Точка накопления

Точка кластера в топологическом пространстве

В математике предельная точка , точка накопления или точка скопления множества в топологическом пространстве — это точка , которая может быть «аппроксимирована» точками в том смысле, что каждая окрестность содержит точку из , отличную от нее самой . Предельная точка множества сама по себе не обязательно должна быть элементом из Существует также тесно связанное понятие для последовательностей . Точка скопления или точка накопления последовательности в топологическом пространстве — это точка такая, что для каждой окрестности из существует бесконечно много натуральных чисел , таких что Это определение точки скопления или накопления последовательности обобщается на сети и фильтры . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{n}\in V.}$

Аналогично названное понятие предельной точки последовательности ^[1] (соответственно, предельной точки фильтра , ^[2] предельной точки сети ) по определению относится к точке, к которой сходится последовательность (соответственно, фильтр сходится к , сеть сходится к ). Важно отметить, что хотя «предельная точка множества» является синонимом «точки кластера/накопления множества», это не относится к последовательностям (ни к сетям, ни к фильтрам). То есть термин «предельная точка последовательности» не является синонимом «точки кластера/накопления последовательности».

Предельные точки множества не следует путать с точками прилипания (также называемыми точками замыкания ), для которых каждая окрестность содержит некоторую точку . В отличие от предельных точек, точка прилипания может иметь окрестность, не содержащую точек, отличных от нее самой. Предельную точку можно охарактеризовать как точку прилипания, которая не является изолированной точкой . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$

Предельные точки множества также не следует путать с граничными точками . Например, является граничной точкой (но не предельной) множества в со стандартной топологией . Однако является предельной точкой (хотя и не граничной) интервала в со стандартной топологией (для менее тривиального примера предельной точки см. первый заголовок). ^{[3] [4] [5]} ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0.5}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Эта концепция выгодно обобщает понятие предела и является основой таких концепций, как замкнутое множество и топологическое замыкание . Действительно, множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки, а операция топологического замыкания может рассматриваться как операция, которая обогащает множество, объединяя его с его предельными точками.

Относительно обычной евклидовой топологии последовательность рациональных чисел не имеет предела (т.е. не сходится), но имеет две точки накопления (которые здесь считаются предельными точками ), а именно -1 и +1. Таким образом, думая о множествах, эти точки являются предельными точками множества ${\displaystyle x_{n}=(-1)^{n}{\frac {n}{n+1}}}$ ${\displaystyle S=\{x_{n}\}.}$

Определение

Накопление очков набора

Последовательность, перечисляющая все положительные рациональные числа . Каждое положительное действительное число является точкой кластера.

Пусть будет подмножеством топологического пространства Точка в является предельной точкой или точкой кластера или ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$точка накопления множества ,если каждаяокрестностьсодержит хотя бы одну точку ,отличную отсамой себя. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$

Не имеет значения, если мы ограничим условие только открытыми окрестностями. Часто бывает удобно использовать форму определения "открытой окрестности", чтобы показать, что точка является предельной точкой, и использовать форму определения "общей окрестности", чтобы вывести факты из известной предельной точки.

Если — пространство (такое как метрическое пространство ), то является предельной точкой тогда и только тогда, когда каждая окрестность содержит бесконечно много точек ^[6] Фактически, пространства характеризуются этим свойством. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle T_{1}}$

Если — пространство Фреше–Урысона (которым являются все метрические пространства и пространства с первой аксиомой счетности ), то является предельной точкой тогда и только тогда, когда существует последовательность точек, в пределе которой есть На самом деле пространства Фреше–Урысона характеризуются этим свойством. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\setminus \{x\}}$ ${\displaystyle x.}$

Множество предельных точек называется производным множеством ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

Специальные типы точек накопления множества

Если каждая окрестность содержит бесконечно много точек, то существует определенный тип предельной точки, называемый ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ω-точка накопления ${\displaystyle S.}$

Если каждая окрестность содержит несчетное число точек, то существует определенный тип предельной точки, называемый точкой сгущения . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$

