Теорема Ферма о суммах двух квадратов

Условие, при котором нечетное простое число является суммой двух квадратов

В аддитивной теории чисел теорема Ферма о суммах двух квадратов утверждает, что нечетное простое число p можно выразить как:

${\displaystyle p=x^{2}+y^{2},}$

с целыми числами x и y тогда и только тогда, когда

${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}.}$

Простые числа, для которых это справедливо, называются простыми числами Пифагора . Например, простые числа 5, 13, 17, 29, 37 и 41 конгруэнтны 1 по модулю 4, и их можно выразить как сумму двух квадратов следующими способами:

${\displaystyle 5=1^{2}+2^{2},\quad 13=2^{2}+3^{2},\quad 17=1^{2}+4^{2},\quad 29=2^{2}+5^{2},\quad 37=1^{2}+6^{2},\quad 41=4^{2}+5^{2}.}$

С другой стороны, простые числа 3, 7, 11, 19, 23 и 31 конгруэнтны 3 по модулю 4, и ни одно из них не может быть выражено в виде суммы двух квадратов. Это более простая часть теоремы, и она сразу следует из наблюдения, что все квадраты конгруэнтны 0 или 1 по модулю 4.

Поскольку тождество Диофанта подразумевает, что произведение двух целых чисел, каждое из которых можно записать в виде суммы двух квадратов, само выражается как сумма двух квадратов, применяя теорему Ферма к простой факторизации любого положительного целого числа n , мы видим, что если все простые множители числа n , соответствующие 3 по модулю 4, имеют четный показатель степени, то n выражается как сумма двух квадратов. Обратное также справедливо. ^[1] Это обобщение теоремы Ферма известно как теорема о сумме двух квадратов .

История

Альбер Жирар был первым, кто сделал это наблюдение, охарактеризовав целые положительные числа (не обязательно простые), которые выражаются как сумма двух квадратов целых положительных чисел; это было опубликовано в 1625 году. ^{[2] [3]} Утверждение о том, что каждое простое число p формы 4n+1 является суммой двух квадратов, иногда называют теоремой Жирара . ^[4] Со своей стороны, Ферма написал развернутую версию утверждения (в которой он также указал количество возможных выражений степени p в виде суммы двух квадратов) в письме Марину Мерсенну от 25 декабря 1640 года: по этой причине эту версию теоремы иногда называют теоремой Рождества Ферма.

Гауссовы простые числа

Теорема Ферма о суммах двух квадратов тесно связана с теорией гауссовских простых чисел .

Гауссово целое число — это комплексное число , такое что a и b — целые числа. Норма гауссовского целого числа — это целое число, равное квадрату абсолютного значения гауссовского целого числа. Норма произведения гауссовских целых чисел есть произведение их норм. Это тождество Диофанта , которое непосредственно вытекает из аналогичного свойства абсолютной величины. ${\displaystyle a+ib}$ ${\displaystyle N(a+ib)=a^{2}+b^{2}}$

Гауссовы целые числа образуют область главного идеала . Это означает, что гауссовы простые числа могут быть определены аналогично простым числам, то есть как те гауссовские целые числа, которые не являются произведением двух неединичных чисел (здесь единицами являются 1, −1, i и − i ).

Мультипликативное свойство нормы означает, что простое число p является либо гауссовским простым числом, либо нормой гауссовского простого числа. Теорема Ферма утверждает, что первый случай имеет место, когда и что второй случай имеет место, когда и Последний случай не рассматривается в утверждении Ферма, но тривиален, как ${\displaystyle p=4k+3,}$ ${\displaystyle p=4k+1}$ ${\displaystyle p=2.}$ ${\displaystyle 2=1^{2}+1^{2}=N(1+i).}$

Связанные результаты

Изложенная точка зрения на теорему Ферма представляет собой частный случай теории факторизации идеалов в кольцах целых квадратичных чисел . Таким образом, если кольцо целых алгебраических чисел в квадратичном поле , то нечетное простое число p , не делящее d , является либо простым элементом в , либо идеальной нормой идеала, который обязательно является простым. Более того, закон квадратичной взаимности позволяет различать эти два случая с точки зрения сравнений. Если — область главных идеалов , то p — идеальная норма тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\sqrt {d}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\sqrt {d}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\sqrt {d}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\sqrt {d}}}$

${\displaystyle 4p=a^{2}-db^{2},}$

где a и b являются целыми числами.

