Ковер Серпинского — это плоский фрактал , впервые описанный Вацлавом Серпинским в 1916 году. Ковер представляет собой обобщение Кантора, установленного в двух измерениях; Другое такое обобщение — канторовская пыль .
Технику разделения фигуры на более мелкие копии , удаления одной или нескольких копий и рекурсивного продолжения можно распространить на другие фигуры. Например, разделение равностороннего треугольника на четыре равносторонних треугольника, удаление среднего треугольника и повторение приводят к треугольнику Серпинского . В трех измерениях подобная конструкция на основе кубов известна как губка Менгера .
Конструкция ковра Серпинского начинается с квадрата . Квадрат разрезается на 9 равных подквадратов в сетке 3х3, а центральный подквадрат удаляется. Затем та же процедура рекурсивно применяется к оставшимся 8 подквадратам, до бесконечности . Его можно реализовать как набор точек единичного квадрата, чьи координаты, записанные по основанию три, не имеют цифры «1» в одной и той же позиции, используя представление бесконечно малого числа . [1]
Процесс рекурсивного удаления квадратов является примером правила конечного деления .
Площадь ковра равна нулю (по стандартной мере Лебега ).
Внутри ковра пусто .
Размерность ковра по Хаусдорфу равна . [2]
Серпинский продемонстрировал, что его ковер представляет собой универсальную плоскую кривую. [3] То есть: ковер Серпинского является компактным подмножеством плоскости с размерностью покрытия Лебега 1, и каждое подмножество плоскости с этими свойствами гомеоморфно некоторому подмножеству ковра Серпинского.
Эта «универсальность» ковра Серпинского не является истинно универсальным свойством в смысле теории категорий: она не характеризует это пространство однозначно с точностью до гомеоморфизма. Например, непересекающееся объединение ковра Серпинского и круга также является универсальной плоской кривой. Однако в 1958 году Гордон Уайберн [4] однозначно охарактеризовал ковер Серпинского следующим образом: любая кривая, которая локально связна и не имеет «локальных точек пересечения», гомеоморфна ковру Серпинского. Здесь локальная точка разреза — это точка p , для которой некоторая связная окрестность U точки p обладает свойством, что U − { p } несвязна. Так, например, любая точка окружности является точкой локального разреза.
В той же статье Уайберн дал еще одну характеристику ковра Серпинского. Напомним, что континуум — это непустое связное компактное метрическое пространство. Предположим, что X — континуум, вложенный в плоскость. Предположим, что его дополнение на плоскости имеет счетное число компонент связности C 1 , C 2 , C 3 , ... и предположим:
Тогда X гомеоморфно ковру Серпинского.
Тема броуновского движения на ковре Серпинского в последние годы вызывает интерес. [5] Мартин Барлоу и Ричард Басс показали, что случайное блуждание по ковру Серпинского распространяется медленнее, чем неограниченное случайное блуждание по плоскости. Последний достигает среднего расстояния, пропорционального √ n, после n шагов, но случайное блуждание по дискретному ковру Серпинского достигает только среднего расстояния, пропорционального β √ n для некоторого β > 2 . Они также показали, что это случайное блуждание удовлетворяет более сильным неравенствам больших отклонений (так называемым «субгауссовским неравенствам») и что оно удовлетворяет эллиптическому неравенству Харнака , но не удовлетворяет параболическому неравенству. Существование такого примера было открытой проблемой в течение многих лет.
Вариант ковра Серпинского, называемый решетом Уоллиса , начинается таким же образом с разделения единичного квадрата на девять меньших квадратов и удаления середины из них. На следующем уровне подразделения каждый из квадратов подразделяется на 25 меньших квадратов и удаляется средний, а на i- м шаге продолжается разделение каждого квадрата на (2 i + 1) 2 ( нечетные квадраты [6] ) квадраты меньшего размера и удаляем средний. По произведению Уоллиса площадь полученного множества равнаπ/4, в отличие от стандартного ковра Серпинского, который не имеет предельной площади. Хотя решето Уоллиса имеет положительную меру Лебега , ни одно подмножество, являющееся декартовым произведением двух наборов действительных чисел, не обладает этим свойством, поэтому его жорданова мера равна нулю. [7]
Фрактальные антенны для мобильных телефонов и Wi-Fi были созданы в виде нескольких итераций ковра Серпинского. Благодаря самоподобию и масштабной инвариантности они легко адаптируются к нескольким частотам. Их также легко изготовить, и они меньше по размеру, чем обычные антенны с аналогичными характеристиками, поэтому они оптимальны для карманных мобильных телефонов. [8] [9] [10]
