Математика в Золотой век ислама , особенно в IX и X веках, была построена на синтезе греческой математики ( Евклид , Архимед , Аполлоний ) и индийской математики ( Арьябхата , Брахмагупта ). Важные события этого периода включают расширение системы позиционных значений для включения десятичных дробей , систематизированное изучение алгебры и достижения в геометрии и тригонометрии . [1]
Средневековый исламский мир претерпел значительные изменения в математике. Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми сыграл ключевую роль в этой трансформации, представив алгебру как отдельную область в IX веке. Подход аль-Хорезми , отходя от более ранних арифметических традиций, заложил основу для арифметизации алгебры , влияя на математическую мысль в течение длительного периода. Последователи, такие как аль-Караджи, расширили его работу, способствуя прогрессу в различных математических областях. Практичность и широкая применимость этих математических методов способствовали распространению арабской математики на Западе, внеся существенный вклад в развитие западной математики. [2]
Арабские математические знания распространялись по различным каналам в эпоху Средневековья , движимые практическим применением методов Аль-Хорезми . На это распространение влияли не только экономические и политические факторы, но и культурные обмены, примером которых служат такие события, как Крестовые походы и движение переводчиков. Исламский Золотой Век , охватывающий период с 8 по 14 век, ознаменовал собой период значительных достижений в различных научных дисциплинах, привлекая ученых из средневековой Европы, искавших доступ к этим знаниям. Торговые пути и культурные взаимодействия сыграли решающую роль в представлении арабских математических идей на Западе. Перевод арабских математических текстов, наряду с греческими и римскими работами, в период с 14 по 17 век сыграл решающую роль в формировании интеллектуального ландшафта эпохи Возрождения .
Арабская математика, в частности алгебра, значительно развилась в средневековый период . Работа Мухаммада ибн Мусы аль-Хорезми ( араб . محمد بن موسى الخوارزمي ; ок. 780 – ок. 850 ) между 813 и 833 годами нашей эры в Багдаде стала поворотным моментом. Он ввел термин «алгебра» в название своей книги « Китаб аль-джабр ва аль-мукабала », обозначив ее как отдельную дисциплину. Он считал свою работу «краткой работой по вычислению по (правилам) завершения и сокращения, ограничивая ее тем, что является самым простым и полезным в арифметике». [3] Позже люди прокомментировали, что его работа была не просто теоретическим трактатом, но и практическим, направленным на решение проблем в таких областях, как торговля и измерение земли.
Подход Аль-Хорезми был новаторским в том смысле, что он не возник из какой-либо предыдущей «арифметической» традиции, включая традицию Диофанта . Он разработал новый словарь для алгебры, различая чисто алгебраические термины и те, которые используются в арифметике. Аль-Хорезми заметил, что представление чисел имеет решающее значение в повседневной жизни. Таким образом, он хотел найти или обобщить способ упрощения математической операции, так называемой позже, алгебры. [3] Его алгебра изначально была сосредоточена на линейных и квадратных уравнениях и элементарной арифметике двучленов и трехчленов. Этот подход, который включал решение уравнений с использованием радикалов и связанных алгебраических вычислений, оказал влияние на математическое мышление долгое время после его смерти.
Доказательство Аль-Хорезми правила решения квадратных уравнений вида (ax^2 + bx = c), обычно называемого «квадраты плюс корни равны числам», было монументальным достижением в истории алгебры. Этот прорыв заложил основу для систематического подхода к решению квадратных уравнений, который стал фундаментальным аспектом алгебры по мере ее развития в западном мире. [4] Метод Аль-Хорезми, который включал завершение квадрата, не только предоставил практическое решение для уравнений этого типа, но и ввел абстрактный и обобщенный подход к математическим проблемам. Его работа, заключенная в его основополагающем тексте «Аль-Китаб аль-Мухтасар фи Хисаб аль-Джабр валь-Мукабала» (Книга о вычислениях путем завершения и уравновешивания), была переведена на латынь в XII веке. Этот перевод сыграл решающую роль в передаче алгебраических знаний в Европу, оказав значительное влияние на математиков эпохи Возрождения и сформировав эволюцию современной математики. [4] Вклад Аль-Хорезми, особенно его доказательство квадратных уравнений, является свидетельством богатого математического наследия исламского мира и его непреходящего влияния на западную математику.