В письме Блезу Паскалю от 25 сентября 1654 г. Ферма объявил следующие два результата, которые по сути являются частными случаями : Если p — нечетное простое число, то ${\displaystyle d=-2}$ ${\displaystyle d=-3.}$

${\displaystyle p=x^{2}+2y^{2}\iff p\equiv 1{\mbox{ or }}p\equiv 3{\pmod {8}},}$

${\displaystyle p=x^{2}+3y^{2}\iff p\equiv 1{\pmod {3}}.}$

Ферма также писал:

Если умножить два простых числа, которые оканчиваются на 3 или 7 и на 3 превосходят число, кратное 4, то их произведение будет состоять из квадрата и пятерки другого квадрата.

Другими словами, если p, q имеют вид 20 k + 3 или 20 k + 7 , то pq = x ² + 5 y ² . Позже Эйлер расширил это предположение до гипотезы, что

${\displaystyle p=x^{2}+5y^{2}\iff p\equiv 1{\mbox{ or }}p\equiv 9{\pmod {20}},}$

${\displaystyle 2p=x^{2}+5y^{2}\iff p\equiv 3{\mbox{ or }}p\equiv 7{\pmod {20}}.}$

И утверждение Ферма, и гипотеза Эйлера были установлены Жозефом-Луи Лагранжем . Эта более сложная формулировка основана на том факте, что это не область главного идеала, в отличие от и ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\sqrt {-5}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\sqrt {-2}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\sqrt {-3}}.}$

Алгоритм

Существует тривиальный алгоритм разложения простого числа формы в сумму двух квадратов: для всех таких n проверить, является ли квадратный корень из целым числом. Если это так, то происходит разложение. ${\displaystyle p=4k+1}$ ${\displaystyle 1\leq n<{\sqrt {p}}}$ ${\displaystyle p-n^{2}}$

Однако входной размер алгоритма — это количество цифр p (с точностью до постоянного множителя, который зависит от системы счисления ). Количество необходимых тестов имеет порядок и, следовательно, экспоненциально зависит от размера входных данных. Таким образом, вычислительная сложность этого алгоритма экспоненциальна . ${\displaystyle \log p,}$ ${\displaystyle {\sqrt {p}}=\exp \left({\frac {\log p}{2}}\right),}$

Алгоритм с полиномиальной сложностью был описан Стэном Вагоном в 1990 году на основе работ Серрета и Эрмита (1848 г.) и Корнаккиа (1908 г.). ^[5]

Описание

Учитывая нечетное простое число в форме , сначала найдите такое, что . Это можно сделать, найдя квадратичный невычет по модулю , скажем , и позволив . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 4k+1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{2}\equiv -1{\pmod {p}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle x=q^{\frac {p-1}{4}}{\pmod {p}}}$

Такое будет удовлетворять условию, поскольку квадратичные невычеты удовлетворяют . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle q^{\frac {p-1}{2}}\equiv -1{\pmod {p}}}$

После определения можно применить алгоритм Евклида с и . Обозначим первые два остатка, меньшие квадратного корня из as и . Тогда будет так . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=p}$

Пример

Брать . Возможный квадратичный невычет для 97 равен 13, поскольку . поэтому мы позволяем . Алгоритм Евклида, примененный к 97 и 22, дает: ${\displaystyle p=97}$ ${\displaystyle 13^{\frac {97-1}{2}}\equiv -1{\pmod {97}}}$ ${\displaystyle x=13^{\frac {97-1}{4}}=22{\pmod {97}}}$

$${\displaystyle 97=22(4)+9,}$$

$${\displaystyle 22=9(2)+4,}$$

$${\displaystyle 9=4(2)+1,}$$

$${\displaystyle 4=1(4).}$$

${\displaystyle 97=9^{2}+4^{2}}$

Доказательства

Ферма обычно не записывал доказательств своих утверждений и не приводил доказательств этого утверждения. Первое доказательство было найдено Эйлером после долгих усилий и основано на бесконечном спуске . Он объявил об этом в двух письмах Гольдбаху , 6 мая 1747 г. и 12 апреля 1749 г.; подробное доказательство он опубликовал в двух статьях (между 1752 и 1755 годами). ^{[6] [7]} Лагранж дал доказательство в 1775 году, основанное на его исследовании квадратичных форм . Это доказательство было упрощено Гауссом в его Disquisitiones Arithmeticae (статья 182). Дедекинд дал по крайней мере два доказательства, основанных на арифметике гауссовских целых чисел . Существует изящное доказательство с использованием теоремы Минковского о выпуклых множествах. Упрощая более раннее короткое доказательство, предложенное Хитом-Брауном (который был вдохновлен идеей Лиувилля), Загер в 1990 году представил неконструктивное доказательство, состоящее из одного предложения. ^[8] А совсем недавно Кристофер дал доказательство на основе теории разбиения . ^[9]

