Ряд арктангенсов

Математический степенной ряд арктангенса

В математике ряд арктангенса , традиционно называемый рядом Грегори , представляет собой разложение в ряд Тейлора в начале функции арктангенса : ^[1]

${\displaystyle \arctan x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}.}$

Этот ряд сходится в комплексном круге, за исключением (где ). ${\displaystyle |x|\leq 1,}$ ${\displaystyle x=\pm i}$ ${\displaystyle \arctan \pm i=\infty }$

Впервые он был открыт в XIV веке индийским математиком Мадхавой из Сангамаграмы ( ок.  1340 – ок. 1425), основателем школы Кералы , и описан в сохранившихся работах Нилакантхи Сомаяджи (ок. 1500) и Джьештхадевы (ок. 1530). Работа Мадхавы была неизвестна в Европе, а ряд арктангенса был независимо переоткрыт Джеймсом Грегори в 1671 году и Готфридом Лейбницем в 1673 году . ^[2] В современной литературе ряд арктангенса иногда называют рядом Мадхавы–Грегори, чтобы признать приоритет Мадхавы (см. также ряд Мадхавы ). ^[3]

Частный случай арктангенса числа ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1}$ традиционно называют формулой Лейбница для π или в последнее время иногда формулой Мадхавы–Лейбница :

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan 1=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots .}$

Чрезвычайно медленная сходимость ряда арктангенсов для делает эту формулу непрактичной как таковую. Математики школы Кералы использовали дополнительные поправочные члены для ускорения сходимости. Джон Мачин (1706) выразил ⁠ ⁠ как сумму арктангенсов меньших значений, что в конечном итоге привело к множеству формул, подобных формулам Мачина, для ⁠ ⁠ . Исаак Ньютон (1684) и другие математики ускорили сходимость ряда с помощью различных преобразований. ${\displaystyle |x|\approx 1}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi }$ ${\displaystyle \pi }$

Доказательство

Производная arctan x равна 1 / (1 + x ² ) ; и наоборот, интеграл 1 / (1 + x ² ) равен arctan x .

Если тогда Производная равна ${\displaystyle y=\arctan x}$ ${\displaystyle \tan y=x.}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=\sec ^{2}y=1+\tan ^{2}y.}$

Принимая во внимание обратную связь,

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{1+\tan ^{2}y}}={\frac {1}{1+x^{2}}}.}$

Иногда это используется как определение арктангенса:

${\displaystyle \arctan x=\int _{0}^{x}{\frac {du}{1+u^{2}}}.}$

Ряд Маклорена для представляет собой геометрическую прогрессию : ${\textstyle x\mapsto \arctan 'x=1{\big /}\left(1+x^{2}\right)}$

${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\bigl (}{-x^{2}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{k}.}$

Ряд Маклорена можно найти путем наивного интегрирования почленно: ${\displaystyle \arctan }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{x}{\frac {du}{1+u^{2}}}&=\int _{0}^{x}\left(1-u^{2}+u^{4}-u^{6}+\cdots \right)du\\[5mu]&=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{7}}x^{7}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}.\end{aligned}}}$

Хотя это оказывается правильным, интегралы и бесконечные суммы не всегда можно обменять таким образом. Чтобы доказать, что интеграл слева сходится к сумме справа для вещественных чисел, можно вместо этого записать конечную сумму, ^[4] ${\displaystyle |x|\leq 1,}$ ${\displaystyle \arctan '}$

${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-\cdots +{\bigl (}{-x^{2}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{N}+{\frac {{\bigl (}{-x^{2}}{\bigr )}{}^{N+1}}{1+x^{2}}}.}$

Снова интегрируем обе стороны,

${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {du}{1+u^{2}}}=\sum _{k=0}^{N}{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}+\int _{0}^{x}{\frac {{\bigl (}{-u^{2}}{\bigr )}{}^{N+1}}{1+u^{2}}}\,du.}$

В пределе, когда интеграл справа выше стремится к нулю, поскольку ${\displaystyle N\to \infty ,}$ ${\displaystyle |x|\leq 1,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Biggl |}\int _{0}^{x}{\frac {{\bigl (}{-u^{2}}{\bigr )}{}^{N+1}}{1+u^{2}}}\,du\,{\Biggr |}\,&\leq \int _{0}^{1}{\frac {u^{2N+2}}{1+u^{2}}}\,du\\[5mu]&<\int _{0}^{1}u^{2N+2}du\,=\,{\frac {1}{2N+3}}\,\to \,0.\end{aligned}}}$

Поэтому,

${\displaystyle {\begin{aligned}\arctan x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}.\end{aligned}}}$

Конвергенция

Ряды для и сходятся внутри комплексного круга , где обе функции голоморфны . Они расходятся для , поскольку при , имеется полюс : ${\textstyle \arctan '}$ ${\displaystyle \arctan }$ ${\displaystyle |x|<1}$ ${\displaystyle |x|>1}$ ${\displaystyle x=\pm i}$

