Теорема Столлингса о концах групп

В математическом предмете теории групп теорема Столлингса о концах групп утверждает, что конечно порождённая группа имеет более одного конца тогда и только тогда, когда группа допускает нетривиальное разложение в виде амальгамированного свободного произведения или расширения HNN над конечной подгруппой . На современном языке теории Басса–Серра теорема гласит, что конечно порождённая группа имеет более одного конца тогда и только тогда, когда допускает нетривиальное (то есть без глобальной неподвижной точки) действие на симплициальном дереве с конечными стабилизаторами рёбер и без инверсий рёбер. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Теорема была доказана Джоном Р. Столлингсом сначала в случае отсутствия кручения (1968) ^[1] , а затем в общем случае (1971). ^[2]

Концы графиков

Пусть — связный граф, в котором степень каждой вершины конечна. Можно рассматривать как топологическое пространство , придав ему естественную структуру одномерного клеточного комплекса . Тогда концы являются концами этого топологического пространства. Более явное определение числа концов графа представлено ниже для полноты. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Пусть будет неотрицательным целым числом. Говорят, что граф удовлетворяет , если для каждого конечного набора ребер графа имеется не более бесконечных связных компонент . По определению, если и если для каждого утверждение ложно. Таким образом , если — наименьшее неотрицательное целое число такое, что . Если не существует целого числа такого, что , положите . Число называется числом концов . ${\displaystyle n\geqslant 0}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle e(\Gamma )\leqslant n}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma -F}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e(\Gamma )=m}$ ${\displaystyle e(\Gamma )\leqslant m}$ ${\displaystyle 0\leqslant n<m}$ ${\displaystyle e(\Gamma )\leqslant n}$ ${\displaystyle e(\Gamma )=m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e(\Gamma )\leqslant n}$ ${\displaystyle n\geqslant 0}$ ${\displaystyle e(\Gamma )\leqslant n}$ ${\displaystyle e(\Gamma )=\infty }$ ${\displaystyle e(\Gamma )}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Неформально, — это число «связных компонент на бесконечности» из . Если , то для любого конечного набора ребер из существует конечный набор ребер из с таким, что имеет ровно бесконечные связные компоненты. Если , то для любого конечного набора ребер из и для любого целого числа существует конечный набор ребер из с таким, что имеет по крайней мере бесконечные связные компоненты. ${\displaystyle e(\Gamma )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle e(\Gamma )=m<\infty }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle F\subseteq K}$ ${\displaystyle \Gamma -F}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle e(\Gamma )=\infty }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle n\geqslant 0}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle F\subseteq K}$ ${\displaystyle \Gamma -K}$ ${\displaystyle n}$

Концы групп

Пусть будет конечно порожденной группой . Пусть будет конечным порождающим множеством и пусть будет графом Кэли относительно . Число концов определяется как . Основной факт в теории концов групп гласит, что не зависит от выбора конечного порождающего множества , так что это корректно определено. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S\subseteq G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma (G,S)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e(G)=e(\Gamma (G,S))}$ ${\displaystyle e(\Gamma (G,S))}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e(G)}$

Основные факты и примеры

• Для конечно порождённой группы имеем тогда и только тогда, когда является конечной. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e(G)=0}$ ${\displaystyle G}$
• Для бесконечной циклической группы имеем ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle e(\mathbb {Z} )=2.}$
• Для свободной абелевой группы ранга два имеем ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle e(\mathbb {Z} ^{2})=1.}$
• Для бесплатной группы , где у нас есть . ${\displaystyle F(X)}$ ${\displaystyle 1<|X|<\infty }$ ${\displaystyle e(F(X))=\infty }$

Теоремы Фрейденталя-Хопфа

Ганс Фройденталь ^[3] и независимо Хайнц Хопф ^[4] установили в 1940-х годах следующие два факта:

• Для любой конечно порождённой группы имеем . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e(G)\in \{0,1,2,\infty \}}$
• Для любой конечно порождённой группы имеем тогда и только тогда, когда является виртуально бесконечной циклической (то есть содержит бесконечную циклическую подгруппу конечного индекса ). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e(G)=2}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Чарльз Т.К. Уолл доказал в 1967 году следующий дополнительный факт: ^[5]

• Группа является виртуально бесконечной циклической тогда и только тогда, когда она имеет конечную нормальную подгруппу, которая является либо бесконечной циклической, либо бесконечной диэдральной . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle G/W}$

Разрезы и почти инвариантные множества

Пусть будет конечно порожденной группой , будет конечным порождающим множеством и пусть будет графом Кэли относительно . Для подмножества обозначим через дополнение к в . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S\subseteq G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma =\Gamma (G,S)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A\subseteq G}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle G-A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$

