Поле (математика)

В математике поле — это набор , на котором определены сложение , вычитание , умножение и деление , которые ведут себя как соответствующие операции над рациональными и действительными числами . Таким образом, поле представляет собой фундаментальную алгебраическую структуру , которая широко используется в алгебре , теории чисел и многих других областях математики.

Наиболее известными полями являются поле рациональных чисел , поле действительных чисел и поле комплексных чисел . Многие другие поля, такие как поля рациональных функций , поля алгебраических функций , поля алгебраических чисел и p -адические поля , обычно используются и изучаются в математике, особенно в теории чисел и алгебраической геометрии . Большинство криптографических протоколов полагаются на конечные поля , т. е. поля с конечным числом элементов .

Теория полей доказывает, что трисекцию угла и квадратуру круга невозможно выполнить с помощью циркуля и линейки . Теория Галуа , посвященная пониманию симметрий расширений полей , дает изящное доказательство теоремы Абеля-Руффини о том, что общие уравнения пятой степени не могут быть решены в радикалах .

Поля служат основополагающими понятиями в нескольких математических областях. Сюда входят различные разделы математического анализа , в основе которых лежат поля с дополнительной структурой. Основные теоремы анализа зависят от структурных свойств поля действительных чисел. Что наиболее важно для алгебраических целей, любое поле может использоваться в качестве скаляров векторного пространства , которое является стандартным общим контекстом линейной алгебры . Числовые поля , братья и сестры поля рациональных чисел, глубоко изучаются в теории чисел . Поля функций могут помочь описать свойства геометрических объектов.

Определение

Неформально, поле представляет собой набор вместе с двумя операциями, определенными на этом наборе: операцией сложения, записанной как $a + b$ , и операцией умножения, записанной как $a \cdot b$ , обе из которых ведут себя так же, как и для рациональных и действительных чисел. , включая существование аддитивного обратного $-a$ для всех элементов $a$ и мультипликативного обратного $b$ $-$ $1$ для каждого ненулевого элемента $b$ . Это позволяет также учитывать так называемые обратные операции вычитания $a - b$ и деления $a / b$ , определив:

а - б := а + (- б)

а / б := а \cdot б -1

Классическое определение

Формально поле — это множество $F$ вместе с двумя двоичными операциями над $F$ , называемыми сложением и умножением . [ ^1] Бинарная операция над $F$ — это отображение $F \times F \to F$ , то есть соответствие, которое сопоставляет каждой упорядоченной паре элементов $F$ однозначно определенный элемент $F.$ ^[2]^[3] Результат сложения $a$ и $b$ называется суммой $a$ и $b$ и обозначается $a + b$ . Точно так же результат умножения $a$ и $b$ называется произведением $a$ и $b$ и обозначается $ab$ или $a \cdot b$ . Эти операции необходимы для удовлетворения следующих свойств, называемых аксиомами поля (в этих аксиомах $a$ , $b$ и $c$ — произвольные элементы поля $F$ ):

Ассоциативность сложения и умножения: $a + (b + c) = (a + b) + c$ , и $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$ .
Коммутативность сложения и умножения: $a + b = b + a$ и $a \cdot b = b \cdot a$ .
Аддитивное и мультипликативное тождество : существуют два различных элемента $0$ и $1$ в $F$ такие, что $a + 0 = a$ и $a \cdot 1 = a$ .
Аддитивные инверсии : для каждого $a$ в $F$ существует элемент в $F$ , обозначаемый $-a,$ называемый аддитивным обратным к $a$ , такой, что $a + (- a) = 0$ .
Мультипликативные инверсии : для каждого $a \neq 0$ в $F$ существует элемент в $F$ , обозначаемый $a -1$ или $1/ a$ , называемый мультипликативным обратным a , такой, что $a$ $\cdot a - 1 = 1$ .
Распределенность умножения на сложение: $а \cdot (б + c) знак равно (а \cdot б) + (а \cdot c)$ .

Эквивалентное и более краткое определение таково: поле имеет две коммутативные операции, называемые сложением и умножением; это добавляемая группа с $0$ в качестве аддитивной идентичности; ненулевые элементы представляют собой группу при умножении с $1$ в качестве мультипликативного тождества; и умножение распределяет над сложением.

Еще более кратко: поле — это коммутативное кольцо , где $0 \neq 1$ и все ненулевые элементы обратимы при умножении.

Альтернативное определение

Поля также можно определять разными, но эквивалентными способами. Альтернативно можно определить поле четырьмя двоичными операциями (сложение, вычитание, умножение и деление) и их необходимыми свойствами. Деление на ноль исключено по определению. ^[4] Чтобы избежать использования кванторов существования , поля могут определяться двумя бинарными операциями (сложение и умножение), двумя унарными операциями (дающими аддитивные и мультипликативные обратные значения соответственно) и двумя нулевыми операциями (константы $0$ и $1$ ). Эти операции тогда подчиняются условиям, указанным выше. Избегание кванторов существования важно в конструктивной математике и вычислениях . ^[5] Эквивалентно поле можно определить с помощью одних и тех же двух двоичных операций, одной унарной операции (мультипликативной обратной) и двух (не обязательно различных) констант $1$ и $-1$ , поскольку $0 = 1 + (-1)$ и $- a = (-1) а$ . ^[а]

Примеры

Рациональное число

Рациональные числа широко использовались задолго до разработки концепции поля. Это числа, которые можно записать в виде дробей $a / b$ , где $a$ и $b$ — целые числа , а $b \neq 0$ . Аддитивная обратная такой дроби равна $- a / b$ , а мультипликативная обратная (при условии, что $a \neq 0$ ) равна $b / a$ , что можно увидеть следующим образом:

{\frac {b}{a}}\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {ba}{ab}}=1.

Абстрактно необходимые аксиомы полей сводятся к стандартным свойствам рациональных чисел. Например, закон дистрибутивности можно доказать следующим образом: ^[6]

{\begin{aligned}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}+{\frac {e}{f}}\right)\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}\cdot {\frac {f}{f}}+{\frac {e}{f}}\cdot {\frac {d}{d}}\right)\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {cf}{df}}+{\frac {ed}{fd}}\right)={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {cf+ed}{df}}\\[6pt]={}&{\frac {a(cf+ed)}{bdf}}={\frac {acf}{bdf}}+{\frac {aed}{bdf}}={\frac {ac}{bd}}+{\frac {ae}{bf}}\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}+{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {e}{f}}.\end{aligned}}

Действительные и комплексные числа

Действительные числа $R$ вместе с обычными операциями сложения и умножения также образуют поле. Комплексные числа $C$ состоят из выражений

a + bi,

где

a, b

вещественное,

где $i$ — мнимая единица , т. е. (недействительное) число, удовлетворяющее $i 2 = -1$ . Сложение и умножение действительных чисел определяются таким образом, что выражения этого типа удовлетворяют всем аксиомам поля и, следовательно, выполняются для $C$ . Например, распределительный закон обеспечивает

(а + би)(c + di) знак равно ac + bci + adi + bdi 2 знак равно (ac - bd) + (bc + ad) я .

Сразу видно, что это снова выражение вышеуказанного типа, и поэтому комплексные числа образуют поле. Комплексные числа могут быть геометрически представлены в виде точек на плоскости с декартовыми координатами , заданными действительными числами их описывающего выражения, или в виде стрелок от начала координат до этих точек, определяемых их длиной и углом, заключенным в каком-то определенном направлении. Тогда сложение соответствует объединению стрелок в интуитивно понятный параллелограмм (добавление декартовых координат), а умножение – менее интуитивно – объединяет вращение и масштабирование стрелок (сложение углов и умножение длин). Поля действительных и комплексных чисел используются в математике, физике, технике, статистике и многих других научных дисциплинах.

