История математики посвящена происхождению открытий в математике , а также математических методов и обозначений прошлого . До наступления современной эпохи и распространения знаний по всему миру письменные примеры новых математических разработок появлялись лишь в нескольких регионах. С 3000 г. до н. э. месопотамские государства Шумер , Аккад и Ассирия , а затем Древний Египет и левантийское государство Эбла начали использовать арифметику , алгебру и геометрию для целей налогообложения , коммерции , торговли, а также в закономерностях в природе , в области астрономии , а также для записи времени и составления календарей .
Самые ранние доступные математические тексты находятся в Месопотамии и Египте - Плимптон 322 ( Вавилонский период ок. 2000–1900 гг. до н. э.), [2] Математический папирус Ринда ( египтянин ок. 1800 г. до н. э.) [3] и Московский математический папирус (египетский ок. 1890 г.) ДО Н.Э). Во всех этих текстах упоминаются так называемые тройки Пифагора , поэтому, как следствие, теорема Пифагора кажется наиболее древней и широко распространенной математической разработкой после основ арифметики и геометрии.
Изучение математики как «показательной дисциплины» началось в VI веке до нашей эры пифагорейцами , которые ввели термин «математика» от древнегреческого μάθημα ( матема ) , что означает «предмет обучения». [4] Греческая математика значительно усовершенствовала методы (особенно за счет введения дедуктивных рассуждений и математической строгости в доказательствах ) и расширила предмет математики. [5] Хотя они практически не внесли никакого вклада в теоретическую математику , древние римляне использовали прикладную математику в геодезии , строительном проектировании , машиностроении , бухгалтерском учете , создании лунных и солнечных календарей и даже в декоративно-прикладном искусстве . Китайская математика внесла ранний вклад, включая систему разрядов и первое использование отрицательных чисел . [6] [7] Индо -арабская система счисления и правила использования ее операций, используемые сегодня во всем мире, развивались в течение первого тысячелетия нашей эры в Индии и были переданы в западный мир через исламскую математику через работы Мухаммада ибн Мусы аль-Хорезми . [8] [9] Исламская математика, в свою очередь, развила и расширила математику, известную этим цивилизациям. [10] Одновременно с этими традициями, но независимо от них, была математика, разработанная цивилизацией майя в Мексике и Центральной Америке , где понятие нуля получило стандартный символ в цифрах майя .
Многие греческие и арабские тексты по математике были переведены на латынь , начиная с XII века, что привело к дальнейшему развитию математики в средневековой Европе . С древних времен до средневековья периоды математических открытий часто сменялись столетиями застоя. [11] Начиная с эпохи Возрождения в Италии в 15 веке, новые математические разработки, взаимодействующие с новыми научными открытиями, происходили с возрастающей скоростью , которая продолжается и по сей день. Сюда входит новаторская работа Исаака Ньютона и Готфрида Вильгельма Лейбница по развитию исчисления бесконечно малых в течение 17 века.
Истоки математической мысли лежат в понятиях числа , закономерностей в природе , величины и формы . [12] Современные исследования когнитивных способностей животных показали, что эти концепции не являются уникальными для человека. Подобные концепции были частью повседневной жизни в обществах охотников-собирателей . Идея о том, что концепция «числа» развивается постепенно с течением времени, подтверждается существованием языков, которые сохраняют различие между «один», «два» и «многие», но не между числами, большими двух. [12]
Кость Ишанго , найденная недалеко от истоков реки Нил (северо-восток Конго ), может иметь возраст более 20 000 лет и состоит из серии отметин, вырезанных в виде трех колонн, идущих по всей длине кости. Распространенные интерпретации заключаются в том, что кость Ишанго представляет собой либо результат самой ранней известной демонстрации последовательностей простых чисел [13] , либо шестимесячный лунный календарь. [14] Питер Рудман утверждает, что развитие концепции простых чисел могло произойти только после концепции деления, которую он датирует после 10 000 г. до н.э., при этом простые числа, вероятно, не были поняты примерно до 500 г. до н.э. Он также пишет, что «не было предпринято никаких попыток объяснить, почему подсчёт чего-либо должен быть кратен двум, простые числа от 10 до 20, а некоторые числа почти кратны 10». [15] Кость Ишанго, по мнению ученого Александра Маршака , возможно, повлияла на более позднее развитие математики в Египте, поскольку, как и некоторые записи о кости Ишанго, египетская арифметика также использовала умножение на 2; однако это оспаривается. [16]
Додинастические египтяне V тысячелетия до нашей эры графически представляли геометрические узоры. Утверждалось, что мегалитические памятники в Англии и Шотландии , датируемые 3-м тысячелетием до нашей эры, включают в свой дизайн геометрические идеи, такие как круги , эллипсы и пифагорейские тройки . [17] Однако все вышеперечисленное является спорным, и самые старые в настоящее время неоспоримые математические документы взяты из вавилонских и династических египетских источников. [18]
Вавилонская математика относится к любой математике народов Месопотамии (современный Ирак ) со времен ранних шумеров через эллинистический период почти до зари христианства . [19] Большая часть вавилонских математических работ относится к двум сильно разделенным периодам: первые несколько сотен лет второго тысячелетия до нашей эры (период Старого Вавилона) и последние несколько столетий первого тысячелетия до нашей эры ( период Селевкидов ). [20] Ее называют вавилонской математикой из-за центральной роли Вавилона как места обучения. Позже под властью Арабской империи Месопотамия, особенно Багдад , снова стала важным центром изучения исламской математики .
В отличие от скудности источников по египетской математике , знания по вавилонской математике основаны на более чем 400 глиняных табличках, раскопанных с 1850-х годов. [21] Таблички , написанные клинописью , наносились на влажную глину и обжигались в печи или под воздействием солнечного тепла. Некоторые из них выглядят как домашнее задание. [22]
Самые ранние свидетельства письменной математики относятся к древним шумерам , которые построили самую раннюю цивилизацию в Месопотамии. Они разработали сложную систему метрологии с 3000 г. до н.э., которая в основном касалась административного/финансового подсчета, например, наделов зерна, рабочих, весов серебра или даже жидкостей, среди прочего. [23] Примерно с 2500 г. до н. э. шумеры писали таблицы умножения на глиняных табличках, решали геометрические упражнения и задачи деления . К этому же периоду относятся и самые ранние следы вавилонских цифр. [24]
Вавилонская математика была написана с использованием шестидесятеричной системы счисления (с основанием 60) . [21] Отсюда происходит современное использование 60 секунд в минуте, 60 минут в часе и 360 (60 × 6) градусов в круге, а также использование секунд и угловых минут для обозначения дробей. степени. Считается, что шестидесятеричная система изначально использовалась шумерскими писцами, поскольку 60 можно разделить поровну на 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 и 30, [21] и для писцов (распределяющих вышеупомянутые распределение зерна, запись веса серебра и т. д.) была необходима возможность легкого расчета вручную, поэтому с помощью шестидесятеричной системы прагматически легче рассчитывать вручную; однако существует вероятность того, что использование шестидесятеричной системы было этнолингвистическим явлением (о котором, возможно, никогда не станет известно), а не математическим/практическим решением. [25] Кроме того, в отличие от египтян, греков и римлян, вавилоняне имели систему разрядов, где цифры, написанные в левом столбце, представляли большие значения, во многом как в [[десятичной]] системе. Сила вавилонской системы обозначений заключалась в том, что ее можно было использовать для обозначения дробей так же легко, как и целых чисел; таким образом, умножение двух чисел, содержащих дроби, ничем не отличалось от умножения целых чисел, аналогично современным обозначениям. Система обозначений вавилонян была лучшей из всех цивилизаций до эпохи Возрождения , и ее мощь позволяла ей достигать поразительной точности вычислений; например, вавилонская табличка YBC 7289 дает приближение √ 2 с точностью до пяти десятичных знаков. [26] Однако у вавилонян не было эквивалента десятичной точки, и поэтому позиционное значение символа часто приходилось выводить из контекста. [20] К периоду Селевкидов вавилоняне разработали нулевой символ в качестве заполнителя для пустых позиций; однако он использовался только для промежуточных позиций. [20] Этот нулевой знак не появляется в терминальных позициях, таким образом, вавилоняне подошли близко к этому, но не разработали истинную систему оценки мест. [20]
Другие темы, охватываемые вавилонской математикой, включают дроби, алгебру, квадратные и кубические уравнения, а также вычисление регулярных чисел и их обратных пар . [27] Таблички также включают таблицы умножения и методы решения линейных , квадратных и кубических уравнений , что является выдающимся достижением для того времени. [28] Таблички древневавилонского периода также содержат самое раннее известное утверждение теоремы Пифагора . [29] Однако, как и в случае с египетской математикой, вавилонская математика не демонстрирует понимания разницы между точными и приближенными решениями или разрешимости проблемы, и, что наиболее важно, не имеет явного заявления о необходимости доказательств или логических принципов. [22]
Египетская математика относится к математике, написанной на египетском языке . С эллинистического периода греческий заменил египетский в качестве письменного языка египетских ученых. Математические исследования в Египте позже продолжились в Арабской империи как часть исламской математики , когда арабский язык стал письменным языком египетских ученых. Археологические данные свидетельствуют о том, что древнеегипетская система счета возникла в Африке к югу от Сахары. [30] Кроме того, конструкции фрактальной геометрии, которые широко распространены среди культур Африки к югу от Сахары, также встречаются в египетской архитектуре и космологических знаках. [31]
Самый обширный египетский математический текст - это папирус Ринда (иногда его также называют папирусом Ахмеса по имени его автора), датированный ок. 1650 г. до н.э., но, вероятно, это копия более старого документа из Среднего царства примерно 2000–1800 гг. до н.э. [32] Это учебное пособие для студентов, изучающих арифметику и геометрию. Помимо формул площади и методов умножения, деления и работы с единичными дробями, он также содержит свидетельства других математических знаний, [33] включая составные и простые числа ; арифметические , геометрические и гармонические средства ; и упрощенное понимание как Решета Эратосфена , так и теории совершенных чисел (а именно, теории числа 6). [34] Он также показывает, как решать линейные уравнения первого порядка [35] , а также арифметические и геометрические ряды . [36]
Другой важный египетский математический текст — Московский папирус , также периода Среднего царства , датированный ок. 1890 г. до н.э. [37] Он состоит из того, что сегодня называют задачами на слова или задачами на рассказы , которые, очевидно, были задуманы как развлечение. Одна задача считается особенно важной, поскольку она дает метод нахождения объема усеченной пирамиды ( усеченной пирамиды).
