Теория множеств фон Неймана–Бернайса–Гёделя

Система математической теории множеств

В основах математики теория множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя ( NBG ) — это аксиоматическая теория множеств , которая является консервативным расширением теории множеств выбора Цермело–Френкеля (ZFC). NBG вводит понятие класса , который представляет собой набор множеств, определяемых формулой , кванторы которой пробегают только по множествам. NBG может определять классы , которые больше множеств, такие как класс всех множеств и класс всех ординалов . Теория множеств Морса–Келли (MK) позволяет определять классы формулами, кванторы которых пробегают по классам. NBG является конечно аксиоматизируемой, в то время как ZFC и MK — нет.

Ключевой теоремой NBG является теорема о существовании класса, которая гласит, что для каждой формулы, кванторы которой пробегают только множества, существует класс, состоящий из множеств, удовлетворяющих формуле. Этот класс строится путем зеркального отображения пошагового построения формулы с классами. Поскольку все формулы теории множеств строятся из двух видов атомарных формул ( членства и равенства ) и конечного числа логических символов , для построения классов, удовлетворяющих им, требуется только конечное число аксиом . Вот почему NBG является конечно аксиоматизируемой. Классы также используются для других построений, для обработки парадоксов теории множеств и для формулировки аксиомы глобального выбора , которая сильнее аксиомы выбора ZFC .

Джон фон Нейман ввел классы в теорию множеств в 1925 году. Основными понятиями его теории были функция и аргумент . Используя эти понятия, он определил класс и множество. ^[1] Пол Бернайс переформулировал теорию фон Неймана, взяв класс и множество в качестве основных понятий. ^[2] Курт Гёдель упростил теорию Бернайса для своего относительного доказательства непротиворечивости аксиомы выбора и обобщенной гипотезы континуума . ^[3]

Занятия по теории множеств

Использование классов

Классы имеют несколько применений в NBG:

• Они создают конечную аксиоматизацию теории множеств. ^[4]
• Они используются для формулировки «очень сильной формы аксиомы выбора » ^[5] , а именно аксиомы глобального выбора : существует глобальная функция выбора, определенная на классе всех непустых множеств, такая что для каждого непустого множества Это сильнее аксиомы выбора ZFC: для каждого множества непустых множеств существует функция выбора , определенная на , такая что для всех ^[a] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G(x)\in x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f(x)\in x}$ ${\displaystyle x\in s.}$
• Парадоксы теории множеств решаются путем признания того, что некоторые классы не могут быть множествами. Например, предположим, что класс всех ординалов является множеством. Тогда является транзитивным множеством, вполне упорядоченным по . Так что, по определению, является ординалом. Следовательно, , что противоречит тому, чтобы быть вполне упорядоченным для Следовательно, не является множеством. Класс, который не является множеством, называется собственным классом ; является собственным классом. ^[6] ${\displaystyle Ord}$ ${\displaystyle Ord}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Ord}$ ${\displaystyle Ord\in Ord}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Ord.}$ ${\displaystyle Ord}$ ${\displaystyle Ord}$
• Правильные классы полезны в конструкциях. В своем доказательстве относительной согласованности аксиомы глобального выбора и обобщенной гипотезы континуума Гёдель использовал правильные классы для построения конструируемой вселенной . Он построил функцию на классе всех ординалов, которая для каждого ординала строит конструируемое множество, применяя операцию построения множеств к ранее построенным множествам. Конструируемая вселенная является образом этой функции. ^[7]

Схема аксиом против теоремы о существовании класса

После добавления классов в язык ZFC, ZFC легко трансформировать в теорию множеств с классами. Во-первых, добавляется схема аксиом понимания классов. Эта схема аксиом гласит: Для каждой формулы , которая квантифицирует только по множествам, существует класс, состоящий из кортежей - , удовлетворяющих формуле, то есть, Затем схема аксиом замены заменяется одной аксиомой, которая использует класс. Наконец, аксиома экстенсиональности ZFC модифицируется для обработки классов: Если два класса имеют одинаковые элементы, то они идентичны. Другие аксиомы ZFC не модифицируются. ^[8] ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})].}$

Эта теория не является конечно аксиоматизированной. Схема замены ZFC была заменена одной аксиомой, но была введена схема аксиом понимания классов.

Чтобы создать теорию с конечным числом аксиом, схема аксиом понимания классов сначала заменяется на конечный ряд аксиом существования классов. Затем эти аксиомы используются для доказательства теоремы существования классов, которая подразумевает каждый случай схемы аксиом. ^[8] Доказательство этой теоремы требует всего семь аксиом существования классов, которые используются для преобразования построения формулы в построение класса, удовлетворяющего формуле.

Аксиоматизация NBG

Классы и наборы

NBG имеет два типа объектов: классы и множества. Интуитивно, каждое множество также является классом. Есть два способа аксиоматизировать это. Бернайс использовал многосортную логику с двумя сортами: классами и множествами. ^[2] Гёдель избегал сортировок, вводя примитивные предикаты: для « является классом» и для « является множеством» (по-немецки «множество» — это Menge ). Он также ввел аксиомы, утверждающие, что каждое множество является классом и что если класс является членом класса, то является множеством. ^[9] Использование предикатов — стандартный способ устранения сортировок. Эллиотт Мендельсон изменил подход Гёделя, сделав все классом и определив предикат множества как ^[10] Эта модификация устраняет предикат класса Гёделя и его две аксиомы. ${\displaystyle {\mathfrak {Cls}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M(A)}$ ${\displaystyle \exists C(A\in C).}$

Двухсортный подход Бернейса может показаться более естественным на первый взгляд, но он создает более сложную теорию. ^[b] В теории Бернейса каждое множество имеет два представления: одно как множество и другое как класс. Кроме того, существует два отношения принадлежности : первое, обозначаемое как «∈», находится между двумя множествами; второе, обозначаемое как «η», находится между множеством и классом. ^[2] Эта избыточность требуется многосортной логикой, поскольку переменные разных видов ранжируются по непересекающимся поддоменам области дискурса .

Различия между этими двумя подходами не влияют на то, что может быть доказано, но они влияют на то, как записываются утверждения. В подходе Гёделя, где и являются классами, является допустимым утверждением. В подходе Бернайса это утверждение не имеет смысла. Однако, если является множеством, существует эквивалентное утверждение: Определить «множество представляет класс », если они имеют те же множества в качестве членов, то есть, утверждение , где множество представляет класс , эквивалентно утверждению Гёделя ^[2] ${\displaystyle A\in C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \forall x(x\in a\iff x\;\eta \;A).}$ ${\displaystyle a\;\eta \;C}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\in C.}$

Подход, принятый в этой статье, является подходом Гёделя с модификацией Мендельсона. Это означает, что NBG является аксиоматической системой в логике предикатов первого порядка с равенством , и ее единственными примитивными понятиями являются класс и отношение принадлежности.

Определения и аксиомы экстенсиональности и парности

Множество — это класс, который принадлежит по крайней мере одному классу: является множеством тогда и только тогда, когда . Класс, который не является множеством, называется собственным классом: является собственным классом тогда и только тогда, когда . ^[12] Следовательно, каждый класс является либо множеством, либо собственным классом, и ни один класс не является тем и другим одновременно. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \exists C(A\in C)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \forall C(A\notin C)}$

Гёдель ввел соглашение, что переменные с заглавной буквы ранжируются по классам, а переменные с строчной буквы ранжируются по множествам. ^[9] Гёдель также использовал имена, начинающиеся с заглавной буквы, для обозначения конкретных классов, включая функции и отношения, определенные на классе всех множеств. Соглашение Гёделя используется в этой статье. Оно позволяет нам писать:

• ${\displaystyle \exists x\,\phi (x)}$вместо ${\displaystyle \exists x{\bigl (}\exists C(x\in C)\land \phi (x){\bigr )}}$
• ${\displaystyle \forall x\,\phi (x)}$вместо ${\displaystyle \forall x{\bigl (}\exists C(x\in C)\implies \phi (x){\bigr )}}$

Для доказательства теоремы о существовании класса необходимы следующие аксиомы и определения.

Аксиома экстенсиональности.  Если два класса имеют одинаковые элементы, то они идентичны.

${\displaystyle \forall A\,\forall B\,[\forall x(x\in A\iff x\in B)\implies A=B]}$ ^[13]

Эта аксиома обобщает аксиому ZFC об экстенсиональности на классы.

Аксиома спаривания .  Еслииявляются множествами, то существует множество,единственными членами которого являютсяи. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \forall x\,\forall y\,\exists p\,\forall z\,[z\in p\iff (z=x\,\lor \,z=y)]}$ ^[14]

Как и в ZFC, аксиома экстенсиональности подразумевает единственность множества , что позволяет ввести обозначение ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \{x,y\}.}$

Упорядоченные пары определяются следующим образом:

${\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}}$

Кортежи определяются индуктивно с использованием упорядоченных пар:

${\displaystyle (x_{1})=x_{1},}$

${\displaystyle {\text{For }}n>1\!:(x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n})=((x_{1},\ldots ,x_{n-1}),x_{n}).}$^[с]

Аксиомы существования класса и аксиома регулярности

Аксиомы существования класса будут использоваться для доказательства теоремы существования класса: для каждой формулы в свободных переменных множества, которая квантифицирует только по множествам, существует класс -кортежей , которые ей удовлетворяют. Следующий пример начинается с двух классов, которые являются функциями , и строит составную функцию . Этот пример иллюстрирует методы, необходимые для доказательства теоремы существования класса, которые приводят к необходимым аксиомам существования класса. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Аксиомы существования класса делятся на две группы: аксиомы, обрабатывающие примитивы языка, и аксиомы, обрабатывающие кортежи. В первой группе четыре аксиомы, во второй — три. ^[d]

Аксиомы обработки языковых примитивов:

Членство.  Существует класс , содержащий все упорядоченные пары, первый компонент которых является членом второго компонента. ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \exists E\,\forall x\,\forall y\,[(x,y)\in E\iff x\in y]\!}$ ^[18]

Пересечение (конъюнкция).  Для любых двух классов и существует класс, состоящий в точности из множеств, принадлежащих как к , так и к . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \forall A\,\forall B\,\exists C\,\forall x\,[x\in C\iff (x\in A\,\land \,x\in B)]}$ ^[19]

Дополнение (отрицание).  Для любого классасуществует класс,состоящий в точности из множеств, не принадлежащих. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall x\,[x\in B\iff \neg (x\in A)]}$ ^[20]

Домен (экзистенциальный квантификатор).  Для любого класса существует класс, состоящий точно из первых компонентов упорядоченных пар . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall x\,[x\in B\iff \exists y((x,y)\in A)]}$ ^[21]

По аксиоме экстенсиональности класс в аксиоме пересечения и класс в аксиомах дополнения и области являются единственными. Они будут обозначаться как: и соответственно. ^[e] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\cap B,}$ ${\displaystyle \complement A,}$ ${\displaystyle Dom(A),}$

