Интеграл линии

В математике линейный интеграл — это интеграл , в котором функция , подлежащая интегрированию, вычисляется вдоль кривой . ^[1] Также используются термины интеграл по траектории , интеграл по кривой и криволинейный интеграл ; также используется контурный интеграл , хотя он обычно зарезервирован для линейных интегралов в комплексной плоскости.

Интегрируемая функция может быть скалярным полем или векторным полем . Значение линейного интеграла представляет собой сумму значений поля во всех точках кривой, взвешенных некоторой скалярной функцией на кривой (обычно длиной дуги или, для векторного поля, скалярным произведением векторного поля на дифференциальный вектор на кривой). Это взвешивание отличает линейный интеграл от более простых интегралов, определенных на интервалах . Многие простые формулы в физике, такие как определение работы как , имеют естественные непрерывные аналоги в терминах линейных интегралов, в данном случае , который вычисляет работу, совершаемую над объектом, движущимся через электрическое или гравитационное поле $F$ по пути . $W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {s}$ ${\textstyle W=\int _{L}\mathbf {F} (\mathbf {s} )\cdot d\mathbf {s} }$ $L$

Векторные исчисления

В качественном плане линейный интеграл в векторном исчислении можно рассматривать как меру общего эффекта данного тензорного поля вдоль данной кривой. Например, линейный интеграл по скалярному полю (тензор ранга 0) можно интерпретировать как площадь под полем, вырезанную определенной кривой. Это можно визуализировать как поверхность, созданную $z = f (x, y)$ и кривой C в плоскости xy . Линейный интеграл f будет площадью созданного «занавеса» — когда точки поверхности, которые находятся непосредственно над C, вырезаются.

Линейный интеграл скалярного поля

Линейный интеграл по скалярному полю f можно рассматривать как площадь под кривой C вдоль поверхности

z = f (x, y)

, описываемой полем.

Определение

Для некоторого скалярного поля , где , линейный интеграл вдоль кусочно-гладкой кривой определяется как , где — произвольная биективная параметризация кривой, такая, что $r$ $($ $a$ $)$ и $r$ $($ $b$ $)$ задают конечные точки и $a$ $<$ $b$ . Здесь и в остальной части статьи полосы абсолютного значения обозначают стандартную (евклидову) норму вектора. $f\colon U\to \mathbb {R}$ $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ${\mathcal {C}}\subset U$ $\int _{\mathcal {C}}f(\mathbf {r} )\,ds=\int _{a}^{b}f\left(\mathbf {r} (t)\right)\left|\mathbf {r} '(t)\right|\,dt,$ $\mathbf {r} \colon [a,b]\to {\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}$

Функция $f$ называется подынтегральным выражением, кривая — областью интегрирования, а символ $ds$ можно интуитивно интерпретировать как элементарную длину дуги кривой (т.е. дифференциальную длину ). Линейные интегралы скалярных полей по кривой не зависят от выбранной параметризации $r$ для . ^[2] ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}$

Геометрически, когда скалярное поле $f$ определено на плоскости $(n = 2)$ , его график представляет собой поверхность $z = f (x, y)$ в пространстве, а линейный интеграл дает (знаковую) площадь поперечного сечения , ограниченную кривой и графиком $f$ . Смотрите анимацию справа. ${\mathcal {C}}$

Вывод

Для линейного интеграла по скалярному полю интеграл может быть построен из суммы Римана с использованием приведенных выше определений $f$ , $C$ и параметризации $r$ для $C$ . Это можно сделать, разбив интервал $[a, b]$ на $n$ подынтервалов $[t i -1, t i]$ длиной $Δ t = (b - a)/ n$ , тогда $r (t i)$ обозначает некоторую точку, назовем ее точкой выборки, на кривой $C$ . Мы можем использовать набор точек выборки ${r (t i): 1 \leq i \leq n}$ для аппроксимации кривой $C$ как многоугольного пути , введя отрезок прямой линии между каждой из точек выборки $r (t i -1)$ и $r (t i)$ . (Приближение кривой к многоугольному пути называется выпрямлением кривой, см. здесь для получения более подробной информации.) Затем мы обозначаем расстояние отрезка линии между соседними точками выборки на кривой как $Δ s i$ . Произведение $f (r (t i))$ и $Δ s i$ можно связать со знаковой площадью прямоугольника с высотой и шириной $f (r (t i))$ и $Δ s i$ , соответственно. Взяв предел суммы членов , когда длина разбиений стремится к нулю, мы получаем $I=\lim _{\Delta s_{i}\to 0}\sum _{i=1}^{n}f(\mathbf {r} (t_{i}))\,\Delta s_{i}.$

