Конечно-генерируемая группа

Группа диэдра 8-го порядка требует двух генераторов, как показано на этой диаграмме цикла .

В алгебре конечно порожденная группа — это группа G , имеющая некоторое конечное порождающее множество S , так что каждый элемент G может быть записан как комбинация (с помощью групповой операции) конечного числа элементов S и обратных к таким элементам. ^[1]

По определению, каждая конечная группа конечно порождена, поскольку S можно взять за саму G. Каждая бесконечная конечно порожденная группа должна быть счетной, но счетные группы не обязаны быть конечно порожденными. Аддитивная группа рациональных чисел Q является примером счетной группы, которая не является конечно порожденной.

Примеры

• Каждый фактор конечно порождённой группы G конечно порождён; факторгруппа порождается образами образующих группы G при канонической проекции .
• Группа, которая порождается одним элементом, называется циклической . Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна аддитивной группе целых чисел Z.
  • Локально циклическая группа — это группа, в которой каждая конечно порождённая подгруппа является циклической.
• Свободная группа на конечном множестве конечно порождается элементами этого множества ( §Примеры ).
• Тем более , каждая конечно представленная группа ( §Примеры ) конечно порождена.

Конечно-порожденные абелевы группы

Шесть комплексных корней шестой степени из единицы образуют циклическую группу при умножении.

Каждая абелева группа может рассматриваться как модуль над кольцом целых чисел Z , а в конечно порожденной абелевой группе с образующими x ₁ , ..., x _n каждый элемент группы x может быть записан как линейная комбинация этих образующих,

Икс знак равно α ₁ ⋅ х ₁ + α ₂ ⋅ х ₂ + ... + α _п ⋅ х _п

с целыми числами α ₁ , ..., α _n .

Подгруппы конечно порождённой абелевой группы сами конечно порождёны.

Основная теорема о конечно порождённых абелевых группах утверждает, что конечно порождённая абелева группа является прямой суммой свободной абелевой группы конечного ранга и конечной абелевой группы, каждая из которых единственна с точностью до изоморфизма.

Подгруппы

Подгруппа конечно порождённой группы не обязана быть конечно порождённой. Коммутант свободной группы с двумя образующими является примером подгруппы конечно порождённой группы, которая не является конечно порождённой. ${\displaystyle F_{2}}$

С другой стороны, все подгруппы конечно порождённой абелевой группы конечно порождёны.

Подгруппа конечного индекса в конечно порожденной группе всегда конечно порождена, а формула индекса Шрайера дает ограничение на количество требуемых генераторов. ^[2]

В 1954 году Альберт Г. Хаусон показал, что пересечение двух конечно порождённых подгрупп свободной группы снова конечно порождённо. Более того, если и являются числами генераторов двух конечно порождённых подгрупп, то их пересечение порождается не более чем генераторами. ^[3] Эта верхняя граница была затем значительно улучшена Ханной Нойман до ; см. гипотезу Ханны Нойман . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2mn-m-n+1}$ ${\displaystyle 2(m-1)(n-1)+1}$

Решетка подгрупп группы удовлетворяет условию возрастающей цепи тогда и только тогда, когда все подгруппы группы конечно порождены. Группа, все ее подгруппы которой конечно порождены, называется нётеровой .

Группа, в которой каждая конечно порождённая подгруппа конечна, называется локально конечной . Каждая локально конечная группа является периодической , т. е. каждый элемент имеет конечный порядок . Обратно , каждая периодическая абелева группа является локально конечной. ^[4]

Приложения

Геометрическая теория групп изучает связи между алгебраическими свойствами конечно порождённых групп и топологическими и геометрическими свойствами пространств , на которых действуют эти группы .

Связанные понятия

Проблема слов для конечно порожденной группы — это проблема принятия решения о том, представляют ли два слова в генераторах группы один и тот же элемент. Проблема слов для данной конечно порожденной группы разрешима тогда и только тогда, когда группа может быть вложена в каждую алгебраически замкнутую группу .

Ранг группы часто определяется как наименьшая мощность порождающего множества для группы. По определению, ранг конечно порожденной группы конечен.

Смотрите также

• Конечно-генерируемый модуль
• Представление группы

Примечания

1. Грегорак, Роберт Дж. (1967). «Заметка о конечно порожденных группах». Труды Американского математического общества . 18 (4): 756–758. doi : 10.1090/S0002-9939-1967-0215904-3 .
2. Роуз (2012), стр. 55.
3. Хаусон, Альберт Г. (1954). «О пересечении конечно порожденных свободных групп». Журнал Лондонского математического общества . 29 (4): 428–434. doi :10.1112/jlms/s1-29.4.428. MR  0065557.
4. Роуз (2012), стр. 75.

Ссылки

• Роуз, Джон С. (2012) [несокращенное и неизмененное переиздание работы, впервые опубликованной Cambridge University Press, Кембридж, Англия, в 1978 году]. Курс по теории групп . Dover Publications. ISBN 978-0-486-68194-8.