Первые три аксиомы подразумевают существование пустого класса и класса всех множеств: Аксиома принадлежности подразумевает существование класса Аксиомы пересечения и дополнения подразумевают существование , который пуст. По аксиоме экстенсиональности этот класс уникален; он обозначается как Дополнение к является классом всех множеств, который также уникален по экстенсиональности. Предикат множества , который был определен как , теперь переопределен как , чтобы избежать квантификации по классам. ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle E\cap \complement E}$ ${\displaystyle \emptyset .}$ ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M(A)}$ ${\displaystyle \exists C(A\in C)}$ ${\displaystyle A\in V}$

Аксиомы обработки кортежей:

Произведение по . ${\displaystyle V}$  Для любого классасуществует класс,состоящий из упорядоченных пар, первый компонент которых принадлежит. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall u\,[u\in B\iff \exists x\,\exists y\,(u=(x,y)\land x\in A)]}$^[23]

Круговая перестановка .  Для любого классасуществует класс,чьи 3-кортежи получаются путем применения круговой перестановкик 3-кортежам. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (y,z,x)\mapsto (x,y,z)}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y,z)\in B\iff (y,z,x)\in A]}$^[24]

Транспонирование .  Для любого классасуществует класс,чьи 3-кортежи получаются путем транспонирования последних двух компонентов 3-кортежей. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y,z)\in B\iff (x,z,y)\in A]}$^[25]

По экстенсиональности произведение по аксиоме подразумевает существование уникального класса, который обозначается Эта аксиома используется для определения класса всех -кортежей : и Если — класс, экстенсиональность подразумевает, что — уникальный класс, состоящий из -кортежей Например , аксиома принадлежности создает класс , который может содержать элементы, не являющиеся упорядоченными парами, в то время как пересечение содержит только упорядоченные пары . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A\times V.}$ ${\displaystyle V^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V^{1}=V}$ ${\displaystyle V^{n+1}=V^{n}\times V.\,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\cap V^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E\cap V^{2}}$ ${\displaystyle E}$

Аксиомы циклической перестановки и транспонирования не подразумевают существование уникальных классов, поскольку они определяют только 3-кортежи класса Указывая 3-кортежи, эти аксиомы также определяют 3 -кортежи для , поскольку: Аксиомы обработки кортежей и аксиома области определения подразумевают следующую лемму, которая используется в доказательстве теоремы о существовании класса. ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\geq 4}$ $${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n-2},x_{n-1},x_{n})=((x_{1},\ldots ,x_{n-2}),x_{n-1},x_{n}).}$$

Лемма о кортежах  — 

1. $${\displaystyle \forall A\,\exists B_{1}\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(z,x,y)\in B_{1}\iff (x,y)\in A]}$$
2. $${\displaystyle \forall A\,\exists B_{2}\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,z,y)\in B_{2}\iff (x,y)\in A]}$$
3. $${\displaystyle \forall A\,\exists B_{3}\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y,z)\in B_{3}\iff (x,y)\in A]}$$
4. $${\displaystyle \forall A\,\exists B_{4}\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(y,x)\in B_{4}\iff (x,y)\in A]}$$

Доказательство

• Класс : Применить продукт по для получения ${\displaystyle B_{3}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B_{3}.}$
• Класс : Применить транспозицию для получения ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle B_{3}}$ ${\displaystyle B_{2}.}$
• Класс : Применить циклическую перестановку для получения ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B_{3}}$ ${\displaystyle B_{1}.}$
• Класс : Применить циклическую перестановку к , затем применить домен для получения ${\displaystyle B_{4}}$ ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle B_{4}.}$

Для доказательства теоремы о существовании класса нужна еще одна аксиома: аксиома регулярности . Поскольку существование пустого класса доказано, то приводится обычная формулировка этой аксиомы. ^[f]

Аксиома регулярности .  Каждое непустое множество имеет по крайней мере один элемент, с которым оно не имеет общего элемента. $${\displaystyle \forall a\,[a\neq \emptyset \implies \exists u(u\in a\land u\cap a=\emptyset )].}$$

Эта аксиома подразумевает, что множество не может принадлежать самому себе: Предположим, что и пусть Тогда , поскольку Это противоречит аксиоме регулярности, поскольку является единственным элементом в Следовательно, Аксиома регулярности также запрещает бесконечные убывающие последовательности членства множеств: ${\displaystyle x\in x}$ ${\displaystyle a=\{x\}.}$ ${\displaystyle x\cap a\neq \emptyset }$ ${\displaystyle x\in x\cap a.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a.}$ ${\displaystyle x\notin x.}$ $${\displaystyle \cdots \in x_{n+1}\in x_{n}\in \cdots \in x_{1}\in x_{0}.}$$

В своей монографии 1940 года, основанной на лекциях, прочитанных в 1938 году, Гёдель сформулировал регулярность для классов, а не для множеств . ^[26] В 1939 году он доказал, что регулярность для множеств подразумевает регулярность для классов. ^[27]

Теорема существования класса

Теорема о существовании класса  —  Пусть будет формулой, которая квантифицирует только по множествам и не содержит свободных переменных, кроме (не обязательно всех из них). Тогда для всех существует уникальный класс -кортежей , такой что: Класс обозначается ^[g] ${\displaystyle \phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m}}$ ${\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{m}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\dots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})].}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{(x_{1},\dots ,x_{n}):\phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})\}.}$

Доказательство теоремы будет выполнено в два этапа:

1. Правила преобразования используются для преобразования данной формулы в эквивалентную формулу, которая упрощает индуктивную часть доказательства. Например, единственными логическими символами в преобразованной формуле являются , , и , поэтому индукция обрабатывает логические символы всего в трех случаях. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \neg }$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \exists }$
2. Теорема существования класса доказывается индуктивно для преобразованных формул. Руководствуясь структурой преобразованной формулы, аксиомы существования класса используются для получения уникального класса -кортежей, удовлетворяющих формуле. ${\displaystyle n}$

Правила преобразования.  В правилах 1 и 2 ниже и обозначают переменные набора или класса. Эти два правила исключают все вхождения переменных класса перед и все вхождения равенства. Каждый раз, когда правило 1 или 2 применяется к подформуле, выбирается так, чтобы отличалось от других переменных в текущей формуле. Три правила повторяются до тех пор, пока не останется ни одной подформулы, к которой их можно применить. Это создает формулу, которая построена только с , , , , переменными набора и переменными класса, где не появляется перед . ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle \neg }$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \exists }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle \in }$

1. ${\displaystyle \,Y_{k}\in \Gamma }$трансформируется в ${\displaystyle \exists z_{i}(z_{i}=Y_{k}\,\land \,z_{i}\in \Gamma ).}$
2. Экстенсиональность используется для преобразования в ${\displaystyle \Delta =\Gamma }$ ${\displaystyle \forall z_{i}(z_{i}\in \Delta \iff z_{i}\in \Gamma ).}$
3. Логические тождества используются для преобразования подформул, содержащих и в подформулы, которые используют только и ${\displaystyle \lor ,\implies ,\iff ,}$ ${\displaystyle \forall }$ ${\displaystyle \neg ,\land ,}$ ${\displaystyle \exists .}$

Правила преобразования: связанные переменные .  Рассмотрим формулу составной функции примера 1 с ее свободными переменными множества, замененными на и : Индуктивное доказательство удалит , что дает формулу Однако, поскольку теорема о существовании класса сформулирована для индексированных переменных, эта формула не имеет формы, ожидаемой гипотезой индукции . Эта проблема решается заменой переменной на Связанные переменные внутри вложенных квантификаторов обрабатываются путем увеличения индекса на единицу для каждого последующего квантификатора. Это приводит к правилу 4, которое должно применяться после других правил, поскольку правила 1 и 2 производят квантифицированные переменные. ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle \exists t[(x_{1},t)\in F\,\land \,(t,x_{2})\in G].}$ ${\displaystyle \exists t}$ ${\displaystyle (x_{1},t)\in F\land (t,x_{2})\in G.}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x_{3}.}$

4. Если формула не содержит свободных переменных, отличных от тогда связанных переменных, которые вложены в квантификаторы, заменяются на . Эти переменные имеют (квантификатор) глубину вложенности . ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle x_{n+q}}$ ${\displaystyle q}$

Доказательство теоремы о существовании класса.  Доказательство начинается с применения правил преобразования к данной формуле для получения преобразованной формулы. Поскольку эта формула эквивалентна данной формуле, доказательство завершается доказательством теоремы о существовании класса для преобразованных формул.

Доказательство теоремы о существовании класса для преобразованных формул

В доказательстве используется следующая лемма.

Лемма о расширении  —  Пусть и пусть будет классом, содержащим все упорядоченные пары, удовлетворяющие То есть, Тогда можно расширить до единственного класса -кортежей , удовлетворяющих . То есть, ${\displaystyle 1\leq i<j\leq n,}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (x_{i},x_{j})}$ ${\displaystyle R(x_{i},x_{j}).}$ ${\displaystyle P\supseteq \{(x_{i},x_{j}):R(x_{i},x_{j})\}.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R(x_{i},x_{j})}$ ${\displaystyle Q=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):R(x_{i},x_{j})\}.}$

Доказательство:

1. Если позволите ${\displaystyle i=1,}$ ${\displaystyle P_{1}=P.}$
   В противном случае, поэтому компоненты добавляются перед применением оператора леммы о кортежах 1 к с Это создает класс, содержащий все кортежи, удовлетворяющие ${\displaystyle i>1,}$ ${\displaystyle x_{i}{\text{:}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle z=(x_{1},\dots ,x_{i-1}).}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle (i+1)}$ $${\displaystyle ((x_{1},\dots ,x_{i-1}),x_{i},x_{j})=(x_{1},\dots ,x_{i-1},x_{i},x_{j})}$$ ${\displaystyle R(x_{i},x_{j}).}$
2. Если позволите ${\displaystyle j=i+1,}$ ${\displaystyle P_{2}=P_{1}.}$
   В противном случае, компоненты добавляются между и добавляются по одному с использованием утверждения леммы о кортежах 2. Это создает класс, содержащий все кортежи, удовлетворяющие ${\displaystyle j>i+1,}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{j}{\text{:}}}$ ${\displaystyle x_{i+1},\dots ,x_{j-1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle j}$ $${\displaystyle (((\cdots ((x_{1},\dots ,x_{i}),x_{i+1}),\cdots ),x_{j-1}),x_{j})=(x_{1},\dots ,x_{j})}$$ ${\displaystyle R(x_{i},x_{j}).}$
3. Если позволите ${\displaystyle j=n,}$ ${\displaystyle P_{3}=P_{2}.}$
   В противном случае, компоненты добавляются после добавления компонентов по одному с использованием утверждения леммы о кортежах 3. Это создает класс, содержащий все кортежи, удовлетворяющие ${\displaystyle j<n,}$ ${\displaystyle x_{j}{\text{:}}}$ ${\displaystyle x_{j+1},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle P_{3}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle ((\cdots ((x_{1},\dots ,x_{j}),x_{j+1}),\cdots ),x_{n})=(x_{1},\dots ,x_{n})}$$ ${\displaystyle R(x_{i},x_{j}).}$
4. Пусть Экстенсиональность подразумевает, что это единственный класс -кортежей, удовлетворяющих ${\displaystyle Q=P_{3}\cap V^{n}.}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R(x_{i},x_{j}).}$

