Тета-функция Рамануджана

Математическая функция

В математике , особенно в q -аналоговой теории, тэта-функция Рамануджана обобщает форму тэта-функций Якоби , сохраняя при этом их общие свойства. В частности, тройное произведение Якоби приобретает особенно элегантную форму, если его записать в терминах тэты Рамануджана. Функция названа в честь математика Шриниваса Рамануджана .

Определение

Тета-функция Рамануджана определяется как

${\displaystyle f(a,b)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{\frac {n(n+1)}{2}}\;b^{\frac {n(n-1)}{2}}}$

для | аб | < 1 . Тогда тождество тройного произведения Якоби принимает вид

${\displaystyle f(a,b)=(-a;ab)_{\infty }\;(-b;ab)_{\infty }\;(ab;ab)_{\infty }.}$

Здесь выражение обозначает символ q -Похгаммера . Из этого следуют следующие личности: ${\displaystyle (a;q)_{n}}$

${\displaystyle \varphi (q)=f(q,q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}={\left(-q;q^{2}\right)_{\infty }^{2}\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty }}}$

и

${\displaystyle \psi (q)=f\left(q,q^{3}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }q^{\frac {n(n+1)}{2}}={\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty }}{(-q;q)_{\infty }}}$

и

${\displaystyle f(-q)=f\left(-q,-q^{2}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{\frac {n(3n-1)}{2}}=(q;q)_{\infty }}$

Это последняя функция Эйлера , которая тесно связана с эта-функцией Дедекинда . Тета-функция Якоби может быть записана через тета-функцию Рамануджана как:

${\displaystyle \vartheta (w,q)=f\left(qw^{2},qw^{-2}\right)}$

Интегральные представления

У нас есть следующее интегральное представление полной двухпараметрической формы тета-функции Рамануджана: ^[1]

${\displaystyle f(a,b)=1+\int _{0}^{\infty }{\frac {2ae^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {1-a{\sqrt {ab}}\cosh \left({\sqrt {\log ab}}\,t\right)}{a^{3}b-2a{\sqrt {ab}}\cosh \left({\sqrt {\log ab}}\,t\right)+1}}\right]dt+\int _{0}^{\infty }{\frac {2be^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {1-b{\sqrt {ab}}\cosh \left({\sqrt {\log ab}}\,t\right)}{ab^{3}-2b{\sqrt {ab}}\cosh \left({\sqrt {\log ab}}\,t\right)+1}}\right]dt}$

Особые случаи тэта-функций Рамануджана, заданные формулами φ ( q ) := f ( q , q ) OEIS : A000122 и ψ ( q ) := f ( q , q ³ ) OEIS : A010054 ^[2] также имеют следующие интегральные представления : ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (q)&=1+\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {4q\left(1-q^{2}\cosh \left({\sqrt {2\log q}}\,t\right)\right)}{q^{4}-2q^{2}\cosh \left({\sqrt {2\log q}}\,t\right)+1}}\right]dt\\[6pt]\psi (q)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {2e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {1-{\sqrt {q}}\cosh \left({\sqrt {\log q}}\,t\right)}{q-2{\sqrt {q}}\cosh \left({\sqrt {\log q}}\,t\right)+1}}\right]dt\end{aligned}}}$