${\displaystyle {\frac {1}{1+i^{2}}}={\frac {1}{1-1}}={\frac {1}{0}}=\infty .}$

Когда частичные суммы чередуются между значениями и никогда не сходятся к значению ${\displaystyle x=\pm 1,}$ ${\textstyle \sum _{k=0}^{n}(-x^{2})^{k}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\textstyle \arctan '(\pm 1)={\tfrac {1}{2}}.}$

Однако его почленный интеграл, ряд для (едва) сходится, когда , поскольку не совпадает со своим рядом только в точке , поэтому разность в интегралах можно сделать произвольно малой, взяв достаточно много членов: ${\textstyle \arctan ,}$ ${\displaystyle x=\pm 1,}$ ${\displaystyle \arctan '}$ ${\displaystyle \pm 1,}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\int _{0}^{1}{\biggl (}{\frac {1}{1+u^{2}}}-\sum _{k=0}^{N}(-u^{2})^{k}{\biggr )}du=0}$

Из-за своей чрезвычайно медленной сходимости (для получения 10 правильных десятичных знаков требуется пять миллиардов членов) формула Лейбница не является очень эффективным практическим методом вычислений. Поиск способов обойти эту медленную сходимость стал предметом большого математического интереса. ${\textstyle {\tfrac {1}{4}}\pi .}$

Ускоренная серия

Исаак Ньютон ускорил сходимость ряда арктангенсов в 1684 году (в неопубликованной работе; другие независимо обнаружили этот результат, и позже он был популяризирован учебником Леонарда Эйлера 1755 года; Эйлер написал два доказательства в 1779 году), получив ряд, сходящийся для ^[5] ${\textstyle |x|<\infty ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\arctan x&={\frac {x}{1+x^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {2k}{2k+1}}\,{\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\\[10mu]&={\frac {x}{1+x^{2}}}+{\frac {2}{3}}{\frac {x^{3}}{(1+x^{2}){\vphantom {l}}^{2}}}+{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 5}}{\frac {x^{5}}{(1+x^{2}){\vphantom {l}}^{3}}}+{\frac {2\cdot 4\cdot 6}{3\cdot 5\cdot 7}}{\frac {x^{7}}{(1+x^{2}){\vphantom {l}}^{4}}}+\cdots \\[10mu]&=C(x)\left(S(x)+{\frac {2}{3}}S(x)^{3}+{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 5}}S(x)^{5}+{\frac {2\cdot 4\cdot 6}{3\cdot 5\cdot 7}}S(x)^{7}+\cdots \right),\end{aligned}}}$

где и ${\textstyle {\vphantom {\Big |}}C(x)=1{\big /}\!{\sqrt {1+x^{2}}}={}}$ ${\displaystyle \cos(\arctan x)}$ ${\textstyle {\vphantom {\Big |}}S(x)=x{\big /}\!{\sqrt {1+x^{2}}}={}}$ ${\textstyle \sin(\arctan x).}$

Каждый член этого модифицированного ряда является рациональной функцией с полюсами в комплексной плоскости , в том же месте, где функция арктангенса имеет свои полюса. Напротив, полином, такой как ряд Тейлора для арктангенса, заставляет все свои полюса стремиться к бесконечности. ${\displaystyle x=\pm i}$

История

Самый ранний человек, которому серия может быть приписана с уверенностью, это Мадхава из Сангамаграмы (ок. 1340 – ок. 1425). Первоначальная ссылка (как и большая часть работы Мадхавы) утеряна, но ему приписывают открытие несколькими его последователями в основанной им керальской школе астрономии и математики . Конкретные ссылки на серию включают Тантрасанграху Нилакантхи Сомаяджи (ок. 1500), [ ^{6] [7]} Юктибхашу Джьештхадевы ( ок. 1530), ^[8] и комментарий Юкти-дипика Шанкары Варияра , где он дан в стихах 2.206 – 2.209. [ ^9] ${\displaystyle \arctan }$

Смотрите также

• Список математических рядов
• Серия «Мадхава»