Теорема существования класса для преобразованных формул  —  Пусть будет формулой, которая: ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{m})}$

1. не содержит свободных переменных, кроме ; ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{m}}$
2. содержит только , , , , заданные переменные и переменные класса, где не встречается перед ; ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \neg }$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \exists }$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle \in }$ 
3. квантифицирует только заданные переменные , где — глубина вложенности квантификатора переменной. ${\displaystyle x_{n+q}}$ ${\displaystyle q}$

Тогда для всех существует единственный класс -кортежей такой , что: ${\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{m}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{m})].}$$

Доказательство: Базисный шаг: имеет 0 логических символов. Из гипотезы теоремы следует, что является атомарной формулой вида или ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}}$ ${\displaystyle x_{i}\in Y_{k}.}$

Случай 1: Если есть , мы строим класс - уникальный класс -кортежей, удовлетворяющих ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}}$ ${\displaystyle E_{i,j,n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in x_{j}\},}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}.}$

Случай а: где Аксиома принадлежности создает класс , содержащий все упорядоченные пары, удовлетворяющие Применим лемму о расширении, чтобы получить ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}}$ ${\displaystyle i<j.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (x_{i},x_{j})}$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle E_{i,j,n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in x_{j}\}.}$

Случай b: где Аксиома принадлежности создает класс, содержащий все упорядоченные пары, удовлетворяющие Примените утверждение леммы о кортежах 4 к , чтобы получить содержащий все упорядоченные пары, удовлетворяющие Примените лемму о расширении к , чтобы получить ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}}$ ${\displaystyle i>j.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (x_{i},x_{j})}$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle (x_{j},x_{i})}$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}.}$ ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle E_{i,j,n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in x_{j}\}.}$

Случай c: где Поскольку эта формула ложна по аксиоме регулярности, то ни один -кортеж ей не удовлетворяет, поэтому ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}}$ ${\displaystyle i=j.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle E_{i,j,n}=\emptyset .}$

Случай 2: Если есть , мы строим класс - уникальный класс -кортежей, удовлетворяющий ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in Y_{k}}$ ${\displaystyle E_{i,Y_{k},n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in Y_{k}\},}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{i}\in Y_{k}.}$

Случай а: Применяем аксиому произведения на для получения класса Применяем лемму о расширении для получения ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in Y_{k}}$ ${\displaystyle i<n.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle P=Y_{k}\times V=\{(x_{i},x_{i+1}):x_{i}\in Y_{k}\}.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle E_{i,Y_{k},n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in Y_{k}\}.}$

Случай b: это когда Применить аксиому произведения на для получения класса Применить утверждение леммы о кортеже 4 для получения Применить лемму о расширении для получения ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in Y_{k}}$ ${\displaystyle i=n>1.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle P=Y_{k}\times V=\{(x_{i},x_{i-1}):x_{i}\in Y_{k}\}.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P'=V\times Y_{k}=\{(x_{i-1},x_{i}):x_{i}\in Y_{k}\}.}$ ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle E_{i,Y_{k},n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in Y_{k}\}.}$

Случай c : где Тогда ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in Y_{k}}$ ${\displaystyle i=n=1.}$ ${\displaystyle E_{i,Y_{k},n}=Y_{k}.}$

Индуктивный шаг: имеет логические символы, где . Предположим гипотезу индукции, что теорема верна для всех с меньшим, чем логические символы. Теперь докажем теорему для с логическими символами. В этом доказательстве список переменных класса сокращен до , поэтому формулу, например , можно записать как ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{m}}$ ${\displaystyle {\vec {Y}}}$ ${\displaystyle \phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})}$ ${\displaystyle \phi (x_{1},\dots ,x_{n},{\vec {Y}}).}$

Случай 1: Поскольку имеет логические символы, гипотеза индукции подразумевает, что существует уникальный класс -кортежей , такой что: По аксиоме дополнения существует класс, такой что Однако содержит элементы, отличные от -кортежей , если Чтобы исключить эти элементы, используйте , который является дополнением относительно класса всех -кортежей. ^[e] Тогда, по экстенсиональности, существует уникальный класс -кортежей, такой что: ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})=\neg \psi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \quad (x_{1},\ldots ,x_{n})\in A\iff \psi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).}$$ ${\displaystyle \complement A}$ ${\displaystyle \forall u\,[u\in \complement A\iff \neg (u\in A)].}$ ${\displaystyle \complement A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n>1.}$ ${\displaystyle \complement _{V^{n}}A=\,}$ ${\displaystyle \complement A\cap V^{n}=\,}$ ${\displaystyle V^{n}\setminus A,}$ ${\displaystyle V^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \complement _{V^{n}}A}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\quad &(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \complement _{V^{n}}A&&\iff \neg [(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A]\\&&&\iff \neg \psi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})\\&&&\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).\end{alignedat}}}$$

Случай 2: Поскольку и имеют меньше логических символов, гипотеза индукции подразумевает, что существуют уникальные классы -кортежей, и , такие, что: ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})=\psi _{1}(x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})\land \psi _{2}(x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).}$ ${\displaystyle \psi _{1}}$ ${\displaystyle \psi _{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\quad &(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A_{1}\iff \psi _{1}(x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).\\&(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A_{2}\iff \psi _{2}(x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).\end{aligned}}}$

По аксиомам пересечения и экстенсиональности существует единственный класс -кортежей , такой что: ${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\quad &(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A_{1}\cap A_{2}&&\iff (x_{1},\ldots ,x_{n})\in A_{1}\land (x_{1},\ldots ,x_{n})\in A_{2}\\&&&\iff \psi _{1}(x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})\land \psi _{2}(x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})\\&&&\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).\end{alignedat}}}$$

Случай 3: Глубина вложения кванторов на единицу больше, чем у , а дополнительная свободная переменная равна Поскольку имеет логические символы, гипотеза индукции подразумевает, что существует уникальный класс -кортежей , такой что: По аксиомам области действия и экстенсиональности, существует уникальный класс -кортежей , такой что: ^[h] ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})=\exists x_{n+1}\psi (x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},{\vec {Y}}).}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{n+1}.}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (n+1)}$ $${\displaystyle \quad (x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1})\in A\iff \psi (x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},{\vec {Y}}).}$$ ${\displaystyle Dom(A)}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\quad &(x_{1},\ldots ,x_{n})\in Dom(A)&&\iff \exists x_{n+1}[((x_{1},\ldots ,x_{n}),x_{n+1})\in A]\\&&&\iff \exists x_{n+1}[(x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1})\in A]\\&&&\iff \exists x_{n+1}\,\psi (x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},{\vec {Y}})\\&&&\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).\end{alignedat}}}$$

Гёдель указал, что теорема о существовании класса «является метатеоремой , то есть теоремой о системе [NBG], а не в системе …» ^[30] Это теорема о NBG, потому что она доказана в метатеории индукцией по формулам NBG. Кроме того, ее доказательство — вместо того, чтобы ссылаться на конечное число аксиом NBG — индуктивно описывает, как использовать аксиомы NBG для построения класса, удовлетворяющего заданной формуле. Для каждой формулы это описание можно превратить в конструктивное доказательство существования, которое находится в NBG. Следовательно, эта метатеорема может генерировать доказательства NBG, которые заменяют использование теоремы о существовании класса NBG.

Рекурсивная компьютерная программа лаконично фиксирует построение класса из заданной формулы. Определение этой программы не зависит от доказательства теоремы о существовании класса. Однако доказательство необходимо для доказательства того, что класс, построенный программой, удовлетворяет заданной формуле и построен с использованием аксиом. Эта программа написана на псевдокоде , который использует оператор case в стиле Pascal . ^[i] $${\displaystyle {\begin{array}{l}\mathbf {function} \;{\text{Class}}(\phi ,\,n)\\\quad {\begin{array}{rl}\mathbf {input} \!:\;\,&\phi {\text{ is a transformed formula of the form }}\phi (x_{1},\ldots ,x_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{m});\\&n{\text{ specifies that a class of }}n{\text{-tuples is returned.}}\\\;\;\;\;\mathbf {output} \!:\;\,&{\text{class }}A{\text{ of }}n{\text{-tuples satisfying }}\\&\,\forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{m})].\end{array}}\\\mathbf {begin} \\\quad \mathbf {case} \;\phi \;\mathbf {of} \\\qquad {\begin{alignedat}{2}x_{i}\in x_{j}:\;\;&\mathbf {return} \;\,E_{i,j,n};&&{\text{// }}E_{i,j,n}\;\,=\{(x_{1},\dots ,x_{n}):x_{i}\in x_{j}\}\\x_{i}\in Y_{k}:\;\;&\mathbf {return} \;\,E_{i,Y_{k},n};&&{\text{// }}E_{i,Y_{k},n}=\{(x_{1},\dots ,x_{n}):x_{i}\in Y_{k}\}\\\neg \psi :\;\;&\mathbf {return} \;\,\complement _{V^{n}}{\text{Class}}(\psi ,\,n);&&{\text{// }}\complement _{V^{n}}{\text{Class}}(\psi ,\,n)=V^{n}\setminus {\text{Class}}(\psi ,\,n)\\\psi _{1}\land \psi _{2}:\;\;&\mathbf {return} \;\,{\text{Class}}(\psi _{1},\,n)\cap {\text{Class}}(\psi _{2},\,n);&&\\\;\;\;\;\,\exists x_{n+1}(\psi ):\;\;&\mathbf {return} \;\,Dom({\text{Class}}(\psi ,\,n+1));&&{\text{// }}x_{n+1}{\text{ is free in }}\psi ;{\text{ Class}}(\psi ,\,n+1)\\&\ &&{\text{// returns a class of }}(n+1){\text{-tuples}}\end{alignedat}}\\\quad \mathbf {end} \\\mathbf {end} \end{array}}}$$

Пусть будет формулой примера 2. Вызов функции генерирует класс , который сравнивается ниже с Это показывает, что конструкция класса отражает конструкцию его определяющей формулы ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A=Class(\phi ,1)}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \phi .}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi .}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&\phi \;&&=\;\;\exists x_{2}\,(x_{2}\!\in \!x_{1}\land \;\;\neg \;\;\;\;\exists x_{3}\;(x_{3}\!\in \!x_{2}))\,\land \;\;\,\exists x_{2}\,(x_{2}\!\in \!x_{1}\land \;\;\,\exists x_{3}\,(x_{3}\!\in \!x_{2}\,\land \;\;\neg \;\;\;\;\exists x_{4}\;(x_{4}\!\in \!x_{3})))\\&A\;&&=Dom\,(\;E_{2,1,2}\;\cap \;\complement _{V^{2}}\,Dom\,(\;E_{3,2,3}\;))\,\cap \,Dom\,(\;E_{2,1,2}\;\cap \,Dom\,(\;\,E_{3,2,3}\;\cap \;\complement _{V^{3}}\,Dom\,(\;E_{4,3,4}\;)))\end{alignedat}}}$$