Наконец, Берлинский папирус 6619 (ок. 1800 г. до н.э.) показывает, что древние египтяне могли решать алгебраические уравнения второго порядка . [38]
Греческая математика относится к математике, написанной на греческом языке со времен Фалеса Милетского (~ 600 г. до н.э.) до закрытия Афинской академии в 529 году нашей эры. [39] Греческие математики жили в городах, разбросанных по всему Восточному Средиземноморью, от Италии до Северной Африки, но были объединены культурой и языком. Греческую математику периода после Александра Великого иногда называют эллинистической математикой. [40]
Греческая математика была гораздо более сложной, чем математика, разработанная в более ранних культурах. Все сохранившиеся записи догреческой математики показывают использование индуктивного рассуждения , то есть повторных наблюдений, используемых для установления эмпирических правил. Греческие математики, напротив, использовали дедуктивные рассуждения . Греки использовали логику для вывода выводов из определений и аксиом и использовали математическую строгость для их доказательства . [41]
Считается, что греческая математика началась с Фалеса Милетского (ок. 624–546 до н. э.) и Пифагора Самосского (ок. 582–507 до н. э.). Хотя степень влияния оспаривается, они, вероятно, были вдохновлены египетской и вавилонской математикой . Согласно легенде, Пифагор отправился в Египет, чтобы изучать математику, геометрию и астрономию у египетских жрецов.
Фалес использовал геометрию для решения таких задач, как расчет высоты пирамид и расстояния кораблей от берега. Ему приписывают первое использование дедуктивного рассуждения в применении к геометрии, выведя четыре следствия из теоремы Фалеса . В результате его провозгласили первым настоящим математиком и первым известным человеком, которому приписали математическое открытие. [42] Пифагор основал пифагорейскую школу , доктрина которой заключалась в том, что математика управляет вселенной и чей девиз: «Все есть число». [43] Именно пифагорейцы придумали термин «математика» и с них начинается изучение математики как таковой. Пифагорейцам приписывают первое доказательство теоремы Пифагора [44] , хотя формулировка теоремы имеет долгую историю, а также доказательство существования иррациональных чисел . [45] [46] Хотя ему предшествовали вавилоняне , индийцы и китайцы , [ 47] неопифагорейский математик Никомах (60–120 гг. н.э.) предоставил одну из самых ранних греко -римских таблиц умножения , тогда как самая старая из сохранившихся греческих таблиц умножения найден на восковой табличке, датированной I веком нашей эры (сейчас находится в Британском музее ). [48] Связь неопифагорейцев с западным изобретением таблицы умножения очевидна в ее более позднем средневековом названии: mensa Pythagorica . [49]
Платон (428/427 г. до н. э. – 348/347 г. до н. э.) сыграл важную роль в истории математики, вдохновляя и направляя других. [50] Его Платоновская Академия в Афинах стала математическим центром мира в 4 веке до нашей эры, и именно из этой школы вышли ведущие математики того времени, такие как Евдокс Книдский . [51] Платон также обсудил основы математики, [52] уточнил некоторые определения (например, определение линии как «длины без ширины») и реорганизовал предположения. [53] Аналитический метод приписывается Платону, а формула получения пифагорейских троек носит его имя. [51]
Евдокс (408–355 до н . э. ) разработал метод истощения , предшественник современной интеграции [54] и теорию отношений, которая позволила избежать проблемы несоизмеримых величин . [55] Первое позволило рассчитывать площади и объемы криволинейных фигур, [56] а второе позволило последующим геометрам добиться значительных успехов в геометрии. Хотя Аристотель (384–322 до н.э. ) не сделал конкретных технических математических открытий, он внес значительный вклад в развитие математики, заложив основы логики . [57]
В III веке до нашей эры главным центром математического образования и исследований был Александрийский музей . [59] Именно там Евклид ( ок. 300 г. до н. э. ) преподавал и написал «Начала» , которые широко считаются самым успешным и влиятельным учебником всех времен. [1] «Элементы » привнесли математическую строгость посредством аксиоматического метода и являются самым ранним примером формата, который до сих пор используется в математике: определения, аксиомы, теоремы и доказательства. Хотя большая часть содержания «Элементов » уже была известна, Евклид организовал их в единую последовательную логическую структуру. [60] «Элементы » были известны всем образованным людям на Западе вплоть до середины 20-го века, и их содержание до сих пор преподается на уроках геометрии. [61] В дополнение к известным теоремам евклидовой геометрии , « Начала» задумывались как вводный учебник ко всем математическим предметам того времени, таким как теория чисел , алгебра и твердотельная геометрия , [60] включая доказательства того, что квадратный корень из двух иррационально и что простых чисел бесконечно много. Евклид также много писал по другим предметам, таким как конические сечения , оптика , сферическая геометрия и механика, но сохранилась только половина его сочинений. [62]
Архимед ( ок. 287–212 до н. э.) Сиракузский , широко считавшийся величайшим математиком древности, [63] использовал метод исчерпывания для вычисления площади под дугой параболы с суммированием бесконечного ряда , способом, не слишком отличается от современного исчисления. [64] Он также показал, что можно использовать метод исчерпывания для расчета значения π с желаемой точностью, и получил наиболее точное значение π, известное на тот момент, 3+.10/71< π < 3+10/70. [65] Он также изучил спираль , носящую его имя, получил формулы для объёмов поверхностей вращения (параболоида, эллипсоида, гиперболоида) [64] и остроумный метод возведения в степень для выражения очень больших чисел. [66] Хотя он также известен своим вкладом в физику и несколькими передовыми механическими устройствами, сам Архимед придавал гораздо большее значение продуктам своей мысли и общим математическим принципам. [67] Своим величайшим достижением он считал обнаружение площади поверхности и объема сферы, которое он получил, доказав, что они составляют 2/3 площади поверхности и объема цилиндра, описывающего сферу. [68]
Аполлоний Пергский ( ок. 262–190 до н.э.) добился значительных успехов в изучении конических сечений , показав, что можно получить все три разновидности конического сечения, изменяя угол плоскости, разрезающей конус с двойным ворсом. [69] Он также придумал терминологию, используемую сегодня для конических сечений, а именно параболу («место рядом» или «сравнение»), «эллипс» («недостаток») и «гиперболу» («выход за пределы»). [70] Его работа «Коника» — одна из самых известных и сохранившихся математических работ античности, и в ней он выводит множество теорем, касающихся конических сечений, которые окажутся неоценимыми для более поздних математиков и астрономов, изучающих движение планет, таких как Исаак Ньютон. [71] Хотя ни Аполлоний, ни другие греческие математики не сделали шага к координации геометрии, трактовка кривых Аполлонием в некотором смысле похожа на современную трактовку, и некоторые из его работ, кажется, предвосхищают развитие аналитической геометрии Декартом примерно в 1800 году. годы спустя. [72]
Примерно в то же время Эратосфен Киренский ( ок. 276–194 до н. э.) изобрел « Решето Эратосфена» для нахождения простых чисел . [73] Третий век до нашей эры обычно считается «золотым веком» греческой математики, при этом достижения чистой математики отныне находятся в относительном упадке. [74] Тем не менее, в последующие столетия были достигнуты значительные успехи в прикладной математике, особенно в тригонометрии , в основном для удовлетворения потребностей астрономов. [74] Гиппарх Никейский ( ок. 190 –120 до н. э.) считается основоположником тригонометрии для составления первой известной тригонометрической таблицы, ему же принадлежит и систематическое использование круга в 360 градусов. [75] Герону Александрийскому ( ок. 10–70 гг. н. э.) приписывают формулу Герона для определения площади разностороннего треугольника и то, что он первым признал возможность отрицательных чисел, имеющих квадратные корни. [76] Менелай Александрийский ( ок. 100 г. н. э. ) был пионером сферической тригонометрии посредством теоремы Менелая . [77] Наиболее полной и влиятельной тригонометрической работой древности является « Альмагест » Птолемея ( ок. 90–168 гг . н.э. ), знаковый астрономический трактат, тригонометрические таблицы которого будут использоваться астрономами в течение следующей тысячи лет. [78] Птолемею также приписывают теорему Птолемея для получения тригонометрических величин и наиболее точное значение π за пределами Китая до средневекового периода, 3,1416. [79]
