График функции

Представление математической функции

График функции ${\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}+3x^{2}-6x-8}{4}}.}$

В математике график функции — это множество упорядоченных пар , где В общем случае, когда и — действительные числа , эти пары являются декартовыми координатами точек на плоскости и часто образуют кривую . Графическое представление графика функции также известно как график . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle f(x)=y.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$

В случае функций двух переменных , то есть функций, область определения которых состоит из пар , график обычно относится к множеству упорядоченных троек, где . Это подмножество трехмерного пространства ; для непрерывной действительной функции двух действительных переменных ее график образует поверхность , которую можно визуализировать как поверхностный график . ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle f(x,y)=z}$

В науке , технике , технологиях , финансах и других областях графики являются инструментами, используемыми для многих целей. В простейшем случае одна переменная отображается как функция другой, обычно с использованием прямоугольных осей ; подробности см . в разделе График (графики) .

График функции является частным случаем отношения . В современных основах математики и, как правило, в теории множеств функция фактически равна своему графику. ^[1] Однако часто бывает полезно рассматривать функции как отображения , ^[2] которые состоят не только из отношения между входом и выходом, но также из того, какое множество является областью определения, а какое множество является областью определения . Например, чтобы сказать, что функция является на ( сюръективной ) или нет областью определения, следует учитывать. График функции сам по себе не определяет область определения. Обычно ^[3] используют оба термина функция и график функции, поскольку даже если рассматривать один и тот же объект, они указывают на его рассмотрение с другой точки зрения.

График функции на интервале [−2,+3]. Также показаны два действительных корня и локальный минимум, которые находятся в интервале. ${\displaystyle f(x)=x^{4}-4^{x}}$

Определение

Если задана функция из множества X ( область определения ) в множество Y ( область определения ), то график функции — это множество ^[4] , которое является подмножеством декартова произведения . При определении функции в терминах теории множеств принято отождествлять функцию с ее графиком, хотя формально функция образована тройкой, состоящей из ее области определения, ее области определения и ее графика. ${\displaystyle f:X\to Y}$ $${\displaystyle G(f)=\{(x,f(x)):x\in X\},}$$ ${\displaystyle X\times Y}$

Примеры

Функции одной переменной

График функции ${\displaystyle f(x,y)=\sin \left(x^{2}\right)\cdot \cos \left(y^{2}\right).}$

График функции, определяемой как, является подмножеством множества ${\displaystyle f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}}$ $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}a,&{\text{if }}x=1,\\d,&{\text{if }}x=2,\\c,&{\text{if }}x=3,\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \{1,2,3\}\times \{a,b,c,d\}}$ $${\displaystyle G(f)=\{(1,a),(2,d),(3,c)\}.}$$

Из графика домен восстанавливается как набор первых компонентов каждой пары в графике . Аналогично диапазон может быть восстановлен как . Однако кодомен не может быть определен только из графика. ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ ${\displaystyle \{1,2,3\}=\{x:\ \exists y,{\text{ such that }}(x,y)\in G(f)\}}$ ${\displaystyle \{a,c,d\}=\{y:\exists x,{\text{ such that }}(x,y)\in G(f)\}}$ ${\displaystyle \{a,b,c,d\}}$

График кубического полинома на действительной прямой имеет вид $${\displaystyle f(x)=x^{3}-9x}$$ $${\displaystyle \{(x,x^{3}-9x):x{\text{ is a real number}}\}.}$$

Если это множество отобразить на декартовой плоскости , то получится кривая (см. рисунок).

Функции двух переменных

Построение графика, также показывающее его градиент, спроецированный на нижнюю плоскость. ${\displaystyle f(x,y)=-\left(\cos \left(x^{2}\right)+\cos \left(y^{2}\right)\right)^{2},}$

График тригонометрической функции имеет вид $${\displaystyle f(x,y)=\sin(x^{2})\cos(y^{2})}$$ $${\displaystyle \{(x,y,\sin(x^{2})\cos(y^{2})):x{\text{ and }}y{\text{ are real numbers}}\}.}$$

Если этот набор отобразить в трехмерной декартовой системе координат , то получится поверхность (см. рисунок).

Часто бывает полезно показать на графике градиент функции и несколько кривых уровня. Кривые уровня можно отобразить на поверхности функции или спроецировать на нижнюю плоскость. На втором рисунке показан такой рисунок графика функции: $${\displaystyle f(x,y)=-(\cos(x^{2})+\cos(y^{2}))^{2}.}$$

Смотрите также

• Асимптота
• Диаграмма
• Сюжет
• Вогнутая функция
• Выпуклая функция
• Контурный участок
• Критическая точка
• Производный
• Эпиграф
• Нормаль к графику
• Склон
• Стационарная точка
• Тетравью
• Вертикальный перевод
• y-пересечение

Ссылки

1. Чарльз С. Пинтер (2014) [1971]. Книга теории множеств. Dover Publications. стр. 49. ISBN 978-0-486-79549-2.
2. TM Apostol (1981). Математический анализ . Addison-Wesley. стр. 35.
3. PR Халмос (1982). Книга задач о гильбертовом пространстве . Спрингер-Верлаг. п. 31. ISBN 0-387-90685-1.
4. DS Bridges (1991). Основы реального и абстрактного анализа. Springer. стр. 285. ISBN 0-387-98239-6.

Дальнейшее чтение

• Zălinescu, Constantin (30 июля 2002 г.). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . River Edge, NJ London: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1921556. OCLC  285163112 – через Интернет-архив .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Граф функции». Из MathWorld — веб-ресурс Wolfram.