Расширение теоремы о существовании класса

Гёдель расширил теорему о существовании класса до формул, содержащих отношения над классами (такие как и унарное отношение ), специальные классы (такие как ) и операции (такие как и ). ^[32] Для расширения теоремы о существовании класса формулы, определяющие отношения, специальные классы и операции, должны квантифицироваться только над множествами. Затем их можно преобразовать в эквивалентную формулу, удовлетворяющую гипотезе теоремы о существовании класса. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle Y_{1}\subseteq Y_{2}}$ ${\displaystyle M(Y_{1})}$ ${\displaystyle Ord}$  ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$ ${\displaystyle x_{1}\cap Y_{1}}$ ${\displaystyle \phi }$

Следующие определения указывают, как формулы определяют отношения, специальные классы и операции:

1. Отношение определяется следующим образом: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R(Z_{1},\dots ,Z_{k})\iff \psi _{R}(Z_{1},\dots ,Z_{k}).}$
2. Специальный класс определяется: ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle u\in C\iff \psi _{C}(u).}$
3. Операция определяется следующим образом: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle u\in P(Z_{1},\dots ,Z_{k})\iff \psi _{P}(u,Z_{1},\dots ,Z_{k}).}$

Термин определяется следующим образом :

1. Переменные и специальные классы — это термины.
2. Если — операция с аргументами и — термы, то — терм. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k}}$ ${\displaystyle P(\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k})}$

Следующие правила преобразования устраняют отношения, специальные классы и операции. Каждый раз, когда правило 2b, 3b или 4 применяется к подформуле, выбирается так, чтобы отличалось от других переменных в текущей формуле. Правила повторяются до тех пор, пока не останется ни одной подформулы, к которой их можно применить. и обозначают термины. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle \,\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k},\Gamma ,}$ ${\displaystyle \Delta }$

1. Отношение заменяется его определяющей формулой ${\displaystyle R(Z_{1},\dots ,Z_{k})}$ ${\displaystyle \psi _{R}(Z_{1},\dots ,Z_{k}).}$
2. Пусть будет определяющей формулой для специального класса ${\displaystyle \psi _{C}(u)}$ ${\displaystyle C.}$
   1. ${\displaystyle \Delta \in C}$заменяется на ${\displaystyle \psi _{C}(\Delta ).}$
   2. ${\displaystyle C\in \Delta }$заменяется на ${\displaystyle \exists z_{i}[z_{i}=C\land z_{i}\in \Delta ].}$
3. Пусть будет определяющей формулой для операции ${\displaystyle \psi _{P}(u,Z_{1},\dots ,Z_{k})}$ ${\displaystyle P(Z_{1},\dots ,Z_{k}).}$
   1. ${\displaystyle \Delta \in P(\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k})}$заменяется на ${\displaystyle \psi _{P}(\Delta ,\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k}).}$
   2. ${\displaystyle P(\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k})\in \Delta }$заменяется на ${\displaystyle \exists z_{i}[z_{i}=P(\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k})\land z_{i}\in \Delta ].}$
4. Экстенсиональность используется для преобразования в ${\displaystyle \Delta =\Gamma }$ ${\displaystyle \forall z_{i}(z_{i}\in \Delta \iff z_{i}\in \Gamma ).}$

Теорема о существовании класса (расширенная версия)  —  Пусть будет формулой, которая квантифицирует только по множествам, не содержит свободных переменных, отличных от , и может содержать отношения, специальные классы и операции, определенные формулами, которые квантифицируют только по множествам. Тогда для всех существует уникальный класс -кортежей , такой что ^[j] ${\displaystyle \phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m}}$ ${\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{m},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\dots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})].}$$

Доказательство

Применить правила преобразования к для получения эквивалентной формулы, не содержащей отношений, специальных классов или операций. Эта формула удовлетворяет гипотезе теоремы о существовании класса. Следовательно, для всех существует уникальный класс -кортежей , удовлетворяющий ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{m},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\dots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})].}$$

Установить аксиомы

Аксиомы спаривания и регулярности, которые были необходимы для доказательства теоремы о существовании класса, были приведены выше. NBG содержит четыре другие аксиомы множеств. Три из этих аксиом имеют дело с операциями классов, применяемыми к множествам.

Определение.  является функцией, если ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle F\subseteq V^{2}\land \forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y)\in F\,\land \,(x,z)\in F\implies y=z].}$$

В теории множеств определение функции не требует указания области определения или кодомена функции (см. Функция (теория множеств) ). Определение функции NBG обобщает определение ZFC с множества упорядоченных пар на класс упорядоченных пар.

Определения ZFC для операций над множествами image , union и power set также обобщены для операций над классами. Изображение класса под функцией равно Это определение не требует, чтобы Объединение класса равно Класс мощности равно Расширенная версия теоремы о существовании класса подразумевает существование этих классов. Аксиомы замены, union и power set подразумевают, что когда эти операции применяются к множествам, они производят множества. ^[34] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F[A]=\{y:\exists x(x\in A\,\land \,(x,y)\in F)\}.}$ ${\displaystyle A\subseteq Dom(F).}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \cup A=\{x:\exists y(x\in y\,\,\land \,y\in A)\}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)=\{x:x\subseteq A\}.}$

Аксиома замены.  Если — функция, а — множество, то , образ под , — множество. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle F[a]}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle \forall F\,\forall a\,[F{\text{ is a function}}\implies \exists b\,\forall y\,(y\in b\iff \exists x(x\in a\,\land \,(x,y)\in F))].}$$

Отсутствие требования в определении приводит к более сильной аксиоме замены, которая используется в следующем доказательстве. ${\displaystyle A\subseteq Dom(F)}$ ${\displaystyle F[A]}$

Теорема ( аксиома разделения NBG )  —  Если есть множество и есть подкласс, то есть множество. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle B}$

Доказательство

Теорема существования класса конструирует ограничение функции тождества до : Поскольку изображение под есть , аксиома замены подразумевает, что есть множество. Это доказательство зависит от определения изображения, не имеющего требования , поскольку вместо ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle I{\upharpoonright _{B}}=\{(x_{1},x_{2}):x_{1}\in B\land x_{2}=x_{1}\}.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle I{\upharpoonright _{B}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a\subseteq Dom(F)}$ ${\displaystyle Dom(I{\upharpoonright _{B}})=B\subseteq a}$ ${\displaystyle a\subseteq Dom(I{\upharpoonright _{B}}).}$

Аксиома объединения.  Если есть множество, то существует множество, содержащее ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \cup a.}$ $${\displaystyle \forall a\,\exists b\,\forall x\,[\,\exists y(x\in y\,\,\land \,y\in a)\implies x\in b\,].}$$

Аксиома мощности множества.  Если есть множество, то существует множество, содержащее ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(a).}$

${\displaystyle \forall a\,\exists b\,\forall x\,(x\subseteq a\implies x\in b).}$^[к]

Теорема  —  Если — множество, то и — множества. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \cup a}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(a)}$

Доказательство

Аксиома объединения утверждает, что является подклассом множества , поэтому аксиома разделения подразумевает, что является множеством. Аналогично, аксиома мощности множества утверждает, что является подклассом множества , поэтому аксиома разделения подразумевает, что является множеством. ${\displaystyle \cup a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \cup a}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(a)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(a)}$

Аксиома бесконечности.  Существует непустое множество такое, что для всех из , существует из такое , что является собственным подмножеством . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle \exists a\,[\exists u(u\in a)\,\land \,\forall x(x\in a\implies \exists y(y\in a\,\land \,x\subset y))].}$$

Аксиомы бесконечности и замены доказывают существование пустого множества . При обсуждении аксиом существования класса было доказано существование пустого класса. Теперь докажем, что является множеством. Пусть функция и пусть будет множеством, заданным аксиомой бесконечности. По замене изображение под , которое равно , является множеством. ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle F=\emptyset }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \emptyset }$

Аксиома бесконечности NBG вытекает из аксиомы бесконечности ZFC : Первый конъюнкт аксиомы ZFC, , подразумевает первый конъюнкт аксиомы NBG. Второй конъюнкт аксиомы ZFC, , подразумевает второй конъюнкт аксиомы NBG, поскольку Чтобы доказать аксиому бесконечности ZFC из аксиомы бесконечности NBG, требуются некоторые другие аксиомы NBG (см. Слабая аксиома бесконечности ). ^[l] ${\displaystyle \,\exists a\,[\emptyset \in a\,\land \,\forall x(x\in a\implies x\cup \{x\}\in a)].\,}$ ${\displaystyle \emptyset \in a}$ ${\displaystyle \forall x(x\in a\implies x\cup \{x\}\in a)}$ ${\displaystyle x\subset x\cup \{x\}.}$

Аксиома глобального выбора

Концепция класса позволяет NBG иметь более сильную аксиому выбора, чем ZFC. Функция выбора — это функция, определенная на множестве непустых множеств, такая, что для всех аксиома выбора ZFC гласит, что существует функция выбора для каждого множества непустых множеств. Глобальная функция выбора — это функция, определенная на классе всех непустых множеств, такая, что для каждого непустого множества Аксиома глобального выбора гласит, что существует глобальная функция выбора. Эта аксиома подразумевает аксиому выбора ZFC, поскольку для каждого множества непустых множеств ( ограничение на ) является функцией выбора для В 1964 году Уильям Б. Истон доказал, что глобальный выбор сильнее аксиомы выбора, используя принуждение для построения модели , которая удовлетворяет аксиоме выбора и всем аксиомам NBG, за исключением аксиомы глобального выбора. ^[38] Аксиома глобального выбора эквивалентна тому, что каждый класс имеет полный порядок, в то время как аксиома выбора ZFC эквивалентна тому, что каждый набор имеет полный порядок. ^[м] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f(x)\in x}$ ${\displaystyle x\in s.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G(x)\in x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle G\vert _{s}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s.}$

Аксиома глобального выбора.  Существует функция, которая выбирает элемент из каждого непустого множества.