После периода застоя после Птолемея период между 250 и 350 годами нашей эры иногда называют «Серебряным веком» греческой математики. [80] В этот период Диофант добился значительных успехов в алгебре , особенно в неопределенном анализе , который также известен как «диофантов анализ». [81] Изучение диофантовых уравнений и диофантовых приближений по сей день является важной областью исследований. Его основной работой была « Арифметика» , сборник из 150 алгебраических задач, касающихся точных решений определенных и неопределенных уравнений . [82] Арифметика оказала значительное влияние на более поздних математиков, таких как Пьер де Ферма , который пришел к своей знаменитой Великой теореме после попытки обобщить проблему, которую он прочитал в Арифметике (проблему деления квадрата на два квадрата). [83] Диофант также добился значительных успехов в обозначениях, а « Арифметика» стала первым примером алгебраической символики и синкопы. [82]
Среди последних великих греческих математиков — Папп Александрийский (4 век нашей эры). Он известен своей теоремой о шестиугольнике и теоремой о центроиде , а также конфигурацией Паппуса и графом Паппуса . Его Коллекция является основным источником знаний по греческой математике, поскольку большая часть ее сохранилась. [84] Папп считается последним крупным новатором в греческой математике, а последующие работы состоят в основном из комментариев к более ранним работам.
Первой женщиной-математиком, зафиксированной в истории, была Гипатия Александрийская (350–415 гг. н.э.). Она сменила своего отца ( Теона Александрийского ) на посту библиотекаря Великой библиотеки и написала множество работ по прикладной математике. Из-за политического спора христианская община Александрии публично раздела ее и казнила. [85] Ее смерть иногда воспринимается как конец эпохи александрийской греческой математики, хотя работа продолжалась в Афинах еще столетие с такими фигурами, как Прокл , Симплиций и Евтоций . [86] Хотя Прокл и Симплиций были скорее философами, чем математиками, их комментарии к более ранним работам являются ценными источниками по греческой математике. Закрытие неоплатонической Афинской академии императором Юстинианом в 529 году нашей эры традиционно считается концом эпохи греческой математики, хотя греческая традиция продолжалась непрерывно в Византийской империи с такими математиками, как Антемий Траллесский и Исидор . из Милета , архитекторы собора Святой Софии . [87] Тем не менее, византийская математика состояла в основном из комментариев с небольшим количеством инноваций, а центры математических инноваций к этому времени можно было найти в других местах. [88]
Хотя этнические греческие математики продолжали находиться под властью поздней Римской республики и последующей Римской империи , в сравнении с ними не было примечательных местных латинских математиков. [89] [90] Древние римляне , такие как Цицерон (106–43 до н.э.), влиятельный римский государственный деятель, изучавший математику в Греции, считали, что римские геодезисты и калькуляторы гораздо больше интересовались прикладной математикой, чем теоретической математикой и геометрией, которые ценились. греками. [91] Неясно, получили ли римляне свою систему счисления непосредственно из греческого прецедента или из этрусских цифр, используемых этрусской цивилизацией , сосредоточенной на территории нынешней Тосканы , центральной Италии . [92]
Используя расчеты, римляне умели как подстрекать, так и обнаруживать финансовые махинации , а также управлять налогами в казну . [93] Сицилий Флакк , один из римских gromatici (то есть землемеров), написал « Категории полей » , которые помогали римским геодезистам в измерении площадей выделенных земель и территорий. [94] Помимо управления торговлей и налогами, римляне также регулярно применяли математику для решения инженерных задач , включая возведение архитектурных сооружений , таких как мосты , строительство дорог и подготовку к военным кампаниям . [95] Искусство и ремесла , такие как римская мозаика , вдохновленные предыдущими греческими дизайнами , создавали иллюзионистские геометрические узоры и богатые, детализированные сцены, которые требовали точных измерений для каждой плитки тессеры , кусочки opus tessellatum в среднем размером восемь квадратных миллиметров и более тонкий opus vermiculatum. куски, имеющие среднюю поверхность четыре квадратных миллиметра. [96] [97]
Создание римского календаря также потребовало элементарной математики. Первый календарь предположительно датируется 8 веком до нашей эры во времена Римского королевства и включал 356 дней плюс високосный год через год. [98] Напротив, лунный календарь республиканской эпохи содержал 355 дней, что примерно на десять и одну четверть дня короче солнечного года , и это несоответствие было решено путем добавления дополнительного месяца в календарь после 23 февраля. . [99] Этот календарь был вытеснен юлианским календарем , солнечным календарем, организованным Юлием Цезарем (100–44 до н.э.) и разработанным Сосигеном Александрийским , чтобы включать високосный день каждые четыре года в 365-дневный цикл. [100] Этот календарь, который содержал ошибку в 11 минут и 14 секунд, был позже исправлен григорианским календарем , организованным Папой Григорием XIII ( годы правления 1572–1585 ), практически тем же солнечным календарем, который используется в наше время в качестве международного стандарта. календарь. [101]
Примерно в то же время ханьцы и римляне изобрели колесный одометр для измерения пройденного расстояния , римскую модель, впервые описанную римским инженером-строителем и архитектором Витрувием ( ок. 80 г. до н. э . – ок. 15 г. до н. э .). [102] Устройство использовалось, по крайней мере, до правления императора Коммода ( годы правления 177–192 гг. н. э .), но его конструкция, похоже, была утеряна до тех пор, пока в 15 веке в Западной Европе не были проведены эксперименты. [103] Возможно, опираясь на аналогичные механизмы и технологии , обнаруженные в антикитерском механизме , одометр Витрувия имел колеса колесницы диаметром 4 фута (1,2 м), которые поворачивались четыреста раз за одну римскую милю (примерно 4590 футов/1400 м). ). При каждом обороте штифтовое устройство задействовало зубчатое колесо с 400 зубьями , которое включало вторую шестерню, ответственную за сбрасывание камешков в коробку, причем каждый камешек представлял собой пройденную милю. [104]
Анализ ранней китайской математики продемонстрировал ее уникальное развитие по сравнению с другими частями мира, что побудило ученых предположить совершенно независимое развитие. [105] Старейшим сохранившимся математическим текстом из Китая является «Чжоуби Суаньцзин» (周髀算經), датированный по разным причинам между 1200 и 100 годами до нашей эры, хотя дата около 300 г. до н.э. в период Воюющих царств кажется разумной. [106] Однако « Бамбуковые листки Цинхуа» , содержащие самую раннюю из известных десятичных таблиц умножения (хотя у древних вавилонян были таблицы с основанием 60), датируются примерно 305 годом до нашей эры и, возможно, являются старейшим из сохранившихся математических текстов Китая. [47]
Особо следует отметить использование в китайской математике десятичной позиционной системы записи, так называемых «стержневых цифр», в которых для чисел от 1 до 10 использовались отдельные шифры, а для степеней десяти — дополнительные шифры. [107] Таким образом, число 123 будет записано с использованием символа «1», за которым следует символ «100», затем символ «2», за которым следует символ «10», за которым следует символ « 3". В то время это была самая совершенная система счисления в мире, очевидно, использовавшаяся за несколько столетий до нашей эры и задолго до появления индийской системы счисления. [108] Стержневые цифры позволяли представлять числа сколь угодно большого размера и позволяли выполнять расчеты на суань-пане или китайских счетах. Дата изобретения суань-паня неизвестна, но самое раннее письменное упоминание датируется 190 годом нашей эры в « Дополнительных заметках Сюй Юэ по искусству фигур» .