Для подмножества граница ребра или кограница состоит из всех (топологических) ребер, соединяющих вершину из с вершиной из . Обратите внимание, что по определению . ${\displaystyle A\subseteq G}$ ${\displaystyle \delta A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle \delta A=\delta A^{*}}$

Упорядоченная пара называется разрезом в , если является конечной. Разрез называется существенным, если оба множества и являются бесконечными. ${\displaystyle (A,A^{*})}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \delta A}$ ${\displaystyle (A,A^{*})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$

Подмножество называется почти инвариантным, если для любого симметричная разность между и конечна. Легко видеть, что является разрезом тогда и только тогда, когда множества и почти инвариантны (эквивалентно, тогда и только тогда, когда множество почти инвариантно). ${\displaystyle A\subseteq G}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Ag}$ ${\displaystyle (A,A^{*})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$

Разрезы и концы

Простое, но важное наблюдение гласит:

${\displaystyle e(G)>1}$тогда и только тогда, когда существует хотя бы одно существенное сечение в Γ. ${\displaystyle (A,A^{*})}$

Разрезы и расщепления над конечными группами

Если где и — нетривиальные конечно порожденные группы , то граф Кэли для имеет по крайней мере одно существенное сечение и, следовательно , . Действительно, пусть и — конечные порождающие множества для и, соответственно, так что — конечное порождающее множество для и пусть — граф Кэли для относительно . Пусть состоит из тривиального элемента и всех элементов, выражения нормальной формы которых для начинаются с нетривиального элемента из . Таким образом, состоит из всех элементов, выражения нормальной формы которых для начинаются с нетривиального элемента из . Нетрудно видеть, что — существенное сечение в Γ, так что . ${\displaystyle G=H*K}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e(G)>1}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S=X\cup Y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma =\Gamma (G,S)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=H*K}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=H*K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (A,A^{*})}$ ${\displaystyle e(G)>1}$

Более точная версия этого аргумента показывает, что для конечно порожденной группы : ${\displaystyle G}$

• Если — свободное произведение с объединением, где — конечная группа такая, что и тогда и конечно порождены и . ${\displaystyle G=H*_{C}K}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C\neq H}$ ${\displaystyle C\neq K}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle e(G)>1}$
• Если — HNN-расширение , где , — изоморфные конечные подгруппы , то — конечно порожденная группа и . ${\displaystyle G=\langle H,t|t^{-1}C_{1}t=C_{2}\rangle }$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e(G)>1}$

Теорема Столлингса показывает, что обратное также верно.

Формальная формулировка теоремы Столлингса

Пусть — конечно порождённая группа . ${\displaystyle G}$

Тогда тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий: ${\displaystyle e(G)>1}$

• Группа допускает расщепление как свободное произведение с объединением, где — конечная группа такая, что и . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=H*_{C}K}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C\neq H}$ ${\displaystyle C\neq K}$
• Группа является расширением HNN , где и , являются изоморфными конечными подгруппами . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=\langle H,t|t^{-1}C_{1}t=C_{2}\rangle }$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle H}$

На языке теории Басса–Серра этот результат можно переформулировать следующим образом: для конечно порождённой группы имеем тогда и только тогда, когда допускает нетривиальное (то есть без глобальной фиксированной вершины) действие на симплициальном дереве с конечными стабилизаторами рёбер и без инверсий рёбер. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e(G)>1}$ ${\displaystyle G}$

Для случая, когда — конечно порождённая группа без кручения , теорема Столлингса подразумевает, что тогда и только тогда, когда допускает собственное разложение свободного произведения, причём и нетривиальны. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e(G)=\infty }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=A*B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Приложения и обобщения

