Индийская математика возникла на Индийском субконтиненте [1] с 1200 г. до н.э. [2] до конца 18 века. В классический период индийской математики (с 400 г. по 1200 г. н.э.) важный вклад внесли такие ученые, как Арьябхата , Брахмагупта , Бхаскара II и Варахамихира . Используемая сегодня десятичная система счисления [3] была впервые зафиксирована в индийской математике. [4] Индийские математики внесли ранний вклад в изучение понятия нуля как числа, [5] отрицательных чисел , [6] арифметики и алгебры . [7] Кроме того, в Индии дальнейшее развитие получила тригонометрия [8] и, в частности, там были разработаны современные определения синуса и косинуса . [9] Эти математические концепции были переданы на Ближний Восток, в Китай и Европу [7] и привели к дальнейшим разработкам, которые сейчас составляют основу многих областей математики.
Древние и средневековые индийские математические труды, написанные на санскрите , обычно состояли из раздела сутр , в котором набор правил или задач излагался с большой экономией в стихах, чтобы облегчить запоминание ученику. За этим следовал второй раздел, состоящий из прозаических комментариев (иногда нескольких комментариев разных ученых), в которых проблема объяснялась более подробно и обосновывалась ее решение. В разделе прозы форма (а значит, и ее запоминание) не считалась столь важной, как заложенные в ней идеи. [1] [10] Все математические работы передавались устно примерно до 500 г. до н. э.; после этого они передавались как устно, так и в рукописной форме. Самый старый сохранившийся математический документ , созданный на Индийском субконтиненте, — это берестяная рукопись Бахшали , обнаруженная в 1881 году в деревне Бахшали , недалеко от Пешавара (современный Пакистан ) и, вероятно, датируемая VII веком нашей эры. [11] [12]
Более поздней вехой в индийской математике стала разработка разложения в ряд тригонометрических функций (синуса, косинуса и арктангенса ) математиками школы Кералы в 15 веке нашей эры. Их работа, завершенная за два столетия до изобретения исчисления в Европе, предоставила то, что сейчас считается первым примером степенного ряда (не считая геометрического ряда). [13] Однако они не сформулировали систематическую теорию дифференциации и интеграции , и нет никаких прямых доказательств того, что их результаты были переданы за пределы Кералы . [14] [15] [16] [17]
Раскопки в Хараппе , Мохенджо-Даро и других памятниках цивилизации долины Инда обнаружили свидетельства использования «практической математики». Люди цивилизации долины Инда производили кирпичи, размеры которых находились в пропорции 4:2:1, что считалось благоприятным для устойчивости кирпичной конструкции. Они использовали стандартизированную систему весов, основанную на соотношениях: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 и 500 с единицей измерения. вес, равный примерно 28 граммам (и примерно равный английской унции или греческой унции). Они массово производили гири правильной геометрической формы, включая шестигранники , бочки , конусы и цилиндры , тем самым демонстрируя знание основ геометрии . [18]
Жители цивилизации Инда также пытались стандартизировать измерение длины до высокой степени точности. Они разработали линейку — линейку Мохенджо-Даро , единица длины которой (приблизительно 1,32 дюйма или 3,4 сантиметра) была разделена на десять равных частей. Кирпичи, изготовленные в древнем Мохенджо-Даро, часто имели размеры, кратные этой единице длины. [19] [20]
Показано , что полые цилиндрические объекты, сделанные из ракушек и найденные в Лотале (2200 г. до н.э.) и Дхолавире , обладают способностью измерять углы на плоскости, а также определять положение звезд для навигации. [21]
Религиозные тексты Ведического периода свидетельствуют об использовании больших чисел . Ко времени «Яджурведасамхиты» (1200–900 гг. до н. э.) в тексты включались числа до 10 12 . [2] Например, мантра (священное чтение) в конце аннахомы ( «обряда подношения еды»), выполняемая во время ашвамедхи и произносимая незадолго до, во время и сразу после восхода солнца, вызывает силы десяти из от сотни до триллиона: [2]
Слава Шате («сто», 10 2 ), слава Сахасре («тысяча», 10 3 ), слава Аюте («десять тысяч», 10 4 ), слава Ниюте («сто тысяч», 10 5 ), слава Прайуте («миллион», 10 6 ), слава арбуде («десять миллионов», 10 7 ), слава ньярбуде («сто миллионов», 10 8 ), слава самудре («миллиарды», 10 9 , буквально «океан»), слава мадхье («десять миллиардов», 10 10 , буквально «середина»), слава анта («сто миллиардов», 10 11 , букв., «конец»), слава парардхе («один триллион ,» 10 12 букв., «за пределами частей»), приветствую ушас (рассвет), приветствую вьюшти (сумерки), приветствую удешьят (тот, который собирается подняться), приветствую удят (тот, который восходящий), слава Удита (тому, кто только что воскрес), слава сварге (небу), слава Мартье (миру), слава всем. [2]
Решение частичной дроби было известно людям Ригведы как говорится в Пуруш-Сукте (RV 10.90.4):
С тремя четвертями Пуруша поднялся: одна четверть его снова была здесь.