${\displaystyle \exists G\,[G{\text{ is a function}}\,\land \forall x(x\neq \emptyset \implies \exists y(y\in x\land (x,y)\in G))].}$

История

История подходов, которые привели к теории множеств NBG

Система аксиом фон Неймана 1925 года

Фон Нейман опубликовал вводную статью о своей системе аксиом в 1925 году. В 1928 году он представил подробное описание своей системы. ^[39] Фон Нейман основал свою систему аксиом на двух доменах примитивных объектов: функциях и аргументах. Эти домены перекрываются — объекты, которые находятся в обоих доменах, называются аргумент-функциями. Функции соответствуют классам в NBG, а аргумент-функции соответствуют множествам. Примитивная операция фон Неймана — это применение функции , обозначаемое как [ a ,  x ], а не как a ( x ), где a — функция, а x — аргумент. Эта операция производит аргумент. Фон Нейман определил классы и множества с помощью функций и аргумент-функций, которые принимают только два значения, A и B. Он определил x  ∈  a , если [ a ,  x ] ≠  A. ^[1]

Работа фон Неймана в теории множеств находилась под влиянием статей Георга Кантора , аксиом Эрнста Цермело 1908 года для теории множеств и критики теории множеств Цермело 1922 года, которые были даны независимо Авраамом Френкелем и Торальфом Скулемом . И Френкель, и Скулем указали, что аксиомы Цермело не могут доказать существование множества { Z ₀ ,  Z ₁ ,  Z ₂ , ...}, где Z ₀ — множество натуральных чисел , а Z _{n +1} — множество мощности Z _n . Затем они ввели аксиому замены, которая гарантировала бы существование таких множеств. ^{[40] [n] Однако они не хотели принимать эту аксиому: Френкель утверждал} , что «замена — слишком сильная аксиома для «общей теории множеств»», в то время как «Скулем написал только, что «мы могли бы ввести» замену». ^[42]

Фон Нейман работал над проблемами теории множеств Цермело и предложил решения некоторых из них:

• Теория ординалов
  • Проблема: Теория порядковых чисел Кантора не может быть развита в теории множеств Цермело, поскольку в ней отсутствует аксиома замены. ^[o]
  • Решение: Фон Нейман восстановил теорию Кантора, определив ординалы с помощью множеств, которые хорошо упорядочены с помощью ∈-отношения, ^[p] и используя аксиому замены для доказательства ключевых теорем об ординалах, таких как то, что каждое хорошо упорядоченное множество изоморфно по порядку ординалу. ^[o] В отличие от Френкеля и Скулема, фон Нейман подчеркивал, насколько важна аксиома замены для теории множеств: «На самом деле, я считаю, что никакая теория ординалов вообще невозможна без этой аксиомы». ^[45]
• Критерий, определяющий классы, которые слишком велики для создания множеств
  • Проблема: Цермело не предоставил такого критерия. Его теория множеств избегает больших классов, которые приводят к парадоксам , но она оставляет много множеств, таких как упомянутое Френкелем и Сколемом. ^[q]
  • Решение: Фон Нейман ввел критерий: класс слишком велик, чтобы быть множеством, если и только если он может быть отображен на класс V всех множеств. Фон Нейман понял, что парадоксов теории множеств можно избежать, не позволяя таким большим классам быть членами какого-либо класса. Объединив это ограничение со своим критерием, он получил свою аксиому ограничения размера : класс C не является членом какого-либо класса, если и только если C может быть отображен на V . ^{[48] [r]}
• Конечная аксиоматизация
  • Проблема: Цермело использовал неточное понятие «определенной пропозициональной функции » в своей аксиоме разделения .
  • Решения: Скулем ввел схему аксиом разделения , которая позже использовалась в ZFC, а Френкель ввел эквивалентное решение. ^[50] Однако Цермело отверг оба подхода «особенно потому, что они неявно включают концепцию натурального числа, которая, по мнению Цермело, должна основываться на теории множеств». ^[s] Фон Нейман избегал схем аксиом , формализуя концепцию «определенной пропозициональной функции» с помощью своих функций, построение которых требует только конечного числа аксиом. Это привело к тому, что его теория множеств имела конечное число аксиом. ^[51] В 1961 году Ричард Монтегю доказал, что ZFC не может быть конечно аксиоматизирована. ^[52]
• Аксиома регулярности
  • Проблема: Теория множеств Цермело начинается с пустого множества и бесконечного множества и повторяет аксиомы спаривания, объединения, степенного множества, разделения и выбора для генерации новых множеств. Однако она не ограничивает множества этими. Например, она допускает множества, которые не являются хорошо обоснованными , такие как множество x, удовлетворяющее x  ∈  x . ^[t]
  • Решения: Френкель ввел аксиому, чтобы исключить эти множества. Фон Нейман проанализировал аксиому Френкеля и заявил, что она не была «точно сформулирована», но приблизительно гласила: «Кроме множеств... существование которых абсолютно требуется аксиомами, нет никаких других множеств». ^[54] Фон Нейман предложил аксиому регулярности как способ исключить не вполне обоснованные множества, но не включил ее в свою систему аксиом. В 1930 году Цермело стал первым, кто опубликовал систему аксиом, которая включала регулярность. ^[u]

Система аксиом фон Неймана 1929 года

Джон фон Нейман

В 1929 году фон Нейман опубликовал статью, содержащую аксиомы, которые привели к появлению NBG.Эта статья была мотивирована его беспокойством о согласованности аксиомы ограничения размера. Он заявил, что эта аксиома «делает много, на самом деле слишком много». Помимо того, что она подразумевает аксиомы разделения и замены, а также теорему о хорошем порядке , она также подразумевает, что любой класс, мощность которого меньше мощности V, является множеством. Фон Нейман считал, что это последнее следствие выходит за рамки канторовой теории множеств, и пришел к выводу: «Поэтому мы должны обсудить, не является ли ее [аксиомы] согласованность еще более проблематичной, чем аксиоматизация теории множеств, которая не выходит за рамки необходимой канторовой структуры». ^[57]

Фон Нейман начал свое исследование согласованности, представив свою систему аксиом 1929 года, которая содержит все аксиомы его системы аксиом 1925 года, за исключением аксиомы ограничения размера. Он заменил эту аксиому двумя ее следствиями, аксиомой замены и аксиомой выбора. Аксиома выбора фон Неймана гласит: «Каждое отношение R имеет подкласс, который является функцией с той же областью определения, что и R ». ^[58]

Пусть S — система аксиом фон Неймана 1929 года. Фон Нейман ввел систему аксиом S + Регулярность (состоящую из S и аксиомы регулярности), чтобы продемонстрировать, что его система 1925 года непротиворечива относительно S. Он доказал:

1. Если S непротиворечиво, то S + Регулярность непротиворечива.
2. S + Regularity подразумевает аксиому ограничения размера. Поскольку это единственная аксиома его системы аксиом 1925 года, которой нет у S + Regularity, S + Regularity подразумевает все аксиомы его системы 1925 года.

Из этих результатов следует: Если S непротиворечиво, то и система аксиом фон Неймана 1925 года непротиворечива. Доказательство: Если S непротиворечиво, то и S + Regularity непротиворечиво (результат 1). Используя доказательство от противного , предположим, что система аксиом 1925 года непротиворечива, или, что то же самое, система аксиом 1925 года подразумевает противоречие. Поскольку S + Regularity подразумевает аксиомы системы 1925 года (результат 2), S + Regularity также подразумевает противоречие. Однако это противоречит непротиворечивости S + Regularity. Следовательно, если S непротиворечиво, то и система аксиом фон Неймана 1925 года непротиворечива.

Поскольку S — это его система аксиом 1929 года, система аксиом фон Неймана 1925 года является последовательной относительно его системы аксиом 1929 года, которая ближе к канторовской теории множеств. Главные различия между канторовской теорией множеств и системой аксиом 1929 года — это классы и аксиома выбора фон Неймана. Система аксиом S + Регулярность была модифицирована Бернайсом и Гёделем для создания эквивалентной системы аксиом NBG.

Система аксиом Бернейса

Пол Бернейс

В 1929 году Пол Бернайс начал модифицировать новую систему аксиом фон Неймана, взяв классы и множества в качестве примитивов. Он опубликовал свою работу в серии статей, появившихся с 1937 по 1954 год. ^[59] Бернайс заявил, что:

Целью модификации системы фон Неймана является сохранение более близкой структуры исходной системы Цермело и использование в то же время некоторых теоретико-множественных концепций логики Шредера и Principia Mathematica, которые стали знакомы логикам. Как будет видно, значительное упрощение получается в результате такого расположения. ^[60]

Бернайс обрабатывал множества и классы в двухсортной логике и ввел два примитива членства: один для членства в множествах и один для членства в классах. С помощью этих примитивов он переписал и упростил аксиомы фон Неймана 1929 года. Бернайс также включил аксиому регулярности в свою систему аксиом. ^[61]

Система аксиом Гёделя (NBG)

Курт Гёдель, ок. 1926 г.    

В 1931 году Бернейс отправил Курту Гёделю письмо, содержащее его теорию множеств . ^[36] Гёдель упростил теорию Бернейса, сделав каждое множество классом, что позволило ему использовать только один сорт и один примитив членства. Он также ослабил некоторые аксиомы Бернейса и заменил аксиому выбора фон Неймана эквивалентной аксиомой глобального выбора. ^{[62] [v]} Гёдель использовал свои аксиомы в своей монографии 1940 года об относительной согласованности глобального выбора и обобщенной гипотезе континуума. ^[63]

Было названо несколько причин, по которым Гёдель выбрал NBG для своей монографии: ^[w]

• Гёдель привел математическое обоснование — глобальный выбор NBG приводит к более сильной теореме о непротиворечивости: «Эта более сильная форма аксиомы [выбора], если она согласуется с другими аксиомами, подразумевает, конечно, что более слабая форма также непротиворечива». ^[5]
• Роберт Соловей предположил: «Я предполагаю, что он [Гёдель] хотел избежать обсуждения технических деталей, связанных с разработкой основ теории моделей в рамках аксиоматической теории множеств». ^{[67] [x]}
• Кеннет Кюнен объяснил причину, по которой Гёдель избегал этого обсуждения: «Существует также гораздо более комбинаторный подход к L [ конструируемой вселенной ], разработанный ... [Гёделем в его монографии 1940 года] в попытке объяснить свою работу нелогикам. ... Этот подход имеет то достоинство, что он устраняет все остатки логики из трактовки L ». ^[68]
• Чарльз Парсонс привел философское обоснование выбора Гёделя: «Эта точка зрения [что «свойство множества» является примитивом теории множеств] может быть отражена в выборе Гёделем теории с переменными класса в качестве основы для ... [его монографии]» ^[69]

Достижения Гёделя вместе с подробностями его презентации привели к известности, которой NBG будет пользоваться в течение следующих двух десятилетий. ^[70] В 1963 году Пол Коэн доказал свои доказательства независимости для ZF с помощью некоторых инструментов, которые Гёдель разработал для своих доказательств относительной согласованности для NBG. ^[71] Позже ZFC стал популярнее NBG. Это было вызвано несколькими факторами, включая дополнительную работу, необходимую для обработки форсинга в NBG, ^[72] представление форсинга Коэном в 1966 году, которое использовало ZF, ^{[73] [y]} и доказательство того, что NBG является консервативным расширением ZFC. ^[z]

NBG, ZFC и MK

NBG логически не эквивалентен ZFC, потому что его язык более выразителен: он может делать утверждения о классах, которые не могут быть сделаны в ZFC. Однако NBG и ZFC подразумевают одни и те же утверждения о множествах. Следовательно, NBG является консервативным расширением ZFC. NBG подразумевает теоремы, которые ZFC не подразумевает, но поскольку NBG является консервативным расширением, эти теоремы должны включать надлежащие классы. Например, теоремой NBG является то, что глобальная аксиома выбора подразумевает, что надлежащий класс V может быть вполне упорядочен и что каждый надлежащий класс может быть поставлен во взаимно-однозначное соответствие с V . ^[aa]

Одним из следствий консервативного расширения является то, что ZFC и NBG являются равносогласованными . Доказательство этого использует принцип взрыва : из противоречия все доказуемо. Предположим, что либо ZFC, либо NBG являются противоречивыми. Тогда противоречивая теория подразумевает противоречивые утверждения ∅ = ∅ и ∅ ≠ ∅, которые являются утверждениями о множествах. По свойству консервативного расширения другая теория также подразумевает эти утверждения. Следовательно, она также является противоречивой. Поэтому, хотя NBG более выразительна, она равносогласована с ZFC. Этот результат вместе с доказательством относительной согласованности фон Неймана 1929 года подразумевает, что его система аксиом 1925 года с аксиомой ограничения размера равносогласована с ZFC. Это полностью снимает беспокойство фон Неймана об относительной согласованности этой мощной аксиомы, поскольку ZFC находится в рамках Кантора.