Это приводит к нескольким специальным интегралам для констант, определяемых этими функциями, когда q  := e ^{− kπ} (см. явные значения тета-функции ). В частности, мы имеем, что ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \left(e^{-k\pi }\right)&=1+\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {4e^{k\pi }\left(e^{2k\pi }-\cos \left({\sqrt {2\pi k}}\,t\right)\right)}{e^{4k\pi }-2e^{2k\pi }\cos \left({\sqrt {2\pi k}}\,t\right)+1}}\right]dt\\[6pt]{\frac {\pi ^{\frac {1}{4}}}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}&=1+\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {4e^{\pi }\left(e^{2\pi }-\cos \left({\sqrt {2\pi }}\,t\right)\right)}{e^{4\pi }-2e^{2\pi }\cos \left({\sqrt {2\pi }}\,t\right)+1}}\right]dt\\[6pt]{\frac {\pi ^{\frac {1}{4}}}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}&=1+\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {4e^{2\pi }\left(e^{4\pi }-\cos \left(2{\sqrt {\pi }}\,t\right)\right)}{e^{8\pi }-2e^{4\pi }\cos \left(2{\sqrt {\pi }}\,t\right)+1}}\right]dt\\[6pt]{\frac {\pi ^{\frac {1}{4}}}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\cdot {\frac {\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}{2^{\frac {1}{4}}3^{\frac {3}{8}}}}&=1+\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {4e^{3\pi }\left(e^{6\pi }-\cos \left({\sqrt {6\pi }}\,t\right)\right)}{e^{12\pi }-2e^{6\pi }\cos \left({\sqrt {6\pi }}\,t\right)+1}}\right]dt\\[6pt]{\frac {\pi ^{\frac {1}{4}}}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\cdot {\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{5^{\frac {3}{4}}}}&=1+\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {4e^{5\pi }\left(e^{10\pi }-\cos \left({\sqrt {10\pi }}\,t\right)\right)}{e^{20\pi }-2e^{10\pi }\cos \left({\sqrt {10\pi }}\,t\right)+1}}\right]dt\end{aligned}}}$

и это

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi \left(e^{-k\pi }\right)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {\cos \left({\sqrt {k\pi }}\,t\right)-e^{\frac {k\pi }{2}}}{\cos \left({\sqrt {k\pi }}\,t\right)-\cosh {\frac {k\pi }{2}}}}\right]dt\\[6pt]{\frac {\pi ^{\frac {1}{4}}}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\cdot {\frac {e^{\frac {\pi }{8}}}{2^{\frac {5}{8}}}}&=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {\cos \left({\sqrt {\pi }}\,t\right)-e^{\frac {\pi }{2}}}{\cos \left({\sqrt {\pi }}\,t\right)-\cosh {\frac {\pi }{2}}}}\right]dt\\[6pt]{\frac {\pi ^{\frac {1}{4}}}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\cdot {\frac {e^{\frac {\pi }{4}}}{2^{\frac {5}{4}}}}&=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {\cos \left({\sqrt {2\pi }}\,t\right)-e^{\pi }}{\cos \left({\sqrt {2\pi }}\,t\right)-\cosh \pi }}\right]dt\\[6pt]{\frac {\pi ^{\frac {1}{4}}}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\cdot {\frac {{\sqrt[{4}]{1+{\sqrt {2}}}}\,e^{\frac {\pi }{16}}}{2^{\frac {7}{16}}}}&=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\left[{\frac {\cos \left({\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\,t\right)-e^{\frac {\pi }{4}}}{\cos \left({\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\,t\right)-\cosh {\frac {\pi }{4}}}}\right]dt\end{aligned}}}$

Применение в теории струн

Тета-функция Рамануджана используется для определения критических размерностей в теории бозонных струн , теории суперструн и М-теории .

Рекомендации

1. Шмидт, доктор медицины (2017). «Преобразования производящих функций квадратных рядов» (PDF) . Журнал неравенств и специальных функций . 8 (2). arXiv : 1609.02803 .
2. Вайсштейн, Эрик В. «Тэта-функции Рамануджана». Математический мир . Проверено 29 апреля 2018 г.

• Бейли, WN (1935). Обобщенный гипергеометрический ряд . Кембриджские трактаты по математике и математической физике. Том. 32. Кембридж: Издательство Кембриджского университета.
• Гаспер, Джордж; Рахман, Мизан (2004). Базовый гипергеометрический ряд . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 96 (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-83357-4.
• «Функция Рамануджана», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Каку, Мичио (1994). Гиперпространство: научная одиссея через параллельные вселенные, деформации времени и десятое измерение . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-286189-1.
• Вайсштейн, Эрик В. «Тэта-функции Рамануджана». Математический мир .