Дополненное подпространство

В разделе математики , называемом функциональным анализом , дополняемое подпространство топологического векторного пространства — это векторное подпространство , для которого существует некоторое другое векторное подпространство , называемое его ( топологическим ) дополнением в , такое, что — прямая сумма в категории топологических векторных пространств . Формально топологические прямые суммы усиливают алгебраическую прямую сумму , требуя, чтобы определенные отображения были непрерывными; результат сохраняет много хороших свойств из операции прямой суммы в конечномерных векторных пространствах. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M\oplus N}$

Каждое конечномерное подпространство банахова пространства является дополняемым, но другие подпространства могут не быть. В общем случае классификация всех дополняемых подпространств является сложной задачей, которая была решена только для некоторых хорошо известных банаховых пространств .

Концепция дополняемого подпространства аналогична, но отличается от концепции дополнения множества . Теоретико-множественное дополнение векторного подпространства никогда не является дополнительным подпространством.

Предварительные сведения: определения и обозначения

Если — векторное пространство, а и — векторные подпространства , то существует вполне определенное отображение сложения. Отображение является морфизмом в категории векторных пространств  , то есть линейным . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}S:\;&&M\times N&&\;\to \;&X\\&&(m,n)&&\;\mapsto \;&m+n\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle S}$

Алгебраическая прямая сумма

Говорят, что векторное пространство является алгебраической прямой суммой (или прямой суммой в категории векторных пространств), когда выполняется любое из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M\oplus N}$

1. Отображение сложения является изоморфизмом векторного пространства . ^{[1] [2]} ${\displaystyle S:M\times N\to X}$
2. Отображение сложения является биективным.
3. ${\displaystyle M\cap N=\{0\}}$и ; в этом случае называется алгебраическим дополнением или дополнением к в , а два подпространства называются дополнительными или дополнительными . ^{[2] [3]} ${\displaystyle M+N=X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$

При выполнении этих условий обратное уравнение хорошо определено и может быть записано в терминах координат как Первая координата называется канонической проекцией на ; аналогично вторая координата является канонической проекцией на ^[4] ${\displaystyle S^{-1}:X\to M\times N}$ $${\displaystyle S^{-1}=\left(P_{M},P_{N}\right){\text{.}}}$$ ${\displaystyle P_{M}:X\to M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N.}$

Эквивалентно, и являются уникальными векторами в и соответственно, которые удовлетворяют отображениям As, где обозначает тождественное отображение на . ^[2] ${\displaystyle P_{M}(x)}$ ${\displaystyle P_{N}(x)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N,}$ $${\displaystyle x=P_{M}(x)+P_{N}(x){\text{.}}}$$ $${\displaystyle P_{M}+P_{N}=\operatorname {Id} _{X},\qquad \ker P_{M}=N,\qquad {\text{ and }}\qquad \ker P_{N}=M}$$ ${\displaystyle \operatorname {Id} _{X}}$ ${\displaystyle X}$

Мотивация

Предположим, что векторное пространство является алгебраической прямой суммой . В категории векторных пространств конечные произведения и копроизведения совпадают: алгебраически и неразличимы. Если задана задача, включающая элементы , можно разбить элементы на их компоненты в и , поскольку проекционные отображения, определенные выше, действуют как обратные к естественному включению и в . Тогда можно решить задачу в векторных подпространствах и рекомбинировать, чтобы сформировать элемент . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M\oplus N}$ ${\displaystyle M\oplus N}$ ${\displaystyle M\times N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

В категории топологических векторных пространств это алгебраическое разложение становится менее полезным. Определение топологического векторного пространства требует, чтобы отображение сложения было непрерывным; его обратное может и не быть таковым. ^[1] Категориальное определение прямой суммы , однако, требует , чтобы и были морфизмами — то есть непрерывными линейными отображениями. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{-1}:X\to M\times N}$ ${\displaystyle P_{M}}$ ${\displaystyle P_{N}}$

Пространство является топологической прямой суммой и тогда (и только тогда), когда выполняется любое из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

1. Отображение сложения является TVS-изоморфизмом (то есть сюръективным линейным гомеоморфизмом ). ^[1] ${\displaystyle S:M\times N\to X}$
2. ${\displaystyle X}$является алгебраической прямой суммой и , а также любого из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$
   1. Обратная карта сложения непрерывна. ${\displaystyle S^{-1}:X\to M\times N}$
   2. Обе проекции канонические и непрерывны. ${\displaystyle P_{M}:X\to M}$ ${\displaystyle P_{N}:X\to N}$
   3. По крайней мере одна из канонических проекций является непрерывной. ${\displaystyle P_{M}}$ ${\displaystyle P_{N}}$
   4. Каноническое фактор-отображение является изоморфизмом топологических векторных пространств (т.е. линейным гомеоморфизмом). ^[2] ${\displaystyle p:N\to X/M;p(n)=n+M}$
3. ${\displaystyle X}$является прямой суммой и в категории топологических векторных пространств. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$
4. Отображение биективно и открыто .​ ${\displaystyle S}$
5. При рассмотрении в качестве аддитивных топологических групп , является топологической прямой суммой подгрупп и ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N.}$