По теореме о среднем значении расстояние между последовательными точками на кривой равно $\Delta s_{i}=\left|\mathbf {r} (t_{i}+\Delta t)-\mathbf {r} (t_{i})\right|\approx \left|\mathbf {r} '(t_{i})\Delta t\right|$

Подставляя это в приведенную выше сумму Римана, получаем , что является суммой Римана для интеграла $I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}f(\mathbf {r} (t_{i}))\left|\mathbf {r} '(t_{i})\right|\Delta t$ $I=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))\left|\mathbf {r} '(t)\right|dt.$

Линейный интеграл векторного поля

Определение

Для векторного поля $F : U \subseteq R n \to R n$ криволинейный интеграл вдоль кусочно-гладкой кривой $C \subset U$ в направлении r определяется как , где $\cdot$ — скалярное произведение , а $r$ $: [$ $a$ $,$ $b$ $] \to$ $C$ — регулярная параметризация (т.е.: ) кривой C, такая, что $r$ $($ $a$ $)$ и $r$ $($ $b$ $)$ задают конечные точки C . $\int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt$ $||\mathbf {r} '(t)||\neq 0\;\;\forall t\in [a,b]$

Таким образом, линейный интеграл скалярного поля является линейным интегралом векторного поля, где векторы всегда касательны к линии интегрирования.

Линейные интегралы векторных полей не зависят от параметризации r по абсолютной величине , но зависят от ее ориентации . В частности, изменение ориентации параметризации изменяет знак линейного интеграла. ^[2]

С точки зрения дифференциальной геометрии линейный интеграл векторного поля вдоль кривой представляет собой интеграл соответствующей 1-формы при музыкальном изоморфизме (который переводит векторное поле в соответствующее ковекторное поле) по кривой, рассматриваемой как погруженное 1-многообразие.

Вывод

Траектория частицы (красного цвета) вдоль кривой внутри векторного поля. Начиная с a , частица прокладывает путь C вдоль векторного поля F. Скалярное произведение (зеленая линия) ее касательного вектора (красная стрелка) и вектора поля (синяя стрелка) определяет площадь под кривой, которая эквивалентна линейному интегралу пути. (Нажмите на изображение для подробного описания.)

Линейный интеграл векторного поля может быть выведен способом, очень похожим на случай скалярного поля, но на этот раз с включением скалярного произведения. Снова используя приведенные выше определения $F$ , $C$ и его параметризацию $r (t)$ , мы строим интеграл из суммы Римана . Мы разбиваем интервал $[a, b]$ (который является диапазоном значений параметра t $)$ на $n$ интервалов длиной $Δ t = (b - a)/ n$ . Положим $t i$ будет $i$ -й точкой на $[a, b]$ , тогда $r (t i)$ дает нам положение i -й $точки$ на кривой. Однако вместо вычисления расстояний между последовательными точками нам нужно вычислить их векторы смещения $Δ r i$ . Как и прежде, оценка $F$ во всех точках на кривой и взятие скалярного произведения с каждым вектором смещения дает нам бесконечно малый вклад каждого разбиения $F$ на $C$ . Если размер разделов уменьшить до нуля, то получим сумму $I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t_{i}))\cdot \Delta \mathbf {r} _{i}$

По теореме о среднем значении мы видим, что вектор смещения между соседними точками на кривой равен $\Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} (t_{i}+\Delta t)-\mathbf {r} (t_{i})\approx \mathbf {r} '(t_{i})\,\Delta t.$

Подставляя это в приведенную выше сумму Римана, получаем $I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t_{i}))\cdot \mathbf {r} '(t_{i})\,\Delta t,$

что является суммой Римана для интеграла, определенного выше.

Независимость пути

Если векторное поле F $является$ градиентом скалярного поля G $($ т.е. если $F$ является консервативным ), то по правилу многомерной цепочки производная композиции G и $r$ $($ $t$ $)$ равна , что является подынтегральным выражением для линейного интеграла $F$ по $r$ $($ $t$ $) . Отсюда следует$ , что задан путь $C$ , что $\mathbf {F} =\nabla G,$ ${\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}=\nabla G(\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)$ $\int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt=\int _{a}^{b}{\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}\,dt=G(\mathbf {r} (b))-G(\mathbf {r} (a)).$

Другими словами, интеграл $F$ по C зависит исключительно от значений $G$ в точках $r (b)$ и $r (a)$ и, таким образом, не зависит от пути между ними. По этой причине линейный интеграл консервативного векторного поля называется независимым от пути .