Конструируемые числа

В древности несколько геометрических проблем касались (не)возможности построения определенных чисел с помощью циркуля и линейки . Например, грекам было неизвестно, что разделить данный угол таким способом вообще невозможно. Эти проблемы можно решить, используя поле конструктивных чисел . ^[7] Действительные конструктивные числа — это, по определению, длины отрезков линий, которые можно построить из точек 0 и 1 за конечное число шагов, используя только циркуль и линейку . Эти числа, наделенные полевыми операциями над действительными числами, ограниченными конструктивными числами, образуют поле, которое собственно включает в себя поле $Q$ рациональных чисел. На иллюстрации показано построение квадратных корней конструктивных чисел, не обязательно содержащихся в $Q$ . Используя обозначения на рисунке, постройте отрезки $AB$ , $BD$ и полукруг над $AD$ (центр в средней точке $C$ ), который пересекает перпендикуляр , проходящий через $B$ в точке $F$ , на расстоянии ровно от $B$ , когда $BD$ имеет длину один. $h={\sqrt {p}}$

Не все действительные числа конструктивны. Можно показать, что это неконструктивное число, а это означает, что невозможно построить с помощью циркуля и линейки длину стороны куба объемом 2 - еще одна проблема, поставленная древними греками. ${\sqrt[{3}]{2}}$

Поле с четырьмя элементами

Помимо привычных систем счисления, таких как рациональные числа, существуют и другие, менее наглядные примеры полей. В следующем примере показано поле, состоящее из четырех элементов с именами $O$ , $I$ , $A$ и $B.$ Обозначения выбраны так, что $O$ играет роль аддитивного тождественного элемента (обозначенного 0 в аксиомах выше), а $I$ - мультипликативного тождества (обозначенного $1$ в аксиомах выше). Аксиомы поля можно проверить, используя еще немного теории поля или путем прямых вычислений. Например,

A \cdot (B + A) = A \cdot I = A

, что равно

A \cdot B + A \cdot A = I + B = A

, как того требует дистрибутивность.

Это поле называется конечным полем или полем Галуа с четырьмя элементами и обозначается $F 4$ или $GF(4)$ . ^[8] Подмножество , состоящее из $O$ и $I$ (выделено красным в таблицах справа), также является полем, известным как двоичное поле $F 2$ или $GF(2)$ . В контексте информатики и булевой алгебры $O$ и $I$ часто обозначаются соответственно false и true , а сложение тогда обозначается XOR (исключающее или). Другими словами, структура двоичного поля — это базовая структура, позволяющая производить вычисления с битами .

Элементарные понятия

$В$ этом разделе $F$ обозначает произвольное поле, а $a$ и $b$ — произвольные элементы F .

Последствия определения

Имеем $a \cdot 0 = 0$ и $- a = (-1) \cdot a$ . В частности, можно вывести аддитивную инверсию каждого элемента, как только известно $-1$ . ^[9]

Если $ab = 0$ , то $a$ или $b$ должно быть $0$ , поскольку, если $a \neq 0$ , то $b = (a -1 a) b = a -1 (ab) = a -1 \cdot 0 = 0$ . Это означает, что каждое поле является областью целостности .

$Кроме того, для любых элементов a$ и $b$ справедливы следующие свойства :

-0 = 0

1 -1 = 1

(-(- а)) = а

(- а) \cdot б знак равно а \cdot (- б) знак равно - (а \cdot б)

(а -1) -1 знак равно а

, если

а \neq 0

Аддитивные и мультипликативные группы поля

Из аксиом поля $F$ следует, что оно является абелевой группой при сложении. Эта группа называется аддитивной группой поля и иногда обозначается $(F, +)$ , поскольку ее простое обозначение $F$ может сбить с толку.

Аналогично, ненулевые элементы $F$ образуют абелеву группу при умножении, называемую мультипликативной группой и обозначаемую или просто , или $F$ $\times$ . $(F\smallsetminus \{0\},\cdot )$ $F\smallsetminus \{0\}$

Таким образом, поле можно определить как множество $F$ , оснащенное двумя операциями, обозначаемыми как сложение и умножение, так что $F$ является абелевой группой при сложении, является абелевой группой при умножении (где 0 — единичный элемент сложения), а умножение является дистрибутивным по отношению к сложению. ^[b] Поэтому некоторые элементарные утверждения о полях можно получить, применяя общие факты о группах . Например, аддитивные и мультипликативные обратные $-$ $a$ и $a$ $-1$ однозначно определяются $a$ . $F\smallsetminus \{0\}$

Требование $1 \neq 0$ налагается по соглашению, чтобы исключить тривиальное кольцо , состоящее из одного элемента; это определяет любой выбор аксиом, определяющих поля.

Каждая конечная подгруппа мультипликативной группы поля циклическая (см. Корень из единицы § Циклические группы ).

Характеристика

В дополнение к умножению двух элементов $F$ можно определить произведение $n \cdot a$ произвольного элемента $a$ из $F$ на положительное целое число $n$ как $n$ -кратную сумму

a + a + ... + a

(который является элементом

F

Если не существует такого положительного целого числа, что

п \cdot 1 знак равно 0

тогда говорят, что $F$ имеет характеристику $0$ . ^[11] Например, поле рациональных чисел $Q$ имеет характеристику 0, поскольку ни одно положительное целое число $n$ не равно нулю. В противном случае, если существует целое положительное число $n,$ удовлетворяющее этому уравнению, можно показать, что наименьшее такое положительное целое число является простым числом . Обычно его обозначают $p$ , и тогда говорят, что поле имеет характеристику $p$ . Например, поле $F 4$ имеет характеристику $2$ , поскольку (в обозначениях приведенной выше таблицы сложения) $I + I = O$ .

Если $F$ имеет характеристику $p$ , то p $\cdot a = 0$ для всех $a$ в $F.$ Это означает, что

(а + б) п знак равно а п + б п

поскольку все остальные биномиальные коэффициенты , входящие в биномиальную формулу , делятся на $p$ . Здесь $a p := a \cdot a \cdot \dots \cdot a$ ( $p$ множители) — это $p$ -я степень, т. е. $p$ -кратное произведение элемента $a$ . Следовательно, отображение Фробениуса

F \to F : Икс \mapsto Икс р

совместим со сложением в $F$ (а также с умножением) и, следовательно, является гомоморфизмом полей. ^[12] Существование этого гомоморфизма делает поля характеристики $p$ совершенно отличными от полей характеристики $0$ .

Подполя и простые поля

Подполе E поля $F$ — это подмножество $F$ $,$ которое является полем относительно полевых операций $F.$ Эквивалентно $E$ - это подмножество $F$ , которое содержит $1$ и замкнуто относительно сложения, умножения, аддитивного обратного и мультипликативного обратного ненулевого элемента. Это означает, что $1 ∊$ $E$ , что для всех $a$ $,$ $b$ $∊$ $E$ и $a$ $+$ $b$ , и $a$ $\cdot$ $b$ находятся в $E$ , и что для всех a $\neq$ $0$ в $E$ , оба $-$ $a$ и $1/$ $a$ находятся в $E.$

Гомоморфизмы полей — это отображения $φ : E \to F$ между двумя полями такие, что $φ (e 1 + e 2) = φ (e 1) + φ (e 2)$ , $φ (e 1 e 2) = φ (e 1) φ (e 2)$ и $φ (1 E) = 1 F$ , где $e 1$ и $e 2$ — произвольные элементы из $E$ . Все гомоморфизмы полей инъективны . ^[13] Если $φ$ также сюръективен , он называется изоморфизмом (или поля $E$ и $F$ называются изоморфными).