Самая старая из существующих в Китае работ по геометрии происходит из философского мохистского канона ок. 330 г. до н. э. , составлено последователями Мози (470–390 до н. э.). Мо Цзин описал различные аспекты многих областей, связанных с физической наукой, а также предоставил небольшое количество геометрических теорем. [109] Он также определил понятия окружности , диаметра , радиуса и объема . [110]
В 212 г. до н.э. император Цинь Шихуан приказал сжечь все книги в Империи Цинь , кроме официально разрешенных. Этот указ не соблюдался повсеместно, но как следствие этого приказа до этой даты о древней китайской математике мало что известно. После сожжения книг в 212 г. до н.э. династия Хань (202 г. до н.э. – 220 г. н.э.) создала математические работы, которые, предположительно, расширили работы, которые сейчас утеряны. Наиболее важным из них являются «Девять глав о математическом искусстве» , полное название которых появилось к 179 году нашей эры, но ранее частично существовало под другими названиями. Он состоит из 246 текстовых задач, связанных с сельским хозяйством, бизнесом, использованием геометрии для определения пролетов высот и соотношений размеров башен китайских пагод , инженерным делом, геодезией , а также включает материалы по прямоугольным треугольникам . [106] Он создал математическое доказательство теоремы Пифагора , [111] и математическую формулу для исключения Гаусса . [112] В трактате также приводятся значения числа π , [106] которое китайские математики первоначально приближали к 3, пока Лю Синь (ум. 23 г. н.э.) не предоставил цифру 3,1457, а впоследствии Чжан Хэн (78–139) аппроксимировал число Пи как 3,1724, [ 112] 113] , а также 3,162, взяв квадратный корень из 10. [114] [115] Лю Хуэй прокомментировал Девять глав в 3 веке нашей эры и дал значение π с точностью до 5 десятичных знаков (т.е. 3,14159). [116] [117] Хотя это больше вопрос вычислительной выносливости, чем теоретической проницательности, в V веке нашей эры Цзу Чунчжи вычислил значение π с точностью до семи десятичных знаков (между 3,1415926 и 3,1415927), что оставалось наиболее точным значением π для почти ближайшие 1000 лет. [116] [118] Он также разработал метод, который позже будет назван принципом Кавальери для определения объема сферы . [119]
Пик развития китайской математики пришелся на XIII век, во второй половине правления династии Сун (960–1279), с развитием китайской алгебры. Самым важным текстом того периода является « Драгоценное зеркало четырех элементов» Чжу Шицзе (1249–1314), посвященное решению одновременных алгебраических уравнений высшего порядка с использованием метода, аналогичного методу Горнера . [116] «Драгоценное зеркало» также содержит диаграмму треугольника Паскаля с коэффициентами биномиального разложения в восьмой степени, хотя обе они появляются в китайских работах уже в 1100 году. [120] Китайцы также использовали сложную комбинаторную диаграмму, известную как магический квадрат и магические круги , описанные в древности и усовершенствованные Ян Хуэем (1238–1298 гг. н.э.). [120]
Даже после того, как европейская математика начала процветать в эпоху Возрождения , европейская и китайская математика оставались отдельными традициями, при этом значительная китайская математическая продукция пришла в упадок, начиная с 13 века. Миссионеры -иезуиты , такие как Маттео Риччи, переносили математические идеи между двумя культурами с 16 по 18 века, хотя в этот момент в Китай входило гораздо больше математических идей, чем уезжало. [120]
Японская математика , корейская математика и вьетнамская математика традиционно рассматриваются как происходящие от китайской математики и принадлежащие конфуцианской восточноазиатской культурной сфере . [121] Корейская и японская математика находилась под сильным влиянием алгебраических работ, созданных во времена китайской династии Сун, тогда как вьетнамская математика во многом обязана популярным работам китайской династии Мин (1368–1644). [122] Например, хотя вьетнамские математические трактаты были написаны либо китайским , либо местным вьетнамским письмом Чу Ном , все они следовали китайскому формату представления набора задач с алгоритмами их решения, за которыми следовали числовые ответы. [123] Математика во Вьетнаме и Корее в основном ассоциировалась с профессиональной судебной бюрократией математиков и астрономов , тогда как в Японии она была более распространена в сфере частных школ . [124]
Самая ранняя цивилизация на Индийском субконтиненте — это цивилизация долины Инда (вторая фаза зрелости: 2600–1900 гг. до н.э.), которая процветала в бассейне реки Инд . Их города были расположены с геометрической регулярностью, но никаких известных математических документов этой цивилизации не сохранилось. [126]
Самыми старыми сохранившимися математическими записями из Индии являются Сульба-сутры (датированные по-разному между 8-м веком до нашей эры и 2-м веком нашей эры), [127] приложения к религиозным текстам, которые дают простые правила для строительства алтарей различных форм, таких как квадраты, прямоугольники, параллелограммы и другие. [128] Как и в случае с Египтом, озабоченность храмовыми функциями указывает на происхождение математики из религиозного ритуала. [127] Сутры Сульбы дают методы построения круга примерно той же площади, что и заданный квадрат , которые подразумевают несколько различных приближений значения π . [129] [130] [a] Кроме того, они вычисляют квадратный корень из 2 с точностью до нескольких десятичных знаков, перечисляют пифагоровы тройки и приводят формулировку теоремы Пифагора . [130] Все эти результаты присутствуют в вавилонской математике, что указывает на месопотамское влияние. [127] Неизвестно, в какой степени Сульба-сутры повлияли на более поздних индийских математиков. Как и в Китае, в индийской математике отсутствует преемственность; значительные успехи разделяются длительными периодами бездействия. [127]
Панини (ок. V в. до н. э.) сформулировал правила санскритской грамматики . [131] Его обозначения были похожи на современные математические обозначения и использовали метаправила, преобразования и рекурсию . [132] Пингала (примерно III–I вв. до н. э.) в своем трактате о просодии использует устройство, соответствующее двоичной системе счисления . [133] [134] Его обсуждение комбинаторики метров соответствует элементарной версии биномиальной теоремы . Работа Пингалы также содержит основные идеи чисел Фибоначчи (называемых матрамеру ). [135]
Следующими значительными математическими документами из Индии после Сульба-сутр являются Сиддханты , астрономические трактаты IV и V веков нашей эры ( период Гуптов ), демонстрирующие сильное эллинистическое влияние. [136] Они важны тем, что содержат первый пример тригонометрических отношений, основанных на полухорде, как в современной тригонометрии, а не на полной хорде, как это было в тригонометрии Птолемея. [137] Из-за ряда ошибок перевода слова «синус» и «косинус» произошли от санскритских «джия» и «коджия». [137]
Около 500 г. н.э. Арьябхата написал «Арьябхатию» , небольшой томик, написанный стихами и призванный дополнить правила вычислений, используемые в астрономии и математических измерениях, хотя и без чувства логики или дедуктивной методологии. [138] Именно в «Арьябхатии» впервые появляется десятичная разрядная система. Несколько столетий спустя мусульманский математик Абу Райхан Бируни описал Арьябхатию как «смесь обычных камешков и дорогих кристаллов». [139]
В VII веке Брахмагупта определил теорему Брахмагупты , тождество Брахмагупты и формулу Брахмагупты , и впервые в « Брахма-спхута-сиддханте » он доходчиво объяснил использование нуля как заполнителя и десятичной цифры , а также объяснил индуистскую Арабская система счисления . [140] Именно из перевода этого индийского текста по математике (около 770 г.) исламские математики познакомились с этой системой счисления, которую они адаптировали как арабские цифры . Исламские ученые принесли знания об этой системе счисления в Европу к XII веку, и теперь она вытеснила все старые системы счисления во всем мире. Для представления чисел в индуистско-арабской системе счисления используются различные наборы символов, все из которых произошли от цифр Брахми . Каждое из примерно дюжины основных письменностей Индии имеет свои собственные цифровые символы. В X веке комментарий Халаюдхи к работе Пингалы содержит исследование последовательности Фибоначчи и треугольника Паскаля , а также описывает формирование матрицы . [ нужна цитата ]