Сатапатха -брахман ( ок. 7 век до н.э.) содержит правила ритуальных геометрических построений, аналогичные Сульба-сутрам. [22]
В Сульба-сутрах (буквально «Афоризмы аккордов» на ведическом санскрите ) (ок. 700–400 гг. до н.э.) перечислены правила строительства жертвенных огненных алтарей. [23] Большинство математических проблем, рассматриваемых в «Шулба-сутрах» , возникают из «одного богословского требования» [24] — строительства огненных алтарей, которые имеют разные формы, но занимают одну и ту же площадь. Алтари должны были быть построены из пяти слоев обожженного кирпича с тем условием, чтобы каждый слой состоял из 200 кирпичей и чтобы никакие два соседних слоя не имели одинакового расположения кирпичей. [24]
По словам Хаяши, Сульба-сутры содержат «самое раннее из дошедших до нас словесных выражений теоремы Пифагора в мире, хотя оно уже было известно древним вавилонянам ».
Диагональная веревка ( акшайа-раджью ) продолговатого (прямоугольника) производит то и другое, что боковая ( паршвамани ) и горизонтальная ( тирьянмани ) <веревки> производят отдельно» .
Поскольку утверждение представляет собой сутру , оно обязательно сжато, и то, что производят веревки , не уточняется, но контекст ясно подразумевает квадратные области, построенные на их длинах, и учитель объяснил бы это ученику. [25]
Они содержат списки пифагоровых троек [26] , которые являются частными случаями диофантовых уравнений . [27] Они также содержат утверждения (которые, как мы теперь знаем, приблизительные) о квадратуре круга и «обхождении квадрата». [28]
Баудхаяна (ок. 8 век до н.э.) составил Баудхаяну Сульба Сутру , самую известную Сульба Сутру , которая содержит примеры простых пифагорейских троек, таких как: (3, 4, 5) , (5, 12, 13) , (8 , 15, 17) , (7, 24, 25) и (12, 35, 37) , [29] а также формулировку теоремы Пифагора для сторон квадрата: «Веревка, натянутая поперёк Диагональ квадрата дает площадь, вдвое превышающую размер исходного квадрата». [29] [30] Он также содержит общее утверждение теоремы Пифагора (для сторон прямоугольника): «Веревка, натянутая по длине диагонали прямоугольника, образует площадь, которую вместе составляют вертикальная и горизонтальная стороны. " [29] Баудхаяна дает выражение для квадратного корня из двух : [31]
Выражение имеет точность до пяти знаков после запятой, истинное значение составляет 1,41421356... [32] Это выражение по структуре похоже на выражение, найденное на месопотамской табличке [33] древневавилонского периода (1900–1600 гг. до н. э .): [31]
который выражает √ 2 в шестидесятеричной системе и имеет точность до 5 десятичных знаков.
По мнению математика С.Г. Дэни, вавилонская клинописная табличка Плимптон 322, написанная ок. 1850 г. до н.э. [34] «содержит пятнадцать пифагорейских троек с довольно большими записями, в том числе (13500, 12709, 18541), которая является примитивной тройкой, [35] что указывает, в частности, на то, что существовало глубокое понимание этой темы» в Месопотамии в 1850 году. до нашей эры. «Поскольку эти таблички предшествуют периоду Сульбасутры на несколько столетий, принимая во внимание контекстуальное появление некоторых троек, разумно ожидать, что подобное понимание существовало бы и в Индии». [36] Дэни продолжает:
Поскольку основной целью Сульвасутр было описание конструкций алтарей и задействованных в них геометрических принципов, тема пифагорейских троек, даже если бы она была хорошо понята, возможно, все еще не фигурировала в Сульвасутрах . Появление троек в Сульвасутрах сравнимо с математикой, с которой можно столкнуться в вводной книге по архитектуре или другой аналогичной прикладной области, и не соответствовало бы непосредственно общим знаниям по этой теме на тот момент. Поскольку, к сожалению, других современных источников не обнаружено, удовлетворительное решение этого вопроса, возможно, никогда не удастся. [36]
Всего было составлено три Сульба-сутры . Остальные две, Манава Сульба Сутра , составленная Манавой (750–650 гг. до н. э.) и Апастамба Сульба Сутра , составленная Апастамбой (ок. 600 г. до н. э.), содержали результаты, аналогичные Баудхайана Сульба Сутре .
Важной вехой ведического периода стала работа санскритского грамматика Панини (ок. 520–460 до н. э.). Его грамматика включает раннее использование булевой логики , нулевого оператора и контекстно-свободных грамматик , а также предшественника формы Бэкуса-Наура (используемой в языках описания программирования ). [37] [38]
Среди ученых постведического периода, внесших вклад в математику, наиболее известен Пингала ( пингала ) ( ок. 300–200 гг. до н. э.), теоретик музыки , написавший Чхандас Шастру ( чандах-шастра , также Чхандас Сутра чхандах-сутра). ), санскритский трактат по просодии . Есть сведения, что в своей работе по перечислению слоговых сочетаний Пингала наткнулся и на треугольник Паскаля , и на биномиальные коэффициенты , хотя знаний самой биномиальной теоремы он не имел . [39] [40] Работа Пингалы также содержит основные идеи чисел Фибоначчи (называемых маатраамеру ). Хотя Чанда сутра не сохранилась полностью, сохранился комментарий Халаюдхи к ней X века. Халаюдха, который называет треугольник Паскаля Меру -прастара (буквально «лестница на гору Меру»), говорит следующее:
Нарисуйте квадрат. Начиная с половины квадрата, нарисуйте под ним еще два таких же квадрата; под этими двумя, тремя другими квадратами и так далее. Начинать разметку следует с постановки 1 в первом квадрате. Поставьте по 1 в каждый из двух квадратов второй линии. В третьей строке поставьте 1 в двух квадратах по краям, а в среднем квадрате — сумму цифр в двух квадратах, лежащих над ним. В четвертой строке поставьте 1 в два квадрата на концах. В средние поместите сумму цифр в двух квадратах над каждым. Продолжайте таким образом. Из этих строк вторая дает односложные сочетания, третья — двусложные,... [39]
В тексте также указывается, что Пингала осознавал комбинаторную идентичность: [40]
Катьяяна (ок. III век до н.э.) известен как последний из ведических математиков. Он написал Сутру Катьяяна Сульба , в которой представлено много геометрии , включая общую теорему Пифагора и вычисление квадратного корня из 2 с точностью до пяти десятичных знаков.