Доказательство Эйлера бесконечным спуском

Эйлеру удалось доказать теорему Ферма о суммах двух квадратов в 1749 году, когда ему было сорок два года. Он сообщил об этом в письме Гольдбаху от 12 апреля 1749 года. ^[10] Доказательство основано на бесконечном спуске и в письме лишь кратко обрисовано. Полное доказательство состоит из пяти шагов и опубликовано в двух статьях. Первые четыре шага представляют собой предложения 1–4 первой статьи ^[11] и не совсем соответствуют четырем шагам, приведенным ниже. Пятый шаг ниже взят из второй статьи. ^{[12] [13]}

Во избежание двусмысленности ноль всегда будет допустимой возможной составляющей «суммы двух квадратов», поэтому, например, каждый квадрат целого числа тривиально выражается как сумма двух квадратов, установив один из них равным нулю.

1. Произведение двух чисел, каждое из которых представляет собой сумму двух квадратов, само является суммой двух квадратов.

Это известное свойство, основанное на тождестве

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(p^{2}+q^{2})=(ap+bq)^{2}+(aq-bp)^{2}}$

благодаря Диофанту .

2. Если число, представляющее собой сумму двух квадратов, делится на простое число, являющееся суммой двух квадратов, то частное является суммой двух квадратов. (Это первое предложение Эйлера).

Действительно, предположим, например, что оно делится на и что последнее является простым числом. Затем делит ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ ${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$ ${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$

${\displaystyle (pb-aq)(pb+aq)=p^{2}b^{2}-a^{2}q^{2}=p^{2}(a^{2}+b^{2})-a^{2}(p^{2}+q^{2}).}$

Поскольку это простое число, оно делит один из двух сомножителей. Предположим, что оно делит . С ${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$ ${\displaystyle pb-aq}$

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(p^{2}+q^{2})=(ap+bq)^{2}+(aq-bp)^{2}}$

(тождество Диофанта) следует, что надо разделить . Таким образом, уравнение можно разделить на квадрат . Разделив выражение на доходность: ${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$ ${\displaystyle (ap+bq)^{2}}$ ${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$ ${\displaystyle (p^{2}+q^{2})^{2}}$

${\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}}{p^{2}+q^{2}}}=\left({\frac {ap+bq}{p^{2}+q^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {aq-bp}{p^{2}+q^{2}}}\right)^{2}}$

и, таким образом, выражает частное как сумму двух квадратов, как утверждается.

С другой стороны, если dives , аналогичный аргумент справедлив, если использовать следующий вариант тождества Диофанта: ${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$ ${\displaystyle pb+aq}$

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(q^{2}+p^{2})=(aq+bp)^{2}+(ap-bq)^{2}.}$

3. Если число, которое можно записать в виде суммы двух квадратов, делится на число, не являющееся суммой двух квадратов, то частное имеет множитель, не являющийся суммой двух квадратов. (Это второе предложение Эйлера).

Пусть число, не выражаемое в виде суммы двух квадратов, делит . Запишите частное, разложенное на его (возможно, повторяющиеся) простые множители, так, чтобы . Если все факторы можно записать как суммы двух квадратов, то мы можем последовательно разделить на , и т. д. и, применив шаг (2), описанный выше, мы приходим к выводу, что каждое последующее, меньшее частное представляет собой сумму двух квадратов. Если мы дойдем до конца, то само должно будет быть равно сумме двух квадратов, что является противоречием. Значит, хотя бы одно из простых чисел не является суммой двух квадратов. ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ ${\displaystyle p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=qp_{1}p_{2}\cdots p_{n}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{2}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p_{i}}$

4. Если и являются относительно простыми натуральными целыми числами, то каждый фактор представляет собой сумму двух квадратов. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$(Это шаг, который использует шаг (3) для создания «бесконечного спуска» и представляет собой предложение Эйлера 4. Доказательство, представленное ниже, также включает доказательство его предложения 3).

