Факторное пространство (линейная алгебра)

Вектор пространства, состоящего из аффинных подмножеств

В линейной алгебре фактор векторного пространства по подпространству — это векторное пространство, полученное «схлопыванием» к нулю. Полученное пространство называется факторпространством и обозначается (читается как « mod » или « by »). ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V/N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N}$

Определение

Формально конструкция выглядит следующим образом. ^[1] Пусть будет векторным пространством над полем , и пусть будет подпространством . Мы определяем отношение эквивалентности на , утверждая, что тогда и только тогда . То есть, связано с тогда и только тогда, когда одно может быть получено из другого путем добавления элемента из . Это определение подразумевает, что любой элемент из связан с нулевым вектором; точнее, все векторы из отображаются в класс эквивалентности нулевого вектора. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle x-y\in N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

Класс эквивалентности (или, в данном случае, смежный класс ) определяется как ${\displaystyle x}$

${\displaystyle [x]:=\{x+n:n\in N\}}$

и часто обозначается с помощью сокращения . ${\displaystyle [x]=x+N}$

Фактор-пространство тогда определяется как , множество всех классов эквивалентности, индуцированных на . Скалярное умножение и сложение определяются на классах эквивалентности как ^{[2] [3]} ${\displaystyle V/N}$ ${\displaystyle V/_{\sim }}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle V}$

• ${\displaystyle \alpha [x]=[\alpha x]}$для всех , и ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {K} }$
• ${\displaystyle [x]+[y]=[x+y]}$.

Нетрудно проверить, что эти операции корректно определены (т.е. не зависят от выбора представителей ). Эти операции превращают факторпространство в векторное пространство по , являющееся нулевым классом, . ${\displaystyle V/N}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle [0]}$

Отображение, которое соответствует классу эквивалентности, называется фактор-картой . ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle [v]}$

Другими словами, факторпространство — это множество всех аффинных подмножеств , параллельных . [ ⁴ ] ${\displaystyle V/N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N}$

Примеры

Линии в декартовой системе координат

Пусть X = R ² будет стандартной декартовой плоскостью , а Y будет прямой, проходящей через начало координат в X . Тогда факторпространство X / Y можно отождествить с пространством всех прямых в X, которые параллельны Y . То есть, элементы множества X / Y являются прямыми в X, параллельными Y . Обратите внимание, что точки вдоль любой такой прямой будут удовлетворять отношению эквивалентности, поскольку их векторы разности принадлежат Y . Это дает способ визуализировать факторпространства геометрически. (Путем повторной параметризации этих прямых факторпространство можно более условно представить как пространство всех точек вдоль прямой, проходящей через начало координат, которая не параллельна Y . Аналогично факторпространство для R ³ по прямой, проходящей через начало координат, можно снова представить как множество всех копараллельных прямых или, альтернативно, как векторное пространство, состоящее из плоскости , которая пересекает прямую только в начале координат.)

Подпространства декартова пространства

Другим примером является фактор R ⁿ по подпространству, натянутому на первые m стандартных базисных векторов . Пространство R ⁿ состоит из всех n -кортежей действительных чисел ( x ₁ , ..., x _n ) . Подпространство, отождествляемое с R ^m , состоит из всех n -кортежей, таких что последние n − m элементов равны нулю: ( x ₁ , ..., x _m , 0, 0, ... , 0) . Два вектора R ⁿ находятся в одном классе эквивалентности по модулю подпространства тогда и только тогда, когда они идентичны в последних n − m координатах ^. Факторпространство R ⁿ / R ^m очевидным образом изоморфно R ^{n −} m .

Полиномиальное векторное пространство

Пусть — векторное пространство всех кубических многочленов над действительными числами. Тогда — факторпространство, где каждый элемент — это множество, соответствующее многочленам, отличающимся только квадратичным членом. Например, один элемент факторпространства — это , а другой элемент факторпространства — это . ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{3}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{3}(\mathbb {R} )/\langle x^{2}\rangle }$ ${\displaystyle \{x^{3}+ax^{2}-2x+3:a\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \{ax^{2}+2.7x:a\in \mathbb {R} \}}$

Общие подпространства

В более общем случае, если V является (внутренней) прямой суммой подпространств U и W,

${\displaystyle V=U\oplus W}$

тогда факторпространство V / U естественно изоморфно W. [ ⁵ ]

Интегралы Лебега

Важным примером функционального факторпространства является пространство L p .