Хотя джайнизм как религия и философия возник еще до своего самого известного представителя, великого Махавирасвами (6 век до н.э.), большинство джайнских текстов на математические темы были написаны после 6 века до н.э. Математики -джайны исторически важны как важнейшие связующие звенья между математикой ведического периода и математикой «классического периода».
Значительный исторический вклад джайнских математиков заключался в освобождении индийской математики от религиозных и ритуальных ограничений. В частности, их увлечение перечислением очень больших чисел и бесконечностей привело их к классификации чисел на три класса: перечислимые, неисчислимые и бесконечные . Не довольствуясь простым понятием бесконечности, их тексты определяют пять различных типов бесконечности: бесконечность в одном направлении, бесконечность в двух направлениях, бесконечность по площади, бесконечность повсюду и бесконечность вечно. Кроме того, джайнские математики разработали обозначения для простых степеней (и показателей) чисел, таких как квадраты и кубы, что позволило им определять простые алгебраические уравнения ( beejganita samikaran ). Математики-джайны, очевидно, также были первыми, кто использовал слово шунья (буквально «пустота» на санскрите ) для обозначения нуля. Более чем тысячелетие спустя их название превратилось в английское слово «ноль» после извилистого пути переводов и транслитераций из Индии в Европу. (См. Ноль: Этимология .)
Помимо Сурьи Праджняпти , важные джайнские работы по математике включали Стхананга-сутру (ок. 300 г. до н.э. – 200 г. н.э.); Ануйогадвара -сутра (ок. 200 г. до н.э. – 100 г. н.э.), которая включает самое раннее известное описание факториалов в индийской математике; [41] и Саткхандагама (ок. 2 века н. э.). Среди выдающихся джайнских математиков были Бхадрабаху (ум. 298 г. до н.э.), автор двух астрономических работ, « Бхадрабахави-Самхита» и комментария к « Сурья Праджинапти» ; Ятивришам Ачарья (ок. 176 г. до н. э.), автор математического текста под названием Тилояпаннати ; и Умасвати (ок. 150 г. до н.э.), который, хотя и был более известен своими влиятельными работами по джайнской философии и метафизике , написал математический труд под названием « Таттвартхадхигама-Сутра Бхашья ».
Математики древней и раннесредневековой Индии почти все были санскритскими пандитами ( pandita «ученый человек»), [42] которые обучались санскритскому языку и литературе и обладали «общим запасом знаний в грамматике ( vyākaraṇa ), экзегезе ( mīmāṃsā ) и логика ( ньяя )». [42] Запоминание «того, что услышано» ( шрути на санскрите) посредством декламации сыграло важную роль в передаче священных текстов в древней Индии. Запоминание и декламация также использовались для передачи философских и литературных произведений, а также трактатов по ритуалам и грамматике. Современные учёные древней Индии отмечают «поистине замечательные достижения индийских пандитов, которые на протяжении тысячелетий сохраняли в устной форме чрезвычайно объёмные тексты». [43]
Древняя индийская культура потратила колоссальную энергию на то, чтобы эти тексты передавались из поколения в поколение с необычайной точностью. [44] Например, запоминание священных Вед включало до одиннадцати форм чтения одного и того же текста. Впоследствии тексты были «вычитаны» путем сравнения различных прочитанных версий. Формы декламации включали джата-патху (буквально «сетчатая декламация»), в которой каждые два соседних слова в тексте сначала читались в исходном порядке, затем повторялись в обратном порядке и, наконец, повторялись в исходном порядке. [45] Таким образом, чтение продолжалось так:
В другой форме декламации, дхваджа-патха [45] (буквально «декламация флага»), последовательность из N слов читалась (и запоминалась) путем объединения первых двух и последних двух слов, а затем действовала следующим образом:
Наиболее сложная форма декламации, гхана-патха (буквально «плотное декламирование»), по мнению Филлиозата [45] , имела вид:
Об эффективности этих методов свидетельствует сохранение самого древнего индийского религиозного текста, Ригведы (ок. 1500 г. до н.э.), как единого текста, без каких-либо вариантов прочтения. [45] Подобные методы использовались для запоминания математических текстов, передача которых оставалась исключительно устной до конца ведического периода (ок. 500 г. до н. э.).