Пусть — относительно простые положительные целые числа: без ограничения общности сами по себе не являются простыми, иначе нечего доказывать. Пусть поэтому будет собственным фактором , не обязательно простым: мы хотим показать, что это сумма двух квадратов. Опять же, мы ничего не теряем, допуская, поскольку случай очевиден. ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q>2}$ ${\displaystyle q=2=1^{2}+1^{2}}$

Позвольте быть неотрицательными целыми числами, которые являются ближайшими кратными (по абсолютному значению) соответственно . Обратите внимание, что разности и являются целыми числами, абсолютная величина которых строго меньше : действительно, когда четно, gcd ; в противном случае, поскольку gcd , у нас также был бы gcd . ${\displaystyle m,n}$ ${\displaystyle mq,nq}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle c=a-mq}$ ${\displaystyle d=b-nq}$ ${\displaystyle q/2}$ ${\displaystyle q>2}$ ${\displaystyle (a,q/2)=1}$ ${\displaystyle (a,q/2)\mid q/2\mid q\mid a^{2}+b^{2}}$ ${\displaystyle (a,q/2)\mid b}$

Умножив, получим

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=m^{2}q^{2}+2mqc+c^{2}+n^{2}q^{2}+2nqd+d^{2}=Aq+(c^{2}+d^{2})}$

однозначно определяющее неотрицательное целое число . Поскольку делит оба конца этой последовательности уравнений, отсюда следует, что она также должна делиться на : скажем . Позвольте быть НОД и который по взаимной простоте относительно прост с . Таким образом делит , поэтому записывая , и , получаем выражение для относительно простых и , и с , так как ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle c^{2}+d^{2}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle c^{2}+d^{2}=qr}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle g^{2}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle e=c/g}$ ${\displaystyle f=d/g}$ ${\displaystyle s=r/g^{2}}$ ${\displaystyle e^{2}+f^{2}=qs}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s<q/2}$

${\displaystyle qs=e^{2}+f^{2}\leq c^{2}+d^{2}<\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}=q^{2}/2.}$

Теперь, наконец, шаг спуска : если не является суммой двух квадратов, то на шаге (3.) должен быть множитель, скажем, не являющийся суммой двух квадратов. Но , таким образом, повторяя эти шаги (первоначально с вместо , и так до бесконечности ), мы сможем найти строго убывающую бесконечную последовательность натуральных чисел, которые сами по себе не являются суммами двух квадратов, но которые делятся на сумму двух относительно простые квадраты. Поскольку такой бесконечный спуск невозможен, мы заключаем, что он должен быть выражен как сумма двух квадратов, как это утверждается. ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle q_{1}\leq s<q/2<q}$ ${\displaystyle e,f;q_{1}}$ ${\displaystyle a,b;q}$ ${\displaystyle q,q_{1},q_{2},\ldots }$ ${\displaystyle q}$

5. Каждое простое число формы представляет собой сумму двух квадратов. ${\displaystyle 4n+1}$(Это основной результат второй статьи Эйлера).

Если , то по Малой теореме Ферма каждое из чисел конгруэнтно одному по модулю . Таким образом, все различия делятся на . Каждое из этих различий можно рассматривать как ${\displaystyle p=4n+1}$ ${\displaystyle 1,2^{4n},3^{4n},\dots ,(4n)^{4n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 2^{4n}-1,3^{4n}-2^{4n},\dots ,(4n)^{4n}-(4n-1)^{4n}}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle a^{4n}-b^{4n}=\left(a^{2n}+b^{2n}\right)\left(a^{2n}-b^{2n}\right).}$

Поскольку число простое, оно должно делить один из двух сомножителей. Если в каком-либо из случаев он делит первый делитель, то предыдущим шагом мы заключаем, что он сам является суммой двух квадратов (поскольку и отличаются на , они относительно простые). Так что достаточно показать, что не всегда можно разделить второй сомножитель. Если он разделит все различия , то он разделит все различия последовательных терминов, все различия различий и так далее. Поскольку все th разности последовательности равны ( Конечная разность ), все th разности будут постоянными и равными , что, конечно, не делится на . Следовательно, нельзя разделить все вторые множители, что доказывает, что это действительно сумма двух квадратов. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 4n-1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 4n-1}$ ${\displaystyle 2^{2n}-1,3^{2n}-2^{2n},\dots ,(4n)^{2n}-(4n-1)^{2n}}$ ${\displaystyle 4n-2}$ ${\displaystyle 4n-3}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1^{k},2^{k},3^{k},\dots }$ ${\displaystyle k!}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle (2n)!}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Доказательство Лагранжа через квадратичные формы

Лагранж завершил доказательство в 1775 году ^[14] на основе своей общей теории целых квадратичных форм . Следующее изложение включает в себя небольшое упрощение его аргументации, предложенное Гауссом , которое появляется в статье 182 Disquisitiones Arithmeticae .

