Квази-изометрия

Функция между двумя метрическими пространствами, которая учитывает только их крупномасштабную геометрию.

В математике квазиизометрия — это функция между двумя метрическими пространствами , которая учитывает крупномасштабную геометрию этих пространств и игнорирует их мелкомасштабные детали. Два метрических пространства называются квазиизометрическими, если между ними существует квазиизометрия. Свойство квазиизометричности ведет себя как отношение эквивалентности в классе метрических пространств.

Понятие квазиизометрии особенно важно в геометрической теории групп , вслед за работами Громова . ^[1]

Эта решетка квазиизометрична плоскости.

Определение

Предположим, что это (не обязательно непрерывная) функция из одного метрического пространства во второе метрическое пространство . Тогда называется квазиизометрией от до , если существуют константы , , и такие, что выполняются следующие два свойства: ^[2] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$ ${\displaystyle A\geq 1}$ ${\displaystyle B\geq 0}$ ${\displaystyle C\geq 0}$

1. Для каждых двух точек и в расстояние между их изображениями составляет аддитивную константу в пределах коэффициента их исходного расстояния. Более формально: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

   ${\displaystyle \forall x,y\in M_{1}:{\frac {1}{A}}\;d_{1}(x,y)-B\leq d_{2}(f(x),f(y))\leq A\;d_{1}(x,y)+B.}$

2. Каждая точка находится на постоянном расстоянии от точки изображения. Более формально: ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle C}$

   ${\displaystyle \forall z\in M_{2}:\exists x\in M_{1}:d_{2}(z,f(x))\leq C.}$

Два метрических пространства и называются квазиизометрическими , если существует квазиизометрия от до . ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$

Отображение называется квазиизометрическим вложением, если оно удовлетворяет первому условию, но не обязательно второму (т. е. оно грубо липшицево , но может не быть грубо сюръективным). Другими словами, если через отображение, квазиизометрично подпространству . ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$

Два метрических пространства M ₁ и M ₂ называются квазиизометрическими , обозначаются , если существует квазиизометрия . ${\displaystyle M_{1}{\underset {q.i.}{\sim }}M_{2}}$ ${\displaystyle f:M_{1}\to M_{2}}$

Примеры

Карта между евклидовой плоскостью и плоскостью с манхэттенским расстоянием , которая отправляет каждую точку сама в себя, представляет собой квазиизометрию: в ней расстояния умножаются не более чем на коэффициент . Обратите внимание, что изометрии быть не может, так как, например, на манхэттенском расстоянии точки находятся на равном расстоянии друг от друга, а в евклидовой плоскости нет 4 точек, находящихся на равном расстоянии друг от друга. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle (1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)}$

Карта (обе с евклидовой метрикой ), которая отправляет каждый кортеж целых чисел в себя, является квазиизометрией: расстояния сохраняются точно, и каждый реальный кортеж находится на расстоянии от целочисленного кортежа. С другой стороны, разрывная функция, которая округляет каждый кортеж действительных чисел до ближайшего целого кортежа, также является квазиизометрией: каждая точка переносится этой картой в точку, находящуюся на расстоянии от нее, поэтому округление изменяет расстояние между парами чисел. очков, добавляя или вычитая максимум . ${\displaystyle f:\mathbb {Z} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\sqrt {n/4}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {n/4}}}$ ${\displaystyle 2{\sqrt {n/4}}}$

Любая пара конечных или ограниченных метрических пространств квазиизометрична. В этом случае каждая функция из одного пространства в другое является квазиизометрией.

Отношение эквивалентности

Если есть квазиизометрия, то существует квазиизометрия . В самом деле, может быть определено, если позволить быть любой точкой изображения, находящейся на расстоянии от , и позволить быть любой точкой в ​​. ${\displaystyle f:M_{1}\mapsto M_{2}}$ ${\displaystyle g:M_{2}\mapsto M_{1}}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$

Поскольку тождественное отображение является квазиизометрией, а композиция двух квазиизометрий является квазиизометрией, отсюда следует, что свойство квазиизометричности ведет себя как отношение эквивалентности на классе метрических пространств.

Использование в геометрической теории групп

Учитывая конечный порождающий набор S конечно порожденной группы G , мы можем сформировать соответствующий граф Кэли S и G. Этот граф становится метрическим пространством, если мы объявим длину каждого ребра равной 1. Выбор другого конечного порождающего набора T приводит к получению другого графа и другого метрического пространства, однако эти два пространства являются квазиизометрическими. ^[3] Таким образом, этот класс квазиизометрии является инвариантом группы G . Любое свойство метрических пространств, которое зависит только от класса квазиизометрии пространства, немедленно дает другой инвариант групп, открывая область теории групп для геометрических методов.