Математическая деятельность в древней Индии началась как часть «методологического размышления» над священными Ведами , которое приняло форму работ под названием « Ведангас », или «Вспомогательные материалы к Ведам» (7–4 века до н.э.). [46] Необходимость сохранить звучание священного текста с помощью шикши ( фонетики ) и чхандаса ( метрики ); сохранить его значение, используя вьякарану ( грамматику ) и нирукту ( этимологию ); и правильное выполнение обрядов в нужное время с помощью кальпы ( ритуала ) и джйотиши ( астрологии ) породили шесть дисциплин Веданг . [46] Математика возникла как часть двух последних дисциплин — ритуальной и астрономии (в которую входила и астрология). Поскольку Веданги непосредственно предшествовали использованию письменности в древней Индии, они образовали последнюю из исключительно устной литературы. Они были выражены в сильно сжатой мнемонической форме — сутре (буквально «нить»):
Знатоки сутры знают , что она имеет мало фонем, лишена двусмысленности, содержит суть, обращена ко всему, не имеет пауз и не вызывает возражений. [46]
Чрезвычайная краткость была достигнута за счет множества средств, в том числе использования многоточия «за пределами естественного языка» [46] , использования технических названий вместо более длинных описательных названий, сокращения списков за счет упоминания только первой и последней записей, а также использования маркеров и переменных. [46] Сутры создают впечатление, что общение посредством текста было «лишь частью всего наставления. Остальная часть наставления, должно быть, передавалась так называемой Гуру-шишья парампарой , ' непрерывной преемственностью от учителя ( гуру ) студенту ( śisya )», и это не было открыто для широкой публики» и, возможно, даже держалось в секрете. [47] Краткость, достигнутая в сутре , демонстрируется в следующем примере из Баудхаяны Шулба-сутры (700 г. до н. э.).
Домашний огненный алтарь в ведический период согласно ритуалу должен был иметь квадратное основание и состоять из пяти слоев кирпича по 21 кирпичу в каждом слое. Один из методов построения алтаря заключался в том, чтобы разделить одну сторону квадрата на три равные части с помощью шнура или веревки, затем разделить поперечную (или перпендикулярную) сторону на семь равных частей и тем самым разделить квадрат на 21 равный прямоугольник. . Затем кирпичам придали форму составляющего прямоугольника, и был создан слой. Для формирования следующего слоя использовалась та же формула, но кирпичи располагались поперечно. [48] Затем процесс был повторен еще три раза (с чередующимися направлениями), чтобы завершить строительство. В Баудхаяна Шулба Сутре эта процедура описана следующими словами:
II.64. Разделив четырехугольник на семь, делят поперечный [шнур] на три.
II.65. В другом слое размещаются [кирпичи] с направлением на север. [48]
По словам Филлиозата, [49] служитель, сооружающий алтарь, имеет в своем распоряжении лишь несколько инструментов и материалов: веревку (санскрит, раджу , ф.), два колышка (санскрит, śanku , м.) и глину для изготовления кирпичи (санскрит, иштака , ф.). Краткость в сутре достигается за счет отсутствия явного упоминания того, что характеризует прилагательное «поперечный»; однако, судя по женской форме используемого (санскритского) прилагательного, легко сделать вывод, что оно характеризует «шнур». Точно так же во второй строфе «кирпичи» не упоминаются явно, но снова выводятся из формы женского множественного числа слова «указание на север». Наконец, в первой строфе никогда прямо не говорится, что первый слой кирпичей ориентирован в направлении восток-запад, но это также подразумевается явным упоминанием «направления на север» во второй строфе ; ибо, если бы ориентация должна была быть одинаковой в двух слоях, она либо не упоминалась бы вообще, либо упоминалась бы только в первой строфе. Все эти выводы делает служащий, вспоминая формулу из своей памяти. [48]
С ростом сложности математики и других точных наук требовались как письмо, так и вычисления. В результате многие математические работы стали записываться в рукописях, которые затем переписывались и переписывались из поколения в поколение.
Сегодня в Индии, по оценкам, насчитывается около тридцати миллионов рукописей, что является крупнейшим собранием рукописных материалов для чтения в мире. Грамотная культура индийской науки восходит, по крайней мере, к пятому веку до нашей эры… о чем свидетельствуют элементы месопотамской литературы и астрономии по предсказаниям, которые проникли в Индию в то время и (были) определенно не… сохранились в устной форме. [50]
Самый ранний комментарий в математической прозе был к работе «Арьябхатия» (написанной в 499 г. н.э.), работе по астрономии и математике. Математическая часть Арьябхатия состояла из 33 сутр (в стихотворной форме), состоящих из математических утверждений или правил, но без каких-либо доказательств. [51] Однако, по мнению Хаяси, [52] «это не обязательно означает, что их авторы их не доказали. Вероятно, это был вопрос стиля изложения». Со времен Бхаскары I (600 г. н.э.) прозаические комментарии все чаще стали включать в себя некоторые выводы ( упапатти ). Комментарий Бхаскары I к «Арьябхатия» имел следующую структуру: [51]