Приложения

Интеграл линии имеет множество применений в физике. Например, работа, совершаемая над частицей, движущейся по кривой C внутри силового поля, представленного как векторное поле $F,$ является интегралом линии $F$ по C. ^[3]

Поток по кривой

Для векторного поля F $($ $x$ $,$ $y$ $)$ $= ($ $P$ $($ $x$ $,$ $y$ $),$ $Q$ $($ $x$ $,$ $y$ $))$ линейный интеграл по кривой C ⊂ U , также называемый интегралом потока , определяется в терминах кусочно-гладкой параметризации $r$ $: [$ $a$ $,$ $b$ $] \to$ $C$ , $r$ $($ $t$ $) = ($ $x$ $($ $t$ $),$ $y$ $($ $t$ $))$ , как: $\mathbf {F} \colon U\subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ $\int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} ^{\perp }=\int _{a}^{b}{\begin{bmatrix}P{\big (}x(t),y(t){\big )}\\Q{\big (}x(t),y(t){\big )}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}y'(t)\\-x'(t)\end{bmatrix}}~dt=\int _{a}^{b}\left(-Q~dx+P~dy\right).$

Здесь $\cdot$ — скалярное произведение, а — перпендикуляр по часовой стрелке к вектору скорости . $\mathbf {r} '(t)^{\perp }=(y'(t),-x'(t))$ $\mathbf {r} '(t)=(x'(t),y'(t))$

Поток вычисляется в ориентированном смысле: кривая $C$ имеет заданное прямое направление от $r (a)$ до $r (b)$ , и поток считается положительным, когда $F (r (t))$ находится по часовой стрелке от вектора прямой скорости $r' (t)$ .

Комплексный линейный интеграл

В комплексном анализе линейный интеграл определяется в терминах умножения и сложения комплексных чисел. Предположим, что U — открытое подмножество комплексной плоскости C , $f : U \to C$ — функция, а — кривая конечной длины, параметризованная $γ$ $: [$ $a$ $,$ $b$ $] \to$ $L$ , где $γ$ $($ $t$ $) =$ $x$ $($ $t$ $) +$ $iy$ $($ $t$ $)$ . Линейный интеграл может быть определен путем деления интервала [ a , b ] на a = t ₀ < t ₁ < ... < t _n = b и рассмотрения выражения $L\subset U$ $\int _{L}f(z)\,dz$ $\sum _{k=1}^{n}f(\gamma (t_{k}))\,[\gamma (t_{k})-\gamma (t_{k-1})]=\sum _{k=1}^{n}f(\gamma _{k})\,\Delta \gamma _{k}.$

Тогда интеграл является пределом этой суммы Римана , когда длины интервалов подразделения стремятся к нулю.

Если параметризация $γ$ непрерывно дифференцируема , то линейный интеграл можно вычислить как интеграл функции действительной переменной: $\int _{L}f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt.$

Когда $L$ представляет собой замкнутую кривую (начальная и конечная точки совпадают), линейный интеграл часто обозначается, иногда в технике его называют циклическим интегралом . ${\textstyle \oint _{L}f(z)\,dz,}$

Чтобы установить полную аналогию с линейным интегралом векторного поля, нужно вернуться к определению дифференцируемости в многомерном исчислении. Градиент определяется из теоремы о представлении Рисса , а скалярные произведения в комплексном анализе включают сопряженность (градиент функции в некоторой точке будет , а комплексное скалярное произведение будет приписывать дважды сопряженную величину в определении векторного поля линейного интеграла). $\gamma$ $z\in \mathbb {C}$ ${\overline {\gamma '(z)}}$ $\gamma '$

Линейный интеграл относительно сопряженного комплексного дифференциала определяется ^[4] как ${\overline {dz}}$ $\int _{L}f(z){\overline {dz}}:={\overline {\int _{L}{\overline {f(z)}}\,dz}}=\int _{a}^{b}f(\gamma (t)){\overline {\gamma '(t)}}\,dt.$

Интегралы комплексных функций можно вычислить с помощью ряда методов. Самый прямой — разбить на действительную и мнимую части, что сводит задачу к вычислению двух интегралов с действительными значениями. Интегральная теорема Коши может быть использована для приравнивания интеграла аналитической функции к тому же интегралу по более удобной кривой. Она также подразумевает, что по замкнутой кривой, охватывающей область, где $f (z)$ является аналитической без особенностей , значение интеграла просто равно нулю, или в случае, если область включает особенности, теорема о вычетах вычисляет интеграл в терминах особенностей. Это также подразумевает независимость от пути комплексного интеграла по аналитическим функциям.