Поле называется простым, если оно не имеет собственных (т. е. строго меньших) подполей. Любое поле $F$ содержит простое поле. Если характеристикой $F$ является $p$ (простое число), простое поле изоморфно конечному полю $F p$ , введенному ниже. В противном случае простое поле изоморфно $Q$ . ^[14]

Конечные поля

Конечные поля (также называемые полями Галуа ) — это поля с конечным числом элементов, число которых также называется порядком поля. Приведенный выше вводный пример $F 4$ представляет собой поле с четырьмя элементами. Его подполе $F 2$ является наименьшим полем, поскольку по определению поле имеет как минимум два различных элемента: $0$ и $1$ .

Простейшие конечные поля простого порядка наиболее легко доступны с помощью модульной арифметики . Для фиксированного положительного целого числа $n$ арифметика «по модулю $n$ » означает работу с числами.

Z / n Z = {0, 1, ..., n - 1}.

Сложение и умножение в этом наборе выполняются путем выполнения рассматриваемой операции в множестве $Z$ целых чисел, деления на $n$ и получения остатка в качестве результата. Эта конструкция дает поле именно в том случае, если $n$ — простое число . Например, если взять простое число $n = 2,$ получится вышеупомянутое поле $F 2$ . Для $n = 4$ и, в более общем смысле, для любого составного числа (т. е. любого числа $n$ , которое можно выразить как произведение $n = r \cdot s$ двух строго меньших натуральных чисел), $Z / n Z$ не является полем: произведение два ненулевых элемента равны нулю, поскольку $r \cdot s = 0$ в $Z / n Z$ , что, как объяснялось выше, не позволяет $Z / n Z$ быть полем. Поле $Z / p Z$ с $p$ элементами ( $p$ — простое число), построенное таким образом, обычно обозначается $F p$ .

Каждое конечное поле $F$ имеет $q = p n$ элементов, где $p$ простое число и $n \geq 1$ . Это утверждение справедливо, поскольку $F$ можно рассматривать как векторное пространство над его простым полем. Размерность этого векторного пространства обязательно конечна, скажем, n $,$ что и подразумевает заявленное утверждение. ^[15]

Поле с элементами $q = p n$ можно построить как поле разложения многочлена

ж (Икс) знак равно Икс q - Икс

Такое поле разложения является расширением $F p$ , в котором многочлен $f$ имеет $q$ нулей. Это означает, что $f$ $имеет$ как можно больше нулей, поскольку степень f равна $q$ . Для $q$ $= 2$ $2$ $= 4$ можно проверить в каждом конкретном случае, используя приведенную выше таблицу умножения, что все четыре элемента $F$ $4$ удовлетворяют уравнению $x$ $4$ $=$ $x$ , поэтому они являются нулями $f$ . Напротив, в F $2$ $f$ $имеет$ только два нуля (а именно $0$ и $1$ ), поэтому $f$ не распадается на линейные множители в этом меньшем поле. Развивая далее основные понятия теории поля, можно показать, что два конечных поля одного и того же порядка изоморфны. ^[16] Таким образом, принято говорить о конечном поле с $q$ элементами, обозначаемым $F$ $q$ или $GF($ $q$ $)$ .

История

Исторически к понятию поля привели три алгебраические дисциплины: вопрос решения полиномиальных уравнений, алгебраическая теория чисел и алгебраическая геометрия . ^[17] Первый шаг к понятию поля был сделан в 1770 году Жозефом-Луи Лагранжем , который заметил, что перестановка нулей $x 1, x 2, x 3$ кубического многочлена в выражении

(Икс 1 + ωx 2 + ω 2 Икс 3) 3

(где $ω$ — корень третьей степени из единицы ) дает только два значения. Таким образом, Лагранж концептуально объяснил классический метод решения Сципионе дель Ферро и Франсуа Вьета , который заключается в сведении кубического уравнения для неизвестного $x$ к квадратному уравнению для $x 3$ . ^[18] Вместе с аналогичным наблюдением для уравнений степени 4 Лагранж, таким образом, связал то, что в конечном итоге стало концепцией полей, и концепцией групп. ^[19] Вандермонд , также в 1770 году, и в более полной мере Карл Фридрих Гаусс в своих Disquisitiones Arithmeticae (1801) изучали уравнение

х р = 1

для простого числа $p$ и, опять же используя современный язык, получившуюся циклическую группу Галуа . Гаусс пришел к выводу, что правильный $p$ -угольник можно построить, если $p = 2 2 k + 1$ . Основываясь на работе Лагранжа, Паоло Руффини заявил (1799), что уравнения пятой степени (полиномиальные уравнения $5-й$ степени ) не могут быть решены алгебраически; однако его аргументы были ошибочными. Эти пробелы были заполнены Нильсом Хенриком Абелем в 1824 году. ^[20] Эварист Галуа в 1832 году разработал необходимые и достаточные критерии для того, чтобы полиномиальное уравнение было алгебраически разрешимым, тем самым установив, по сути, то, что сегодня известно как теория Галуа . И Абель, и Галуа работали с тем, что сегодня называется полем алгебраических чисел , но не придумали ни явного понятия поля, ни группы.

В 1871 году Рихард Дедекинд ввел для обозначения набора действительных или комплексных чисел, замкнутого четырьмя арифметическими операциями, немецкое слово Körper , которое означает «тело» или «корпус» (что указывает на органически замкнутую сущность). Английский термин «поле» был введен Муром (1893). ^[21]

Под полем мы будем понимать всякую бесконечную систему действительных или комплексных чисел, настолько замкнутую в себе и совершенную, что сложение, вычитание, умножение и деление любых двух из этих чисел снова дает номер системы.
- Ричард Дедекинд, 1871 г. ^[22]

В 1881 году Леопольд Кронекер определил то, что он назвал областью рациональности , которая в современных терминах представляет собой область рациональных дробей . Понятие Кронекера не охватывало поле всех алгебраических чисел (которое является полем в смысле Дедекинда), но, с другой стороны, было более абстрактным, чем понятие Дедекинда, поскольку оно не делало конкретных предположений о природе элементов поля. Кронекер интерпретировал такое поле, как $Q (π),$ абстрактно как поле рациональных функций $Q (X)$ . До этого примеры трансцендентных чисел были известны со времен работы Жозефа Лиувилля в 1844 году, пока Чарльз Эрмит (1873) и Фердинанд фон Линдеманн (1882) не доказали трансцендентность $e$ и $π$ соответственно. ^[23]

Первое четкое определение абстрактного поля принадлежит Веберу (1893). ^[24] В частности, понятие Генриха Мартина Вебера включало поле $F p$ . Джузеппе Веронезе (1891) изучал область формальных степенных рядов, что привело Хенселя (1904) к введению области $p$ -адических чисел. Стейниц (1910) синтезировал накопленные к настоящему времени знания абстрактной теории поля. Он аксиоматически изучил свойства полей и определил многие важные теоретико-полевые понятия. Большинство теорем, упомянутых в разделах «Теория Галуа», «Построение полей» и «Элементарные понятия», можно найти в работах Стейница. Артин и Шрайер (1927) связали понятие упорядочения в поле и, следовательно, область анализа, с чисто алгебраическими свойствами. ^[25] Эмиль Артин переработал теорию Галуа с 1928 по 1942 год, устранив зависимость от теоремы о примитивном элементе .