Топологическая прямая сумма также записывается ; то, в каком смысле берется сумма — в топологическом или алгебраическом, обычно проясняется из контекста . ${\displaystyle X=M\oplus N}$

Определение

Каждая топологическая прямая сумма является алгебраической прямой суммой ; обратное не гарантируется. Даже если оба и замкнуты в , все равно может не быть непрерывным. является (топологическим) дополнением или дополнением к , если оно избегает этой патологии — то есть, если топологически . (Тогда  также является дополнительным к .) ^[1] Условие 2(d) выше подразумевает, что любое топологическое дополнение к изоморфно, как топологическое векторное пространство, фактор- векторному пространству . ${\displaystyle X=M\oplus N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{-1}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X=M\oplus N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X/M}$

${\displaystyle M}$называется дополненным , если у него есть топологическое дополнение (и недополняемым, если нет). Выбор может иметь довольно большое значение: каждое дополненное векторное подпространство имеет алгебраические дополнения, которые не являются топологически дополненными. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Поскольку линейное отображение между двумя нормированными (или банаховыми ) пространствами ограничено тогда и только тогда, когда оно непрерывно , определение в категориях нормированных (соответственно банаховых ) пространств такое же, как и в топологических векторных пространствах.

Эквивалентные характеристики

Подпространство векторов является дополняемым тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих условий: ^[1] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$

• Существует непрерывное линейное отображение с образом таким, что . То есть, является непрерывной линейной проекцией на . (В этом случае, алгебраически , и именно непрерывность подразумевает, что это дополнение.) ${\displaystyle P_{M}:X\to X}$ ${\displaystyle P_{M}(X)=M}$ ${\displaystyle P\circ P=P}$ ${\displaystyle P_{M}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X=M\oplus \ker {P}}$ ${\displaystyle P_{M}}$
• Для каждого TVS отображение ограничений является сюръективным. ^[5] ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle R:L(X;Y)\to L(M;Y);R(u)=u|_{M}}$

Если вдобавок есть Банах , то эквивалентным условием является ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle M}$замкнуто в , существует другое замкнутое подпространство , и является изоморфизмом абстрактной прямой суммы в . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M\oplus N}$ ${\displaystyle X}$

Примеры

• Если — пространство меры и имеет положительную меру, то дополняется в . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\subseteq Y}$ ${\displaystyle L^{p}(X)}$ ${\displaystyle L^{p}(Y)}$
• ${\displaystyle c_{0}}$, пространство последовательностей, сходящихся к , дополняется в , пространство сходящихся последовательностей. ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle c}$
• По разложению Лебега дополняется в . ${\displaystyle L^{1}([0,1])}$ ${\displaystyle \mathrm {rca} ([0,1])\cong C([0,1])^{*}}$

Достаточные условия

Для любых двух топологических векторных пространств и подпространства и являются топологическими дополнениями в . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\times \{0\}}$ ${\displaystyle \{0\}\times Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$

Каждое алгебраическое дополнение , замыкание , также является топологическим дополнением. Это потому , что имеет недискретную топологию , и поэтому алгебраическая проекция непрерывна. ^[6] ${\displaystyle {\overline {\{0\}}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\overline {\{0\}}}}$

Если и сюръективно, то . ^[2] ${\displaystyle X=M\oplus N}$ ${\displaystyle A:X\to Y}$ ${\displaystyle Y=AM\oplus AN}$

Конечная размерность

Предположим, что является хаусдорфовым и локально выпуклым и свободным топологическим векторным подпространством : для некоторого множества имеем (как tvs). Тогда является замкнутым и дополняемым векторным подпространством . ^{[доказательство 1]} В частности, любое конечномерное подпространство является дополняемым. ^[7] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle Y\cong \mathbb {K} ^{I}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

В произвольных топологических векторных пространствах конечномерное векторное подпространство топологически дополняемо тогда и только тогда, когда для каждого ненулевого существует непрерывный линейный функционал на , который отделяет от . ^[1] Пример, в котором это не выполняется, см. в § Пространства Фреше. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle 0}$