Как правило, по любой математической теме студенты в древней Индии сначала запоминали сутры , которые, как объяснялось ранее, были «намеренно неадекватны» [50] в пояснительных деталях (чтобы содержательно передать основные математические правила). Затем студенты прорабатывали темы прозаических комментариев, записывая (и рисуя схемы) на меловых и пылевидных досках ( т. е. досках, покрытых пылью). Последняя деятельность, являющаяся основным элементом математической работы, позже побудила математика-астронома Брахмагупту ( 7 век н.э.) охарактеризовать астрономические вычисления как «работу пыли» (санскрит: dhulikarman ). [53]
Хорошо известно, что используемая сегодня десятичная система счисления была впервые записана в Индии, затем передана в исламский мир и, в конечном итоге, в Европу. [54] Сирийский епископ Северус Себохт писал в середине VII века нашей эры о «девяти знаках» индейцев для выражения чисел. [54] Однако, как, когда и где была изобретена первая десятичная система значений, не так ясно. [55]
Самым ранним сохранившимся письмом, использовавшимся в Индии, было письмо Хароштхи , используемое в культуре Гандхара на северо-западе. Считается, что он имеет арамейское происхождение и использовался с 4 века до нашей эры до 4 века нашей эры. Почти одновременно с этим на большей части субконтинента появилось другое письмо, письмо брахми , которое позже стало основой многих письменностей Южной и Юго-Восточной Азии. Оба сценария имели цифровые символы и системы счисления, которые изначально не были основаны на позиционной системе. [56]
Самые ранние сохранившиеся свидетельства использования десятичных цифр в Индии и Юго-Восточной Азии относятся к середине первого тысячелетия нашей эры. [57] На медной пластине из Гуджарата, Индия, упоминается дата 595 г. н.э., записанная в виде десятичного знака, хотя есть некоторые сомнения относительно ее подлинности. [57] Десятичные цифры, обозначающие 683 год нашей эры, также были обнаружены в каменных надписях в Индонезии и Камбодже, где индийское культурное влияние было существенным. [57]
Существуют более старые текстовые источники, хотя дошедшие до нас рукописные копии этих текстов относятся к гораздо более позднему времени. [58] Вероятно, самым ранним таким источником является работа буддийского философа Васумитры, датированная, вероятно, I веком нашей эры. [58] Обсуждая счетные ямы торговцев, Васумитра замечает: «Когда [одна и та же] глиняная счетная единица стоит на месте единиц, она обозначается как единица, когда в сотнях — как сто». [58] Хотя такие ссылки, кажется, подразумевают, что его читатели знали представление значений десятичных знаков, «краткость их намеков и двусмысленность их дат, однако, не устанавливают твердо хронологию развития этой концепции». [58]
Третье десятичное представление использовалось в технике составления стихов, позже названной Бхута-санкхья (буквально «числа объектов»), используемой ранними санскритскими авторами технических книг. [59] Поскольку многие ранние технические работы были написаны в стихах, числа часто представлялись соответствующими им объектами природного или религиозного мира; это позволило обеспечить соответствие «многие к одному» для каждого числа и облегчило составление стихов. [59] Согласно Плофкеру, [60] число 4, например, могло быть представлено словом « Веда » (поскольку таких религиозных текстов было четыре), число 32 — словом «зубы» (поскольку полное набор состоит из 32 штук), а цифра 1 — «луна» (поскольку луна только одна). [59] Таким образом, Веда/зубы/луна будут соответствовать десятичному числу 1324, поскольку по соглашению о числах их цифры нужно было нумеровать справа налево. [59] Самая ранняя ссылка, использующая номера объектов, - это c. 269 г. н.э. Санскритский текст « Яванаджатака» (буквально «греческая гороскопия») Схуджидхваджи, стихосложение более ранней (около 150 г. н.э.) индийской прозаической адаптации утраченного труда по эллинистической астрологии. [61] Такое использование, по-видимому, доказывает, что к середине III века нашей эры десятичная система значений была знакома, по крайней мере, читателям астрономических и астрологических текстов в Индии. [59]
Было высказано предположение, что индийская система десятичных знаков была основана на символах, используемых на китайских счетных досках еще с середины первого тысячелетия до нашей эры. [62] Согласно Плофкеру, [60]
Эти счетные доски, как и индийские счетные ямы, ... имели структуру значений десятичных знаков ... Индийцы вполне могли узнать об этих «стержневых цифрах» с десятичными знаками от китайских буддийских паломников или других путешественников, или они, возможно, разработали эта концепция независима от их более ранней системы неместных ценностей; не сохранилось никаких документальных подтверждений того или иного вывода» [62] .
Самая старая сохранившаяся математическая рукопись в Индии — это « Манускрипт Бахшали », рукопись из бересты, написанная на «буддийском гибридном санскрите» [12] шрифтом Шарада , который использовался в северо-западном регионе Индийского субконтинента между 8-м и 12-м веками нашей эры. [63] Рукопись была обнаружена в 1881 году фермером при раскопках каменного ограждения в деревне Бахшали, недалеко от Пешавара (тогда в Британской Индии , а теперь в Пакистане ). Рукопись неизвестного автора, ныне хранящаяся в Бодлианской библиотеке Оксфордского университета , недавно была датирована 224–383 годами нашей эры. [64]
Сохранившаяся рукопись состоит из семидесяти листов, некоторые из которых фрагментированы. Его математическое содержание составляют правила и примеры, написанные в стихах, а также прозаические комментарии, включающие решения примеров. [63] Рассматриваемые темы включают арифметику (дроби, квадратные корни, прибыль и убытки, простые проценты, правило трех и ложные правила ) и алгебру (одновременные линейные и квадратные уравнения ), а также арифметические прогрессии. Кроме того, существует несколько геометрических задач (включая задачи об объемах неправильных тел). В рукописи Бахшали также «используется десятичная система значений с точкой вместо нуля». [63] Многие из его проблем относятся к категории, известной как «задачи уравнения», которые приводят к системам линейных уравнений. Один из примеров из фрагмента III-5-3v следующий:
У одного купца семь лошадей асава , у второго девять лошадей хайя , а у третьего десять верблюдов. Они будут одинаково обеспечены ценностью своих животных, если каждый отдаст по два животных, по одному каждому из остальных. Найдите цену каждого животного и общую стоимость животных, принадлежащих каждому торговцу. [65]
Прозаический комментарий, сопровождающий пример, решает проблему, преобразуя ее к трем (недоопределенным) уравнениям с четырьмя неизвестными и предполагая, что все цены являются целыми числами. [65]
В 2017 году радиоуглеродное датирование показало, что три образца рукописи относятся к трем разным векам: с 224 по 383 год нашей эры, с 680 по 779 год нашей эры и с 885 по 993 год нашей эры. Неизвестно, как фрагменты разных веков оказались собраны вместе. [66] [67] [68]
Этот период часто называют золотым веком индийской математики. В этот период такие математики, как Арьябхата , Варахамихира , Брахмагупта , Бхаскара I , Махавира , Бхаскара II , Мадхава Сангамаграма и Нилакантха Сомаяджи, придали более широкую и четкую форму многим разделам математики. Их вклад распространится на Азию, Ближний Восток и, в конечном итоге, на Европу. В отличие от ведической математики, их работы включали как астрономические, так и математические работы. Фактически математика того периода была включена в «астральную науку» ( джьотихшастра ) и состояла из трех субдисциплин: математических наук ( ганита или тантра ), гороскопической астрологии ( хора или джатака ) и гадания (самхита). [53] Это трехчастное деление можно увидеть в компиляции Варахамихиры VI века — Панчасиддхантика [69] (буквально панча , «пять», сиддханта , «заключение обсуждения», датированной 575 годом н.э. ) — пяти более ранних работ, Сурья Сиддханта , Ромака Сиддханта , Паулиса Сиддханта , Васиштха Сиддханта и Пайтамаха Сиддханта , которые были адаптацией еще более ранних работ месопотамской, греческой, египетской, римской и индийской астрономии. Как объяснялось ранее, основные тексты были составлены стихами на санскрите и сопровождались комментариями в прозе. [53]
Хотя ее авторство неизвестно, Сурья Сиддханта (ок. 400 г.) содержит корни современной тригонометрии . [ нужна цитата ] Поскольку он содержит много слов иностранного происхождения, некоторые авторы считают, что он был написан под влиянием Месопотамии и Греции. [70] [ нужен лучший источник ]
В этом древнем тексте в качестве тригонометрических функций впервые используются следующие значения :
Позже индийские математики, такие как Арьябхата, ссылались на этот текст, а более поздние арабские и латинские переводы имели большое влияние в Европе и на Ближнем Востоке.
Этот календарь Чхеди (594 г.) содержит раннее использование современной индуистско -арабской системы счисления, которая сейчас используется повсеместно.
Арьябхата (476–550) написал « Арьябхатию». Он описал важные фундаментальные принципы математики в 332 шлоках . Трактат содержал:
Арьябхата также написал «Арья Сиддханту» , которая сейчас утеряна. Вклад Арьябхаты включает:
Тригонометрия:
(См. также: таблицу синусов Арьябхаты )
Арифметика:
Алгебра:
Математическая астрономия:
Варахамихира (505–587) создал «Панча Сиддханту» ( «Пять астрономических канонов »). Он внес важный вклад в тригонометрию, включая таблицы синусов и косинусов с точностью до 4 десятичных знаков и следующие формулы, связывающие функции синуса и косинуса :
В VII веке в индийской математике начали возникать две отдельные области — арифметика (включавшая в себя измерение ) и алгебра . Эти две области позже будут называться пати-ганита (буквально «математика алгоритмов») и биджа-ганита (буквально «математика семян», где «семена» — подобно семенам растений — представляют собой неизвестные, способные порождать, в данном случае решения уравнений). [72] Брахмагупта в своем астрономическом труде «Брахма Спхута Сиддханта » (628 г. н.э.) включил две главы (12 и 18), посвященные этим областям. Глава 12, содержащая 66 стихов на санскрите, была разделена на два раздела: «основные операции» (включая кубические корни, дроби, соотношение и пропорции, а также обмен) и «практическая математика» (включая смешивание, математические ряды, плоские фигуры, укладку кирпичей, распиловка леса и складывание зерна). [73] В последнем разделе он сформулировал свою знаменитую теорему о диагоналях вписанного четырёхугольника : [73]
Теорема Брахмагупты: если вписанный четырехугольник имеет диагонали, перпендикулярные друг другу, то перпендикуляр, проведенный из точки пересечения диагоналей к любой стороне четырехугольника, всегда делит противоположную сторону пополам.
Глава 12 также включала формулу площади вписанного четырехугольника (обобщение формулы Герона ), а также полное описание рациональных треугольников ( т.е. треугольников с рациональными сторонами и рациональными площадями).
Формула Брахмагупты: площадь A вписанного четырехугольника со сторонами длиной a , b , c , d соответственно определяется выражением
где s , полупериметр , определяемый формулой
Теорема Брахмагупты о рациональных треугольниках: Треугольник с рациональными сторонами и рациональной площадью имеет вид:
для некоторых рациональных чисел и . [74]
Глава 18 содержала 103 санскритских стиха, которые начинались с правил арифметических операций с нулем и отрицательными числами [73] и считается первым систематическим рассмотрением этого предмета. Все правила (включая и ) были правильными, за одним исключением: . [73] Позже в этой главе он дал первое явное (хотя и не совсем общее) решение квадратного уравнения :
К абсолютному числу, умноженному на четырехкратный [коэффициент] квадрата, прибавляют квадрат [коэффициента] среднего члена; квадратный корень из того же самого минус [коэффициент] среднего члена, разделенный на двойной [коэффициент] квадрата, является значением. [75]
Это эквивалентно:
Также в главе 18 Брахмагупта смог добиться прогресса в нахождении (интегральных) решений уравнения Пелла , [76]
где – неквадратное целое число. Он сделал это, обнаружив следующее тождество: [76]
Личность Брахмагупты: которая была обобщением более ранней личности Диофанта : [76] Брахмагупта использовал свою личность, чтобы доказать следующую лемму: [76]
Лемма (Брахмагупта): Если является решением и является решением , то:
Затем он использовал эту лемму, чтобы сгенерировать бесконечное количество (целых) решений уравнения Пелла при наличии одного решения, а также сформулировать следующую теорему:
Теорема (Брахмагупта): Если уравнение имеет целочисленное решение для любого из уравнений Пелла:
также имеет целочисленное решение. [77]
Брахмагупта на самом деле не доказал теорему, а разработал примеры, используя свой метод. Первый пример, который он представил, был: [76]
Пример (Брахмагупта): Найдите целые числа такие, что:
В своем комментарии Брахмагупта добавил: «Человек, решивший эту задачу за год, — математик». [76] Решение, которое он предложил, было:
Бхаскара I (ок. 600–680) расширил творчество Арьябхаты в своих книгах под названием « Махабхаскария» , «Арьябхатия-бхашья » и «Лагху-бхаскария» . Он произвел:
Вирасена (8 век) был джайнским математиком при дворе царя Раштракуты Амогхаварши из Маньяхеты , штат Карнатака. Он написал « Дхавалу» , комментарий к джайнской математике, в котором:
Вирасена также дал:
Считается, что большая часть математического материала в Дхавале может быть приписана предыдущим авторам, особенно Кундакунде, Шамакунде, Тумбулуре, Самантабхадре и Баппадеве, и датируется периодом между 200 и 600 годами нашей эры. [79]
Махавира Ачарья (ок. 800–870) из Карнатаки , последний из известных джайнских математиков, жил в 9 веке и находился под покровительством царя Раштракуты Амогхаварши. Он написал книгу под названием «Ганит Саар Санграха» по числовой математике, а также написал трактаты по широкому кругу математических тем. К ним относятся математика:
Махавира также:
Шридхара (ок. 870–930), живший в Бенгалии , написал книги под названием «Нав Шатика» , «Три Шатика» и «Пати Ганита ». Он дал:
Пати Ганита — это труд по арифметике и измерению . Он занимается различными операциями, в том числе:
Уравнения Арьябхаты были разработаны в 10 веке Манджулой (также Мунджалой ), который понял, что выражение [80]
может быть приблизительно выражено как
Это было развито его более поздним предшественником Бхаскарой II, тем самым найдя производную синуса. [80]
Арьябхата II (ок. 920–1000) написал комментарий к Шридхаре и астрономический трактат « Маха-Сиддханта» . Маха-Сиддханта состоит из 18 глав и обсуждает:
Шрипати Мишра (1019–1066) написал книги «Сиддханта Шекхара» , крупный труд по астрономии в 19 главах, и «Ганит Тилака» , неполный арифметический трактат в 125 стихах, основанный на произведении Шридхары. В основном он работал над:
Он также был автором «Дхикотидакараны» , произведения из двадцати стихов на тему:
Дхруваманаса — это произведение из 105 стихов, посвященное :
Немичандра Сиддханта Чакравати (ок. 1100 г.) написал математический трактат под названием « Гоме-мат Саар» .
Бхаскара II (1114–1185) был математиком-астрономом, написавшим ряд важных трактатов, а именно « Сиддханта Широмани », «Лилавати », «Биджаганита» , «Гола Аддхая » , «Гриха Ганитам» и «Каран Каутоохал ». Ряд его работ позже был передан на Ближний Восток и в Европу. Его вклад включает в себя:
Арифметика:
Алгебра:
Геометрия:
Исчисление:
Тригонометрия:
Керальская школа астрономии и математики была основана Мадхавой Сангамаграмы в Керале, Южная Индия , и среди ее членов входили: Парамешвара , Нилаканта Сомаяджи , Джьештадева , Ачьюта Пишарати , Мельпатур Нараяна Бхаттатири и Ачьюта Паниккар. Она процветала между 14 и 16 веками, и первые открытия школы, похоже, закончились Нараяной Бхаттатири (1559–1632). Пытаясь решить астрономические проблемы, астрономы школы Кералы независимо друг от друга создали ряд важных математических концепций. Важнейшие результаты — разложение в ряды для тригонометрических функций — были даны в стихах на санскрите в книге Нилаканты под названием « Тантрасангграха» и комментарии к этому труду под названием «Тантрасанграха-вакхья» неизвестного автора. Теоремы были сформулированы без доказательства, но доказательства рядов для синуса , косинуса и обратного тангенса были представлены век спустя в работе Юктибхаша (ок. 1500–1610), написанной на малаялам Джьестхадевой . [82]
Их открытие этих трех важных серий расширений исчисления — за несколько столетий до того, как исчисление было разработано в Европе Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницем — было достижением. Однако школа Кералы не изобрела исчисление , [83] потому что, хотя они были в состоянии разработать разложения в ряд Тейлора для важных тригонометрических функций , они не разработали ни теорию дифференцирования или интегрирования , ни фундаментальную теорему исчисления . [71] Результаты, полученные школой Кералы, включают:
Работы школы Кералы были впервые написаны для западного мира англичанином К. М. Уишем в 1835 году. По словам Уиша, математики Кералы «заложили основу для полной системы флюксий », и эти работы изобиловали « флюксионными формами и рядами ». нельзя найти ни в одном произведении зарубежных стран » . [85]
Однако результаты Уиша почти полностью игнорировались до тех пор, пока более века спустя открытия школы Кералы не были снова исследованы К. Раджагопалом и его коллегами. Их работа включает комментарии к доказательствам ряда арктанов в Юктибхаше , приведенные в двух статьях, [86] [87] комментарий к доказательству рядов синуса и косинуса в Юктибхаше [88] и две статьи, содержащие санскритские стихи Тантрасанграхавахья для серии арктана, греха и косинуса (с английским переводом и комментариями) . [89] [90]
Нараяна Пандит — математик XIV века, написавший две важные математические работы: арифметический трактат « Ганита Каумуди » и алгебраический трактат « Биджганита Ватамса» . Нараяна также считается автором подробного комментария к « Лилавати » Бхаскары II под названием «Кармапрадипика» (или «Карма-Паддхати »). Мадхава Сангамаграма (ок. 1340–1425) был основателем школы Кералы. Хотя вполне возможно, что он написал «Карана Паддхати» — произведение, написанное где-то между 1375 и 1475 годами, все, что мы действительно знаем о его работе, взято из работ более поздних ученых.
Парамешвара (ок. 1370–1460) написал комментарии к произведениям Бхаскары I , Арьябхаты и Бхаскары II. Его «Лилавати Бхасья» , комментарий к « Лилавати» Бхаскары II , содержит одно из его важных открытий: версию теоремы о среднем значении . Нилакантха Сомаяджи (1444–1544) составил « Тантра-Самграха » (которая «породила» более поздний анонимный комментарий «Тантрасанграха-вьякхья» и дальнейший комментарий под названием «Юктидипайка» , написанный в 1501 году). Он разработал и расширил вклад Мадхавы.
Читрабхану (ок. 1530 г.) был математиком XVI века из Кералы, который дал целочисленные решения 21 типа систем двух одновременных алгебраических уравнений с двумя неизвестными. Эти типы представляют собой все возможные пары уравнений следующих семи форм:
В каждом случае Читрабхану давал объяснение и обоснование своего правила, а также приводил пример. Некоторые из его объяснений алгебраические, другие — геометрические. Джьестхадева (ок. 1500–1575) был еще одним членом школы Кералы. Его ключевой работой была «Юкти-бхаша» (написанная на малаяламе, региональном языке Кералы). Джьештхадева представил доказательства большинства математических теорем и бесконечных рядов, ранее открытых Мадхавой и другими математиками школы Кералы.
Было высказано предположение, что вклад Индии в математику не получил должного признания в современной истории и что многие открытия и изобретения индийских математиков в настоящее время культурно приписываются их западным коллегам в результате европоцентризма . Согласно взглядам Г.Г. Джозефа на « Этноматематику »:
[Их работа] принимает во внимание некоторые возражения, высказанные по поводу классической европоцентрической траектории. Осведомленность [об индийской и арабской математике], скорее всего, будет сдерживаться пренебрежительным отрицанием их важности по сравнению с греческой математикой. Вклад других цивилизаций – в первую очередь Китая и Индии – воспринимается либо как заимствованный из греческих источников, либо как внесший лишь незначительный вклад в основное направление математического развития. К сожалению, отсутствует открытость к результатам последних исследований, особенно в случае индийской и китайской математики» [91].
Историк математики Флориан Каджори предположил, что он и другие «подозревают, что Диофант впервые получил алгебраические знания из Индии». [92] Однако он также писал, что «несомненно, некоторые части индуистской математики имеют греческое происхождение». [93]
Совсем недавно, как обсуждалось в предыдущем разделе, бесконечные серии исчисления тригонометрических функций (переоткрытые Грегори, Тейлором и Маклореном в конце 17 века) были описаны в Индии математиками школы Кералы , что примечательно, примерно двумя столетиями ранее. . Некоторые ученые недавно предположили, что знания об этих результатах могли быть переданы в Европу по торговому пути из Кералы торговцами и миссионерами -иезуитами . [94] Керала находилась в постоянном контакте с Китаем и Аравией , а примерно с 1500 года — с Европой. Наличие путей сообщения и подходящая хронология, безусловно, делают такую передачу возможной. Однако прямых доказательств того, что такая передача действительно имела место, в виде соответствующих рукописей нет. [94] По словам Дэвида Брессуда , «нет никаких доказательств того, что индийские сериалы были известны за пределами Индии или даже за пределами Кералы до девятнадцатого века». [83] [95]
И арабские, и индийские ученые сделали открытия до 17 века, которые сейчас считаются частью исчисления. [71] Однако они, как Ньютон и Лейбниц , не «объединили множество различных идей в рамках двух объединяющих тем — производной и интеграла , не показали связь между ними и не превратили исчисление в великий инструмент решения проблем, который мы можем использовать». есть сегодня». [71] Интеллектуальная карьера как Ньютона, так и Лейбница хорошо документирована, и нет никаких указаний на то, что их работы не были их собственными; [71] однако достоверно неизвестно, узнали ли непосредственные предшественники Ньютона и Лейбница, «включая, в частности, Ферма и Роберваля о некоторых идеях исламских и индийских математиков из источников, которые нам сейчас не известны. " [71] Это активная область текущих исследований, особенно в коллекциях рукописей Испании и Магриба . Эти исследования проводятся, в частности, в CNRS . [71]
СловоСиддханта
означает то
,
что доказано или установлено
.
Сульва
-сутры
имеют индуистское происхождение, но
сиддханты
содержат так много слов иностранного происхождения, что они, несомненно, имеют корни в
Месопотамии
и Греции.
В алгебре, вероятно, существовала взаимная отдача и получение [между Грецией и Индией].
Мы подозреваем, что Диофант впервые познакомился с алгебраическими знаниями из Индии.
{{citation}}
: CS1 maint: location missing publisher (link). Новое издание с переводом и комментариями (2 тома).{{citation}}
: CS1 maint: location missing publisher (link).