Создание полей

Построение полей из колец

Коммутативное кольцо — это множество, снабженное операциями сложения и умножения и удовлетворяющее всем аксиомам поля, за исключением существования мультипликативных обратных $a -1$ . ^[26] Например, целые числа $Z$ образуют коммутативное кольцо, но не поле: обратное целое число $n$ само по себе не является целым числом, если только $n = \pm1$ .

В иерархии алгебраических структур поля можно охарактеризовать как коммутативные кольца $R$ , в которых каждый ненулевой элемент является единицей (что означает, что каждый элемент обратим). Аналогично, поля — это коммутативные кольца ровно с двумя различными идеалами : $(0)$ и $R.$ Поля также являются коммутативными кольцами, в которых $(0)$ является единственным простым идеалом .

Учитывая коммутативное кольцо $R$ , есть два способа построить поле, связанное с $R$ , т.е. два способа изменить $R$ так, чтобы все ненулевые элементы стали обратимыми: сформировать поле частных и сформировать поля вычетов. Поле частных $Z$ — это $Q$ , рациональные числа , а поля вычетов $Z$ — это конечные поля $Fp .$

Поле дробей

Учитывая область целостности $R$ , ее поле дробей $Q (R)$ строится из дробей двух элементов $R$ точно так же, как Q строится из целых чисел. Точнее, элементы $Q (R)$ — это дроби $a / b$ , где $a$ и $b$ находятся в $R$ , и $b \neq 0$ . Две дроби $a / b$ и $c / d$ равны тогда и только тогда, когда $ad = bc$ . Операции с дробями работают точно так же, как и с рациональными числами. Например,

{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}.

Несложно показать, что если кольцо является областью целостности, то множество дробей образует поле. ^[27]

Поле $F (x)$ рациональных дробей над полем (или областью целостности) $F$ является полем частных кольца полиномов $F [x]$ . Поле $F ((x))$ ряда Лорана

\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}x^{i}\ (k\in \mathbb {Z} ,a_{i}\in F)

над полем $F$ — поле частных кольца $F [[x]]$ формальных степенных рядов (в которых $k \geq 0$ ). Поскольку любой ряд Лорана представляет собой часть степенного ряда, разделенную на степень $x$ (в отличие от произвольного степенного ряда), представление дробей в этой ситуации менее важно.

Остаточные поля

Помимо поля частных, которое инъективно вкладывает $R$ в поле, поле можно получить из коммутативного кольца $R$ посредством сюръективного отображения на поле $F$ . $Любое$ поле , полученное таким образом, является фактором $R$ $/$ $m$ , где $m$ — максимальный идеал R. Если $R$ имеет только один максимальный идеал $m ,$ $это$ поле называется полем вычетов R. ^[28]

Идеал , порожденный одним многочленом $f$ в кольце многочленов $R = E [X]$ (над полем $E$ ), является максимальным тогда и только тогда, когда $f$ неприводим в $E$ , т. е. если f $не$ может быть выражено как произведение двух многочленов из $E [X]$ меньшей степени . Это дает поле

F = E [Икс] / (ж (Икс)).

Это поле $F$ содержит элемент $x$ (а именно класс вычетов X ) $,$ который удовлетворяет уравнению

ж (Икс) знак равно 0

Например, $C$ получается из $R$ путем присоединения символа мнимой единицы $i$ , который удовлетворяет условию f $(i) = 0$ , где $f$ $(X) = X 2 + 1$ . Более того, $f$ неприводим над $R$ , а это означает, что отображение, которое переводит многочлен $f (X) ∊ R [X]$ в $f (i)$ , дает изоморфизм

\mathbf {R} [X]/\left(X^{2}+1\right)\ {\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\ \mathbf {C} .

Создание полей внутри большего поля

Поля могут быть созданы внутри заданного большего поля-контейнера. Предположим, дано поле $E$ и поле $F$ , содержащее $E$ в качестве подполя. Для любого элемента $x$ из $F$ существует наименьшее подполе $F,$ содержащее $E$ и $x$ , называемое подполем F , порожденное $x$ и обозначаемое $E (x)$ . [ ^29] Переход от $E$ к $E (x)$ называется присоединением элемента к $E.$ В более общем смысле, для подмножества $S \subset F$ существует минимальное подполе $F$ , содержащее $E$ и $S$ , обозначаемое $E (S)$ .

Композицией двух подполей $E$ и $E$ $'$ некоторого поля $F$ является наименьшее подполе $F$ , содержащее как $E$ , так и $E$ $'$ . Композитум можно использовать для построения самого большого подполя $F$ , удовлетворяющего определенному свойству, например самого большого подполя $F$ , которое на языке, представленном ниже, является алгебраическим над $E.$ ^[с]

Расширения полей

Понятие подполя $E \subset F$ можно также рассматривать с противоположной точки зрения, ссылаясь на то, что $F$ является расширением поля (или просто расширением) поля $E$ , обозначаемым

Ф / Е

и прочитайте « $F$ над $E$ ».

Базовыми данными расширения поля является его степень $[F : E]$ , т.е. размерность $F$ как $E$ -векторного пространства. Оно удовлетворяет формуле ^[30]

[грамм : E] знак равно [грамм : F] [F : E]

Расширения, степень которых конечна, называются конечными расширениями. Расширения $C / R$ и $F 4 / F 2$ имеют степень $2$ , тогда как $R / Q$ — бесконечное расширение.

Алгебраические расширения

Ключевым понятием в изучении расширений полей $F / E$ являются алгебраические элементы . Элемент $x \in F$ является алгебраическим над $E$ , если он является корнем многочлена с коэффициентами из $E$ , то есть если он удовлетворяет полиномиальному уравнению

е п Икс п + е п -1 Икс п -1 + \dots + е 1 Икс + е 0 знак равно 0

с $e n, ..., e 0$ в $E$ и $e n \neq 0$ . Например, мнимая единица $i$ в $C$ является алгебраической над $R$ и даже над $Q$ , поскольку она удовлетворяет уравнению

я 2 + 1 знак равно 0

Расширение поля, в котором каждый элемент $F$ является алгебраическим над $E$ , называется алгебраическим расширением . Любое конечное расширение обязательно является алгебраическим, как можно вывести из приведенной выше формулы мультипликативности. ^[31]

Подполе $E (x)$ , порожденное элементом $x$ , как указано выше, является алгебраическим расширением $E$ тогда и только тогда, когда $x$ является алгебраическим элементом. То есть, если $x$ алгебраический, все остальные элементы $E (x)$ также обязательно алгебраические. Более того, степень расширения $E (x) / E$ , то есть размерность $E (x)$ как $E$ -векторного пространства, равна минимальной степени $n$ такой, что существует полиномиальное уравнение с участием $x$ , как указано выше. Если эта степень равна $n$ , то элементы $E (x)$ имеют вид

\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}x^{k},\ \ a_{k}\in E.

Например, поле $Q (i)$ гауссовских рациональных чисел — это подполе $C$ , состоящее из всех чисел формы $a + bi$ , где $a$ и $b$ — рациональные числа: слагаемые формы $i 2$ (и аналогично для более высоких показателей) делают здесь не требуется рассматриваться, поскольку $a + bi + ci 2$ можно упростить до $a - c + bi$ .

Основы трансцендентности

Упомянутое выше поле рациональных дробей $E (X)$ , где $X$ — неопределенное число , не является алгебраическим расширением $E$ , поскольку не существует полиномиального уравнения с коэффициентами из $E$ , нулем которого является $X.$ Элементы, такие как $X$ , которые не являются алгебраическими, называются трансцендентными . Неформально говоря, неопределенное $X$ и его степени не взаимодействуют с элементами $E$ . Аналогичное построение можно провести и с набором неопределенных, а не с одним.