Несмотря на то, что NBG является консервативным расширением ZFC, теорема может иметь более короткое и элегантное доказательство в NBG, чем в ZFC (или наоборот). Обзор известных результатов такого рода см. в Pudlák 1998.

Теория множеств Морса–Келли имеет схему аксиом понимания классов, которая включает формулы, квантификаторы которых ранжируются по классам. MK является более сильной теорией, чем NBG, поскольку MK доказывает непротиворечивость NBG, ^[76], в то время как вторая теорема Гёделя о неполноте подразумевает, что NBG не может доказать непротиворечивость NBG.

Обсуждение некоторых онтологических и других философских вопросов, поднимаемых NBG, особенно в сравнении с ZFC и MK, см. в Приложении C к Potter 2004.

Модели

ZFC, NBG и MK имеют модели , описываемые в терминах кумулятивной иерархии V _α  и конструируемой иерархии L _α  . Пусть V включает недостижимый кардинал κ, пусть X ⊆ V _κ , и пусть Def( X ) обозначает класс первопорядковых определимых подмножеств X с параметрами. В символах, где " " обозначает модель с областью и отношением , а " " обозначает отношение удовлетворения : ${\displaystyle (X,\in )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \models }$ $${\displaystyle \operatorname {Def} (X):={\Bigl \{}\{x\mid x\in X{\text{ and }}(X,\in )\models \phi (x,y_{1},\ldots ,y_{n})\}:\phi {\text{ is a first-order formula and }}y_{1},\ldots ,y_{n}\in X{\Bigr \}}.}$$

Затем:

• ${\displaystyle (V_{\kappa },\in )}$и являются моделями ZFC . ^[77] ${\displaystyle (L_{\kappa },\in )}$
• ( V _κ ,  V _κ+1 , ∈) — это модель MK, где V _κ состоит из множеств модели, а V _κ+1 состоит из классов модели. ^[78] Поскольку модель MK является моделью NBG, эта модель также является моделью NBG.
• ( V _κ , Def( V _κ ), ∈) — это модель версии NBG Мендельсона, которая заменяет аксиому глобального выбора NBG на аксиому выбора ZFC. ^[79] Аксиомы ZFC истинны в этой модели, потому что ( V _κ , ∈) — это модель ZFC. В частности, аксиома выбора ZFC верна, но глобальный выбор NBG может не выполняться. ^[ab] Аксиомы существования классов NBG истинны в этой модели, потому что классы, существование которых они утверждают, могут быть определены определениями первого порядка. Например, аксиома членства верна, поскольку класс определяется следующим образом: ${\displaystyle E}$ $${\displaystyle E=\{x\in V_{\kappa }:(V_{\kappa },\in )\models \exists u\ \exists v[x=(u,v)\land u\in v]\}.}$$
• ( L _κ , L _{κ ⁺} , ∈), где κ ⁺ — кардинальное число-преемник κ, является моделью NBG. ^[ac] Аксиомы существования класса NBG истинны в ( L _κ ,  L _{κ ⁺} , ∈). Например, аксиома принадлежности верна, поскольку класс определяется следующим образом: Итак, E  ∈ 𝒫( L _κ ). В своем доказательстве того, что GCH истинна в L , Гёдель доказал, что 𝒫( L _κ ) ⊆  L _{κ ⁺} . ^[81] Следовательно, E  ∈  L _{κ ⁺} , поэтому аксиома принадлежности истинна в ( L _κ ,  L _{κ ⁺} , ∈). Аналогично, истинны и другие аксиомы существования класса. Аксиома глобального выбора верна, поскольку L _κ вполне упорядочен ограничением функции Гёделя (которая отображает класс ординалов в конструируемые множества) на ординалы, меньшие κ. Следовательно, ( L _κ ,  L _{κ ⁺} , ∈) является моделью NBG. ${\displaystyle E}$ $${\displaystyle E=\{x\in L_{\kappa }:(L_{\kappa },\in )\models \exists u\ \exists v[x=(u,v)\land u\in v]\}.}$$
• Если — нестандартная модель , то эквивалентно «существует такое, что », где — множество подмножеств , которые определимы над . ^[82] Это обеспечивает часть второго порядка для расширения заданной нестандартной модели первого порядка до нестандартной модели , если такое расширение вообще существует. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {ZFC} }$ ${\displaystyle (M,\mathrm {Def} (M))\vDash \mathrm {GB} +\Delta _{1}^{1}{\text{-CA}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (M,X)\vDash \mathrm {GB} +\Delta _{1}^{1}{\text{-CA}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Def} (M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {ZFC} }$ ${\displaystyle \mathrm {GB} }$

Теория категорий

Онтология NBG предоставляет основу для разговора о «больших объектах» без риска парадокса. Например, в некоторых разработках теории категорий « большая категория » определяется как та, чьи объекты и морфизмы составляют надлежащий класс. С другой стороны, «малая категория» — это та, чьи объекты и морфизмы являются членами множества. Таким образом, мы можем говорить о « категории всех множеств » или « категории всех малых категорий » без риска парадокса, поскольку NBG поддерживает большие категории.

Однако NBG не поддерживает «категорию всех категорий», поскольку большие категории были бы ее членами, а NBG не позволяет собственным классам быть членами чего-либо. Онтологическое расширение, которое позволяет нам формально говорить о такой «категории», — это конгломерат , который является набором классов. Тогда «категория всех категорий» определяется ее объектами: конгломератом всех категорий; и ее морфизмами: конгломератом всех морфизмов от A до B , где A и B являются объектами. ^[83] О том, является ли онтология, включающая классы, а также множества, адекватной для теории категорий, см. Muller 2001.