Конечная коразмерность

Не все конечномерные векторные подпространства TVS замкнуты, но те, которые замкнуты, имеют дополнения. ^{[7] [8]}

Гильбертовы пространства

В гильбертовом пространстве ортогональное дополнение любого замкнутого векторного подпространства всегда является топологическим дополнением . Это свойство характеризует гильбертовы пространства в классе банаховых пространств : каждое бесконечномерное негильбертово банахово пространство содержит замкнутое недополняемое подпространство, глубокая теорема Йорама Линденштрауса и Лиора Цафрири. ^{[9] [3]} ${\displaystyle M^{\bot }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Пространства Фреше

Пусть — пространство Фреше над полем . Тогда следующие условия эквивалентны: ^[10] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

1. ${\displaystyle X}$не нормируема (то есть любая непрерывная норма не порождает топологию)
2. ${\displaystyle X}$содержит векторное подпространство TVS-изоморфное ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.}$
3. ${\displaystyle X}$содержит дополненное векторное подпространство TVS, изоморфное . ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$

Свойства; примеры недополняемых подпространств

Дополняемое (векторное) подпространство хаусдорфова пространства обязательно является замкнутым подмножеством , как и его дополнение. ^{[1] [доказательство 2]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Из существования базисов Гамеля следует , что каждое бесконечномерное банахово пространство содержит незамкнутые линейные подпространства. ^{[доказательство 3]} Поскольку любое дополняемое подпространство замкнуто, ни одно из этих подпространств не является дополняемым.

Аналогично, если является полным TVS и не является полным, то не имеет топологического дополнения в ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$

Приложения

Если — непрерывная линейная сюръекция , то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle A:X\to Y}$

1. Ядро имеет топологическое дополнение. ${\displaystyle A}$
2. Существует «правое обратное»: непрерывное линейное отображение, такое что , где — тождественное отображение. ^[5] ${\displaystyle B:Y\to X}$ ${\displaystyle AB=\mathrm {Id} _{Y}}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} _{Y}:Y\to Y}$

(Примечание: Это утверждение является ошибочным упражнением, данным Тревом. Пусть и оба будут , где наделено обычной топологией, но наделено тривиальной топологией. Тогда тождественное отображение является непрерывной линейной биекцией, но его обратная матрица не является непрерывной, поскольку имеет более тонкую топологию, чем . Ядро имеет в качестве топологического дополнения, но мы только что показали, что не может существовать непрерывной правой обратной матрицы. Если также открыто (и, следовательно, является гомоморфизмом TVS), то заявленный результат верен.) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A:X\to Y}$

Метод разложения

Топологические векторные пространства допускают следующую теорему типа Кантора-Шредера-Бернштейна :

Пусть и будут TVS такими, что и Предположим, что содержит дополненную копию и содержит дополненную копию Тогда TVS-изоморфен ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X=X\oplus X}$ ${\displaystyle Y=Y\oplus Y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Предположения о «саморасщеплении», что и не могут быть удалены: Тим Гауэрс показал в 1996 году, что существуют неизоморфные банаховы пространства и , каждое из которых дополняется другим. ^[12] ${\displaystyle X=X\oplus X}$ ${\displaystyle Y=Y\oplus Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

В классических банаховых пространствах

Понимание дополненных подпространств произвольного банахова пространства с точностью до изоморфизма является классической проблемой, которая мотивировала большую работу в теории базиса, в частности, разработку абсолютно суммирующих операторов. Проблема остается открытой для множества важных банаховых пространств, в частности, для пространства . ^[13] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L_{1}[0,1]}$

Для некоторых банаховых пространств вопрос закрыт. Наиболее известно, если то единственные дополняемые бесконечномерные подпространства изоморфны и то же самое касается Такие пространства называются простыми (когда их единственные бесконечномерные дополняемые подпространства изоморфны исходным). Однако это не единственные простые пространства. ^[13] ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle \ell _{p}}$ ${\displaystyle \ell _{p},}$ ${\displaystyle c_{0}.}$

Пространства не являются простыми , если на самом деле они допускают несчетное число неизоморфных дополняемых подпространств. ^[13] ${\displaystyle L_{p}[0,1]}$ ${\displaystyle p\in (1,2)\cup (2,\infty );}$

Пространства и изоморфны и соответственно, поэтому они действительно являются простыми. ^[13] ${\displaystyle L_{2}[0,1]}$ ${\displaystyle L_{\infty }[0,1]}$ ${\displaystyle \ell _{2}}$ ${\displaystyle \ell _{\infty },}$