Еще раз, расширение поля $E (x)/ E$ , обсуждавшееся выше, является ключевым примером: если $x$ не является алгебраическим (т. е. $x$ не является корнем многочлена с коэффициентами из $E$ ), то $E (x)$ изоморфно $E (ИКС)$ . Этот изоморфизм получается заменой $x$ на $X$ в рациональных дробях.

Подмножество $S$ поля $F$ является базисом трансцендентности , если оно алгебраически независимо (не удовлетворяет никаким полиномиальным соотношениям) над $E$ и если $F$ является алгебраическим расширением $E (S)$ . Любое расширение поля $F / E$ имеет базис трансцендентности. ^[32] Таким образом, расширения полей можно разделить на расширения вида $E (S)/ E$ ( чисто трансцендентные расширения ) и алгебраические расширения.

Операции закрытия

Поле называется алгебраически замкнутым, если оно не имеет строго больших алгебраических расширений или, что то же самое, если любое полиномиальное уравнение

f n x n + f n -1 x n -1 + \dots + f 1 x + f 0 знак равно 0

, с коэффициентами

f n, ..., f 0 \in F, n > 0

имеет решение $x ∊ F$ . ^[33] По основной теореме алгебры $C$ алгебраически замкнуто, т. е. любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами имеет комплексное решение. Рациональные и действительные числа не являются алгебраически замкнутыми, поскольку уравнение

х 2 + 1 = 0

не имеет никакого рационального или реального решения. Поле, содержащее $F,$ называется алгебраическим замыканием F $,$ если оно алгебраически над $F$ (грубо говоря, не слишком велико по сравнению с $F$ ) и алгебраически замкнуто (достаточно велико, чтобы содержать решения всех полиномиальных уравнений).

По вышесказанному $C$ является алгебраическим замыканием $R$ . $Ситуация$ , когда алгебраическое замыкание является конечным расширением поля $F$ , совершенно особенная: по теореме Артина–Шрайера степень этого расширения обязательно равна $2$ , а $F$ элементарно эквивалентно R. Такие поля также известны как настоящие закрытые поля .

Любое поле $F$ имеет алгебраическое замыкание, причём единственное с точностью до (неединственного) изоморфизма. Его обычно называют алгебраическим замыканием и обозначают $F$ . Например, алгебраическое замыкание $Q$ поля $Q$ называется полем алгебраических чисел . Поле $F$ обычно довольно неявно, поскольку для его построения требуется лемма об ультрафильтре — теоретико-множественная аксиома, более слабая, чем аксиома выбора . ^[34] В этом отношении алгебраическое замыкание $F q$ исключительно просто. Это объединение конечных полей, содержащих $F q$ (порядка $q n$ ). Для любого алгебраически замкнутого поля $F$ характеристики $0$ алгебраическим замыканием поля $F ((t))$ рядов Лорана является поле рядов Пюизо , полученных присоединением корней из $t$ . ^[35]

Поля с дополнительной структурой

Поскольку поля широко распространены в математике и за ее пределами, некоторые усовершенствования концепции были адаптированы к потребностям конкретных математических областей.

Упорядоченные поля

Поле F называется упорядоченным полем , если любые два элемента можно сравнить, так что $x + y \geq 0$ и $xy \geq 0$ всякий раз, когда $x \geq 0$ и $y \geq 0$ . Например, действительные числа образуют упорядоченное поле с обычным порядком $\geq$ . Теорема Артина -Шрайера утверждает, что поле можно упорядочить тогда и только тогда, когда оно является формально вещественным полем , а это означает, что любое квадратное уравнение

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots +x_{n}^{2}=0

имеет только решение $x 1 знак равно x 2 знак равно \dots знак равно x n знак равно 0$ . ^[36] Множество всех возможных порядков на фиксированном поле F $изоморфно$ множеству гомоморфизмов колец из кольца Витта $W(F)$ квадратичных форм над $F$ в $Z.$ ^[37]

Архимедово поле — это упорядоченное поле, для каждого элемента которого существует конечное выражение.

1 + 1 + \dots + 1

значение которого больше этого элемента, то есть бесконечных элементов не существует. Эквивалентно, поле не содержит бесконечно малых (элементов, меньших всех рациональных чисел); или, что эквивалентно, поле изоморфно подполю $R$ .

Упорядоченное поле является дедекинд-полным, если все верхние границы , нижние границы (см. Дедекиндов разрез ) и пределы, которые должны существовать, существуют. Более формально, каждое ограниченное подмножество $F$ должно иметь наименьшую верхнюю границу. Любое полное поле обязательно является архимедовым, ^[38] , поскольку в любом неархимедовом поле нет ни наибольшего бесконечно малого, ни наименьшего положительного рационального числа, откуда последовательность $1/2, 1/3, 1/4, ...$ , каждый элемент из которых больше каждой бесконечно малой, не имеет предела.

Поскольку каждое собственное подполе вещественных чисел также содержит такие пробелы, $R$ — единственное полное упорядоченное поле с точностью до изоморфизма. ^[39] Несколько основополагающих результатов в исчислении следуют непосредственно из этой характеристики действительности.

Гиперреалы $R$ $*$ образуют упорядоченное поле, не являющееся архимедовым . Это расширение действительных чисел, полученное путем включения бесконечных и бесконечно малых чисел. Они больше и соответственно меньше любого действительного числа. Гиперреалы составляют фундаментальную основу нестандартного анализа .

Топологические поля

Другое уточнение понятия поля — топологическое поле , в котором множество $F$ является топологическим пространством , таким, что все операции поля (сложение, умножение, отображения $a \mapsto - a$ и $a \mapsto a -1$ ) непрерывны . карты относительно топологии пространства. ^[40] Топология всех обсуждаемых ниже полей индуцируется из метрики , т. е. функции

г : F \times F \to р,

который измеряет расстояние между любыми двумя элементами $F$ .

Пополнение F $—$ это еще одно поле, в котором , неформально говоря, заполняются «пробелы» в исходном поле $F$ , если таковые имеются. Например, любое иррациональное число $x$ , такое как $x$ $=$ $\sqrt$ $2$ , является «пробелом» в рациональных числах $Q$ в том смысле, что это действительное число, которое можно сколь угодно близко аппроксимировать рациональными числами $p$ $/$ $q$ , в том смысле, что расстояние $x$ и $p$ $/$ $q$ , заданное абсолютным значением $|$ $Икс$ $-$ $п$ $/$ $д$ $|$ настолько мал, насколько хотелось бы. В следующей таблице приведены некоторые примеры этой конструкции. В четвертом столбце показан пример нулевой последовательности , т. е. последовательности, предел которой (при $n$ $\to \infty$ ) равен нулю.

Поле $Qp$ используется в теории чисел и $p$ $-$ адическом анализе . Алгебраическое замыкание $Qp$ имеет единственную норму, расширяющую норму на $Qp$ $, но$ не является полным. Однако пополнение этого алгебраического замыкания алгебраически замкнуто. Из-за грубой аналогии с комплексными числами его иногда называют полем комплексных p-адических чисел и обозначают $C p$ . ^[41]

Локальные поля

Следующие топологические поля называются локальными полями : ^[42]^[d]

конечные расширения $Q p$ (локальные поля нулевой характеристики)
конечные расширения $F p ((t))$ , поля рядов Лорана над $F p$ (локальные поля характеристики $p$ ).