• Среди непосредственных приложений теоремы Столлингса было доказательство Столлингсом ^[6] давней гипотезы о том, что каждая конечно порождённая группа когомологической размерности один свободна и что каждая свободная от кручения виртуально свободная группа свободна.
• Теорема Столлингса также подразумевает, что свойство иметь нетривиальное расщепление над конечной подгруппой является квазиизометрическим инвариантом конечно порожденной группы, поскольку легко видеть, что число концов конечно порожденной группы является квазиизометрическим инвариантом. По этой причине теорема Столлингса считается одним из первых результатов в геометрической теории групп .
• Теорема Столлингса была отправной точкой для теории доступности Данвуди . Конечно-порожденная группа называется доступной, если процесс итерированного нетривиального расщепления конечных подгрупп всегда заканчивается за конечное число шагов. В терминах теории Басса–Серра , что количество ребер в сокращенном расщеплении как фундаментальной группы графа групп с конечными группами ребер ограничено некоторой константой, зависящей от . Данвуди доказал ^[7] , что каждая конечно-представимая группа достижима, но что существуют конечно-порожденные группы , которые недоступны. ^[8] Линнелл ^[9] показал, что если ограничить размер конечных подгрупп, по которым производятся расщепления, то каждая конечно-порожденная группа также достижима в этом смысле. Эти результаты, в свою очередь, привели к появлению других версий доступности, таких как доступность Бествины -Фейна ^[10] конечно представленных групп (где рассматриваются так называемые «малые» разбиения), ациллиндрическая доступность ^{[11] [12]} сильная доступность ^[13] и другие. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$
• Теорема Столлингса является ключевым инструментом в доказательстве того, что конечно порожденная группа является виртуально свободной тогда и только тогда, когда ее можно представить как фундаментальную группу конечного графа групп , где все группы вершин и ребер конечны (см., например, ^[14] ). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$
• Используя результат Данвуди о доступности, теорему Столлингса о концах групп и тот факт, что если — конечно определенная группа с асимптотической размерностью 1, то является практически свободной ^[15], можно показать ^[16] , что для конечно определенная гиперболическая группа гиперболическая граница имеет топологическую размерность ноль тогда и только тогда, когда является практически свободной. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$
• Также рассматривались относительные версии теоремы Столлингса и относительные концы конечно порожденных групп относительно подгрупп. Для подгруппы конечно порожденной группы определяется число относительных концов как число концов относительного графа Кэли (графа смежных классов Шрейера ) относительно . Случай, когда называется полурасщеплением над . Ранние работы по полурасщеплениям, вдохновленные теоремой Столлингса, были выполнены в 1970-х и 1980-х годах Скоттом, ^[17], Сварупом, ^[18] и другими. ^{[19] [20]} Работа Сагеева ^[21] и Герасимова ^[22] в 1990-х годах показала, что для подгруппы условие соответствует группе, допускающей существенное изометрическое действие на CAT(0)-кубировании , где подгруппа, соизмеримая с , стабилизирует существенную «гиперплоскость» (симплициальное дерево является примером CAT(0)-кубирования, где гиперплоскости являются серединами ребер). В определенных ситуациях такое полурасщепление может быть повышено до фактического алгебраического расщепления, обычно над подгруппой, соизмеримой с , например, для случая, когда является конечным (теорема Столлингса). Другая ситуация, когда фактическое расщепление может быть получено (по модулю нескольких исключений), — это полурасщепления над виртуально полициклическими подгруппами. Здесь случай полурасщеплений гиперболических групп над двуконечными (практически бесконечными циклическими) подгруппами был рассмотрен Скоттом-Сварупом ^[23] и Боудичем . ^[24] Случай полурасщеплений конечно порожденных групп относительно практически полициклических подгрупп рассматривается в алгебраической теореме о торе Данвуди-Свенсона. ^[25] ${\displaystyle H\leqslant G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e(G,H)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle e(G,H)>1}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\leqslant G}$ ${\displaystyle e(G,H)>1}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$

• Ряд новых доказательств теоремы Столлингса были получены другими после первоначального доказательства Столлингса. Данвуди дал доказательство ^[26], основанное на идеях рёберных разрезов. Позднее Данвуди также дал доказательство теоремы Столлингса для конечно представленных групп, используя метод «треков» на конечных 2-комплексах. ^[7] Нибло получил доказательство ^[27] теоремы Столлингса как следствие относительной версии CAT(0)-кубирования Сагеева, где CAT(0)-кубирование в конечном итоге повышается до дерева. Статья Нибло также определяет абстрактное теоретико-групповое препятствие (которое является объединением двойных смежных классов в ) для получения фактического расщепления из полурасщепления. Также возможно доказать теорему Столлингса для конечно представленных групп , используя методы римановой геометрии минимальных поверхностей , где сначала конечно представленная группа реализуется как фундаментальная группа компактного -многообразия (см., например, набросок этого аргумента в обзорной статье Уолла [ ^28] ). Громов изложил доказательство (см. стр. 228–230 в ^[16] ), где аргумент минимальных поверхностей заменяется более простым аргументом гармонического анализа, и этот подход был развит Каповичем дальше, чтобы охватить исходный случай конечно порожденных групп. ^{[15] [29]} ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 4}$

Смотрите также

• Бесплатный продукт при объединении
• расширение HNN
• Теория Басса–Серра
• График групп
• Геометрическая теория групп