Если каждая окрестность такова , что мощность равна мощности , то существует определенный тип предельной точки, называемый ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U\cap S}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$полная точка накопления ${\displaystyle S.}$

Точки накопления последовательностей и сетей

В топологическом пространстве точка называется ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in X}$точка кластера илиточка накопления последовательности , если для каждойокрестностисуществуетбесконечно многотаких, что Это эквивалентно утверждению, что для каждой окрестностиидля каждогосуществует такое, что Еслиявляетсяметрическим пространствомилипространством с первой аксиомой счетности(или, в более общем смысле,пространством Фреше–Урысона), тоявляется точкой скопления ,если и только еслиявляется пределом некоторой подпоследовательности . Множество всех точек скопления последовательности иногда называютпредельным множеством. ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x_{n}\in V.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ ${\displaystyle x_{n}\in V.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }.}$

Обратите внимание, что уже существует понятие предела последовательности , означающее точку, к которой сходится последовательность (то есть каждая окрестность содержит все элементы последовательности, кроме конечного числа). Вот почему мы не используем термин предельная точка последовательности как синоним точки накопления последовательности. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Понятие сети обобщает идею последовательности . Сеть — это функция , где — направленное множество , а — топологическое пространство. Точка называется ${\displaystyle f:(P,\leq )\to X,}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$точка кластера илиточка накопления сети , если для каждойокрестностии для каждойсуществуетнекотораятакая , чтоэквивалентно, еслиимеетподсеть, которая сходится кТочки кластеризации в сетях охватывают идею как точек конденсации, так и точек ω-накопления.Кластеризацияипредельные точкитакже определены дляфильтров. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p_{0}\in P,}$ ${\displaystyle p\geq p_{0}}$ ${\displaystyle f(p)\in V,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x.}$

Связь между точкой накопления последовательности и точкой накопления множества

Каждая последовательность по определению является просто картой , поэтому ее изображение можно определить обычным способом. ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }:=\left\{x_{n}:n\in \mathbb {N} \right\}}$

• Если существует элемент , который встречается в последовательности бесконечно много раз, является точкой накопления последовательности. Но не обязательно является точкой накопления соответствующего множества Например, если последовательность является постоянной последовательностью со значением мы имеем и является изолированной точкой и не является точкой накопления ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }.}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }=\{x\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }.}$

• Если ни один элемент не встречается в последовательности бесконечно много раз, например, если все элементы различны, то любая точка накопления последовательности является точкой накопления соответствующего множества. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }.}$

Наоборот, если задано счетное бесконечное множество в , мы можем перечислить все элементы множеством способов, даже с повторениями, и таким образом связать с ним множество последовательностей , которые будут удовлетворять ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle A=\operatorname {Im} x_{\bullet }.}$

• Любая точка накопления является точкой накопления любой из соответствующих последовательностей (поскольку любая окрестность точки будет содержать бесконечно много элементов и, следовательно, также бесконечно много членов в любой связанной последовательности). ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

• Точка , которая не является точкой накопления , не может быть точкой накопления любой из связанных последовательностей без бесконечных повторений (поскольку имеет окрестность, содержащую только конечное число (возможно, даже ни одной) точек , и эта окрестность может содержать только конечное число членов таких последовательностей). ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$

Характеристики

Каждый предел непостоянной последовательности является точкой накопления последовательности. И по определению каждая предельная точка является точкой присоединения .

Замыкание множества — это непересекающееся объединение его предельных точек и изолированных точек , то есть, ${\displaystyle \operatorname {cl} (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L(S)}$ ${\displaystyle I(S)}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} (S)=L(S)\cup I(S)\quad {\text{and}}\quad L(S)\cap I(S)=\emptyset .}$$

Точка является предельной точкой тогда и только тогда , когда она находится в замыкании ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S\setminus \{x\}.}$

Доказательство

Мы используем тот факт, что точка находится в замыкании множества тогда и только тогда, когда каждая окрестность точки соответствует множеству. Теперь, является предельной точкой тогда и только тогда, когда каждая окрестность содержит точку, отличную от тогда и только тогда, когда каждая окрестность содержит точку тогда и только тогда, когда находится в замыкании ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S\setminus \{x\},}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S\setminus \{x\}.}$

