Губка Менгера

Трехмерный фрактал

Иллюстрация M ₄ , губки после четырех итераций процесса конструирования.

В математике губка Менгера ( также известная как куб Менгера , универсальная кривая Менгера , куб Серпинского или губка Серпинского ) ^{[1] [2] [3]} представляет собой фрактальную кривую . Это трехмерное обобщение одномерного множества Кантора и двумерного ковра Серпинского . Впервые оно было описано Карлом Менгером в 1926 году в его исследованиях концепции топологической размерности . ^{[4] [5]}

Строительство

Конструкция губки Менгера может быть описана следующим образом:

1. Начнем с куба.
2. Разделите каждую грань кубика на девять квадратов аналогично кубику Рубика . Это подразделяет куб на 27 меньших кубов.
3. Удалите меньший куб из середины каждой грани и меньший куб из центра более гигантского куба, оставив 20 меньших кубиков. Это губка Менгера 1-го уровня (напоминающая куб пустоты ).
4. Повторите второй и третий шаги для каждого из оставшихся меньших кубов и продолжайте повторять до бесконечности .

Вторая итерация дает губку уровня 2, третья итерация дает губку уровня 3 и так далее. Губка Менгера сама по себе является пределом этого процесса после бесконечного числа итераций.

Иллюстрация итерационного построения губки Менгера до М ₃ , третья итерация

Характеристики

Шестиугольное сечение губки Менгера 4-го уровня. (Часть серии разрезов, перпендикулярных диагонали пространства.)

Третья стадия губки Менгера состоит из кубиков меньшего размера, длина стороны каждого из которых равна (1/3) n . Таким образом , общий объем составляет . Общая площадь поверхности определяется выражением . ^{[6] [7]} Таким образом, объем конструкции приближается к нулю, а площадь ее поверхности неограниченно увеличивается. Тем не менее, любая выбранная поверхность в конструкции будет тщательно проколота по мере продолжения построения, так что предел не будет ни твердым телом, ни поверхностью; он имеет топологическую размерность 1 и соответственно идентифицируется как кривая. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle 20^{n}}$ ${\displaystyle M_{n}}$ ${\textstyle \left({\frac {20}{27}}\right)^{n}}$ ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle 2(20/9)^{n}+4(8/9)^{n}}$

Каждая грань конструкции становится ковром Серпинского , а пересечение губки с любой диагональю куба или любой средней линией граней представляет собой множество Кантора . Поперечное сечение губки через центр тяжести и перпендикулярно диагонали пространства представляет собой правильный шестиугольник, пронизанный гексаграммами , расположенными с шестикратной симметрией. ^[8] Число этих гексаграмм в порядке убывания размера определяется следующим рекуррентным соотношением : , с . ^[9] ${\displaystyle a_{n}=9a_{n-1}-12a_{n-2}}$ ${\displaystyle a_{0}=1,\ a_{1}=6}$

Размерность Хаусдорфа губки равнавойти 20/журнал 3≅ 2,727. Лебеговская размерность покрытия губки Менгера равна единице, как и у любой кривой . В конструкции 1926 года Менгер показал, что губка является универсальной кривой , поскольку каждая кривая гомеоморфна подмножеству губки Менгера, где кривая означает любое компактное метрическое пространство Лебега, покрывающее размерность один; сюда входят деревья и графы с произвольным счетным числом ребер, вершин и замкнутых петель, соединенных произвольными способами. Точно так же ковер Серпинского представляет собой универсальную кривую для всех кривых, которые можно нарисовать на двумерной плоскости. Губка Менгера, построенная в трех измерениях, расширяет эту идею на графики, которые не являются плоскими и могут быть встроены в любое количество измерений.

Губка Менгера представляет собой замкнутый набор ; поскольку он также ограничен, из теоремы Гейне-Бореля следует, что он компактен . Оно имеет меру Лебега 0. Поскольку оно содержит непрерывные пути, оно представляет собой несчетное множество .

