Размерность (векторное пространство)

Number of vectors in any basis of the vector space

В математике размерность векторного пространства V — это мощность (т . е. число векторов) базиса V над его базовым полем . ^{[1] [2]} Иногда ее называют размерностью Гамеля (в честь Георга Гамеля ) или алгебраической размерностью , чтобы отличить ее от других типов размерности .

Для каждого векторного пространства существует базис ^[a] , и все базы векторного пространства имеют одинаковую мощность; ^[b] в результате размерность векторного пространства определена однозначно. Мы говорим ${\displaystyle V}$конечномерный, если размерностьконечна, и ${\displaystyle V}$бесконечномерен, если его размерностьбесконечна.

Размерность векторного пространства над полем можно записать или прочитать как «размерность над ». Когда можно вывести из контекста, обычно пишется. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \dim _{F}(V)}$ ${\displaystyle [V:F],}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \dim(V)}$

Примеры

Векторное пространство имеет ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

$${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right\}}$$

стандартной основыобласти ${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{3})=3.}$ ${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{n})=n,}$ ${\displaystyle \dim _{F}(F^{n})=n}$ ${\displaystyle F.}$

Комплексные числа представляют собой как вещественное, так и комплексное векторное пространство; у нас есть и Итак, размерность зависит от базового поля. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {C} )=2}$ ${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} )=1.}$

Единственное векторное пространство с размерностью — это векторное пространство, состоящее только из нулевого элемента. ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \{0\},}$

Характеристики

Если - линейное подпространство тогда ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \dim(W)\leq \dim(V).}$

Чтобы показать, что два конечномерных векторных пространства равны, можно использовать следующий критерий: если — конечномерное векторное пространство и является линейным подпространством с , то ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \dim(W)=\dim(V),}$ ${\displaystyle W=V.}$

Пространство имеет стандартный базис где -й столбец соответствующей единичной матрицы . Следовательно, имеет размерность ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\},}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n.}$

Любые два конечномерных векторных пространства одинаковой размерности изоморфны . Любое биективное отображение между их базами можно однозначно расширить до биективного линейного отображения между векторными пространствами. Если - некоторое множество, векторное пространство с размерностью более можно построить следующим образом: взять набор всех функций такой, что для всех, кроме конечного числа, в Эти функции можно сложить и умножить на элементы для получения желаемого -векторного пространства. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle |B|}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F(B)}$ ${\displaystyle f:B\to F}$ ${\displaystyle f(b)=0}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

Важный результат о размерностях даёт теорема о ранге-нулевой для линейных отображений .

Если является расширением поля , то это, в частности, векторное пространство над. Кроме того, каждое -векторное пространство также является -векторным пространством. Размеры связаны формулой ${\displaystyle F/K}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$

$${\displaystyle \dim _{K}(V)=\dim _{K}(F)\dim _{F}(V).}$$

${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n.}$

Некоторые формулы связывают размерность векторного пространства с мощностью базового поля и мощностью самого пространства. If — векторное пространство над полем и если размерность обозначается то: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \dim V,}$

Если dim конечно, то ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle |V|=|F|^{\dim V}.}$

Если dim бесконечен, то ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle |V|=\max(|F|,\dim V).}$

Обобщения

Векторное пространство можно рассматривать как частный случай матроида , и в последнем имеется четко определенное понятие размерности. Длина модуля и ранг абелевой группы обладают несколькими свойствами, аналогичными размерности векторных пространств.

Размерность Крулля коммутативного кольца , названная в честь Вольфганга Крулля (1899–1971), определяется как максимальное число строгих включений в возрастающую цепочку простых идеалов в кольце.

След

В качестве альтернативы размерность векторного пространства можно охарактеризовать как след тождественного оператора . Например, это определение кажется круговым, но оно допускает полезные обобщения. ${\displaystyle \operatorname {tr} \ \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{2}}=\operatorname {tr} \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)=1+1=2.}$

Во-первых, он позволяет определить понятие размерности, когда у него есть след, но нет естественного чувства основы. Например, можно иметь алгебру с отображениями (включение скаляров, называемое единицей ) и карту (соответствующую следу, называемую единицей ). Композиция является скаляром (будучи линейным оператором в одномерном пространстве) соответствует «следу идентичности» и дает понятие размерности абстрактной алгебры. На практике в биалгебрах это отображение должно быть тождественным, которое можно получить нормализацией единицы путем деления на размерность ( ), поэтому в этих случаях нормализующая константа соответствует размерности. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \eta :K\to A}$ ${\displaystyle \epsilon :A\to K}$ ${\displaystyle \epsilon \circ \eta :K\to K}$ ${\displaystyle \epsilon :=\textstyle {\frac {1}{n}}\operatorname {tr} }$

В качестве альтернативы можно найти след операторов в бесконечномерном пространстве; в этом случае определяется (конечный) след, даже если (конечного) измерения не существует, и это дает понятие «размерности оператора». Они подпадают под категорию « операторов следового класса » в гильбертовом пространстве или, в более общем смысле, ядерных операторов в банаховом пространстве .

Более тонкое обобщение состоит в том, чтобы рассматривать след семейства операторов как своего рода «искривленное» измерение. Это происходит в значительной степени в теории представлений , где характер представления является следом представления, следовательно, скалярной функцией на группе , значение которой для идентичности является размерностью представления, поскольку представление отправляет идентичность в группу. к единичной матрице: другие значения символа можно рассматривать как «искаженные» измерения и находить аналоги или обобщения утверждений о измерениях на утверждения о символах или представлениях. Сложный пример этого встречается в теории чудовищного самогона : -инвариант — это градуированное измерение бесконечномерного градуированного представления группы монстров , а замена измерения на характер дает ряд Маккея-Томпсона для каждого элемента Группа монстров. ^[3] ${\displaystyle \chi :G\to K,}$ ${\displaystyle 1\in G}$ ${\displaystyle \chi (1_{G})=\operatorname {tr} \ I_{V}=\dim V.}$ ${\displaystyle \chi (g)}$ ${\displaystyle j}$

Смотрите также

• Фрактальное измерение  - соотношение, обеспечивающее статистический индекс изменения сложности в зависимости от масштаба.
• Размерность Крулля  - в математике размерность кольца.
• Ранг матроида  – максимальный размер независимого набора матроидов.
• Ранг (линейная алгебра)  - Размерность столбца матрицы.
• Топологическая размерность  - Топологически инвариантное определение размерности пространства Pages displaying short descriptions of redirect targets, также называемое размерностью покрытия Лебега.

Примечания

1. если принять аксиому выбора
2. см . теорему о размерности для векторных пространств.

Рекомендации

1. Ицков, Михаил (2009). Тензорная алгебра и тензорный анализ для инженеров: с приложениями к механике сплошных сред. Спрингер. п. 4. ISBN 978-3-540-93906-1.
2. Экслер (2015) с. 44, §2.36
3. Гэннон, Терри (2006), Самогон за пределами монстра: мост, соединяющий алгебру, модульные формы и физику , Cambridge University Press, ISBN 0-521-83531-3

Источники

• Экслер, Шелдон (2015). Линейная алгебра сделана правильно . Тексты для студентов по математике (3-е изд.). Спрингер . ISBN 978-3-319-11079-0.

Внешние ссылки

• Лекция Гилберта Стрэнга по линейной алгебре Массачусетского технологического института о независимости, базисе и размерности в MIT OpenCourseWare