Распространению арабской математики на Запад способствовало несколько факторов. Практичность и общая применимость методов аль-Хорезми были значительными. Они были разработаны для преобразования числовых или геометрических задач в уравнения в нормальной форме, что приводило к каноническим формулам решения. Его работа и работа его последователей, таких как аль-Караджи, заложили основу для достижений в различных областях математики, включая теорию чисел , численный анализ и рациональный диофантов анализ . [5]
Алгебра Аль-Хорезми была автономной дисциплиной со своей исторической перспективой, в конечном итоге приведшей к «арифметизации алгебры». Его последователи расширили его работу, адаптировав ее к новым теоретическим и техническим задачам и переориентировав ее на более арифметическое направление для абстрактных алгебраических вычислений.
Арабская математика, воплощенная в работах аль-Хорезми, сыграла решающую роль в формировании математического ландшафта. Ее распространение на Западе было обусловлено ее практическими приложениями, расширением математических концепций его последователями, а также переводом и адаптацией этих идей в западный контекст. Это распространение было сложным процессом, включающим экономику, политику и культурный обмен, что оказало большое влияние на западную математику.
Период, известный как Исламский Золотой Век (с 8 по 14 век), характеризовался значительными достижениями в различных областях, включая математику . Ученые исламского мира внесли значительный вклад в математику , астрономию , медицину и другие науки . В результате интеллектуальные достижения исламских ученых привлекли внимание ученых средневековой Европы, которые стремились получить доступ к этому богатству знаний. Торговые пути, такие как Шелковый путь , способствовали перемещению товаров, идей и знаний между Востоком и Западом. Такие города, как Багдад , Каир и Кордова, стали центрами обучения и привлекали ученых из разных культур. Таким образом, математические знания из исламского мира нашли свой путь в Европу через различные каналы. Тем временем крестовые походы связали западных европейцев с исламским миром. Хотя основной целью крестовых походов была военная деятельность, также происходил культурный обмен и знакомство с исламскими знаниями, включая математику. Европейские ученые, которые путешествовали в Святую Землю и другие части исламского мира, получали доступ к арабским рукописям и математическим трактатам. В период с 14 по 17 век перевод арабских математических текстов, наряду с греческими и римскими , сыграл решающую роль в формировании интеллектуального ландшафта эпохи Возрождения. Такие личности, как Фибоначчи , учившийся в Северной Африке и на Ближнем Востоке, помогли ввести и популяризировать арабские цифры и математические концепции в Европе.
Изучение алгебры , название которой происходит от арабского слова, означающего завершение или «воссоединение сломанных частей», [6] процветало во время исламского золотого века . Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми , персидский ученый в Доме Мудрости в Багдаде , был основателем алгебры, наряду с греческим математиком Диофантом , известным как отец алгебры. В своей книге « Сводная книга об исчислении путем завершения и балансировки » Аль-Хорезми рассматривает способы решения положительных корней полиномиальных уравнений первой и второй степени (линейных и квадратичных) . Он вводит метод редукции и, в отличие от Диофанта, также дает общие решения для уравнений, с которыми он имеет дело. [7] [8] [9]
Алгебра Аль-Хорезми была риторической, что означает, что уравнения были записаны полными предложениями. Это отличалось от алгебраической работы Диофанта, которая была синкопированной, что означает, что использовалась некоторая символика. Переход к символической алгебре, где использовались только символы, можно увидеть в работе Ибн аль-Банна аль-Марракуши и Абу аль-Хасана ибн Али аль-Каласади . [10] [9]
О работе, проделанной Аль-Хорезми, Дж. Дж. О'Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон сказали: [11]
«Возможно, одно из самых значительных достижений арабской математики началось в это время с работы аль-Хорезми, а именно с зарождения алгебры. Важно понять, насколько значимой была эта новая идея. Это был революционный шаг в сторону от греческой концепции математики, которая по сути была геометрией. Алгебра была объединяющей теорией, которая позволяла рассматривать рациональные числа , иррациональные числа , геометрические величины и т. д. как «алгебраические объекты». Она дала математике совершенно новый путь развития, гораздо более широкий по концепции, чем тот, который существовал ранее, и предоставила средство для будущего развития предмета. Другим важным аспектом введения алгебраических идей было то, что она позволила применять математику к самой себе таким образом, который не был возможен ранее».