В XII веке Бхаскара II , [141] живший на юге Индии, много писал по всем известным тогда разделам математики. Его работа содержит математические объекты, эквивалентные или приблизительно эквивалентные бесконечно малым, производным, теореме о среднем значении и производной функции синуса. В какой степени он предвосхитил изобретение исчисления, является спорным вопросом среди историков математики. [142] В 14 веке Нараяна Пандит завершил свою Ганиту Каумуди . [143]
Также в 14 веке Мадхава из Сангамаграмы , основатель Керальской школы математики , нашел ряд Мадхавы-Лейбница и получил из него преобразованный ряд , первые 21 член которого он использовал для вычисления значения π как 3,14159265359. Мадхава также нашел ряд Мадхавы-Грегори для определения арктангенса, степенной ряд Мадхавы-Ньютона для определения синуса и косинуса и приближение Тейлора для функций синуса и косинуса. [144] В 16 веке Джьештхадева объединил многие разработки и теоремы Керальской школы в Юкти-бхаше . [145] [146] Утверждалось, что достижения школы Кералы, заложившей основы классического анализа, были переданы в Европу в 16 веке [6] через иезуитских миссионеров и торговцев, которые действовали в районе древнего порта. Музириса в то время и, как следствие, напрямую повлиял на более поздние европейские разработки в области анализа и исчисления . [147] Однако другие ученые утверждают, что школа Кералы не сформулировала систематическую теорию дифференциации и интеграции и что нет никаких прямых доказательств того, что их результаты передавались за пределы Кералы. [148] [149] [150] [151]
Исламская империя , основанная на Ближнем Востоке , в Центральной Азии , Северной Африке , Иберии и в некоторых частях Индии в 8 веке, внесла значительный вклад в развитие математики. Хотя большинство исламских текстов по математике были написаны на арабском языке , большинство из них не были написаны арабами , поскольку, как и статус греческого языка в эллинистическом мире, арабский язык использовался в качестве письменного языка неарабских ученых во всем исламском мире в время. [152]
В 9 веке математик Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми написал важную книгу об индуистско-арабских цифрах и книгу о методах решения уравнений. Его книга «О расчетах индуистскими цифрами» , написанная около 825 года, наряду с работой Аль-Кинди , сыграла важную роль в распространении индийской математики и индийских цифр на Западе. Слово « алгоритм» происходит от латинизации его имени Алгоритми, а слово « алгебра» — от названия одной из его работ « Аль-Китаб аль-мухтасар фи хисаб аль-Габр ва'ль-мукабала» ( «Сборник вычислений, написанный автором Доработка и балансировка ). Он дал исчерпывающее объяснение алгебраическому решению квадратных уравнений с положительными корнями [153] и был первым, кто начал преподавать алгебру в элементарной форме и ради самой алгебры. [154] Он также обсудил фундаментальный метод « редукции » и «балансировки», имея в виду перенос вычтенных членов на другую сторону уравнения, то есть отмену подобных членов на противоположных сторонах уравнения. Это операция, которую аль-Хорезми первоначально назвал « аль-Джабр» . [155] Его алгебра также больше не занималась «рядом проблем, которые необходимо было решить, а представляла собой изложение , которое начинается с примитивных терминов, в которых комбинации должны давать все возможные прототипы уравнений, которые отныне явно составляют истинный объект исследования. " Он также изучал уравнение само по себе и «в общем виде, поскольку оно не просто возникает в ходе решения задачи, а специально призвано определить бесконечный класс задач». [156]
В Египте Абу Камиль расширил алгебру до набора иррациональных чисел , приняв квадратные корни и корни четвертой степени в качестве решений и коэффициентов квадратных уравнений. Он также разработал методы, используемые для решения трех нелинейных уравнений одновременно с тремя неизвестными переменными. Уникальной особенностью его работ была попытка найти все возможные решения некоторых его задач, в том числе той, где он нашел 2676 решений. [157] Его работы сформировали важную основу для развития алгебры и оказали влияние на более поздних математиков, таких как аль-Караджи и Фибоначчи.
Дальнейшие разработки в алгебре были сделаны Аль-Караджи в его трактате «Аль-Фахри» , где он расширяет методологию, включив в нее целые степени и целые корни неизвестных величин. Нечто близкое к доказательству методом математической индукции появляется в книге, написанной Аль-Караджи около 1000 года нашей эры, который использовал ее для доказательства биномиальной теоремы , треугольника Паскаля и суммы целых кубов . [158] Историк математики Ф. Вепке [ 159] похвалил Аль-Караджи за то, что он «первый, кто представил теорию алгебраического исчисления » . Также в X веке Абул Вафа перевел произведения Диофанта на арабский язык. Ибн аль-Хайсам был первым математиком, который вывел формулу суммы четвертых степеней, используя метод, который легко обобщается для определения общей формулы суммы любых целых степеней. Он выполнил интегрирование, чтобы найти объем параболоида , и смог обобщить свой результат для интегралов от многочленов до четвертой степени . Таким образом, он был близок к нахождению общей формулы для интегралов от многочленов, но его не интересовали полиномы выше четвертой степени. [160]
В конце 11 века Омар Хайям написал «Обсуждение трудностей Евклида» , книгу о том, что он считал недостатками в «Началах» Евклида , особенно в постулате о параллельности . Он также был первым, кто нашел общее геометрическое решение кубических уравнений . Он также оказал большое влияние на реформу календаря . [161]
В 13 веке Насир ад-Дин Туси (Насиреддин) добился успехов в сфере сферической тригонометрии . Он также написал влиятельную работу по постулату параллельности Евклида . В 15 веке Гият аль-Каши вычислил значение числа π с точностью до 16-го знака после запятой. У Каши также был алгоритм вычисления корней n- й степени, который был частным случаем методов, данных много столетий спустя Руффини и Хорнером .
Другие достижения мусульманских математиков в этот период включают добавление десятичной точки к арабским цифрам , открытие всех современных тригонометрических функций , кроме синуса, введение аль-Кинди криптоанализа и частотного анализа , развитие аналитической геометрии. Ибн аль-Хайсама , начало алгебраической геометрии Омара Хайяма и развитие алгебраической записи аль -Каласади . [162]
Во времена Османской империи и империи Сефевидов с 15 века развитие исламской математики застопорилось.
В доколумбовой Америке цивилизация майя , процветавшая в Мексике и Центральной Америке в I тысячелетии нашей эры, разработала уникальную математическую традицию, которая из-за своей географической изоляции была полностью независима от существующей европейской, египетской и азиатской математики. [163] В цифрах майя использовалась двадцатеричная система счисления , вместо десятичной системы, которая составляет основу десятичной системы , используемой в большинстве современных культур. [163] Майя использовали математику для создания календаря майя , а также для предсказания астрономических явлений в своей родной астрономии майя . [163] Хотя концепция нуля должна была быть выведена в математике многих современных культур, майя разработали для нее стандартный символ. [163]
Интерес средневековых европейцев к математике был обусловлен заботами, совершенно отличными от интересов современных математиков. Одним из движущих элементов была вера в то, что математика дает ключ к пониманию сотворенного порядка природы, часто оправдываемая платоновским « Тимеем » и библейским отрывком (в « Книге Мудрости ») о том, что Бог упорядочил все вещи в мере и числе, и масса . [164]
Боэций предоставил место математике в учебной программе в VI веке, когда он ввел термин квадривиум для описания изучения арифметики, геометрии, астрономии и музыки. Он написал «De Institutione arithmetica» , вольный перевод с греческого « Введения в арифметику» Никомаха ; De Institutione Musica , также полученная из греческих источников; и серия выдержек из «Элементов » Евклида . Его работы были скорее теоретическими, чем практическими, и составляли основу математических исследований до восстановления греческих и арабских математических работ. [165] [166]
В XII веке европейские учёные путешествовали по Испании и Сицилии в поисках научных арабских текстов , в том числе «Сборника вычислений путём завершения и балансировки» аль-Хваризми , переведенного на латынь Робертом Честерским , и полного текста « Начал » Евклида , переведенного в различных версиях Аделарда Батского , Германа Каринтийского и Герарда Кремонского . [167] [168] Эти и другие новые источники вызвали обновление математики.
Леонардо Пизанский, ныне известный как Фибоначчи , по счастливой случайности узнал об индуистско-арабских цифрах во время поездки в то место, где сейчас находится Беджая , Алжир, вместе со своим отцом-торговцем. (Европа все еще использовала римские цифры .) Там он наблюдал систему арифметики (в частности, алгоритмизм ), которая благодаря позиционному обозначению индуистско-арабских цифр была намного более эффективной и значительно облегчала торговлю. Леонардо написал Liber Abaci в 1202 году (обновленную в 1254 году), представив эту технику в Европе и положив начало длительному периоду ее популяризации. Книга также принесла в Европу то, что сейчас известно как последовательность Фибоначчи (известную индийским математикам за сотни лет до этого) [169] , которую Фибоначчи использовал как ничем не примечательный пример.
В 14 веке появились новые математические концепции для исследования широкого круга проблем. [170] Одним из важных вкладов было развитие математики локального движения.
Томас Брэдуордин предположил, что скорость (V) увеличивается в арифметической пропорции по мере того, как отношение силы (F) к сопротивлению (R) увеличивается в геометрической пропорции. Брэдуордин выразил это на ряде конкретных примеров, но, хотя логарифм еще не был изобретен, мы можем выразить его вывод анахронично, записав: V = log (F/R). [171] Анализ Брэдуордина является примером переноса математического метода, использованного аль-Кинди и Арнальдом из Виллановы для количественной оценки природы сложных лекарств, на другую физическую задачу. [172]
Один из оксфордских калькуляторов XIV века , Уильям Хейтсбери , не обладая дифференциальным исчислением и концепцией пределов , предложил измерять мгновенную скорость «по пути, который описывало бы [тело], если бы ... степень скорости, с которой он движется в данный момент». [174]
Хейтсбери и другие математически определили расстояние, пройденное телом, совершающим равномерно ускоренное движение (сегодня это решается путем интегрирования ), заявив, что «движущееся тело, равномерно приобретающее или теряющее это приращение [скорости], пройдет за некоторое заданное время [расстояние], полностью равное к тому, что он прошел бы, если бы двигался непрерывно в одно и то же время со средней степенью [скорости]». [175]
Николь Ореме из Парижского университета и итальянец Джованни ди Казали независимо представили графическую демонстрацию этой зависимости, утверждая, что область под линией, изображающей постоянное ускорение, представляет собой общее пройденное расстояние. [176] В более позднем математическом комментарии к « Началам» Евклида Орем сделал более подробный общий анализ, в котором он продемонстрировал, что тело будет приобретать с каждым последующим приращением времени приращение любого качества, которое увеличивается как нечетное число. Поскольку Евклид продемонстрировал, что сумма нечетных чисел является квадратом числа, общее качество, приобретаемое телом, увеличивается пропорционально квадрату времени. [177]
В эпоху Возрождения развитие математики и бухгалтерского учета были переплетены. [178] Хотя между алгеброй и бухгалтерским учетом нет прямой связи, преподавание предметов и публикуемые книги часто предназначались для детей купцов, которых отправляли в школы счетов (во Фландрии и Германии ) или школы счетов (известные как abbaco в Италия), где они приобретали навыки, полезные для торговли и коммерции. Алгебра при выполнении бухгалтерских операций, вероятно, не нужна , но для сложных бартерных операций или расчета сложных процентов базовые знания арифметики были обязательными, а знание алгебры было очень полезно.
Пьеро делла Франческа (ок. 1415–1492) написал книги по твердотельной геометрии и линейной перспективе , в том числе De Prospectiva Pingendi («О перспективе для живописи») , Trattato d'Abaco («Трактат о счетах») и De quinque corporibus Regularibus («О пяти правильных телах»). ) . [179] [180] [181]
Книга Луки Пачоли « Сумма арифметики, геометрии, пропорций и пропорций » (итал. «Обзор арифметики , геометрии , отношений и пропорций ») была впервые напечатана и опубликована в Венеции в 1494 году . Она включала 27-страничный трактат по бухгалтерскому учету «Особенности». de Computis et Scripturis» (итал. «Детали вычислений и записи»). Она была написана в первую очередь для торговцев и продавалась в основном им, которые использовали книгу в качестве справочного текста, как источник удовольствия от содержащихся в ней математических головоломок и для помощи в образовании своих сыновей. [182] В «Сумме арифметике» Пачоли впервые в печатной книге ввел символы плюс и минус , символы, которые стали стандартными обозначениями в итальянской математике эпохи Возрождения. Summa Arithmetica была также первой известной книгой, напечатанной в Италии и содержащей алгебру . Пачоли получил многие из своих идей от Пьеро Делла Франчески, которого он использовал в качестве плагиата.
В Италии в первой половине 16 века Сципионе дель Ферро и Никколо Фонтана Тарталья обнаружили решения кубических уравнений . Джероламо Кардано опубликовал их в своей книге Ars Magna 1545 года вместе с решением уравнений четвертой степени , открытым его учеником Лодовико Феррари . В 1572 году Рафаэль Бомбелли опубликовал свою «Алгебру» , в которой показал, как обращаться с мнимыми величинами , которые могли появиться в формуле Кардано для решения кубических уравнений.
Книга Саймона Стевина « De Thiende » («Искусство десятых»), впервые опубликованная на голландском языке в 1585 году, содержала первое систематическое рассмотрение десятичной системы счисления в Европе, которая повлияла на все последующие работы над действительной системой счисления . [183] [184]
В связи с потребностями навигации и растущей потребностью в точных картах больших территорий тригонометрия стала важной отраслью математики. Варфоломей Питиск был первым, кто использовал это слово, опубликовав свою «Тригонометрию» в 1595 году. Таблица синусов и косинусов Региомонана была опубликована в 1533 году. [185]
В эпоху Возрождения желание художников реалистично изобразить мир природы вместе с вновь открытой философией греков побудило художников изучать математику. Они также были инженерами и архитекторами того времени и поэтому в любом случае нуждались в математике. Искусство живописи в перспективе и связанные с этим разработки в области геометрии интенсивно изучались. [186]
В 17 веке наблюдался беспрецедентный рост математических и научных идей по всей Европе. Галилей наблюдал спутники Юпитера на орбите этой планеты, используя телескоп Ганса Липперхея . Тихо Браге собрал большое количество математических данных, описывающих положение планет на небе. Будучи помощником Браге, Иоганн Кеплер впервые познакомился с темой движения планет и серьезно занялся ею. Вычисления Кеплера были упрощены одновременным изобретением логарифмов Джоном Нэпьером и Йостом Бюрги . Кеплеру удалось сформулировать математические законы движения планет. [187] Аналитическая геометрия , разработанная Рене Декартом (1596–1650), позволила отобразить эти орбиты на графике в декартовых координатах .
Опираясь на более ранние работы многих предшественников, Исаак Ньютон открыл законы физики, объясняющие законы Кеплера , и объединил концепции, теперь известные как исчисление . Независимо от этого Готфрид Вильгельм Лейбниц разработал исчисление и большую часть обозначений исчисления, которые используются до сих пор. Он также усовершенствовал двоичную систему счисления , которая является основой почти всех цифровых ( электронных , твердотельных , дискретных ) компьютеров , включая архитектуру фон Неймана , которая является стандартной парадигмой проектирования, или « компьютерной архитектурой », последовавшей из Вторая половина 20-го века и начало 21-го. Лейбница называли «основателем информатики». [188]
Наука и математика стали международным занятием, которое вскоре распространилось по всему миру. [189]
Помимо применения математики к изучению неба, прикладная математика начала расширяться в новые области благодаря переписке Пьера де Ферма и Блеза Паскаля . Паскаль и Ферма заложили основу для исследований теории вероятностей и соответствующих правил комбинаторики в своих дискуссиях по поводу азартной игры . Паскаль, сделав свою ставку , попытался использовать недавно разработанную теорию вероятности, чтобы аргументировать необходимость жизни, посвященной религии, на том основании, что даже если вероятность успеха была мала, вознаграждение было бесконечным. В каком-то смысле это предвещало развитие теории полезности в XVIII–XIX веках.
.jpg/1280px-Leonhard_Euler_-_Jakob_Emanuel_Handmann_(Kunstmuseum_Basel).jpg)
Самым влиятельным математиком XVIII века, возможно, был Леонард Эйлер (1707–1783). Его вклад варьируется от основания изучения теории графов с помощью проблемы семи мостов Кенигсберга до стандартизации многих современных математических терминов и обозначений. Например, он назвал квадратный корень из минус 1 символом i и популяризировал использование греческой буквы для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру. Он внес большой вклад в изучение топологии, теории графов, исчисления, комбинаторики и комплексного анализа, о чем свидетельствует множество теорем и обозначений, названных в его честь.
Среди других важных европейских математиков XVIII века были Жозеф Луи Лагранж , который провёл новаторскую работу в области теории чисел, алгебры, дифференциального исчисления и вариационного исчисления, и Пьер-Симон Лаплас , который в эпоху Наполеона провёл важную работу по основы небесной механики и статистики .
На протяжении XIX века математика становилась все более абстрактной. [190] Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) олицетворяет эту тенденцию. [ нужна цитата ] Он сделал революционную работу по функциям комплексных переменных , в геометрии и по сходимости рядов , оставив в стороне его многочисленные вклады в науку. Он также дал первые удовлетворительные доказательства основной теоремы алгебры и квадратичного закона взаимности . [ нужна цитата ]
В этом столетии возникли две формы неевклидовой геометрии , в которых постулат евклидовой геометрии о параллельности больше не действует. Русский математик Николай Иванович Лобачевский и его соперник, венгерский математик Янош Больяи , независимо определили и изучили гиперболическую геометрию , в которой единственность параллелей больше не соблюдается. В этой геометрии сумма углов треугольника составляет менее 180°. Эллиптическая геометрия была разработана позже, в 19 веке, немецким математиком Бернхардом Риманом ; здесь параллели найти невозможно, а сумма углов в треугольнике превышает 180°. Риман также разработал риманову геометрию , которая объединяет и значительно обобщает три типа геометрии, и определил понятие многообразия , которое обобщает идеи кривых и поверхностей , и заложил математические основы общей теории относительности . [191]
В 19 веке началось развитие абстрактной алгебры . Герман Грассман в Германии дал первую версию векторных пространств , Уильям Роуэн Гамильтон в Ирландии разработал некоммутативную алгебру . [ нужна цитата ] Британский математик Джордж Буль разработал алгебру, которая вскоре превратилась в то, что сейчас называется булевой алгеброй , в которой единственными числами были 0 и 1. Булева алгебра является отправной точкой математической логики и имеет важные приложения в электротехнике и электротехнике . Информатика . [ нужна цитата ] Огюстен-Луи Коши , Бернхард Риман и Карл Вейерштрасс переформулировали исчисление в более строгой форме. [ нужна цитата ]
Кроме того, впервые были исследованы пределы математики. Нильс Хенрик Абель , норвежец, и Эварист Галуа , француз, доказали, что не существует общего алгебраического метода решения полиномиальных уравнений степени больше четырёх ( теорема Абеля–Руффини ). [192] Другие математики XIX века использовали это в своих доказательствах того, что одних только прямой линейки и циркуля недостаточно, чтобы разделить произвольный угол пополам , построить сторону куба, вдвое превышающую объем данного куба, или построить квадрат, равный площадь заданного круга . [ нужна цитата ] Математики тщетно пытались решить все эти проблемы со времен древних греков. [ нужна цитата ] С другой стороны, ограничение трех измерений в геометрии было преодолено в 19 веке благодаря рассмотрению пространства параметров и гиперкомплексных чисел . [ нужна цитата ]
Исследования Абеля и Галуа решений различных полиномиальных уравнений заложили основу для дальнейшего развития теории групп и связанных с ней областей абстрактной алгебры . В 20 веке физики и другие ученые рассматривали теорию групп как идеальный способ изучения симметрии . [ нужна цитата ]
В конце 19 века Георг Кантор заложил первые основы теории множеств , которая позволила строго трактовать понятие бесконечности и стала общим языком почти всей математики. Теория множеств Кантора и возникновение математической логики в руках Пеано , Л. Дж. Брауэра , Дэвида Гильберта , Бертрана Рассела и А. Н. Уайтхеда положили начало длительным дебатам об основаниях математики . [ нужна цитата ]
В XIX веке был основан ряд национальных математических обществ: Лондонское математическое общество в 1865 году, [193] Французское математическое общество в 1872 году, [194] Математический цирк Палермо в 1884 году, [195] [196 ] Эдинбургское математическое общество в 1883 году, [197] и Американское математическое общество в 1888 году. [198] Первое международное общество с особыми интересами, Общество кватернионов , было сформировано в 1899 году в контексте векторного спора . [199]
В 1897 году Курт Хензель ввёл p-адические числа . [200]
В 20 веке математика стала основной профессией. К концу столетия ежегодно присуждались тысячи новых докторов наук по математике, и появились рабочие места как в преподавании, так и в промышленности. [201] Попытка каталогизировать области и приложения математики была предпринята в энциклопедии Кляйна . [202]
В своей речи на Международном конгрессе математиков в 1900 году Дэвид Гильберт изложил список из 23 нерешённых проблем математики . [203] Эти проблемы, охватывающие многие области математики, составляли центральное место для большей части математики 20-го века. На сегодняшний день решено 10, частично решено 7 и еще 2 открыты. Остальные четыре сформулированы слишком свободно, чтобы можно было сказать, решены они или нет. [ нужна цитата ]
Известные исторические предположения были наконец доказаны. В 1976 году Вольфганг Хакен и Кеннет Аппель доказали теорему о четырех цветах , которая в то время вызывала споры по поводу использования для этого компьютера. [204] Эндрю Уайлс , опираясь на работы других, доказал Великую теорему Ферма в 1995 году . [205] Пол Коэн и Курт Гёдель доказали, что гипотеза континуума не зависит (не может быть ни доказана, ни опровергнута) от стандартных аксиом множества теория . [206] В 1998 году Томас Каллистер Хейлз доказал гипотезу Кеплера , также используя компьютер. [207]
Произошло математическое сотрудничество беспрецедентного размера и масштаба. Примером может служить классификация конечных простых групп (также называемая «огромной теоремой»), доказательство которой в период с 1955 по 2004 год потребовало 500 с лишним журнальных статей примерно 100 авторов и заняло десятки тысяч страниц. [208] Группа французских математиков, в том числе Жан Дьедонне и Андре Вейль , публиковавшаяся под псевдонимом « Николя Бурбаки », попыталась представить всю известную математику как единое строгое целое. Получившиеся в результате несколько десятков томов оказали неоднозначное влияние на математическое образование. [209]
Дифференциальная геометрия получила свое признание, когда Альберт Эйнштейн использовал ее в общей теории относительности . [ нужна цитата ] Совершенно новые области математики, такие как математическая логика , топология и теория игр Джона фон Неймана, изменили виды вопросов, на которые можно было ответить математическими методами. [ нужна цитация ] Все виды структур были абстрагированы с помощью аксиом и названий, таких как метрические пространства , топологические пространства и т. д . [ нужна цитация ] Как это делают математики, концепция абстрактной структуры сама по себе была абстрагирована и привела к теории категорий . [ нужна ссылка ] Гротендик и Серр переделывают алгебраическую геометрию , используя теорию пучков . [ нужна цитата ] Большие успехи были достигнуты в качественном исследовании динамических систем , которое Пуанкаре начал в 1890-х годах. [ нужна цитация ] Теория меры была разработана в конце 19 и начале 20 веков. Приложения мер включают интеграл Лебега , аксиоматизацию Колмогорова теории вероятностей и эргодическую теорию . [ нужна цитата ] Теория узлов значительно расширилась. [ нужна ссылка ] Квантовая механика привела к развитию функционального анализа . [ нужна цитата ] Другие новые области включают теорию распределения Лорана Шварца , теорию неподвижной точки , теорию особенностей и теорию катастроф Рене Тома , теорию моделей и фракталы Мандельброта . [ нужна ссылка ] Теория Ли с ее группами Ли и алгебрами Ли стала одной из основных областей исследования. [ нужна цитата ]
Нестандартный анализ , введенный Абрахамом Робинсоном , реабилитировал бесконечно малый подход к исчислению, который приобрел дурную славу в пользу теории пределов , расширив область действительных чисел до гипердействительных чисел , которые включают бесконечно малые и бесконечные величины. [ нужна цитата ] Еще более обширная система счисления, сюрреалистические числа, были открыты Джоном Хортоном Конвеем в связи с комбинаторными играми . [ нужна цитата ]
Развитие и постоянное совершенствование компьютеров , сначала механических аналоговых машин, а затем цифровых электронных машин, позволило промышленности иметь дело со все большими и большими объемами данных для облегчения массового производства, распределения и связи, и для решения этой проблемы были разработаны новые области математики. : теория вычислимости Алана Тьюринга ; теория сложности ; Использование Дерриком Генри Лемером ENIAC для дальнейшего развития теории чисел и теста на простоту Лукаса-Лемера ; теория рекурсивных функций Рожи Петера ; теория информации Клода Шеннона ; обработка сигнала ; анализ данных ; оптимизация и другие области исследования операций . [ нужна цитата ] В предыдущие столетия большое математическое внимание уделялось исчислению и непрерывным функциям, но рост вычислительных и коммуникационных сетей привел к увеличению важности дискретных концепций и расширению комбинаторики , включая теорию графов . Скорость и возможности обработки данных компьютеров также позволили решать математические задачи, которые были слишком трудоемкими для решения с помощью вычислений карандашом и бумагой, что привело к появлению таких областей, как численный анализ и символьные вычисления . [ нужна цитация ] Некоторые из наиболее важных методов и алгоритмов 20-го века: симплексный алгоритм , быстрое преобразование Фурье , коды, исправляющие ошибки , фильтр Калмана из теории управления и алгоритм RSA криптографии с открытым ключом . [ нужна цитата ]
В то же время были сделаны глубокие выводы об ограничениях математики. В 1929 и 1930 годах это было доказано [ кем? ] истинность или ложность всех утверждений, сформулированных о натуральных числах плюс сложение или умножение (но не то и другое), была разрешима , то есть могла быть определена с помощью некоторого алгоритма. [ нужна цитата ] В 1931 году Курт Гёдель обнаружил, что это не относится к натуральным числам, а также к сложению и умножению; эта система, известная как арифметика Пеано , на самом деле была неполной . (Арифметика Пеано подходит для значительной части теории чисел , включая понятие простого числа .) Следствием двух теорем Гёделя о неполноте является то, что в любой математической системе, которая включает арифметику Пеано (включая весь анализ и геометрию ), истина обязательно опережает доказательство, т.е. существуют истинные утверждения, которые невозможно доказать в рамках системы. Следовательно, математику нельзя свести к математической логике, и мечту Дэвида Гильберта о том, чтобы сделать всю математику полной и последовательной, необходимо было переформулировать. [ нужна цитата ]
Одной из наиболее ярких фигур в математике 20-го века был Шриниваса Айянгар Рамануджан (1887–1920), индийский автодидак [210] , который выдвинул гипотезы или доказал более 3000 теорем [ нужна цитация ] , включая свойства весьма составных чисел , [ 211] статистическая сумма [210] и ее асимптотика , [212] и имитация тета-функций . [210] Он также провел крупные исследования в области гамма-функций , [213] [214] модулярных форм , [210] расходящихся рядов , [210] гипергеометрических рядов [210] и теории простых чисел . [210]
Пауль Эрдеш опубликовал больше статей, чем любой другой математик в истории, [215] работая с сотнями сотрудников. У математиков есть игра, эквивалентная игре Кевина Бэкона , которая приводит к числу Эрдеша математика. Это описывает «совместную дистанцию» между человеком и Эрдёшем, измеряемую совместным авторством математических статей. [216] [217]
Многие называют Эмми Нётер самой важной женщиной в истории математики. [218] Она изучала теории колец , полей и алгебр . [ нужна цитата ]
Как и в большинстве областей обучения, взрыв знаний в эпоху науки привел к специализации: к концу века в математике существовали сотни специализированных областей, а Классификация предметов математики состояла из десятков страниц. [219] Издавалось все больше и больше математических журналов , и к концу века развитие Всемирной паутины привело к онлайн-публикациям. [ нужна цитата ]
В 2000 году Математический институт Клея объявил о семи задачах премии тысячелетия . [220] В 2003 году гипотеза Пуанкаре была решена Григорием Перельманом (который отказался принять награду, так как критиковал математический истеблишмент). [221]
Большинство математических журналов теперь имеют как онлайн-версии, так и печатные версии, и многие журналы выпускаются только онлайн. [ нужна цитата ] Растет стремление к публикации в открытом доступе , впервые ставшей популярной благодаря arXiv . [ нужна цитата ]
В математике можно наблюдать множество тенденций, наиболее примечательной из которых является то, что этот предмет становится все более обширным, поскольку компьютеры становятся все более важными и мощными; объем данных, производимых наукой и промышленностью при помощи компьютеров, продолжает расти в геометрической прогрессии. В результате наблюдается соответствующий рост спроса на математику, помогающую обрабатывать и понимать эти большие данные . [222] Ожидается, что карьера в области математических наук будет продолжать расти: по оценкам Бюро статистики труда США (в 2018 году), «занятость в сфере математических наук, по прогнозам, вырастет на 27,9 процента с 2016 по 2026 год». [223]
{{cite book}}: |journal=игнорируется ( помощь ) Гл. IV «Египетская математика и астрономия», стр. 71–96.К 766 году мы узнаем, что астрономо-математический труд, известный арабам как « Синдхинд », был привезен в Багдад из Индии. Обычно считается, что это была «Брахмаспута-сиддханта» , хотя, возможно, это была «Сурья-сиддханата» . Несколько лет спустя, примерно в 775 году, эта Сиддханата была переведена на арабский язык, а вскоре после этого (около 780 года) астрологический Тетрабиблос Птолемея был переведен на арабский язык с греческого.
{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)Один пример, который я могу вам привести, относится к демонстрации индийским Мадхавой примерно в 1400 году нашей эры бесконечных степенных рядов тригонометрических функций с использованием геометрических и алгебраических аргументов.
Когда это было впервые описано на английском языке
Чарльзом Уишем
в 1830-х годах, это было провозглашено открытием исчисления индейцами.
Это утверждение и достижения Мадхавы были проигнорированы западными историками, по-видимому, сначала потому, что они не могли признать, что это исчисление открыл индеец, но позже потому, что никто больше не читал «Труды
Королевского азиатского общества»
, в которых была опубликована статья Уиша.
Этот вопрос снова всплыл на поверхность в 1950-х годах, и теперь у нас есть должным образом отредактированные санскритские тексты, и мы понимаем, какой умный способ Мадхава вывел ряд
без
исчисления;
но многие историки до сих пор считают невозможным представить проблему и ее решение с точки зрения чего-либо иного, кроме исчисления, и заявляют, что исчисление — это то, что нашел Мадхава.
В этом случае элегантность и блеск математики Мадхавы искажаются, поскольку они погребены под нынешним математическим решением проблемы, для которой он нашел альтернативное и мощное решение.
В дискуссиях по индийской математике нередко можно встретить такие утверждения, как то, что «концепция дифференциации была понята [в Индии] со времен Манджулы (... в X веке)» [Джозеф 1991, 300] или что «мы можем считать Мадхаву основателем математического анализа» (Джозеф 1991, 293), или что Бхаскара II может претендовать на звание «предшественника Ньютона и Лейбница в открытии принципа дифференциального исчисления» (Bag 1979). , 294).... Точки сходства, особенно между ранними европейскими исчислениями и керальскими работами над степенными рядами, даже породили предположения о возможной передаче математических идей с Малабарского побережья в 15 веке или после него латинским ученым. мире (например, в (Bag 1979, 285))... Следует, однако, иметь в виду, что такой акцент на сходстве санскрита (или малаялама) и латинской математики рискует уменьшить нашу способность полностью видеть и понимать бывший.
Говоря об индийском «открытии принципа дифференциального исчисления», несколько затемняется тот факт, что индийские методы выражения изменений синуса посредством косинуса или наоборот, как в примерах, которые мы видели, оставались в рамках этого специфического тригонометрического исчисления. контекст.
Дифференциальный «принцип» не был обобщен на произвольные функции – фактически, явное понятие произвольной функции, не говоря уже о понятии ее производной или алгоритме получения производной, здесь не имеет значения.
Николь Орем... первой доказала расходимость гармонического ряда (ок. 1350 г.). Его результаты были утеряны на несколько столетий, и этот результат был вновь доказан итальянским математиком Пьетро Менголи в 1647 году и швейцарским математиком Иоганном Бернулли в 1687 году.
{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)