Примечания

1. Аксиома глобального выбора объясняет, почему она доказуемо сильнее.
2. Историческое развитие предполагает, что двухсортный подход на первый взгляд кажется более естественным. Представляя свою теорию, Бернайс заявил: «Согласно ведущей идее теории множеств фон Неймана, мы имеем дело с двумя типами индивидов, которые мы можем различать как множества и классы ». ^[11]
3. Гедель определил . ^[15] Это влияет на утверждения некоторых его определений, аксиом и теорем. В этой статье используется определение Мендельсона. ^[16] ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(x_{1},(x_{2},\ldots ,x_{n}))}$ 
4. Аксиомы существования класса Бернайса определяют уникальные классы. Гёдель ослабил все, кроме трех аксиом Бернайса (пересечение, дополнение, область), заменив биусловия на импликации , что означает, что они определяют только упорядоченные пары или 3-кортежи класса. Аксиомы в этом разделе являются аксиомами Гёделя, за исключением более сильной аксиомы произведения Бернайса на V, которая определяет уникальный класс упорядоченных пар. Аксиома Бернайса упрощает доказательство теоремы существования класса. Аксиома Гёделя B6 появляется как четвертое утверждение леммы о кортеже. Позже Бернайс понял, что одна из его аксиом избыточна, что подразумевает, что одна из аксиом Гёделя избыточна. Используя другие аксиомы, аксиому B6 можно доказать из аксиомы B8, а B8 можно доказать из B6, поэтому любую из аксиом можно считать избыточной аксиомой. ^[17] Названия аксиом обработки кортежей взяты из статьи французской Википедии: Théorie des ensembles de von Neumann.
5. В этой статье используются нотации Бурбаки с дополнением и нотации с относительным дополнением . ^[22] Эта префиксная нотация с относительным дополнением используется теоремой о существовании класса для отражения префикса логического не ( ). ${\displaystyle \complement A}$ ${\displaystyle \complement _{X}A=\complement A\cap X}$ ${\displaystyle \neg }$
6. Поскольку Гёдель формулирует эту аксиому до того, как доказывает существование пустого класса, он формулирует ее без использования пустого класса. ^[5]
7. Доказательства в этом и следующем разделе взяты из доказательств Гёделя, которые он дал в Институте перспективных исследований, где он «мог рассчитывать на аудиторию, хорошо разбирающуюся в математической логике ». ^[28] Чтобы сделать доказательства Гёделя более доступными для читателей Википедии, были сделаны некоторые изменения. Целью этого и следующего разделов является доказательство M4 Гёделя, его четвертой теоремы о существовании классов. Доказательство в этом разделе в основном следует доказательству M1, ^[29] , но также использует методы из доказательств M3 и M4. Теорема сформулирована с переменными класса, а не с символами M1 для специальных классов (универсальная квантификация по переменным класса эквивалентна истинности для любой инстанциации переменных класса). Главные отличия от доказательства M1: уникальные классы -кортежей генерируются в конце базисных и индуктивных шагов (которые требуют более сильного произведения Бернайса по аксиоме), а связанные переменные заменяются индексированными переменными, которые продолжают нумерацию свободных переменных множества. Поскольку связанные переменные свободны для части индукции, это гарантирует, что когда они свободны, они обрабатываются так же, как и исходные свободные переменные. Одним из преимуществ этого доказательства является пример вывода функции Class, который показывает, что конструкция класса отражает конструкцию его определяющей формулы. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$
8. Одна деталь была упущена из этого доказательства. Используется соглашение Гёделя, поэтому определяется как Поскольку эта формула квантифицирует по классам, ее необходимо заменить эквивалентной Тогда три формулы в доказательстве, имеющие вид, становятся что дает действительное доказательство. ${\displaystyle \exists x\,\phi (x)}$ ${\displaystyle \exists x[\exists C(x\in C)\land \phi (x)].}$ ${\displaystyle \exists x[x\in V\land \phi (x)].}$ ${\displaystyle \exists x_{n+1}[x_{n+1}\land \dots ]}$ ${\displaystyle \exists x_{n+1}[x_{n+1}\in V\land \dots ],}$
9. Рекурсивные компьютерные программы, написанные на псевдокоде, использовались и в других местах чистой математики . Например, они использовались для доказательства теоремы Гейне-Бореля и других теорем анализа . ^[31]
10. Эта теорема — теорема Гёделя M4. Он доказал её, сначала доказав M1, теорему существования класса, которая использует символы для специальных классов, а не свободные переменные класса. M1 создаёт класс, содержащий все -кортежи, удовлетворяющие , но который может содержать элементы, которые не являются -кортежами . Теорема M2 расширяет эту теорему до формул, содержащих отношения, специальные классы и операции. Теорема M3 получается из M2 заменой символов для специальных классов свободными переменными. Гёдель использовал M3 для определения , которое является уникальным по экстенсиональности. Он использовал для определения Теорема M4 получается из M3 пересечением класса, созданного M3, с , чтобы создать уникальный класс -кортежей, удовлетворяющих данной формуле. Подход Гёделя, особенно его использование M3 для определения , устраняет необходимость в более сильной форме произведения по аксиоме Бернайса. ^[33] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle A\times B=\{x:\exists y\exists z[x=(y,z)\land y\in A\land z\in B]\},}$$ ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle V^{n}.}$ ${\displaystyle V^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle V}$
11. Гёдель ослабил аксиомы Бернейса о множестве объединения и мощности, которые утверждают существование этих множеств, до приведенных выше аксиом, которые утверждают, что существует множество, содержащее объединение, и множество, содержащее множество мощности. ^[35] Бернейс опубликовал свои аксиомы после Гёделя, но отправил их Гёделю в 1931 году. ^[36]
12. Поскольку аксиома ZFC требует существования пустого множества, преимущество аксиомы NBG в том, что аксиома пустого множества не нужна. Система аксиом Мендельсона использует аксиому бесконечности ZFC и также имеет аксиому пустого множества. ^[37]
13. О наличии хорошо упорядоченного подразумевающего глобальный выбор см. Следствия аксиомы ограничения размера . О глобальном выборе подразумевающем хорошо упорядоченное любого класса см. Kanamori 2009, стр. 53. ${\displaystyle V}$
14. В 1917 году Дмитрий Мириманов опубликовал форму замены, основанную на кардинальной эквивалентности. ^[41]
15. В 1928 году фон Нейман заявил: «Трактовка порядкового числа, тесно связанная с моей, была известна Цермело в 1916 году, как я узнал впоследствии из личного общения. Тем не менее, фундаментальная теорема, согласно которой для каждого вполне упорядоченного множества существует подобный порядковый номер, не могла быть строго доказана, поскольку аксиома замены была неизвестна». ^[43]
16. von Neumann 1923. Определение фон Неймана также использовало теорию вполне упорядоченных множеств. Позже его определение было упрощено до текущего: Ординал — это транзитивное множество , которое вполне упорядочено по ∈. ^[44]
17. После введения кумулятивной иерархии фон Нейман смог показать, что аксиомы Цермело не доказывают существование ординалов α ≥ ω + ω, которые включают несчетное число наследственно счетных множеств . Это следует из результата Сколема о том, что V _ω+ω удовлетворяет аксиомам Цермело ^[46] и из α ∈ V _β , подразумевающего α < β. ^[47]
18. Фон Нейман сформулировал свою аксиому в эквивалентной функциональной форме. ^[49]
19. Подход Скулема неявно включает натуральные числа, поскольку формулы схемы аксиом строятся с использованием структурной рекурсии , которая является обобщением математической рекурсии на натуральные числа.
20. Мириманов определил хорошо обоснованные множества в 1917 году. ^[53]
21. Акихиро Канамори указывает, что Бернейс читал лекции по своей системе аксиом в 1929-1930 годах и утверждает, что «… он и Цермело, должно быть, пришли к идее включения Основания [регулярности] почти в одно и то же время». ^[55] Однако Бернейс не публиковал часть своей системы аксиом, содержащую регулярность, до 1941 года. ^[56]
22. Доказательство того, что аксиома фон Неймана подразумевает глобальный выбор: Пусть Аксиома фон Неймана подразумевает, что существует функция такая, что Функция является функцией глобального выбора, так как для всех непустых множеств Доказательство того, что глобальный выбор подразумевает аксиому фон Неймана: Пусть будет функцией глобального выбора, и пусть будет отношением. Для пусть где — множество всех множеств, имеющих ранг меньше Пусть Тогда — функция, которая удовлетворяет аксиоме фон Неймана, так как и ${\displaystyle R=\{(x,y):x\neq \emptyset \land y\in x\}.}$ ${\displaystyle G\subseteq R}$ ${\displaystyle Dom(G)=Dom(R).}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle G(x)\in x.}$
    ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x\in Dom(R),}$ ${\displaystyle \alpha (x)={\text{least}}\,\{\alpha :\exists y[(x,y)\in R\cap V_{\alpha }]\}}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha .}$ ${\displaystyle z_{x}=\{y:(x,y)\in R\cap V_{\alpha (x)}\}.}$ ${\displaystyle F=\{(x,G(z_{x})):x\in Dom(R)\}}$ ${\displaystyle F\subseteq R}$ ${\displaystyle Dom(F)=Dom(R).}$
23. Гёдель использовал аксиомы фон Неймана 1929 года в своем объявлении 1938 года о своей теореме об относительной согласованности и заявил: «Соответствующая теорема верна, если T обозначает систему Principia mathematica ». ^[64] Его набросок доказательства 1939 года относится к теории множеств Цермело и ZF. ^[65] Доказательство теоремы в нескольких формальных системах не было чем-то необычным для Гёделя. Например, он доказал свою теорему о неполноте для системы Principia mathematica , но указал, что она «верна для широкого класса формальных систем ...». ^[66]
24. Доказательство непротиворечивости Гёделя строит конструируемую вселенную . Чтобы построить это в ZF, требуется некоторая теория моделей. Гёдель построил это в NBG без теории моделей. О конструкции Гёделя см. Gödel 1940, стр. 35–46 или Cohen 1966, стр. 99–103.
25. Коэн также дал подробное доказательство теорем Гёделя об относительной согласованности с использованием ZF. ^[74]
26. В 1960-х годах эта теорема о консервативном расширении была доказана независимо Полом Коэном, Солом Крипке и Робертом Соловеем. В своей книге 1966 года Коэн упомянул эту теорему и заявил, что ее доказательство требует форсинга. Она также была независимо доказана Рональдом Йенсеном и Ульрихом Фельгнером, которые опубликовали свое доказательство в 1971 году. ^[75]
27. Оба вывода следуют из вывода, что каждый правильный класс может быть поставлен во взаимно-однозначное соответствие с классом всех ординалов. Доказательство этого изложено в Kanamori 2009, стр. 53.
28. Истон построил модель версии NBG Мендельсона , в которой аксиома выбора ZFC выполняется, но глобальный выбор не выполняется.
29. В кумулятивной иерархии V _κ подмножества V _κ находятся в V _κ+1 . Конструируемая иерархия L _κ производит подмножества медленнее, поэтому подмножества L _κ находятся в L _{κ ^{+ ,}} а не в L _κ+1 . ^[80]

Ссылки

1. фон Нейман 1925, стр. 221–224, 226, 229; Английский перевод: ван Хейеноорт 2002b, стр. 396–398, 400, 403.
2. Бернейс 1937, стр. 66–67.
3. Гёдель 1940.
4. Гёдель 1940, стр. 3–7.
5. Gödel 1940, стр. 6.
6. Гёдель 1940, стр. 25.
7. Гёдель 1940, стр. 35–38.
8. "Аксиомы Неймана-Бернайса-Гёделя". Encyclopaedia Britannica . Получено 17 января 2019 г.
9. Gödel 1940, стр. 3.
10. Мендельсон 1997, стр. 225–226.
11. Бернейс 1937, стр. 66.
12. Мендельсон 1997, стр. 226.
13. Аксиома Гёделя A3 (Гёдель 1940, стр. 3).
14. Аксиома Гёделя A4 (Гёдель 1940, стр. 3).
15. Гёдель 1940, стр. 4).
16. Мендельсон 1997, стр. 230.
17. Канамори 2009, с. 56; Бернейс 1937, с. 69; Гёдель 1940, стр. 5, 9; Мендельсон 1997, с. 231.
18. Аксиома Гёделя B1 (Гёдель 1940, стр. 5).
19. Аксиома Гёделя B2 (Гёдель 1940, стр. 5).
20. Аксиома Гёделя B3 (Гёдель 1940, стр. 5).
21. Аксиома Гёделя B4 (Гёдель 1940, стр. 5).
22. Бурбаки 2004, стр. 71.
23. Аксиома Бернейса b(3) (Бернейс 1937, стр. 5).
24. Аксиома Гёделя B7 (Гёдель 1940, стр. 5).
25. Аксиома Гёделя B8 (Гёдель 1940, стр. 5).
26. Гёдель 1940, с. 6; Канамори 2012, с. 70.
27. Канамори 2009, стр. 57; Гёдель 2003, стр. 121. Обе ссылки содержат доказательство Гёделя, но доказательство Канамори легче понять, поскольку он использует современную терминологию.
28. Доусон 1997, стр. 134.
29. Гёдель 1940, стр. 8–11.
30. Гёдель 1940, стр. 11.
31. Грей 1991.
32. Гёдель 1940, стр. 11–13.
33. Гёдель 1940, стр. 8–15.
34. Гёдель 1940, стр. 16–18.
35. Бернейс 1941, стр. 2; Гёдель 1940, стр. 5).
36. Канамори 2009, с. 48; Гёдель 2003, стр. 104–115.
37. Мендельсон 1997, стр. 228, 239.
38. Истон 1964, стр. 56а–64.
39. фон Нейман 1925, фон Нейман 1928.
40. Феррейрос 2007, стр. 369.
41. Мириманофф 1917, стр. 49.
42. Канамори 2012, стр. 62.
43. Халлетт 1984, стр. 280.
44. Кунен 1980, стр. 16.
45. фон Нейман 1925, с. 223 (сноска); Английский перевод: ван Хейеноорт 2002b, с. 398 (сноска).
46. Канамори 2012, стр. 61
47. Кунен 1980, стр. 95–96. Использует обозначение R(β) вместо V _β .
48. Халлетт 1984, стр. 288–290.
49. фон Нейман 1925, с. 225; Английский перевод: ван Хейеноорт 2002b, с. 400.
50. Френкель, Историческое введение в Bernays 1991, стр. 13.
51. фон Нейман 1925, стр. 224–226; Английский перевод: ван Хейеноорт, 2002b, стр. 399–401.
52. Монтегю 1961.
53. Мириманофф 1917, стр. 41.
54. фон Нейман 1925, стр. 230–232; Английский перевод: ван Хейеноорт, 2002b, стр. 404–405.
55. Канамори 2009, стр. 53–54.
56. Бернейс 1941, стр. 6.
57. фон Нейман 1929, с. 229; Феррейрос 2007, стр. 379–380.
58. Канамори 2009, стр. 49, 53.
59. Kanamori 2009, стр. 48, 58. Статьи Бернейса перепечатаны в Müller 1976, стр. 1–117.
60. Бернейс 1937, стр. 65.
61. Канамори 2009, стр. 48–54.
62. Канамори 2009, стр. 56.
63. Канамори 2009, стр. 56–58; Гёдель 1940, Глава I: Аксиомы абстрактной теории множеств, стр. 3–7.
64. Гёдель 1990, стр. 26.
65. Гёдель 1990, стр. 28–32.
66. Гёдель 1986, стр. 145.
67. Соловей 1990, стр. 13.
68. Кунен 1980, стр. 176.
69. Гёдель 1990, стр. 108, сноска i. В параграфе, содержащем эту сноску, обсуждается, почему Гёдель считал «свойство множества» примитивом теории множеств и как оно вписывается в его онтологию . «Свойство множества» соответствует примитиву «класс» в NBG.
70. Канамори 2009, стр. 57.
71. Коэн 1963.
72. Канамори 2009, стр. 65: «Принуждение само по себе значительно снизило значимость любой формальной теории классов из-за дополнительных трудностей, связанных с необходимостью указывать классы обобщенных расширений».
73. Коэн 1966, стр. 107–147.
74. Коэн 1966, стр. 85–99.
75. Феррейрос 2007, стр. 381–382; Коэн 1966, с. 77; Фельгнер 1971.
76. Мостовский 1950, стр. 113, сноска 11. Сноска ссылается на теорию множеств NQ Вана, которая позже развилась в MK .
77. Канамори 2009b, стр. 18, 29.
78. Chuaqui 1981, стр. 313 доказывает, что ( V _κ ,  V _κ+1 , ∈) является моделью MKTR + AxC. MKT — это аксиомы Тарского для MK без выбора или замены. MKTR + AxC — это MKT с заменой и выбором (Chuaqui 1981, стр. 4, 125), что эквивалентно MK.
79. Мендельсон 1997, стр. 275.
80. Гёдель 1940, с. 54; Соловей 1990, стр. 9–11.
81. Гёдель 1940, стр. 54.
82. А. Энаят, «Теоретико-множественные аналоги теоремы Барвайса-Шлипфа». Annals of Pure and Applied Logic т. 173 (2022).
83. Адамек, Херрлих и Стрекер 2004, стр. 15–16, 40.