Эти два типа локальных полей имеют некоторые фундаментальные сходства. В этом отношении элементы $p \in Q p$ и $t \in F p ((t))$ (называемые униформизатором ) соответствуют друг другу. Первое проявление этого находится на элементарном уровне: элементы обоих полей могут быть выражены в виде степенных рядов в униформизаторе с коэффициентами в $F p$ . (Однако, поскольку сложение в $Q p$ осуществляется с помощью переноса , чего не происходит в $F p ((t))$ эти поля не изоморфны.) Следующие факты показывают, что это поверхностное сходство идет гораздо глубже:

Любое утверждение первого порядка , верное почти для всех $Q p$ , также верно для почти всех $F p ((t))$ . Приложением этого является теорема Аха–Кохена , описывающая нули однородных многочленов в $Q p$ .
Укрощенно разветвленные расширения обоих полей биекционны друг другу.
Присоединение произвольных корней $p -степени из$ $p$ (в $Qp$ ), соответственно, из $t$ $($ в $Fp ((t)$ ) дает (бесконечные) расширения этих полей, известные как $перфектоидные$ поля . Поразительно, но группы Галуа этих двух полей изоморфны, что является первым проблеском замечательной параллели между этими двумя полями: ^[43] $\operatorname {Gal} \left(\mathbf {Q} _{p}\left(p^{1/p^{\infty }}\right)\right)\cong \operatorname {Gal} \left(\mathbf {F} _{p}((t))\left(t^{1/p^{\infty }}\right)\right).$

Дифференциальные поля

Дифференциальные поля — это поля, снабженные дифференцированием , т. е. позволяющие брать производные элементов поля. ^[44] Например, поле $R (X)$ вместе со стандартной производной многочленов образует дифференциальное поле. Эти поля являются центральными в дифференциальной теории Галуа , варианте теории Галуа, занимающейся линейными дифференциальными уравнениями .

Теория Галуа

Теория Галуа изучает алгебраические расширения поля путем изучения симметрии арифметических операций сложения и умножения. Важным понятием в этой области является понятие конечных расширений Галуа $F / E$ , которые по определению являются сепарабельными и нормальными . Теорема о примитивном элементе показывает, что конечные сепарабельные расширения обязательно просты , т. е. имеют вид

F знак равно E [Икс] / ж (Икс)

где $f$ — неприводимый полином (как указано выше). ^[45] Для такого расширения нормальность и сепарабельность означает, что все нули $f$ содержатся в $F$ и что $f$ имеет только простые нули. Последнее условие всегда выполняется, если $E$ имеет характеристику $0$ .

Для конечного расширения Галуа группа Галуа $Gal$ $(F / E)$ — это группа полевых автоморфизмов F , которые тривиальны на $E$ (т. е . биекции $σ$ $:$ $F$ $\to$ $F$ , которые сохраняют сложение и умножение и которые переводят элементы $E$ в сами себя). Важность этой группы вытекает из фундаментальной теоремы теории Галуа , которая строит явное взаимно-однозначное соответствие между множеством подгрупп Gal ( $F$ $/$ $E$ $)$ $и$ множеством промежуточных расширений расширения $F$ $/$ $E$ . ^[46] Посредством этого соответствия теоретико-групповые свойства преобразуются в факты о полях. Например, если группа Галуа расширения Галуа, как указано выше, неразрешима ( не может быть построена из абелевых групп ), то нули $f$ не могут быть выражены через сложение, умножение и радикалы, т. е. выражения, включающие . Например, симметрические группы $Sn$ неразрешимы при $n$ $\geq 5$ $.$ Следовательно, как можно показать, нули следующих многочленов не выражаются через суммы, произведения и радикалы. Для последнего многочлена этот факт известен как теорема Абеля – Руффини : ${\sqrt[{n}]{~}}$

ж (Икс) знак равно Икс 5 - 4 Икс + 2

(и

Е = Q

),^[47]

f (X) = X n + a n -1 X n -1 + \dots + a 0

(где

f

рассматривается как полином от

E (a 0, ..., a n -1)

, для некоторых неопределенных

a i

E

— любое поле и

n \geq 5

Тензорное произведение полей обычно не является полем. Например, конечное расширение $F / E$ степени $n$ является расширением Галуа тогда и только тогда, когда существует изоморфизм $F$ -алгебр

F \otimes E F ≅ F п

Этот факт является началом теории Галуа Гротендика , далеко идущего расширения теории Галуа, применимого к алгебро-геометрическим объектам. ^[48]

Инварианты полей

Основные инварианты поля $F$ включают характеристику и степень трансцендентности поля $F$ над его простым полем. Последнее определяется как максимальное число элементов в $F$ , алгебраически независимых над простым полем. Два алгебраически замкнутых поля $E$ и $F$ изоморфны именно в том случае, если эти два данных совпадают. ^[49] Отсюда следует, что любые два несчетных алгебраически замкнутых поля одинаковой мощности и одной характеристики изоморфны. Например, $Qp, Cp$ и $C$ изоморфны (но не $изоморфны$ $как$ топологические поля).

Модельная теория полей

В теории моделей , разделе математической логики , два поля $E$ и $F$ называются элементарно эквивалентными, если каждое математическое утверждение, верное для $E$ , также верно и для $F$ , и наоборот. Рассматриваемые математические утверждения должны быть предложениями первого порядка (включая $0$ , $1$ , сложение и умножение). Типичный пример для $n > 0$ , $n —$ целое число:

φ (E)

= "любой многочлен степени

n

из

E

имеет нуль в

E

Набор таких формул для всех $n$ выражает алгебраическую замкнутость $E.$ Принцип Лефшеца утверждает, что $C$ элементарно эквивалентно любому алгебраически замкнутому полю $F$ нулевой характеристики. Более того, любое фиксированное утверждение $φ$ выполняется в $C$ тогда и только тогда, когда оно выполняется в любом алгебраически замкнутом поле достаточно высокой характеристики. ^[50]

Если $U$ — ультрафильтр $на$ множестве $I$ , а $F i$ — поле для каждого $i$ в $I$ , ультрапроизведение F $i$ относительно $U$ является полем. ^[51] Обозначается

улим я \to\infty F я

поскольку оно во многих отношениях ведет себя как предел полей $Fi$ : теорема Лоша утверждает, что любое утверждение $первого$ порядка, справедливое для всех, кроме конечного числа $Fi$ $,$ также справедливо и для ультрапроизведения. Применительно к приведенному выше предложению $φ$ это показывает, что существует изоморфизм ^[e]

\operatorname {ulim} _{p\to \infty }{\overline {\mathbf {F} }}_{p}\cong \mathbf {C} .