В более общем смысле, лемма Шварца–Милнора утверждает, что если группа G действует правильно разрывно с компактным фактором на собственном геодезическом пространстве X , то G квазиизометрична X (это означает, что любой граф Кэли для G таков). Это дает новые примеры групп, квазиизометричных друг другу:

• Если G' — подгруппа конечного индекса в G , то G' квазиизометрична G ;
• Если G и H — фундаментальные группы двух компактных гиперболических многообразий одной и той же размерности d , то они оба квазиизометричны гиперболическому пространству H ^d и, следовательно, друг другу; с другой стороны, существует бесконечно много классов квазиизометрий фундаментальных групп конечного объема. ^[4]

Квазигеодезика и лемма Морса

Квазигеодезическая в метрическом пространстве — это квазиизометрическое вложение в . Точнее, такое отображение , что существует такое, что ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \phi :\mathbb {R} \to X}$ ${\displaystyle C,K>0}$

${\displaystyle \forall s,t\in \mathbb {R} :C^{-1}|s-t|-K\leq d(\phi (t),\phi (s))\leq C|s-t|+K}$

называется -квазигеодезической . Очевидно, что геодезические (параметризованные длиной дуги) являются квазигеодезическими. Тот факт, что в некоторых пространствах в общих чертах верно обратное, т. е. каждая квазигеодезическая остается на ограниченном расстоянии от истинной геодезической, называется леммой Морса ( не путать с леммой Морса в дифференциальной топологии). Формально заявление таково: ${\displaystyle (C,K)}$

Пусть и собственное δ-гиперболическое пространство . Существует такое, что для любой -квазигеодезической существует геодезическая в такая, что для всех . ${\displaystyle \delta ,C,K>0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (C,K)}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d(\phi (t),L)\leq M}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

Это важный инструмент в геометрической теории групп. Непосредственное применение состоит в том, что любая квазиизометрия между собственными гиперболическими пространствами индуцирует гомеоморфизм между их границами. Этот результат является первым шагом в доказательстве теоремы Мостоу о жесткости .

Кроме того, этот результат нашел применение при анализе дизайна взаимодействия с пользователем в приложениях, подобных Google Maps . ^[5]

Примеры квазиизометрических инвариантов групп

Ниже приведены некоторые примеры свойств групповых графов Кэли, инвариантных относительно квазиизометрии: ^[2]

Гиперболичность

Группа называется гиперболической, если один из ее графов Кэли является δ-гиперболическим пространством для некоторого δ. При переводе между различными определениями гиперболичности конкретное значение δ может измениться, но полученные понятия гиперболической группы оказываются эквивалентными.

Гиперболические группы имеют разрешимую проблему слов . Они биавтоматичны и автоматически .: ^[6] действительно, они сильно геодезически автоматические , то есть на группе существует автоматическая структура, где языком, принимаемым акцептором слова, является множество всех геодезических слов.

Рост

Скорость роста группы по отношению к симметричному порождающему набору описывает размер шаров в группе. Каждый элемент в группе можно записать как произведение образующих, а скорость роста подсчитывает количество элементов, которые можно записать как произведение длины n .

Согласно теореме Громова , группа полиномиального роста практически нильпотентна , т. е. имеет нильпотентную подгруппу конечного индекса . В частности, порядок роста полинома должен быть натуральным числом и фактически . ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle \#(n)\sim n^{k_{0}}}$

Если G растет медленнее, чем любая экспоненциальная функция, G имеет субэкспоненциальную скорость роста . Любая такая группа является приемлемой . ${\displaystyle \#(n)}$

Заканчивается

Концы топологического пространства — это, грубо говоря, компоненты связности «идеальной границы» пространства. То есть каждый конец представляет собой топологически отличный способ перемещения в бесконечность внутри пространства. Добавление точки на каждом конце приводит к компактификации исходного пространства, известной как конечная компактификация .

Концы конечно порожденной группы определяются как концы соответствующего графа Кэли ; это определение не зависит от выбора конечного порождающего набора. Каждая конечно порожденная бесконечная группа имеет либо 0, 1, 2, либо бесконечно много концов, а теорема Столлингса о концах групп обеспечивает разложение для групп с более чем одним концом.