(Целочисленная двоичная) квадратичная форма — это выражение формы с целыми числами. Говорят, что число представлено в виде , если существуют целые числа такие, что . Теорема Ферма о суммах двух квадратов тогда эквивалентна утверждению, что простое число представлено формой (т. е. , ) именно тогда, когда оно конгруэнтно модулю . ${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle n=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle a=c=1}$ ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 4}$

Дискриминант квадратичной формы определяется как . Дискриминант тогда равен . ${\displaystyle b^{2}-4ac}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle -4}$

Две формы и эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют замены с целыми коэффициентами . ${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}$ ${\displaystyle a'x'^{2}+b'x'y'+c'y'^{2}}$

${\displaystyle x=\alpha x'+\beta y'}$

${\displaystyle y=\gamma x'+\delta y'}$

с таким, что при подстановке в первую форму получается вторая. Легко видеть, что эквивалентные формы имеют один и тот же дискриминант и, следовательно, одинаковую четность для среднего коэффициента , который совпадает с четностью дискриминанта. Более того, ясно, что эквивалентные формы будут представлять одни и те же целые числа, поскольку такого рода замены можно обратить заменами того же типа. ${\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma =\pm 1}$ ${\displaystyle b}$

Лагранж доказал, что все положительно определенные формы дискриминанта −4 эквивалентны. Таким образом, для доказательства теоремы Ферма достаточно найти любую положительно определенную форму дискриминанта −4, представляющую . Например, можно использовать форму ${\displaystyle p}$

${\displaystyle px^{2}+2mxy+\left({\frac {m^{2}+1}{p}}\right)y^{2},}$

где первый коэффициент a  =  был выбран так, что форма представляет собой установку x  = 1 и y  = 0, коэффициент b  = 2 m является произвольным четным числом (как и должно быть, чтобы получить четный дискриминант), и, наконец, выбирается так, чтобы дискриминант был равен −4, что гарантирует, что форма действительно эквивалентна . Конечно, коэффициент должен быть целым числом, поэтому задача сводится к поиску некоторого целого числа m , которое делит : или, другими словами, «квадратного корня из -1 по модулю » . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle c={\frac {m^{2}+1}{p}}}$ ${\displaystyle b^{2}-4ac=4m^{2}-4pc}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle c={\frac {m^{2}+1}{p}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m^{2}+1}$ ${\displaystyle p}$

Мы утверждаем, что такой квадратный корень из равен . Во-первых, из основной теоремы арифметики Евклида следует , что . Следовательно, : т. е. являются их собственными обратными по модулю и это свойство является для них уникальным. Затем из правильности евклидова деления целых чисел и того факта, что оно простое, следует, что для каждого НОД и может быть выражен с помощью алгоритма Евклида , дающего уникальное и отличное обратное по модулю . В частности, поэтому произведение всех ненулевых остатков по модулю равно . Пусть : из того, что только что наблюдалось, . Но по определению, поскольку каждый термин в может быть соединен с его отрицательным значением в , что, поскольку является нечетным, показывает, что , как и требуется. ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle K=\prod _{k=1}^{\frac {p-1}{2}}k}$ ${\displaystyle ab\equiv 0{\pmod {p}}\iff a\equiv 0{\pmod {p}}\ \ {\hbox{or}}\ \ b\equiv 0{\pmod {p}}}$ ${\displaystyle a^{2}\equiv 1{\pmod {p}}\iff a\equiv \pm 1{\pmod {p}}}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 2\leq a\leq p-2}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a^{-1}\neq a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle L=\prod _{l={\frac {p+1}{2}}}^{p-1}l}$ ${\displaystyle KL\equiv -1{\pmod {p}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L=(-1)^{\frac {p-1}{2}}K}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle K^{2}\equiv -1{\pmod {p}}\iff p\equiv 1{\pmod {4}}}$

Два доказательства Дедекинда с использованием целых гауссовских чисел

Ричард Дедекинд дал по крайней мере два доказательства теоремы Ферма о суммах двух квадратов, оба с использованием арифметических свойств гауссовских целых чисел , которые представляют собой числа вида a  +  bi , где a и b — целые числа, а i — квадратный корень из −1. Один из них появляется в разделе 27 его изложения идеалов, опубликованного в 1877 году; второй появился в Приложении XI к книге Питера Густава Лежена Дирихле «Vorlesungen über Zahlentheorie » и был опубликован в 1894 году.