Примечания

1. Джон Р. Столлингс. О группах без кручения с бесконечным числом концов. Annals of Mathematics (2), т. 88 (1968), стр. 312–334
2. Джон Столлингс. Теория групп и трехмерные многообразия. Лекция Джеймса К. Уиттемора по математике, прочитанная в Йельском университете, 1969. Yale Mathematical Monographs, 4. Yale University Press, Нью-Хейвен, Коннектикут-Лондон, 1971.
3. Х. Фрейденталь. Über die Enden Discreter Räume und Gruppen. Комментарий. Математика. Хелв. 17 (1945). 1-38.
4. Х. Хопф. Enden offener Räume und unendliche discontinuierliche Gruppen. Комментарий. Математика. Хелв. 16 (1944). 81-100
5. Лемма 4.1 в CTC Wall, Комплексы Пуанкаре: I. Анналы математики, Вторая серия, т. 86, № 2 (сентябрь 1967 г.), стр. 213-245
6. Джон Р. Столлингс. Группы размерности 1 локально свободны. Бюллетень Американского математического общества, т. 74 (1968), стр. 361–364
7. MJ Dunwoody. Доступность конечно представленных групп. Inventiones Mathematicae , т. 81 (1985), № 3, стр. 449-457
8. MJ Dunwoody. Недоступная группа . Геометрическая теория групп, т. 1 (Сассекс, 1991), стр. 75–78, London Mathematical Society Lecture Note Series, т. 181, Cambridge University Press, Кембридж, 1993; ISBN  0-521-43529-3
9. Линнелл, П. А. (1983). «О доступности групп». Журнал чистой и прикладной алгебры . 30 (1): 39–46. doi : 10.1016/0022-4049(83)90037-3 . MR  0716233.
10. М. Бествина и М. Фейн. Ограничение сложности действий симплициальной группы на деревьях. Inventiones Mathematicae , т. 103 (1991), № 3, стр. 449–469
11. З. Села. Цилиндрическая доступность для групп. Inventiones Mathematicae , том. 129 (1997), вып. 3, стр. 527–565.
12. Т. Дельзант. Sur l'accessabilité Cylindrique des Groupes de Presentation Finie. Архивировано 5 июня 2011 г. в Университете Wayback Machine в Гренобле. Анналы Института Фурье, том. 49 (1999), вып. 4, стр. 1215–1224.
13. Дельзант, Томас; Потягайло, Леонид (2001). «Иерархия доступа к группам финансовых презентаций». Топология . 40 (3): 617–629. дои : 10.1016/S0040-9383(99)00078-6 . МР  1838998.
14. Х. Басс. Теория покрытия графов групп. Журнал чистой и прикладной алгебры, т. 89 (1993), № 1-2, стр. 3–47
15. Gentimis Thanos, Асимптотическая размерность конечно представленных групп, http://www.ams.org/journals/proc/2008-136-12/S0002-9939-08-08973-9/home.html
16. М. Громов, Гиперболические группы, в "Очерки теории групп" (ред. GM Gersten), MSRI Publ. 8, 1987, стр. 75-263
17. Скотт, Питер (1977–1978). «Концы пар групп». Журнал чистой и прикладной алгебры . 11 (1–3): 179–198. doi :10.1016/0022-4049(77)90051-2. MR  0487104.
18. Сваруп, Г. Ананда (1977–1978). «Относительная версия теоремы Столлингса». Журнал чистой и прикладной алгебры . 11 (1–3): 75–82. doi : 10.1016/0022-4049(77)90042-1 . MR  0466326.
19. Х. Мюллер. Теоремы о разложении групповых пар. Mathematische Zeitschrift, vol. 176 (1981), вып. 2, стр. 223–246.
20. Kropholler, PH; Roller, MA (1989). «Относительные концы и группы двойственности». Журнал чистой и прикладной алгебры . 61 (2): 197–210. doi :10.1016/0022-4049(89)90014-5. MR  1025923.
21. Михах Сагеев. Концы групповых пар и неположительно искривленные кубические комплексы. Труды Лондонского математического общества (3), т. 71 (1995), № 3, стр. 585–617
22. В. Н. Герасимов. Полурасщепления групп и действия на кубизациях. Алгебра, геометрия, анализ и математическая физика (Новосибирск, 1996), с. 91–109, 190, Изд-во СО РАН, Новосибирск, 1997
23. GP Scott и GA Swarup. Теорема об алгебраическом кольце. Архивировано 2007-07-15 в Wayback Machine Pacific Journal of Mathematics, т. 196 (2000), № 2, стр. 461–506
24. BH Bowditch. Точки разреза и канонические разбиения гиперболических групп. Acta Mathematica , т. 180 (1998), № 2, стр. 145–186
25. М. Дж. Данвуди и Э. Л. Свенсон. Алгебраическая теорема о торе. Inventiones Mathematicae , том. 140 (2000), вып. 3, стр. 605–637.
26. М. Дж. Данвуди. Нарезка графов. Combinatorica, т. 2 (1982), № 1, стр. 15–23.
27. Грэм А. Нибло. Геометрическое доказательство теоремы Столлингса о группах с более чем одним концом. Geometriae Dedicata , т. 105 (2004), стр. 61–76
28. CTC Wall. Геометрия абстрактных групп и их расщепления. Revista Matemática Complutense т. 16 (2003), № 1, стр. 5–101
29. М. Капович. Энергия гармонических функций и доказательство Громовым теоремы Столлингса, препринт, 2007, arXiv:0707.4231