В теории множеств объединение (обозначается ∪ ) набора множеств — это множество всех элементов в наборе. [1] Это одна из фундаментальных операций, посредством которой множества могут быть объединены и связаны друг с другом.Нулевое объединение относится к объединениюнулевых ( )множеств и по определению равнопустому множеству.
Объяснение символов, используемых в данной статье, можно найти в таблице математических символов .
Объединение двух множеств A и B — это множество элементов, которые находятся в A , в B или в обоих множествах A и B. [2] В нотации построения множеств ,
Например, если A = {1, 3, 5, 7} и B = {1, 2, 4, 6, 7}, то A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Более сложный пример (с участием двух бесконечных множеств):
Другой пример: число 9 не содержится в объединении множества простых чисел {2, 3, 5, 7, 11, ...} и множества четных чисел {2, 4, 6, 8, 10, ...}, поскольку 9 не является ни простым, ни четным числом.
Множества не могут иметь повторяющихся элементов, [3] [4], поэтому объединение множеств {1, 2, 3} и {2, 3, 4} равно {1, 2, 3, 4}. Многократное появление одинаковых элементов не влияет на мощность множества или его содержимое.
Бинарное объединение является ассоциативной операцией; то есть, для любых множеств , Таким образом, скобки могут быть опущены без двусмысленности: любое из вышеперечисленного можно записать как . Кроме того, объединение является коммутативным , поэтому множества могут быть записаны в любом порядке. [5] Пустое множество является элементом тождества для операции объединения. То есть, , для любого множества . Кроме того, операция объединения является идемпотентной: . Все эти свойства следуют из аналогичных фактов о логической дизъюнкции .
Пересечение распределяется по объединению , а объединение распределяется по пересечению [2] Множество степеней множества вместе с операциями, заданными объединением, пересечением и дополнением , является булевой алгеброй . В этой булевой алгебре объединение может быть выражено через пересечение и дополнение по формуле, где верхний индекс обозначает дополнение в универсальном множестве .
Можно взять объединение нескольких множеств одновременно. Например, объединение трех множеств A , B , и C содержит все элементы A , все элементы B , и все элементы C , и ничего больше. Таким образом, x является элементом A ∪ B ∪ C тогда и только тогда, когда x содержится хотя бы в одном из A , B , и C .
Конечное объединение — это объединение конечного числа множеств; эта фраза не подразумевает, что объединенное множество является конечным множеством . [6] [7]
Наиболее общим понятием является объединение произвольной коллекции множеств, иногда называемое бесконечным объединением . Если M — множество или класс , элементами которого являются множества, то x является элементом объединения M тогда и только тогда, когда существует хотя бы один элемент A из M, такой что x является элементом A. [8] В символах:
Эта идея включает в себя предыдущие разделы — например, A ∪ B ∪ C — это объединение набора { A , B , C }. Кроме того, если M — это пустой набор, то объединение M — это пустое множество.
Обозначения для общего понятия могут значительно различаться. Для конечного объединения множеств часто пишут или . Различные общие обозначения для произвольных объединений включают , и . Последнее из этих обозначений относится к объединению набора , где I — это индексный набор и является набором для каждого . В случае, когда индексный набор I — это набор натуральных чисел , используется обозначение , которое аналогично обозначению бесконечных сумм в ряду. [8]
Когда символ «∪» размещается перед другими символами (а не между ними), он обычно отображается в большем размере.
В Unicode объединение представлено символом U+222A ∪ UNION . [9] В TeX отображается из и отображается из .\cup
\bigcup