Несколько других математиков в этот период времени расширили алгебру Аль-Хорезми. Абу Камиль Шуджа написал книгу по алгебре, сопровождаемую геометрическими иллюстрациями и доказательствами. Он также перечислил все возможные решения некоторых из своих проблем. Абу аль-Джуд , Омар Хайям , вместе с Шараф ад-Дином аль-Туси , нашли несколько решений кубического уравнения . Омар Хайям нашел общее геометрическое решение кубического уравнения. [ необходима цитата ]
Омар Хайям (ок. 1038/48 в Иране – 1123/24) [12] написал « Трактат о демонстрации проблем алгебры» , содержащий систематическое решение кубических или уравнений третьего порядка , выходя за рамки алгебры аль-Хорезми. [13] Хайям получил решения этих уравнений, найдя точки пересечения двух конических сечений . Этот метод использовался греками, [14] но они не обобщили метод, чтобы охватить все уравнения с положительными корнями . [13]
Шараф ад-Дин ат-Туси (? в Тусе, Иран – 1213/4) разработал новый подход к исследованию кубических уравнений – подход, который подразумевал нахождение точки, в которой кубический многочлен получает свое максимальное значение. Например, чтобы решить уравнение , с положительными a и b , он заметил бы, что максимальная точка кривой приходится на , и что уравнение не будет иметь решений, одно решение или два решения, в зависимости от того, была ли высота кривой в этой точке меньше, равна или больше a . Его сохранившиеся работы не дают никаких указаний на то, как он открыл свои формулы для максимумов этих кривых. Были предложены различные гипотезы, чтобы объяснить его открытие. [15]
Самые ранние неявные следы математической индукции можно найти в доказательстве Евклида того , что число простых чисел бесконечно (ок. 300 г. до н. э.). Первая явная формулировка принципа индукции была дана Паскалем в его «Трактате об арифметике треугольника» (1665 г.).
В это время неявное доказательство методом индукции для арифметических последовательностей было введено аль-Караджи (ок. 1000 г.) и продолжено аль-Самавалем , который применил его для частных случаев биномиальной теоремы и свойств треугольника Паскаля .
Греки открыли иррациональные числа , но не были ими довольны и смогли справиться с ними, только проведя различие между величиной и числом . С точки зрения греков, величины непрерывно изменялись и могли использоваться для таких сущностей, как отрезки прямых, тогда как числа были дискретными. Следовательно, иррациональные числа можно было обрабатывать только геометрически; и действительно, греческая математика была в основном геометрической. Исламские математики, включая Абу Камила Шуджа ибн Аслама и Ибн Тахира аль-Багдади, медленно устранили различие между величиной и числом, позволив иррациональным величинам появляться в качестве коэффициентов в уравнениях и быть решениями алгебраических уравнений. [16] [17] Они свободно работали с иррациональными числами как с математическими объектами, но они не исследовали их природу подробно. [18]
В двенадцатом веке латинские переводы Арифметики Аль-Хорезми на индийские цифры ввели десятичную позиционную систему счисления в западный мир . [19] Его Сводная книга по вычислениям путем завершения и балансировки представила первое систематическое решение линейных и квадратных уравнений . В Европе эпохи Возрождения он считался первоначальным изобретателем алгебры , хотя теперь известно, что его работа основана на более старых индийских или греческих источниках. [20] [21] Он пересмотрел Географию Птолемея и писал об астрономии и астрологии. Однако CA Nallino предполагает, что оригинальная работа Аль-Хорезми была основана не на Птолемее, а на производной карте мира, [22] предположительно на сирийском или арабском языке .
Сферический закон синусов был открыт в X веке: его по-разному приписывали Абу-Махмуду Ходжанди , Насиру ад-Дину ат-Туси и Абу Наср Мансуру , а также Абу аль-Вафе Бузджани в качестве соавтора. [16] В своей книге «Книга неизвестных дуг сферы» Ибн Муаз аль-Джайяни в XI веке ввел общий закон синусов. [23] Плоский закон синусов был описан в XIII веке Насиром ад-Дином ат-Туси . В своей работе «О секторной фигуре » он сформулировал закон синусов для плоских и сферических треугольников и привел доказательства этого закона. [24]
В IX веке исламские математики были знакомы с отрицательными числами из трудов индийских математиков, но признание и использование отрицательных чисел в этот период оставалось робким. [25] Аль-Хорезми не использовал отрицательные числа или отрицательные коэффициенты. [25] Но в течение пятидесяти лет Абу Камиль проиллюстрировал правила знаков для расширения умножения . [26] Аль-Караджи написал в своей книге аль-Фахри , что «отрицательные количества должны считаться членами». [25] В X веке Абу аль-Вафа аль-Бузджани рассматривал долги как отрицательные числа в «Книге о том, что необходимо из науки арифметики для писцов и бизнесменов» . [26]