Пространство не является простым, поскольку содержит дополненную копию . В настоящее время не известны никакие другие дополненные подпространства . ^[13] ${\displaystyle L_{1}[0,1]}$ ${\displaystyle \ell _{1}}$ ${\displaystyle L_{1}[0,1]}$

Неразложимые банаховы пространства

Бесконечномерное банахово пространство называется неразложимым , если его единственные дополняемые подпространства либо конечномерны, либо -коразмерны. Поскольку конечномерное подпространство банахова пространства всегда изоморфно неразложимому, банаховы пространства являются простыми. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$

Наиболее известным примером неразложимых пространств является наследственно неразложимое пространство, что означает, что каждое бесконечномерное подпространство также неразложимо. ^[14]

Смотрите также

• Прямая сумма  – операция в абстрактной алгебре, объединяющая объекты в «более сложные» объекты.
• Прямая сумма модулей  – Операция в абстрактной алгебре
• Прямая сумма топологических групп

Доказательства

1. замкнуто, поскольку полно и является Хаусдорфовым. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{I}}$ ${\displaystyle X}$
   Пусть будет TVS-изоморфизмом; каждый из них является непрерывным линейным функционалом. По теореме Хана–Банаха мы можем расширить каждый из них до непрерывного линейного функционала на Совместное отображение является непрерывной линейной сюръекцией, ограничением на которой является . Тогда композиция является непрерывной непрерывной проекцией на . ${\displaystyle f=\left(f_{i}\right)_{i\in I}:Y\to \mathbb {K} ^{I}}$ ${\displaystyle f_{i}:Y\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle F_{i}:X\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle F:X\to \mathbb {K} ^{I}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P=f^{-1}\circ F:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$

   ЧТЭК
2. В хаусдорфовом пространстве замкнуто. Дополняемое пространство является ядром (непрерывной) проекции на свое дополнение. Таким образом, оно является прообразом при непрерывном отображении и, следовательно, замкнуто. ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle \{0\}}$
   ЧТЭК
3. Любая последовательность определяет карту суммирования . Но если (алгебраически) линейно независимы и имеют полный носитель, то . ${\displaystyle \{e_{j}\}_{j=0}^{\infty }\in X^{\omega }}$ ${\displaystyle T:l^{1}\to X;T(\{x_{j}\}_{j})=\sum _{j}{x_{j}e_{j}}}$ ${\displaystyle \{e_{j}\}_{j}}$ ${\displaystyle \{x_{j}\}_{j}}$ ${\displaystyle T(x)\in {\overline {\operatorname {span} {\{e_{j}\}_{j}}}}\setminus \operatorname {span} {\{e_{j}\}_{j}}}$
   ЧТЭК

Ссылки

1. Гротендик 1973, стр. 34–36.
2. Фабиан, Мариан Дж.; Хабала, Петр; Гаек, Петр; Монтесинос Санталучия, Висенте; Зизлер, Вацлав (2011). Теория банахового пространства: основа линейного и нелинейного анализа (PDF) . Нью-Йорк: Спрингер. стр. 179–181. дои : 10.1007/978-1-4419-7515-7. ISBN 978-1-4419-7515-7.
3. Brezis, Haim (2011). Функциональный анализ, пространства Соболева и уравнения с частными производными . Universitext. Нью-Йорк: Springer. С. 38–39. ISBN 978-0-387-70913-0.
4. Шефер и Вольф 1999, стр. 19–24.
5. Trèves 2006, стр. 36.
6. Вилански 2013, стр. 63.
7. Rudin 1991, стр. 106.
8. Серр, Жан-Пьер (1955). «Теорема двойственности». Комментарии по математике Helvetici . 29 (1): 9–26. дои : 10.1007/BF02564268. S2CID  123643759.
9. Линденштраус, Дж. и Цафрири, Л. (1971). О проблеме дополнительных подпространств. Israel Journal of Mathematics, 9, 263-269.
10. Jarchow 1981, стр. 129–130.
11. Шефер и Вольф 1999, стр. 190–202.
12. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 100–101.
13. Альбиак, Фернандо; Калтон, Найджел Дж. (2006). Темы теории банахового пространства. GTM 233 (2-е изд.). Швейцария: Springer (опубликовано в 2016 г.). стр. 29–232. дои : 10.1007/978-3-319-31557-7. ISBN 978-3-319-31557-7.
14. Аргирос, Спирос; Толиас, Андреас (2004). Методы в теории наследственно неразложимых банаховых пространств. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3521-0.

Библиография

• Бахман, Джордж; Наричи, Лоуренс (2000). Функциональный анализ (второе издание). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0486402512. OCLC  829157984.
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод: Чалджуб, Орландо. Нью-Йорк: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Wilansky, Albert (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.