Если два связных локально конечных графа квазиизометричны, то они имеют одинаковое число концов. ^[7] В частности, две квазиизометрические конечно порожденные группы имеют одинаковое число концов.

Податливость

Аменабельная группа — это локально компактная топологическая группа G , выполняющая своего рода операцию усреднения над ограниченными функциями, инвариантную относительно переноса на элементы группы. Первоначальное определение в терминах конечно-аддитивной инвариантной меры (или среднего) на подмножествах G было введено Джоном фон Нейманом в 1929 году под немецким названием «messbar» («измеримый» на английском языке) в ответ на правило Банаха-Тарского. парадокс . В 1949 году Махлон М. Дэй ввел английский перевод «поддающийся», очевидно, как каламбур. ^[8]

В дискретной теории групп , где G имеет дискретную топологию , используется более простое определение. В этом случае группа является управляемой, если можно сказать, какую долю G занимает то или иное данное подмножество.

Если группа имеет последовательность Фёльнера , то она автоматически поддается управлению.

Асимптотический конус

Ультрапредел — это геометрическая конструкция, которая ставит в соответствие последовательности метрических пространств X _n предельное метрическое пространство. Важным классом ультрапределов являются так называемые асимптотические конусы метрических пространств. Пусть ( X , d ) — метрическое пространство, пусть ω — неглавный ультрафильтр и пусть p _n  ∈  X — последовательность базовых точек. Тогда ω –ультрапредел последовательности называется асимптотическим конусом X относительно ω и обозначается . Часто последовательность базовых точек считают постоянной, pn ₌ p для некоторого p ∈ X ; в этом случае асимптотический конус не зависит от выбора p ∈ X и обозначается просто . ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (X,{\frac {d}{n}},p_{n})}$ ${\displaystyle (p_{n})_{n}\,}$ ${\displaystyle Cone_{\omega }(X,d,(p_{n})_{n})\,}$ ${\displaystyle Cone_{\omega }(X,d)\,}$ ${\displaystyle Cone_{\omega }(X)\,}$

Понятие асимптотического конуса играет важную роль в геометрической теории групп , поскольку асимптотические конусы (или, точнее, их топологические типы и билипшицевы типы ) обеспечивают инварианты квазиизометрии метрических пространств вообще и конечно порожденных групп в частности. ^[9] Асимптотические конусы также оказываются полезным инструментом при изучении относительно гиперболических групп и их обобщений. ^[10]

Смотрите также

• Изометрия
• Грубая структура

Рекомендации

1. Бридсон, Мартин Р. (2008), «Геометрическая и комбинаторная теория групп», в Гауэрс, Тимоти ; Барроу-Грин, июнь; Лидер, Имре (ред.), Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, стр. 431–448, ISBN. 978-0-691-11880-2
2. П. де ла Арп, Темы геометрической теории групп . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета, Чикаго, Иллинойс, 2000. ISBN 0-226-31719-6. 
3. Р.Б. Шер и Р.Дж. Даверман (2002), Справочник по геометрической топологии , Северная Голландия. ISBN 0-444-82432-4 . 
4. Шварц, Ричард (1995). «Квазиизометрическая классификация решеток первого ранга». IHÉ.S. Публикации Математические . 82 : 133–168. дои : 10.1007/BF02698639. S2CID  67824718.
5. Барышников, Юлий; Грист, Роберт (08 мая 2023 г.). «Навигация по отрицательной кривизне Карт Google». Математический интеллект . doi : 10.1007/s00283-023-10270-w. ISSN  0343-6993.
6. Чарни, Рут (1992), «Группы Артина конечного типа биавтоматичны», Mathematische Annalen , 292 : 671–683, doi : 10.1007/BF01444642, S2CID  120654588
7. Стивен Г. Брик (1993). «Квазиизометрии и концы групп». Журнал чистой и прикладной алгебры . 86 (1): 23–33. дои : 10.1016/0022-4049(93)90150-Р.
8. Первое опубликованное использование этого слова Дэем находится в его реферате к летнему собранию AMS в 1949 году «Средства по полугруппам и группам», Bull. AMS 55 (1949) 1054–1055. Многие учебники по аменабельности, такие как Фолькер Рунде, предполагают, что Дэй выбрал это слово в качестве каламбура.
9. Джон Роу. Лекции по грубой геометрии. Американское математическое общество , 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2 . 
10. Корнелия Друцу и Марк Сапир (с приложением Дениса Осина и Марка Сапира ), Древовидные пространства и асимптотические конусы групп. Топология , Том 44 (2005), вып. 5, стр. 959–1058.