Эксперименты также показали, что кубики со структурой, напоминающей губку Менгера, могут рассеивать удары в пять раз лучше из того же материала, чем кубики без пор. ^[10]

Формальное определение

Формально губку Менгера можно определить следующим образом (используя пересечение множеств ):

${\displaystyle M:=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }M_{n}}$

где единичный куб и ${\displaystyle M_{0}}$

${\displaystyle M_{n+1}:=\left\{{\begin{matrix}(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:&{\begin{matrix}\exists i,j,k\in \{0,1,2\}:(3x-i,3y-j,3z-k)\in M_{n}\\{\mbox{and at most one of }}i,j,k{\mbox{ is equal to 1}}\end{matrix}}\end{matrix}}\right\}.}$

МегаМенгер

MegaMenger — это проект, направленный на создание крупнейшей фрактальной модели, впервые предложенный Мэттом Паркером из Лондонского университета Королевы Марии и Лорой Таалман из Университета Джеймса Мэдисона . Каждый маленький кубик состоит из шести сложенных вместе визитных карточек, что дает в общей сложности 960 000 губок четвертого уровня. Затем внешние поверхности покрывают бумажными или картонными панелями с изображением ковра Серпинского, чтобы придать им более эстетичный вид. ^[11] В 2014 году было построено двадцать губок Менгера третьего уровня, которые в совокупности образовали распределенную губку Менгера четвертого уровня. ^[12]

• 
  Один из МегаМенгеров из Университета Бата.
• 
  Модель тетрикса, вид через центр Кембриджского мегаменгера уровня 3 на Кембриджском фестивале науки 2015 года.

Подобные фракталы

Иерусалимский куб

Иерусалимский куб — ​​это фрактальный объект, впервые описанный Эриком Бэрдом в 2011 году. Он создается путем рекурсивного сверления в кубе отверстий в форме греческого креста . ^{[13] [14]} Конструкция аналогична губке Менгера, но состоит из двух кубиков разного размера. Название происходит от грани куба, напоминающей узор иерусалимского креста . ^[15]

Постройку иерусалимского куба можно описать следующим образом:

1. Начните с куба.
2. Разрежьте каждую сторону куба крестом, оставив восемь кубиков (ранга +1) в углах исходного куба, а также двенадцать кубиков меньшего размера (ранга +2), расположенных по краям исходного куба между кубиками из ранг +1.
3. Повторите процедуру на кубиках 1 и 2 рядов.

Бесконечное количество итераций приводит к созданию куба Иерусалима.

Поскольку длина ребра куба ранга N равна длине ребра двух кубов ранга N+1 и куба ранга N+2, отсюда следует, что масштабный коэффициент должен удовлетворять , что означает, что фрактал не может быть построен с использованием точек на рациональной решетке . ${\displaystyle k^{2}+2k=1}$ ${\displaystyle k={\sqrt {2}}-1}$

Поскольку куб ранга N подразделяется на 8 кубов ранга N+1 и 12 кубов ранга N+2, размерность Хаусдорфа, следовательно, должна удовлетворять . Точное решение ${\displaystyle 8k^{d}+12(k^{2})^{d}=1}$

${\displaystyle d={\frac {\log \left({\frac {\sqrt {7}}{6}}-{\frac {1}{3}}\right)}{\log \left({\sqrt {2}}-1\right)}}}$

что составляет примерно 2,529

Как и в случае с губкой Менгера, грани иерусалимского куба представляют собой фракталы ^[15] с тем же масштабным коэффициентом. В этом случае размерность Хаусдорфа должна удовлетворять . Точное решение ${\displaystyle 4k^{d}+4(k^{2})^{d}=1}$

${\displaystyle d={\frac {\log \left({\frac {{\sqrt {2}}-1}{2}}\right)}{\log \left({\sqrt {2}}-1\right)}}}$

что составляет примерно 1,786

• 
  Третья итерация Иерусалимского куба
• 
  3D-печатная модель Иерусалимского куба

Другие

Снежинка Серпинского-Менгера.

• Снежинка Мосли — это фрактал на основе куба с рекурсивно удаленными углами. ^[16]
• Тетрикс — это фрактал на основе тетраэдра , состоящий из четырех меньших копий, расположенных в тетраэдре. ^[17]
• Снежинка Серпинского-Менгера представляет собой фрактал на основе куба, в котором восемь угловых кубов и один центральный куб сохраняются каждый раз на нижнем и нижнем шагах рекурсии. Этот своеобразный трехмерный фрактал имеет хаусдорфову размерность изначально двумерного объекта, такого как плоскость, т.е.журнал 9/журнал 3=2

Смотрите также

• Аполлоническая прокладка
• Канторов куб
• Снежинка Коха
• Тетраэдр Серпинского
• Треугольник Серпинского
• Список фракталов по размерности Хаусдорфа