Библиография

• Адамек, Йиржи; Херрлих, Хорст; Штрекер, Джордж Э. (1990), Абстрактные и конкретные категории (Радость кошек) (1-е изд.), Нью-Йорк: Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-60922-3.
  • Адамек, Йиржи; Херрлих, Хорст; Штрекер, Джордж Э. (2004) [1990], Абстрактные и конкретные категории (Радость кошек) (ред. Дувра), Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 978-0-486-46934-8.
• Бернайс, Пол (1937), «Система аксиоматической теории множеств — часть I», Журнал символической логики , 2 (1): 65–77, doi :10.2307/2268862, JSTOR  2268862.
• Бернайс, Пол (1941), «Система аксиоматической теории множеств — часть II», Журнал символической логики , 6 (1): 1–17, doi :10.2307/2267281, JSTOR  2267281, S2CID  250344277.
• Бернейс, Пол (1991), Аксиоматическая теория множеств (2-е пересмотренное издание), Dover Publications, ISBN 978-0-486-66637-2.
• Бурбаки, Николя (2004), Элементы математики: Теория множеств, Springer, ISBN 978-3-540-22525-6.
• Чуаки, Роландо (1981), Аксиоматическая теория множеств: непредикативные теории классов , Северная Голландия, ISBN 0-444-86178-5.
• Коэн, Пол (1963), «Независимость гипотезы континуума», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 50 (6): 1143–1148, Bibcode : 1963PNAS...50.1143C, doi : 10.1073/pnas.50.6.1143 , PMC  221287 , PMID  16578557.
• Коэн, Пол (1966), Теория множеств и гипотеза континуума , WA Benjamin.
  • Коэн, Пол (2008), Теория множеств и гипотеза континуума, Dover Publications, ISBN 978-0-486-46921-8.
• Доусон, Джон В. (1997), Логические дилеммы: жизнь и творчество Курта Гёделя , Уэллсли, Массачусетс: AK Peters.
• Истон, Уильям Б. (1964), Полномочия регулярных кардиналов (докторская диссертация), Принстонский университет.
• Фельгнер, Ульрих (1971), «Сравнение аксиом локального и универсального выбора» (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 71 : 43–62, doi : 10.4064/fm-71-1-43-62.
• Феррейрос, Хосе (2007), Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в математической мысли (2-е пересмотренное издание), Базель, Швейцария: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-8349-7.
• Гёдель, Курт (1940), Согласованность аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы с аксиомами теории множеств (пересмотренное издание), Princeton University Press, ISBN 978-0-691-07927-1.
  • Гёдель, Курт (2008), Согласованность аксиомы выбора и обобщенной гипотезы континуума с аксиомами теории множеств , с предисловием Лэйвера, Ричарда (издание в мягкой обложке), Ishi Press, ISBN 978-0-923891-53-4.
• Гёдель, Курт (1986), Собрание сочинений, Том 1: Публикации 1929–1936 гг. , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-514720-9.
• Гёдель, Курт (1990), Собрание сочинений, том 2: Публикации 1938–1974 , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-514721-6.
• Гёдель, Курт (2003), Собрание сочинений, Том 4: Переписка A–G , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850073-5.
• Грей, Роберт (1991), «Компьютерные программы и математические доказательства», The Mathematical Intelligencer , 13 (4): 45–48, doi :10.1007/BF03028342, S2CID  121229549.
• Халлетт, Майкл (1984), Канторианская теория множеств и ограничение размера (издание в твердом переплете), Оксфорд: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853179-1.
  • Халлетт, Майкл (1986), Канторианская теория множеств и ограничение размера (издание в мягкой обложке), Оксфорд: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853283-5.
• Канамори, Акихиро (2009b), Высшая бесконечность: большие кардиналы в теории множеств с самого начала , Springer, ISBN 978-3-540-88867-3.
• Канамори, Акихиро (2009), «Бернейс и теория множеств» (PDF) , Бюллетень символической логики , 15 (1): 43–69, doi : 10.2178/bsl/1231081769, JSTOR  25470304, S2CID  15567244.
• Канамори, Акихиро (2012), «Похвала замене» (PDF) , Бюллетень символической логики , 18 (1): 46–90, doi : 10.2178/bsl/1327328439, JSTOR  41472440, S2CID  18951854.
• Кунен, Кеннет (1980), Теория множеств: Введение в доказательства независимости (издание в твердом переплете), Северная Голландия, ISBN 978-0-444-86839-8.
  • Кунен, Кеннет (2012), Теория множеств: Введение в доказательства независимости (мягкая обложка), Северная Голландия, ISBN 978-0-444-56402-3.
• Мендельсон, Эллиотт (1997), Введение в математическую логику (4-е изд.), Лондон: Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-0-412-80830-2- Стр. 225–286 содержат классическое изложение NBG в учебнике, показывающее, как он делает то, что мы ожидаем от теории множеств, обосновывая отношения , теорию порядка , порядковые числа , трансфинитные числа и т. д.
• Мириманов, Дмитрий (1917), «Антиномии Рассела и Бурали-Форти и фундаментальная проблема теории ансамблей», L'Enseignement Mathématique , 19 : 37–52.
• Монтегю, Ричард (1961), «Семантическая замкнутость и неконечная аксиоматизируемость I», в книге Бусса, Сэмюэля Р. (ред.), Инфинитистские методы: Труды симпозиума по основаниям математики , Pergamon Press, стр. 45–69.
• Мостовский, Анджей (1950), «Некоторые непредикативные определения в аксиоматической теории множеств» (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 37 : 111–124, doi : 10.4064/fm-37-1-111-124.
• Мюллер, ФА (1 сентября 2001 г.), «Наборы, классы и категории» (PDF) , Британский журнал философии науки , 52 (3): 539–73, doi :10.1093/bjps/52.3.539.
• Мюллер, Гурт, ред. (1976), Множества и классы: о работах Пола Бернайса , Исследования по логике и основаниям математики, том 84, Амстердам: Северная Голландия, ISBN 978-0-7204-2284-9.
• Поттер, Майкл (2004), Теория множеств и ее философия: критическое введение (издание в твердом переплете), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-926973-0.
  • Поттер, Майкл (2004 г.), Теория множеств и ее философия: критическое введение (мягкая обложка), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-927041-5.
• Пудлак, Павел (1998), «Длина доказательств» (PDF) , в Buss, Samuel R. (ред.), Handbook of Proof Theory , Elsevier, стр. 547–637, ISBN 978-0-444-89840-1.
• Смаллиан, Рэймонд М.; Фиттинг , Мелвин (2010) [Исправленное и исправленное издание: впервые опубликовано в 1996 году издательством Oxford University Press], Теория множеств и проблема континуума , Довер, ISBN 978-0-486-47484-7.
• Соловей, Роберт М. (1990), «Вступительное примечание к 1938 , 1939 , 1939a и 1940 », Собрание сочинений Курта Гёделя, том 2: Публикации 1938–1974 , Oxford University Press, стр. 1–25, ISBN 978-0-19-514721-6.
• фон Нейман, Джон (1923), «Zur Einführung der transfiniten Zahlen», Acta Litt. акад. наук. Сегед X. , 1 : 199–208..
  • Перевод на английский язык: ван Хейеноорт, Жан (2002a) [1967], «О введении трансфинитных чисел», От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879-1931 (Четвертое издание), Издательство Гарвардского университета, стр. 346–354, ISBN 978-0-674-32449-7.
  • Перевод на английский язык: ван Хейеноорт, Жан (2002b) [1967], «Аксиоматизация теории множеств», От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879-1931 (Четвертое издание), Издательство Гарвардского университета, стр. 393–413, ISBN 978-0-674-32449-7.
• фон Нейман, Джон (1925), «Eine Axiomatisierung der Mengenlehre», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 154 : 219–240.
• фон Нейман, Джон (1928), «Die Axiomatisierung der Mengenlehre», Mathematische Zeitschrift , 27 : 669–752, doi : 10.1007/bf01171122, S2CID  123492324.
• фон Нейман, Джон (1929), «Über eine Widerspruchsfreiheitsfrage in der axiomatischen Mengenlehre», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 160 : 227–241.

Внешние ссылки

• "теория множеств фон Неймана-Бернайса-Гёделя". PlanetMath .
• Судзик, Мэтью. «Теория множеств фон Неймана-Бернейса-Гёделя». Математический мир .