Отсюда также следует упомянутая выше теорема Аха–Кохена и изоморфизм ультрапроизведений (в обоих случаях по всем простым числам $p$ )

улим п Q п ≅ улим п F п ((т))

Кроме того, теория моделей также изучает логические свойства различных других типов полей, таких как реальные замкнутые поля или экспоненциальные поля (которые оснащены экспоненциальной функцией $exp : F \to F \times$ ). ^[52]

Абсолютная группа Галуа

Для полей, которые не являются алгебраически замкнутыми (или не сепарабельно замкнутыми), абсолютная группа Галуа $Gal(F)$ фундаментально важна: расширяя случай конечных расширений Галуа, описанный выше, эта группа управляет всеми конечными сепарабельными расширениями $F$ . Элементарными средствами можно показать, что группа Gal $($ $F q) является$ группой Прюфера , проконечным пополнением Z. Это утверждение учитывает тот факт, что единственными алгебраическими расширениями $Gal($ $F$ $q$ $)$ являются поля $Gal($ $F$ $q$ $n$ $)$ для $n$ $> 0$ и что группы Галуа этих конечных расширений задаются формулой

Гал(F q n / F q) знак равно Z / п Z

Описание в терминах образующих и соотношений известно также для групп Галуа полей $p -адических чисел ($ $конечных$ расширений $Qp$ ). ^[53]

Представления групп Галуа и родственных групп, таких как группа Вейля , являются фундаментальными во многих разделах арифметики, таких как программа Ленглендса . Когомологическое исследование таких представлений проводится с использованием когомологий Галуа . ^[54] Например, группа Брауэра , которая классически определяется как группа центральных простых $F$ -алгебр , может быть переинтерпретирована как группа когомологий Галуа, а именно

Br(F) знак равно ЧАС 2 (F, грамм м)

К-теория

К-теория Милнора определяется как

K_{n}^{M}(F)=F^{\times }\otimes \cdots \otimes F^{\times }/\left\langle x\otimes (1-x)\mid x\in F\smallsetminus \{0,1\}\right\rangle .

Теорема об изоморфизме норм вычетов , доказанная около 2000 года Владимиром Воеводским , связывает это с когомологиями Галуа посредством изоморфизма.

K_{n}^{M}(F)/p=H^{n}(F,\mu _{l}^{\otimes n}).

Алгебраическая К-теория связана с группой обратимых матриц с коэффициентами данного поля. Например, процесс взятия определителя обратимой матрицы приводит к изоморфизму $K 1 (F) = F \times$ . Теорема Мацумото показывает, что $K 2 (F)$ согласуется с $K 2 M (F)$ . В более высоких степенях К-теория расходится с К-теорией Милнора и в целом остается трудновычислимой.

Приложения

Линейная алгебра и коммутативная алгебра

Если $a \neq 0$ , то уравнение

топор = б

имеет единственное решение $x$ в поле $F$ , а именно. Это непосредственное следствие определения поля является фундаментальным в линейной алгебре . Например, это важный компонент метода исключения Гаусса и доказательства того, что любое векторное пространство имеет базис . ^[55] $x=a^{-1}b.$

Теория модулей (аналог векторных пространств над кольцами вместо полей) гораздо сложнее, поскольку приведенное выше уравнение может иметь несколько решений или не иметь их. В частности, системы линейных уравнений над кольцом решать гораздо труднее, чем в случае полей, даже в особо простом случае кольца $Z$ целых чисел.

Конечные поля: криптография и теория кодирования

Сумма трех точек $P$ , $Q$ и $R$ на эллиптической кривой $E$ (красная) равна нулю, если через эти точки проходит линия (синяя).

Широко применяемая криптографическая процедура использует тот факт, что дискретное возведение в степень, т. е. вычисление

а п знак равно а \cdot а \cdot \dots \cdot а

(

n

множителей, для целого числа

n \geq 1

)

в (большом) конечном поле $F q$ может выполняться гораздо эффективнее, чем дискретный логарифм , который является обратной операцией, т. е. определением решения $n$ уравнения

а п знак равно б

В криптографии эллиптических кривых умножение в конечном поле заменяется операцией сложения точек на эллиптической кривой , т. е. решений уравнения вида

y 2 знак равно Икс 3 + топор + б

Конечные поля также используются в теории кодирования и комбинаторике .

Геометрия: поле функций

Функции в подходящем топологическом пространстве $X$ в поле $F$ можно складывать и умножать поточечно, например, произведение двух функций определяется произведением их значений внутри области:

(ж \cdot г)(Икс) знак равно ж (Икс) \cdot г (Икс)

Это делает эти функции $F$ - коммутативной алгеброй .

Чтобы иметь поле функций, необходимо рассматривать алгебры функций, которые являются областью целостности . В этом случае отношения двух функций, т. е. выражения вида

{\frac {f(x)}{g(x)}},

образуют поле, называемое полем функций.

Это происходит в двух основных случаях. Когда $X$ — комплексное многообразие $X.$ В этом случае рассматривается алгебра голоморфных функций , т. е. комплексно дифференцируемых функций. Их отношения образуют поле мероморфных функций на $X.$

Поле функций алгебраического многообразия $X$ (геометрический объект, определяемый как общие нули полиномиальных уравнений) состоит из отношений регулярных функций , т. е. отношений полиномиальных функций на многообразии. Функциональное поле $n$ -мерного пространства над полем $F$ есть $F (x1, ..., xn)$ , т. е. поле, состоящее из отношений многочленов от $n$ $неопределенных$ значений. Функциональное поле $X$ такое же, как и у любого открытого плотного подмногообразия. Другими словами, функциональное поле нечувствительно к замене $X$ подмногообразием (немного) меньшего размера.

Поле функций инвариантно относительно изоморфизма и бирациональной эквивалентности многообразий. Поэтому это важный инструмент для изучения абстрактных алгебраических многообразий и классификации алгебраических многообразий. Например, размерность , равная степени трансцендентности $F (X)$ , инвариантна относительно бирациональной эквивалентности. [ ^56] Для кривых (т. е. размерность равна единице) функциональное поле $F (X)$ очень близко к $X$ : если $X$ гладкое и собственное (аналог компактности ) , $X$ можно восстановить с точностью до изоморфизма, из области своих функций. ^[f] В более высоком измерении функциональное поле запоминает меньшую, но все же решающую информацию о $X$ . Изучение функциональных полей и их геометрического смысла в высших измерениях называется бирациональной геометрией . Программа минимальной модели пытается идентифицировать простейшие (в определенном смысле) алгебраические многообразия с заданным функциональным полем.

Теория чисел: глобальные поля

Глобальные поля находятся в центре внимания алгебраической теории чисел и арифметической геометрии . По определению они являются числовыми полями (конечными расширениями $Q$ ) или функциональными полями над $F q$ (конечными расширениями $F q (t)$ ). Что касается локальных полей, то эти два типа полей имеют несколько схожих особенностей, хотя они имеют характеристику $0$ и положительную характеристику соответственно. Эта аналогия с функциональным полем может помочь сформировать математические ожидания, часто сначала путем понимания вопросов о функциональных полях, а затем рассмотрения случая числового поля. Последнее зачастую сложнее. Например, гипотезу Римана о нулях дзета-функции Римана (открытую по состоянию на 2017 год) можно рассматривать как параллельную гипотезе Вейля (доказанной в 1974 году Пьером Делинем ).

Пятые корни из единицы образуют правильный пятиугольник .