К XII веку последователи аль-Караджи сформулировали общие правила знаков и использовали их для решения задач деления многочленов . [25] Как пишет аль-Самав'аль :
произведение отрицательного числа — al-nāqiṣ — на положительное число — al-zāʾid — отрицательно, а на отрицательное число — положительно. Если мы вычитаем отрицательное число из большего отрицательного числа, остаток — их отрицательная разность. Разность остается положительной, если мы вычитаем отрицательное число из меньшего отрицательного числа. Если мы вычитаем отрицательное число из положительного числа, остаток — их положительная сумма. Если мы вычитаем положительное число из пустой степени ( martaba khāliyya ), остаток — то же отрицательное, а если мы вычитаем отрицательное число из пустой степени, остаток — то же положительное число. [25]
Между IX и X веками египетский математик Абу Камиль написал ныне утерянный трактат об использовании двойной ложной позиции, известный как Книга двух ошибок ( Kitāb al-khaṭāʾayn ). Старейшее сохранившееся сочинение о двойной ложной позиции с Ближнего Востока принадлежит Кусте ибн Луке (X век), арабскому математику из Баальбека , Ливан . Он обосновал технику формальным геометрическим доказательством в евклидовом стиле . В традиции мусульманской математики Золотого века двойная ложная позиция была известна как hisāb al-khaṭāʾayn («расчет по двум ошибкам»). Она использовалась на протяжении столетий для решения практических задач, таких как коммерческие и юридические вопросы (разделы имущества в соответствии с правилами наследования Корана ), а также чисто развлекательных задач. Алгоритм часто запоминался с помощью мнемоники , например, стиха, приписываемого Ибн аль-Ясамину , и диаграмм весов, объясненных аль-Хассаром и Ибн аль-Банной , которые были математиками марокканского происхождения. [27]
Влияние средневековой арабо-исламской математики на остальной мир широко и глубоко, как в области науки, так и математики. Знания арабов попали в западный мир через Испанию и Сицилию во время движения переводчиков. «Мавры (западные мусульмане из той части Северной Африки, которая когда-то была известна как Мавритания) перешли в Испанию в начале седьмого века, принеся с собой культурные ресурсы арабского мира». [28] В 13 веке король Альфонсо X Кастильский основал Толедскую школу переводчиков в Королевстве Кастилия , где ученые переводили многочисленные научные и философские труды с арабского на латынь . Переводы включали исламский вклад в тригонометрию , который помогает европейским математикам и астрономам в их исследованиях. Европейские ученые, такие как Герард Кремонский (1114–1187), сыграли ключевую роль в переводе и распространении этих работ, тем самым сделав их доступными для более широкой аудитории. Говорят, что Кремона перевел на латынь «не менее 90 полных арабских текстов». [28] Европейские математики, опираясь на фундамент, заложенный исламскими учеными, далее развили практическую тригонометрию для приложений в навигации, картографии и небесной навигации, тем самым продвигая вперед эпоху открытий и научной революции. Практическое применение тригонометрии для навигации и астрономии становилось все более важным в эпоху исследований.
Аль-Баттани — один из исламских математиков, внесших большой вклад в развитие тригонометрии. Он «ввел новые тригонометрические функции, создал таблицу котангенсов и вывел несколько формул сферической тригонометрии». [29] Эти открытия, вместе с его астрономическими работами, которые славятся своей точностью, значительно продвинули астрономические вычисления и инструменты.
Аль-Хайям (1048–1131) был персидским математиком, астрономом и поэтом, известным своими работами по алгебре и геометрии, в частности, исследованиями решений кубических уравнений. Он был «первым в истории, кто разработал геометрическую теорию уравнений со степенями ≤ 3» [30] и оказал большое влияние на работу Декарта, французского математика, которого часто считают основателем аналитической геометрии. Действительно, «читать «Géométrie» Декарта — значит смотреть вверх по течению в сторону аль-Хайяма и ат-Туси; и вниз по течению в сторону Ньютона, Лейбница, Крамера, Безу и братьев Бернулли». [30] Многочисленные проблемы, которые появляются в «La Géométrie» (Геометрия), имеют основания, восходящие к аль-Хайяму.