Рекомендации

1. Бек, Кристиан; Шёгль, Фридрих (1995). Термодинамика хаотических систем: Введение. Издательство Кембриджского университета. п. 97. ИСБН 9780521484510.
2. Бунде, Армин; Хавлин, Шломо (2013). Фракталы в науке. Спрингер. п. 7. ISBN 9783642779534.
3. Менгер, Карл (2013). Воспоминания о Венском кружке и математическом коллоквиуме. Springer Science & Business Media. п. 11. ISBN 9789401111027.
4. Менгер, Карл (1928), Dimensionstheorie , BG Teubner Publishers
5. Менгер, Карл (1926), "Allgemeine Räume und Cartesische Räume. I.", Сообщения Амстердамской академии наук. Английский перевод перепечатан в Эдгаре, Джеральде А., изд. (2004), Классика фракталов , Исследования нелинейности, Westview Press. Расширенная книжная программа, Боулдер, Колорадо, ISBN 978-0-8133-4153-8, МР  2049443
6. Демонстрационный проект Вольфрама, Объем и площадь поверхности губки Менгера
7. Исследовательская группа по научно-математическому образованию Университета Британской Колумбии, математическая геометрия: Губка Менгера
8. Чанг, Кеннет (27 июня 2011 г.). «Тайна губки Менгера». Нью-Йорк Таймс . Проверено 8 мая 2017 г. - через NYTimes.com.
9. "A299916 - OEIS" . oeis.org . Проверено 2 августа 2018 г.
10. Даттельбаум, Дана М.; Ионита, Аксинте; Паттерсон, Брайан М.; Бранч, Бриттани А.; Кюттнер, Линдси (01 июля 2020 г.). «Диссипация ударной волны пористыми структурами с преобладанием границы раздела». Достижения АИП . 10 (7): 075016. Бибкод : 2020AIPA...10g5016D. дои : 10.1063/5.0015179 .
11. Тим Чартье (10 ноября 2014 г.). «Миллион визитных карточек представляет собой математическую задачу». ХаффПост . Проверено 7 апреля 2015 г.
12. "МегаМенгер" . Проверено 15 февраля 2015 г.
13. Роберт Диккау (31 августа 2014 г.). «Фрактал куба Креста Менгера (Иерусалим)». Роберт Дикау . Проверено 8 мая 2017 г.
14. Эрик Бэрд (18 августа 2011 г.). «Иерусалимский куб». Альтернативные фракталы . Проверено 13 марта 2013 г., опубликовано в журнале Tangente 150, «l'art fractal» (2013), с. 45.
15. Эрик Бэрд (30 ноября 2011 г.). «Иерусалимская площадь». Альтернативные фракталы . Проверено 9 декабря 2021 г.
16. Уэйд, Лиззи. «Складное фрактальное искусство из 49 000 визитных карточек». Проводной . Проверено 8 мая 2017 г.
17. В., Вайсштейн, Эрик. «Тетрикс». mathworld.wolfram.com . Проверено 8 мая 2017 г.{{cite web}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

дальнейшее чтение

• Иванец, Тадеуш ; Мартин, Гавен (2001), Геометрическая теория функций и нелинейный анализ , Оксфордские математические монографии, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850929-5, МР  1859913.
• Чжоу, Ли (2007), «Проблема 11208: Хроматические числа губок Менгера», American Mathematical Monthly , 114 (9): 842, JSTOR  27642353

Внешние ссылки

• Губка Менгера в Wolfram MathWorld
• «Губка Менгера-визитка» доктора Джанин Мозли - онлайн-выставка, посвященная этому гигантскому фракталу оригами, в Институте рисования.
• Интерактивная губка Менгера
• Интерактивные модели Java
• Охота за головоломками — видео, объясняющее парадоксы Зенона с помощью губки Менгера-Серпинского.
• Сфера Менгера, визуализированная в SunFlow
• Губка Менгера Post-It — губка Менгера 3-го уровня, сделанная из стикеров.
• Тайна губки Менгера. Разрезан по диагонали, чтобы увидеть звезды.
• Последовательность OEIS A212596 (Количество карточек, необходимое для построения губки Менгера уровня n в оригами)
• Шерстистые мысли, уровень 2. Губка Менгера от двух «математикистов».
• Диккау, Р.: Иерусалимский куб. Дальнейшее обсуждение.
• Миллер, П.: Обсуждение явно определенных губок Менгера для нагрузочного тестирования в системах трехмерного отображения и рендеринга.