий , а также математическая логика .

Польские просторы

Описательная теория множеств начинается с изучения польских пространств и их борелевских множеств .

Польское пространство — это топологическое пространство со второй счетностью , метризуемое с полной метрикой . Эвристически это полное сепарабельное метрическое пространство , метрика которого «забыта». Примеры включают действительную линию , пространство Бэра , пространство Кантора и куб Гильберта . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle I^{\mathbb {N} }}$

Свойства универсальности

Класс польских пространств обладает рядом свойств универсальности, которые показывают, что не происходит потери общности при рассмотрении польских пространств некоторых ограниченных форм.

• Каждое польское пространство гомеоморфно подпространству G δ гильбертова куба , и каждое подпространство G _δ гильбертова куба является польским.
• Каждое польское пространство получается как непрерывный образ пространства Бэра; на самом деле каждое польское пространство представляет собой образ непрерывной биекции, определенной на замкнутом подмножестве пространства Бэра. Аналогично, каждое компактное польское пространство является непрерывным образом канторова пространства.

Из-за этих свойств универсальности, а также из-за того, что пространство Бэра обладает удобным свойством гомеоморфности , многие результаты дескриптивной теории множеств доказываются только в контексте пространства Бэра. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}^{\omega }}$

Наборы Бореля

Класс борелевских множеств топологического пространства X состоит из всех множеств наименьшей σ-алгебры , содержащих открытые множества X . Это означает, что борелевские множества X представляют собой наименьший набор таких множеств, что:

• Каждое открытое подмножество X является борелевским множеством.
• Если A — борелевское множество, то и . То есть класс борелевских множеств замкнут относительно дополнения. ${\displaystyle X\setminus A}$
• Если An _— борелевское множество для каждого натурального числа n , то объединение — борелевское множество. То есть борелевские множества замкнуты относительно счетных объединений. ${\displaystyle \bigcup A_{n}}$

Фундаментальный результат показывает, что любые два несчетных польских пространства X и Y изоморфны по Борелю : существует биекция X в Y такая, что прообраз любого борелевского множества является борелевским, а образ любого борелевского множества — борелевским. Это дает дополнительное оправдание практике ограничения внимания пространствами Бэра и Кантора, поскольку все эти и любые другие польские пространства изоморфны на уровне борелевских множеств.

Иерархия Бореля

Каждое борелевское множество польского пространства классифицируется в иерархии Бореля на основе того, сколько раз необходимо использовать операции счетного объединения и дополнения для получения набора, начиная с открытых множеств. Классификация ведется по счетным порядковым числам . Для каждого ненулевого счетного ординала α существуют классы , , и . ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}}$

• Каждое открытое множество объявлено как . ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{1}^{0}}$
• Множество объявляется тогда и только тогда, когда его дополнением является . ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$
• Множество A объявляется равным , δ > 1, если существует последовательность ⟨ A _i ⟩ множеств, каждое из которых соответствует некоторому λ ( i ) < δ , такому что . ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\delta }^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\lambda (i)}^{0}}$ ${\displaystyle A=\bigcup A_{i}}$
• Множество является тогда и только тогда, когда оно одновременно и . ${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}}$

Теорема показывает, что любой набор, который есть или есть , и любой набор является одновременно и для всех α > β . Таким образом, иерархия имеет следующую структуру, где стрелки указывают включение. ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{\alpha +1}^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{\beta }^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&&\mathbf {\Sigma } _{1}^{0}&&&&\mathbf {\Sigma } _{2}^{0}&&\cdots \\&\nearrow &&\searrow &&\nearrow \\\mathbf {\Delta } _{1}^{0}&&&&\mathbf {\Delta } _{2}^{0}&&&&\cdots \\&\searrow &&\nearrow &&\searrow \\&&\mathbf {\Pi } _{1}^{0}&&&&\mathbf {\Pi } _{2}^{0}&&\cdots \end{matrix}}{\begin{matrix}&&\mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}&&&\cdots \\&\nearrow &&\searrow \\\quad \mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}&&&&\mathbf {\Delta } _{\alpha +1}^{0}&\cdots \\&\searrow &&\nearrow \\&&\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}&&&\cdots \end{matrix}}}$

Свойства регулярности борелевских множеств.