Абу Камиль (араб. أبو كامل شجاع بن أسلم بن محمد بن شجاع , также известный как Аль-Хасиб аль-мишри — букв. «Египетский калькулятор») (ок. 850 – ок. 930), изучал алгебру по примеру автора «Алгебры » аль-Хорезми. Его «Книга алгебры» (Китаб фи аль-джабр ва аль-мукабала) «по сути является комментарием и развитием труда аль-Хорезми; отчасти по этой причине, а отчасти из-за своих собственных достоинств, книга пользовалась широкой популярностью в мусульманском мире». [31] Он содержит 69 задач, что больше, чем у аль-Хорезми, у которого в книге было 40 задач. [ 31] Алгебра Абу Камиля играет значительную роль в формировании траектории западной математики, особенно в ее влиянии на работы итальянского математика Леонардо Пизанского, широко известного как Фибоначчи. В своей книге Liber Abaci (1202) Фибоначчи широко использовал идеи арабских математиков, используя около 29 задач из Книги Алгебры с редкими изменениями. [31]
Несмотря на фундаментальные работы арабских математиков по развитию алгебры и алгебраической геометрии, западные историки XVIII и начала XIX века по-прежнему считали фактом, что классическая наука и математика были уникальными явлениями Запада. Хотя некоторые математические вклады арабских математиков иногда признаются, они считаются «вне истории или интегрированными только в той мере, в какой они вносили вклад в науку, которая по сути является европейской» [32] и просто некоторыми техническими нововведениями в греческом наследии, а не открывающими совершенно новую отрасль математики. В работе французского философа Эрнеста Ренана арабская математика является всего лишь «отражением Греции , объединенным с персидскими и индийскими влияниями». И, по словам Дюгема , «арабская наука только воспроизводила учения, полученные от греческой науки». Помимо того, что их считают всего лишь незначительными дополнениями или отражениями в великой традиции греческой классической науки, математические труды арабских математиков также обвиняются в отсутствии строгости и чрезмерной сосредоточенности на практических приложениях и вычислениях, и именно поэтому западные историки утверждали, что они никогда не смогут достичь уровня греческих математиков. [32] Как писал Таннери , арабская математика «никоим образом не превзошла уровень, достигнутый Диофантом». С другой стороны, они считали, что западные математики пошли совсем другим путем как по применяемым методам, так и по конечной цели, «отличительной чертой западной науки в ее греческих истоках, а также в ее современном возрождении является ее соответствие строгим стандартам». [32] Таким образом, воспринимаемое нестрогое доказательство в книге арабских математиков позволяет Бурбаки исключить арабский период, когда он проследил эволюцию алгебры. [32] И вместо этого история классической алгебры пишется как работа эпохи Возрождения , а происхождение алгебраической геометрии прослеживается до Декарта, в то время как вклад арабских математиков намеренно игнорируется. По словам Рашеда: «Чтобы оправдать исключение науки, написанной на арабском языке, из истории науки, ссылаются на ее отсутствие строгости, ее вычислительный вид и ее практические цели. Кроме того, строго зависимые от греческой науки и, наконец, неспособные ввести экспериментальные нормы, ученые того времени были низведены до роли добросовестных хранителей эллинистического музея». [32]
В Германии и Франции XVIII века преобладающим ориенталистским взглядом было «Восток и Запад противостоят друг другу не как географические, а как исторические позитивности» [32] , что обозначало « Рационализм » как сущность Запада, в то время как движение «Зов Востока », возникшее в XIX веке, было интерпретировано как «против рационализма» [32] и возвращение к более «духовному и гармоничному» образу жизни. Таким образом, преобладающий в тот период ориентализм был одной из главных причин, по которой арабские математики часто игнорировались за их вклад, поскольку люди за пределами Запада считались лишенными необходимой рациональности и научного духа, чтобы внести значительный вклад в математику и науку.
Средневековый арабо-исламский мир сыграл решающую роль в формировании траектории математики, а алгебраические инновации аль-Хорезми послужили краеугольным камнем. Распространение арабской математики на Западе во время исламского Золотого века , которому способствовали культурные обмены и переводы, оказало неизгладимое влияние на западную математическую мысль. Такие математики, как Аль-Баттани , Аль-Хайям и Абу Камиль , с их вкладом в тригонометрию , алгебру и геометрию , распространили свое влияние за пределы своего времени. Несмотря на основополагающий вклад арабских математиков, западные историки в 18-м и начале 19-го веков, находясь под влиянием ориенталистских взглядов, иногда маргинализировали эти достижения. Восток, лишенный рациональности и научного духа, увековечил предвзятую точку зрения, препятствуя признанию значительной роли, которую арабская математика сыграла в развитии алгебры и других математических дисциплин. Переоценка истории математики требует признания взаимосвязанности различных математических традиций и развенчания представления об уникальном европейском математическом наследии. Вклад арабских математиков, отмеченный практическими применениями и теоретическими инновациями, является неотъемлемой частью богатого полотна математической истории и заслуживает признания.
{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )Sowjetische Beiträge zur Geschichte der Naturwissenschaft, стр. 62–160.{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )