Граница Громова

Граф Кэли свободной группы с двумя образующими. Это гиперболическая группа , граница Громова которой является канторовым множеством . Гиперболические группы и их границы — важные темы геометрической теории групп , как и графы Кэли.

(6,4,2) треугольное гиперболическое замощение. Группа треугольников , соответствующая этому разбиению, имеет круг в качестве границы Громова.

В математике граница Громова δ -гиперболического пространства (особенно гиперболической группы ) — абстрактное понятие, обобщающее граничную сферу гиперболического пространства . Концептуально граница Громова — это совокупность всех точек, находящихся на бесконечности . Например, граница Громова действительной прямой — это две точки, соответствующие положительной и отрицательной бесконечности.

Определение

Существует несколько эквивалентных определений границы Громова геодезического и собственного δ-гиперболического пространства. Один из наиболее распространенных использует классы эквивалентности геодезических лучей. ^[1]

Выберите некоторую точку гиперболического метрического пространства в качестве начала координат. Геодезический луч — это путь, заданный изометрией, такой, что каждый сегмент представляет собой путь кратчайшей длины от до . ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \gamma :[0,\infty )\rightarrow X}$ ${\displaystyle \gamma ([0,t])}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \gamma (t)}$

Две геодезические считаются эквивалентными, если существует такая константа, что для всех . Обозначается класс эквивалентности . _ ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle d(\gamma _{1}(t),\gamma _{2}(t))\leq K}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle [\gamma ]}$

Границей Громова геодезического и собственного гиперболического метрического пространства называется множество, являющееся геодезическим лучом в . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \partial X=\{[\gamma ]|\gamma }$ ${\displaystyle X\}}$

Топология

Полезно использовать произведение Громова трех точек. Произведение Громова трех точек метрического пространства равно . В дереве (теория графов) это измеряет, как долго пути от до и остаются вместе, прежде чем разойтись. Поскольку гиперболические пространства имеют древовидную структуру, произведение Громова измеряет, как долго геодезические от до и остаются рядом, прежде чем разойтись. ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle (x,y)_{z}=1/2(d(x,z)+d(y,z)-d(x,y))}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

По заданной точке границы Громова определим множества, в которых существуют геодезические лучи с и . Эти открытые множества составляют основу топологии границы Громова. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V(p,r)=\{q\in \partial X|}$ ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$ ${\displaystyle [\gamma _{1}]=p,[\gamma _{2}]=q}$ ${\displaystyle \lim \inf _{s,t\rightarrow \infty }(\gamma _{1}(s),\gamma _{2}(t))_{O}\geq r\}}$

Эти открытые множества представляют собой просто набор геодезических лучей, которые следуют за одним фиксированным геодезическим лучом на определенное расстояние, прежде чем расходиться. ${\displaystyle r}$

Эта топология превращает границу Громова в компактное метризуемое пространство.

Число концов гиперболической группы — это количество компонент границы Громова.

Громовская граница группы

Граница Громова является инвариантом квазиизометрии ; то есть, если два громовско-гиперболических метрических пространства квазиизометричны, то квазиизометрия между ними индуцирует гомеоморфизм между их границами. ^{[2] [3]} Это важно, потому что гомеоморфизмы компактных пространств гораздо легче понять, чем квазиизометрии пространств.

Эта инвариантность позволяет определить границу Громова гиперболической группы Громова : если это такая группа, ее граница Громова по определению является границей любого собственного геодезического пространства, на котором действует разрывно и кокомпактно (например, его граф Кэли ). Оно четко определяется как топологическое пространство благодаря инвариантности относительно квазиизометрии и лемме Милнора-Шварца . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Примеры

• Громовская граница дерева является канторовым пространством .
• Громовская граница гиперболического n-пространства представляет собой (n-1) -мерную сферу .
• Границей Громова фундаментальной группы компактной гиперболической римановой поверхности является единичная окружность.
• Граница Громова большинства гиперболических групп представляет собой губку Менгера . ^[4]

Вариации

Визуальная граница пространства CAT(0)

Для полного CAT(0)-пространства X визуальная граница X , как и граница Громова δ-гиперболического пространства, состоит из класса эквивалентности асимптотических геодезических лучей. Однако произведение Громова нельзя использовать для определения на нем топологии. Например, в случае плоской плоскости любые два геодезических луча, исходящие из точки, не направленной в противоположные стороны, будут иметь бесконечное произведение Громова относительно этой точки. Вместо этого визуальная граница имеет топологию конуса . Зафиксируйте точку o в X. Любая граничная точка может быть представлена ​​уникальным геодезическим лучом, исходящим из o . Учитывая луч, исходящий из o , и положительные числа t > 0 и r > 0, базис окрестности в граничной точке задается множествами вида ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle [\gamma ]}$

${\displaystyle U(\gamma ,t,r)=\{[\gamma _{1}]\in \partial X|\gamma _{1}(0)=o,d(\gamma _{1}(t),\gamma (t))<r\}.}$

Топология конуса, определенная выше, не зависит от выбора o .

Если X собственное , то визуальная граница с топологией конуса компактна . Когда X является одновременно CAT(0) и собственным геодезическим δ-гиперболическим пространством, топология конуса совпадает с топологией границы Громова. ^[5]

Гипотеза Кэннона

Гипотеза Кэннона касается классификации групп с двумерной сферой на бесконечности:

Гипотеза Кэннона : каждая гиперболическая группа Громова с 2-сферой на бесконечности действует геометрически на гиперболическом 3-пространстве . ^[6]

Известно, что аналог этой гипотезы верен для 1-сфер и ложен для сфер любой размерности больше 2.

Примечания

1. Капович и Бенакли 2002 г.
2. Коорнарт, Дельзант и Пападопулос, 1990 г.
3. де ла Харп и Гис, 1990 г.
4. Шампетье, 1995 г.
5. Бридсон и Хефлигер, 1999 г.
6. Пушка 1994

Рекомендации

• Бридсон, Мартин Р.; Хефлигер, Андре (1999), Метрические пространства неположительной кривизны , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 319, Шпрингер-Верлаг, ISBN 3-540-64324-9, МР  : 1744486
• Кэннон, Джеймс В. (1994), «Комбинаторная теорема Римана об отображении», Acta Mathematica , 173 (2): 155–234, doi : 10.1007/bf02398434
• Шампетье, К. (1995), «Статистские свойства групп представления фини», « Достижения в математике» , 116 : 197–262, doi : 10.1006/aima.1995.1067
• Коорнарт, М.; Дельзант, Т.; Пападопулос, А. (1990), Геометрия и теория групп. Les groupes Hyperboliques de Gromov , Конспекты лекций по математике (на французском языке), том. 1441, Шпрингер-Верлаг, ISBN 3-540-52977-2
• де ла Арп, Пьер; Гис, Этьен (1990), Sur les groupes Hyperboliques d'après Михаил Громов (на французском языке), Birkhäuser
• Громов, М. (1987), «Гиперболические группы», в С. Герстене (ред.), Очерки теории групп , Матем. наук. Рез. Инст. Опубл., т. 1, с. 8, Спрингер, стр. 75–263.
• Капович, Илья; Бенакли, Надя (2002), «Границы гиперболических групп», Комбинаторная и геометрическая теория групп , Современная математика, том. 296, стр. 39–93.
• Роу, Джон (2003), Лекции по грубой геометрии , Серия университетских лекций, том. 31, Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-3332-2