Классическая дескриптивная теория множеств включает изучение свойств регулярности борелевских множеств. Например, все борелевские множества польского пространства обладают свойством Бэра и свойством совершенного множества . Современная дескриптивная теория множеств включает изучение способов, которыми эти результаты обобщаются или не обобщаются на другие классы подмножеств польских пространств.

Аналитические и коаналитические множества

Сразу за борелевскими множествами по сложности стоят аналитические и коаналитические множества . Подмножество польского пространства X аналитично , если оно является непрерывным образом борелевского подмножества некоторого другого польского пространства. Хотя любой непрерывный прообраз борелевского множества является борелевским, не все аналитические множества являются борелевскими. Множество называется коаналитическим, если его дополнение аналитично.

Проективные множества и степени Ваджа

Многие вопросы дескриптивной теории множеств в конечном итоге зависят от теоретико-множественных соображений и свойств порядковых и кардинальных чисел . Это явление особенно проявляется в проективных множествах . Они определяются через проективную иерархию в польском пространстве X :

• Множество объявляется аналитическим . ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{1}^{1}}$
• Множество есть , если оно коаналитическое. ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{1}^{1}}$
• Множество A — это если существует подмножество B такое , что A является проекцией B на первую координату. ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{n+1}^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{n}^{1}}$ ${\displaystyle X\times X}$
• Множество A — это если существует подмножество B такое , что A является проекцией B на первую координату. ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{n+1}^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{n}^{1}}$ ${\displaystyle X\times X}$
• Набор — это если это оба и . ${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{n}^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{n}^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{n}^{1}}$

Как и в иерархии Бореля, для каждого n любой набор является одновременно и . ${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{n}^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{n+1}^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{n+1}^{1}}$

Свойства проективных множеств не полностью определяются ZFC. В предположении V = L не все проективные множества обладают свойством совершенного множества или свойством Бэра. Однако в предположении проективной определенности все проективные множества обладают как свойством совершенного множества, так и свойством Бэра. Это связано с тем, что ZFC доказывает борелевскую определенность , но не проективную определенность.

Существуют также общие расширения для любого натурального числа , состоящего из всех подмножеств светлых граней . ^[1] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\omega )\cap L}$ ${\displaystyle \Delta _{n}^{1}}$ ${\displaystyle \omega }$

В более общем смысле, весь набор наборов элементов польского пространства X можно сгруппировать в классы эквивалентности, известные как степени Ваджа , которые обобщают проективную иерархию. Эти степени упорядочены в иерархии Ваджа . Аксиома детерминированности подразумевает, что иерархия Ваджа в любом польском пространстве хорошо обоснована и имеет длину Θ со структурой, расширяющей проективную иерархию.

Борелевские отношения эквивалентности

Современная область исследований в дескриптивной теории множеств изучает борелевские отношения эквивалентности . Отношение борелевской эквивалентности на польском пространстве X — это борелевское подмножество этого отношения эквивалентности на X. ${\displaystyle X\times X}$

Эффективная описательная теория множеств

Область эффективной дескриптивной теории множеств сочетает в себе методы дескриптивной теории множеств с методами обобщенной теории рекурсии (особенно гиперарифметической теории ). В частности, основное внимание уделяется облегченным аналогам иерархий классической дескриптивной теории множеств. Таким образом, вместо иерархии Бореля изучается гиперарифметическая иерархия , а вместо проективной иерархии — аналитическая иерархия . Это исследование связано с более слабыми версиями теории множеств, такими как теория множеств Крипке-Платека и арифметика второго порядка .

Стол

Эта коробка:

• вид
• разговаривать
• редактировать

Смотрите также

• Пойнткласс
• Предварительный заказ
• Свойство масштабирования

Рекомендации

• Кекрис, Александр С. (1994). Классическая описательная теория множеств . Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-94374-9.
• Мошовакис, Яннис Н. (1980). Описательная теория множеств. Северная Голландия. п. 2. ISBN 0-444-70199-0.

Цитаты

1. В. Кановей, В. Любецкий, «О задаче Харви Фридмана. В книге « Математическая логика и ее приложения» (2020), DOI 10.3380/math8091477.

Внешние ссылки

• Описательная теория множеств, Дэвид Маркер, 2002. Конспекты лекций.