Если мы используем для обозначения множества предельных точек , то мы имеем следующую характеристику замыкания : Замыкание равно объединению и Этот факт иногда принимается за определение замыкания . ${\displaystyle L(S)}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L(S).}$

Доказательство

("Левое подмножество") Предположим, что находится в замыкании Если находится в, то все готово. Если не находится в , то каждая окрестность содержит точку и эта точка не может быть Другими словами, является предельной точкой и находится в ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L(S).}$

(«Правое подмножество») Если принадлежит , то каждая окрестность очевидно пересекается , поэтому принадлежит замыканию Если принадлежит , то каждая окрестность содержит точку (отличную от ), поэтому принадлежит замыканию Это завершает доказательство. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L(S),}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$

Следствие этого результата дает нам характеристику замкнутых множеств: множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки. ${\displaystyle S}$

Доказательство

Доказательство 1: замкнуто тогда и только тогда, когда равно своему замыканию тогда и только тогда, когда и только тогда, когда содержится в ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=S\cup L(S)}$ ${\displaystyle L(S)}$ ${\displaystyle S.}$

Доказательство 2: Пусть будет замкнутым множеством и предельной точкой для Если не входит в то дополнение к содержит открытую окрестность для Поскольку является предельной точкой любой открытой окрестности для должно иметь нетривиальное пересечение с Однако множество не может иметь нетривиального пересечения со своим дополнением. Обратно, предположим, что содержит все свои предельные точки. Мы покажем, что дополнение к является открытым множеством. Пусть будет точкой в ​​дополнении к По предположению не является предельной точкой, и, следовательно, существует открытая окрестность для , которая не пересекается и, таким образом, целиком лежит в дополнении к Поскольку это рассуждение справедливо для произвольного в дополнение к дополнению к можно выразить как объединение открытых окрестностей точек в дополнении к Следовательно, дополнение к открыто. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$

Ни одна изолированная точка не является предельной точкой какого-либо множества.

Доказательство

Если — изолированная точка, то — окрестность , не содержащая точек, отличных от ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

Пространство дискретно тогда и только тогда , когда ни одно подмножество не имеет предельной точки. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Доказательство

Если является дискретным, то каждая точка изолирована и не может быть предельной точкой любого множества. Наоборот, если не является дискретным, то существует синглтон, который не является открытым. Следовательно, каждая открытая окрестность содержит точку и, следовательно, является предельной точкой ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle y\neq x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$

Если пространство имеет тривиальную топологию и является подмножеством с более чем одним элементом, то все элементы являются предельными точками Если пространство является синглетоном, то каждая точка является предельной точкой ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\setminus S}$ ${\displaystyle S.}$

Доказательство

Пока непусто, его замыкание будет Оно пусто только тогда, когда пусто или является уникальным элементом ${\displaystyle S\setminus \{x\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$

Смотрите также

• Точка присоединения  – точка, принадлежащая замыканию некоторого заданного подмножества топологического пространства.
• Точка конденсации  – более сильный аналог предельной точки.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Конвергентный фильтр  – использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Производное множество (математика)  – множество всех предельных точек множества.
• Фильтры в топологии  – использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
• Изолированная точка  – точка подмножества S, вокруг которой нет других точек S.
• Предел функции  – точка, к которой сходятся функции при анализе.
• Предел последовательности  – значение, к которому стремится бесконечная последовательность.
• Последующий предел  – предел некоторой подпоследовательности

Цитаты

1. Дугунджи 1966, стр. 209–210.
2. Бурбаки 1989, стр. 68–83.
3. "Разница между граничной точкой и предельной точкой". 2021-01-13.
4. "Что такое предельная точка". 2021-01-13.
5. "Примеры накопления баллов". 2021-01-13. Архивировано из оригинала 2021-04-21 . Получено 2021-01-14 .
6. Манкрес 2000, стр. 97–102.

Ссылки

• Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485.
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе издание). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.
• «Предельная точка множества», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]