Пример

Рассмотрим функцию $f (z) = 1/ z$ , и пусть контур L будет единичной окружностью против часовой стрелки вокруг 0, параметризованной $z (t) = e it$ с $t$ в $[0, 2 π]$ с использованием комплексной экспоненты . Подставляя, находим: ${\begin{aligned}\oint _{L}{\frac {1}{z}}\,dz&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{e^{it}}}ie^{it}\,dt=i\int _{0}^{2\pi }e^{-it}e^{it}\,dt\\&=i\int _{0}^{2\pi }dt=i(2\pi -0)=2\pi i.\end{aligned}}$

Это типичный результат интегральной формулы Коши и теоремы о вычетах .

Соотношение комплексного линейного интеграла и линейного интеграла векторного поля

Рассматривая комплексные числа как двумерные векторы , линейный интеграл комплекснозначной функции имеет действительную и комплексную части, равные линейному интегралу и интегралу потока векторного поля, соответствующего сопряженной функции. В частности, если параметризует L и соответствует векторному полю , то: $f(z)$ ${\overline {f(z)}}.$ $\mathbf {r} (t)=(x(t),y(t))$ $f(z)=u(z)+iv(z)$ $\mathbf {F} (x,y)={\overline {f(x+iy)}}=(u(x+iy),-v(x+iy)),$ ${\begin{aligned}\int _{L}f(z)\,dz&=\int _{L}(u+iv)(dx+i\,dy)\\&=\int _{L}(u,-v)\cdot (dx,dy)+i\int _{L}(u,-v)\cdot (dy,-dx)\\&=\int _{L}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} +i\int _{L}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} ^{\perp }.\end{aligned}}$

По теореме Коши , левый интеграл равен нулю, когда является аналитическим (удовлетворяющим уравнениям Коши–Римана ) для любой гладкой замкнутой кривой L. Соответственно, по теореме Грина , правые интегралы равны нулю, когда является безвихревым ( без вихрей ) и несжимаемым ( без дивергенции ). Фактически, уравнения Коши–Римана для идентичны исчезновению вихря и дивергенции для $F$ . $f(z)$ $\mathbf {F} ={\overline {f(z)}}$ $f(z)$

По теореме Грина площадь области, ограниченной гладкой, замкнутой, положительно ориентированной кривой, определяется интегралом Этот факт используется, например, при доказательстве теоремы о площадях . $L$ ${\textstyle {\frac {1}{2i}}\int _{L}{\overline {z}}\,dz.}$

Квантовая механика

Формулировка интеграла по траектории квантовой механики на самом деле относится не к интегралам по траектории в этом смысле, а к функциональным интегралам , то есть интегралам по пространству траекторий, функции возможного пути. Однако интегралы по траектории в смысле этой статьи важны в квантовой механике; например, комплексное контурное интегрирование часто используется при оценке амплитуд вероятности в квантовой теории рассеяния .

Смотрите также

Ссылки

^ Kwong-Tin Tang (30 ноября 2006 г.). Математические методы для инженеров и ученых 2: Векторный анализ, обыкновенные дифференциальные уравнения и преобразования Лапласа. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-30268-1.
^ ab Nykamp, Duane. «Линейные интегралы независимы от параметризации». Math Insight . Получено 18 сентября 2020 г.
^ "16.2 Линейные интегралы". www.whitman.edu . Получено 18.09.2020 .
^ Альфорс, Ларс (1966). Комплексный анализ (2-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. стр. 103.

Внешние ссылки

«Интеграл по траекториям», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Модули Академии Хана :
- «Введение в линейный интеграл»
- «Пример линейного интеграла 1»
- «Пример линейного интеграла 2 (часть 1)»
- «Пример линейного интеграла 2 (часть 2)»
Интеграл по траектории в PlanetMath .
Линейный интеграл векторного поля – Интерактивный