Циклотомические поля являются одними из наиболее интенсивно изучаемых числовых полей. Они имеют вид $Q (ζn)$ , где $ζn$ — примитивный корень $n$ -й степени $из$ единицы , т.е. комплексное число $ζ$ , которое удовлетворяет $условиям$ $ζn$ $=$ $1$ и $ζm \neq 1$ для всех $0 < m < n$ . ^[57] Поскольку $n$ является обычным простым числом , Куммер использовал круговые поля для доказательства Великой теоремы Ферма , которая утверждает отсутствие рациональных ненулевых решений уравнения

Икс п + y п знак равно z п

Локальные поля являются дополнениями глобальных полей. Теорема Островского утверждает, что единственными пополнениями глобального поля $Q$ являются локальные поля $Q p$ и $R$ . Изучение арифметических вопросов в глобальных полях иногда можно проводить, рассматривая соответствующие вопросы локально. Этот метод называется локально-глобальным принципом . Например, теорема Хассе–Минковского сводит задачу поиска рациональных решений квадратных уравнений к решению этих уравнений в $R$ $и$ Qp $,$ решения которых легко описать. ^[58]

В отличие от локальных полей, группы Галуа глобальных полей неизвестны. Обратная теория Галуа изучает ( нерешенную) проблему, является ли какая-либо конечная группа группой Галуа $Gal(F / Q)$ для некоторого числового поля $F.$ ^[59] Теория полей классов описывает абелевы расширения , т. е. расширения с абелевой группой Галуа или, что то же самое, абелианизированные группы Галуа глобальных полей. Классическое утверждение, теорема Кронекера–Вебера , описывает максимальное абелева $Q ab$ расширение $Q$ : это поле

Q (ζ n, n \geq 2)

получается присоединением всех примитивных корней $n-й$ степени из единицы. «Югендтраум» Кронекера требует столь же явного описания $F ab$ общих числовых полей $F$ . Для мнимых квадратичных полей , , $d$ $> 0$ теория комплексного умножения описывает $F$ $ab$ с помощью эллиптических кривых . Для общих числовых полей такое явное описание не известно. $F=\mathbf {Q} ({\sqrt {-d}})$

Связанные понятия

В дополнение к дополнительной структуре, которую могут иметь поля, поля допускают различные другие связанные понятия. Поскольку в любом поле $0 \neq 1$ любое поле имеет как минимум два элемента. Тем не менее, существует понятие поля с одним элементом , которое предлагается считать пределом конечных полей $F p$ , поскольку $p$ стремится к $1$ . ^[60] Помимо тел, существуют различные другие более слабые алгебраические структуры, связанные с полями, такие как квазиполя , околополя и полуполя .

Существуют также собственные классы со структурой полей, которые иногда называют Fields с заглавной буквы «F». Сюрреалистические числа образуют Поле, содержащее действительные числа, и были бы полем, если бы не тот факт, что они представляют собой собственный класс, а не набор. Нимберы , концепция из теории игр , также образуют такое Поле. ^[61]

Разделительные кольца

Отказ от одной или нескольких аксиом в определении поля приводит к другим алгебраическим структурам. Как упоминалось выше, коммутативные кольца удовлетворяют всем аксиомам поля, за исключением существования мультипликативных обратных. Отказ от коммутативности умножения приводит к понятию тела или тела ; ^[g] иногда ослабляется и ассоциативность. Единственными телами, которые являются конечномерными $R$ -векторными пространствами, являются само $R ,$ $C$ (который является полем) и кватернионы $H$ (в которых умножение некоммутативно). Этот результат известен как теорема Фробениуса . Октонионы $O$ , для которых умножение не является ни коммутативным, ни ассоциативным, являются нормированной альтернативной алгеброй с телом, но не телом. Этот факт был доказан методами алгебраической топологии в 1958 году Мишелем Кервером , Раулем Боттом и Джоном Милнором . ^[62] Отсутствие нечетномерной алгебры с делением является более классическим. Это можно вывести из теоремы о волосатом шаре , проиллюстрированной справа. ^[^{нужна цитата}^]

Примечания

^ Этим последним условием оправдано априорное двойное использование символа « $-$ » для обозначения одной части константы и аддитивных обратных.
^ Эквивалентно, поле - это алгебраическая структура $⟨ F, +, \cdot, -, -1, 0, 1⟩$ типа $⟨2, 2, 1, 1, 0, 0⟩$ такая, что $0 -1$ не определен, $⟨ F, +, -, 0⟩$ и являются абелевыми группами, а $\cdot$ дистрибутивна над $+$ . ^[10] $\left\langle F\smallsetminus \{0\},\cdot ,{}^{-1}\right\rangle$
^ Дальнейшие примеры включают максимальное неразветвленное расширение или максимальное абелево расширение внутри $F$ .
^ Некоторые авторы также считают поля $R$ и $C$ локальными полями. С другой стороны, эти два поля, также называемые архимедовыми локальными полями, имеют мало общего с локальными полями, рассматриваемыми здесь, до такой степени, что Касселс (1986, стр. vi) называет их «совершенно аномальными».
^ И $C$ , и $ulim p F p$ алгебраически замкнуты по теореме Лоша. По той же причине они оба имеют нулевую характеристику. Наконец, они оба несчетны, так что они изоморфны.
^ Точнее, существует эквивалентность категорий между гладкими собственными алгебраическими кривыми над алгебраически замкнутым полем $F$ и конечными полевыми расширениями $F (T)$ .
^ Исторически тела иногда назывались полями, а поля назывались коммутативными полями .

Цитаты

^ Бичи и Блер (2006), Определение 4.1.1, стр. 181
^ Фрэли (1976), с. 10
^ Маккой (1968), с. 16
^ Кларк (1984), Глава 3
^ Майнс, Ричман и Руитенбург (1988), §II.2. См. также поле Heyting .
^ Бичи и Блэр (2006), с. 120, гл. 3
^ Артин (1991), Глава 13.4
^ Lidl & Niederreiter (2008), пример 1.62.
^ Бичи и Блэр (2006), с. 120, гл. 3
^ Уоллес (1998), Th. 2
^ Адамсон (2007), §I.2, с. 10
^ Эскофье (2012), 14.4.2
^ Адамсон (2007), §I.3
^ Адамсон (2007), с. 12
^ Lidl & Niederreiter (2008), Лемма 2.1, Теорема 2.2
^ Лидл и Нидеррайтер (2008), Теорема 1.2.5
^ Кляйнер (2007), с. 63
^ Кирнан (1971), с. 50
^ Бурбаки (1994), стр. 75–76.
^ Корри (2004), с. 24
^ «Самые ранние известные варианты использования некоторых математических слов (F)» .
^ Дирихле (1871), с. 42, перевод Кляйнера (2007), с. 66
^ Бурбаки (1994), с. 81
^ Корри (2004), с. 33. См. также Фрике и Вебер (1924).
^ Бурбаки (1994), с. 92
^ Ланг (2002), §II.1
^ Артин (1991), §10.6
^ Эйзенбуд (1995), с. 60
^ Джейкобсон (2009), с. 213
^ Артин (1991), Теорема 13.3.4
^ Артин (1991), следствие 13.3.6
^ Бурбаки (1988), Глава V, §14, № 2, Теорема 1
^ Артин (1991), §13.9
^ Банашевский (1992). Сообщение Mathoverflow
^ Рибенбойм (1999), с. 186, §7.1
^ Бурбаки (1988), Глава VI, §2.3, Следствие 1
^ Лоренц (2008), §22, Теорема 1
^ Престель (1984), Предложение 1.22.
^ Престель (1984), Теорема 1.23
^ Уорнер (1989), Глава 14
^ Гувеа (1997), §5.7
^ Серр (1979)
^ Шольце (2014)
^ ван дер Пут и Сингер (2003), §1
^ Ланг (2002), Теорема V.4.6
^ Ланг (2002), §VI.1
^ Ланг (2002), Пример VI.2.6.
^ Борсо и Джанелидзе (2001). См. также фундаментальную группу Étale .
^ Гувеа (2012), Теорема 6.4.8
^ Маркер, Мессмер и Пиллэй (2006), следствие 1.2.
^ Схоутенс (2002), §2
^ Кульманн (2000)
^ Яннсен и Вингберг (1982)
^ Серр (2002)
^ Артин (1991), §3.3
^ Эйзенбуд (1995), §13, Теорема A
^ Вашингтон (1997)
^ Серр (1996), Глава IV
^ Серр (1992)
^ Сиськи (1957)
^ Конвей (1976)
^ Баэз (2002)

Внешние ссылки

В Wikibook Абстрактная алгебра есть страница на тему: Поля.