Примечания

1. Бойер, Карл Б.; Мерцбах, Ута К. (1989) [1968]. История математики (2-е изд.). Wiley. С. 428–429. ISBN 9780471097631.
2. Рой 1990.
3. Например: Гупта 1973, Гупта 1987;
   Джозеф, Джордж Гевергезе (2011) [1-е изд. 1991]. Гребень павлина: неевропейские корни математики (3-е изд.). Princeton University Press. стр. 428.
   Леври, Пол (2011). «Потерянные и найденные вещи: неопубликованное ζ (2) -доказательство». Mathematical Intelligencer . 33 : 29–32. doi :10.1007/s00283-010-9179-y. S2CID  121133743.
   Другие комбинации имен включают в себя:
   Серии Мадхавы–Грегори–Лейбница : Бенко, Дэвид; Молокач, Джон (2013). «Базельская проблема как перестановка серий». College Mathematics Journal . 44 (3): 171–176. doi :10.4169/college.math.j.44.3.171. S2CID  124737638.
   Серия Мадхавы–Лейбница–Грегори : Данези, Марсель (2021). «1. Открытие числа π и его проявлений». Пи ( π ) в природе, искусстве и культуре . Brill. стр. 1–30. doi :10.1163/9789004433397_002. ISBN 978-90-04-43337-3. S2CID  242107102.
   Серия Нилаканта–Грегори : Кэмпбелл, Пол Дж. (2004). «Борвейн, Джонатан и Дэвид Бейли, Математика через эксперимент ». Обзоры. Журнал «Математика» . 77 (2): 163. doi :10.1080/0025570X.2004.11953245. S2CID  218541218.
   Формула Грегори–Лейбница–Нилаканты : Гавроньска, Наталия; Слота, Дамиан; Витула, Роман; Зелонка, Адам (2013). «Некоторые обобщения степенных рядов Грегори и их приложения» (PDF) . Журнал прикладной математики и вычислительной механики . 12 (3): 79–91. doi :10.17512/jamcm.2013.3.09.
4. Ширали, Шайлеш А. (1997). «Нилакантха, Эйлер и π». Резонанс . 2 (5): 29–43. дои : 10.1007/BF02838013. S2CID  121433151.Также см. опечатку : Ширали, Шайлеш А. (1997). «Дополнение к «Нилакантхе, Эйлеру и π». Резонанс . 2 (11): 112. дои : 10.1007/BF02862651 .
5. Рой, Ранджан (2021) [1-е изд. 2011]. Серии и продукты в развитии математики . Том 1 (2-е изд.). Cambridge University Press. С. 215–216, 219–220.
   Сэндифер, Эд (2009). "Оценка числа π" (PDF) . Как это сделал Эйлер .Перепечатано в книге «Как Эйлер сделал даже больше» . Математическая ассоциация Америки. 2014. С. 109–118.
   Ньютон, Исаак (1971). Уайтсайд, Дерек Томас (ред.). Математические труды Исаака Ньютона . Т. 4, 1674–1684. Cambridge University Press. С. 526–653.
   Эйлер, Леонард (1755). Institutiones Calculi Differentialis (на латыни). Academiae Imperialis Scientiarium Petropolitanae. §2.2.30 с. 318.E 212. Главы 1–9 переведены Джоном Д. Блэнтоном (2000) «Основы дифференциального исчисления» . Springer. Позднее переведены Яном Брюсом (2011). Euler's Institutionum Calculi Differentialis. 17centurymaths.com. (Английский перевод §2.2)
   Эйлер, Леонард (1798) [написано в 1779 году]. «Investigatio quarundam serierum, quae adrationem peripheriae Circuli ad Diametrum Vero Proxime Definiendam Maxime Sunt Accommodatae». Nova Acta Academiae Scientiarum Petropolitinae . 11 : 133–149, 167–168. Е 705.
   Хванг Чиен-Ли (2005), «Элементарный вывод ряда Эйлера для функции арктангенса», The Mathematical Gazette , 89 (516): 469–470, doi :10.1017/S0025557200178404
6. KV Sarma (ред.). «Tantrasamgraha с английским переводом» (PDF) (на санскрите и английском). Перевод В. С. Нарасимхана. Индийская национальная академия наук. стр. 48. Архивировано из оригинала (PDF) 9 марта 2012 г. Получено 17 января 2010 г.
7. Tantrasamgraha , ред. KV Sarma, пер. VS Narasimhan в Indian Journal of History of Science, выпуск, начинающийся с тома 33, № 1 за март 1998 г.
8. KV Sarma & S Hariharan (ред.). "Книга о рациональных основах индийской математики и астрономии — аналитическая оценка" (PDF) . Yuktibhāṣā of Jyeṣṭhadeva . Архивировано из оригинала (PDF) 28 сентября 2006 г. . Получено 2006-07-09 .
9. CK Raju (2007). Культурные основы математики: природа математического доказательства и передача исчисления из Индии в Европу в XVI в. н. э. История науки, философии и культуры в индийской цивилизации. Том X Часть 4. Нью-Дели: Центр исследований цивилизации. стр. 231. ISBN 978-81-317-0871-2.

Ссылки

• Берггрен, Леннарт; Борвейн, Джонатан ; Борвейн, Питер , ред. (2004). Пи: Справочник (3-е изд.). Спрингер. дои : 10.1007/978-1-4757-4217-6. ISBN 978-1-4419-1915-1.
• Гупта, Радха Чаран (1973). «Серия Мадхавы–Грегори». Математическое образование . 7 : B67–B70.
• Гупта, Радха Чаран (1987). «Южноиндийские достижения в средневековой математике». Ганита Бхарати . 9 (1–4): 15–40.Расширение доклада, прочитанного в Университете Джодхпура. Перепечатано в Ramasubramanian, K., ed. (2019). Gaṇitānanda: Selected Works of Radha Charan Gupta on History of Mathematics . Springer. стр. 417–442. doi :10.1007/978-981-13-1229-8_40.
• Хорват, Миклош (1983). «О лейбницевской квадратуре круга» (PDF) . Annales Universitatis Scientiarum Buddhaiensis (Sectio Computatorica) . 4 : 75–83.
• Рой, Ранджан (1990). «Открытие формулы ряда для π Лейбницем, Грегори и Нилакантой» (PDF) . Mathematics Magazine . 63 (5): 291–306. doi :10.1080/0025570X.1990.11977541.