Характеристики

Существует естественный эпиморфизм из V в фактор-пространство V / U, заданный путем отправки x в его класс эквивалентности [ x ]. Ядро (или нулевое пространство) этого эпиморфизма — подпространство U . Это отношение аккуратно суммируется короткой точной последовательностью

${\displaystyle 0\to U\to V\to V/U\to 0.\,}$

Если U является подпространством V , то размерность V / U называется коразмерностью U в V. Поскольку базис V может быть построен из базиса A из U и базиса B из V / U путем добавления представителя каждого элемента B к A , размерность V является суммой размерностей U и V / U . Если V конечномерно , то из этого следует, что коразмерность U в V является разностью размерностей V и U : ^{[6] [7]}

${\displaystyle \mathrm {codim} (U)=\dim(V/U)=\dim(V)-\dim(U).}$

Пусть T  : V → W — линейный оператор . Ядро T , обозначаемое ker( T ), — это множество всех x в V таких, что Tx = 0. Ядро является подпространством V . Первая теорема об изоморфизме для векторных пространств гласит, что фактор-пространство V /ker( T ) изоморфно образу V в W . Непосредственным следствием для конечномерных пространств является теорема о ранге–ничтожности : размерность V равна размерности ядра (ничтожности T ) плюс размерность образа ( рангу T ).

Коядро линейного оператора T :  V → W определяется как факторпространство W /im( T ).

Фактор банахова пространства по подпространству

Если X — банахово пространство , а M — замкнутое подпространство X , то фактор-пространство X / M снова является банаховым пространством. Фактор-пространство уже наделено структурой векторного пространства по построению предыдущего раздела. Мы определяем норму на X / M как

${\displaystyle \|[x]\|_{X/M}=\inf _{m\in M}\|x-m\|_{X}=\inf _{m\in M}\|x+m\|_{X}=\inf _{y\in [x]}\|y\|_{X}.}$

Примеры

Пусть C [0,1] обозначает банахово пространство непрерывных вещественных функций на интервале [0,1] с нормой sup . Обозначим подпространство всех функций f ∈ C [0,1] с f (0) = 0 через M . Тогда класс эквивалентности некоторой функции g определяется ее значением в 0, а факторпространство C [0,1]/ M изоморфно R .

Если X — гильбертово пространство , то факторпространство X / M изоморфно ортогональному дополнению к M.

Обобщение на локально выпуклые пространства

Фактор локально выпуклого пространства по замкнутому подпространству снова локально выпукл. ^[8] Действительно, предположим, что X локально выпукло, так что топология на X порождается семейством полунорм { p _α  | α ∈  A }, где A — индексное множество. Пусть M — замкнутое подпространство, и определим полунормы q _α на X / M как

${\displaystyle q_{\alpha }([x])=\inf _{v\in [x]}p_{\alpha }(v).}$

Тогда X / M — локально выпуклое пространство, а топология на нем — топология факторпространства .

Если, кроме того, X метризуемо , то также метризуемо и X / M. Если X является пространством Фреше , то также метризуемо и X / M. [ ^9]

Смотрите также

• Факторная группа
• Модуль частного
• Частное множество
• Факторное пространство (топология)

Ссылки

1. Халмос (1974), стр. 33-34, §§ 21-22.
2. Кацнельсон и Кацнельсон (2008), с. 9 § 1.2.4
3. Роман (2005) стр. 75-76, гл. 3
4. Акслер (2015) стр. 95, § 3.83
5. Халмош (1974) с. 34, § 22, Теорема 1
6. Акслер (2015) стр. 97, § 3.89
7. Халмош (1974) с. 34, § 22, Теорема 2
8. Дьедонне (1976) с. 65, § 12.14.8
9. Дьедонне (1976) с. 54, § 12.11.3

Источники

• Axler, Sheldon (2015). Линейная алгебра, сделанная правильно . Бакалаврские тексты по математике (3-е изд.). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0.
• Дьедонне, Жан (1976), Трактат об анализе , том. 2, Академическое издательство , ISBN 978-0122155024
• Халмош, Пол Ричард (1974) [1958]. Конечномерные векторные пространства . Бакалаврские тексты по математике (2-е изд.). Springer . ISBN 0-387-90093-4.
• Кацнельсон, Ицхак ; Кацнельсон, Йонатан Р. (2008). (Краткое) Введение в линейную алгебру . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4419-9.
• Роман, Стивен (2005). Продвинутая линейная алгебра . Graduate Texts in Mathematics (2-е изд.). Springer . ISBN 0-387-24766-1.