1. Первое доказательство. Если – нечетное простое число , то мы имеем целые гауссовы числа. Следовательно, записав гауссово целое число ω =  x  +  iy с x,y  ∈  Z и применив автоморфизм Фробениуса в Z [ i ]/( p ), находим ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle i^{p-1}=(-1)^{\frac {p-1}{2}}}$

${\displaystyle \omega ^{p}=(x+yi)^{p}\equiv x^{p}+y^{p}i^{p}\equiv x+(-1)^{\frac {p-1}{2}}yi{\pmod {p}},}$

поскольку автоморфизм фиксирует элементы Z /( p ). В данном случае для некоторого целого числа n, как и в приведенном выше выражении для ω ^p , показатель степени (p-1)/2 от -1 является четным. Следовательно, правая часть равна ω, поэтому в этом случае эндоморфизм Фробениуса Z [ i ]/( p ) тождественен. ${\displaystyle p=4n+1}$

Куммер уже установил, что если f ∈ {1,2 } является порядком автоморфизма Фробениуса Z [ i ]/( p ), то идеал в Z [ i ] будет произведением 2/ f различных простых идеалов . (На самом деле Куммер установил гораздо более общий результат для любого расширения Z , полученного присоединением примитивного корня m -й степени из единицы , где m было любым положительным целым числом; это случай m = 4 этого результата.) Следовательно, идеал ( p ) является произведением двух различных простых идеалов в Z [ i ]. Поскольку гауссовы целые числа являются евклидовой областью для функции нормы , каждый идеал является главным и порождается ненулевым элементом идеала минимальной нормы. Поскольку норма мультипликативна, норма генератора одного из идеальных факторов ( p ) должна быть строгим делителем , так что мы должны иметь , что дает теорему Ферма. ${\displaystyle (p)}$ ${\displaystyle N(x+iy)=x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle N(p)=p^{2}}$ ${\displaystyle p=N(\alpha )=N(a+bi)=a^{2}+b^{2}}$

2. Второе доказательство. Это доказательство основано на результате Лагранжа о том, что если — простое число, то должно существовать такое целое число m , которое делится на p (мы также можем увидеть это с помощью критерия Эйлера ); он также использует тот факт, что гауссовы целые числа являются уникальной областью факторизации (поскольку они являются евклидовой областью). Поскольку p ∈ Z не делит ни одно из гауссовских целых чисел и (поскольку он не делит их мнимые части ), но делит их произведение , из этого следует, что не может быть простым элементом в гауссовских целых числах. Поэтому мы должны иметь нетривиальную факторизацию p в гауссовских целых числах, которая с учетом нормы может иметь только два множителя (поскольку норма мультипликативна, и может быть только до двух множителей p), поэтому должно быть формы для некоторых целых чисел и . Это сразу же дает такой результат . ${\displaystyle p=4n+1}$ ${\displaystyle m^{2}+1}$ ${\displaystyle m+i}$ ${\displaystyle m-i}$ ${\displaystyle m^{2}+1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p^{2}=N(p)}$ ${\displaystyle p=(x+yi)(x-yi)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}$

Доказательство по теореме Минковского.

Для конгруэнтного моду простого числа является квадратичным вычетом по модулю по критерию Эйлера . Следовательно, существует целое число такое, которое делит . Пусть – стандартные базисные элементы векторного пространства и множества и . Рассмотрим решетку . Если тогда . Таким образом, делит для любого . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m^{2}+1}$ ${\displaystyle {\hat {i}},{\hat {j}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle {\vec {u}}={\hat {i}}+m{\hat {j}}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}=0{\hat {i}}+p{\hat {j}}}$ ${\displaystyle S=\{a{\vec {u}}+b{\vec {v}}\mid a,b\in \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle {\vec {w}}=a{\vec {u}}+b{\vec {v}}=a{\hat {i}}+(am+bp){\hat {j}}\in S}$ ${\displaystyle \|{\vec {w}}\|^{2}\equiv a^{2}+(am+bp)^{2}\equiv a^{2}(1+m^{2})\equiv 0{\pmod {p}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|{\vec {w}}\|^{2}}$ ${\displaystyle {\vec {w}}\in S}$

Площадь основного параллелограмма решетки равна . Площадь открытого диска радиусом с центром вокруг начала координат равна . Кроме того, выпукла и симметрична относительно начала координат. Следовательно, по теореме Минковского существует ненулевой вектор такой, что . И то , и другое . Следовательно, это сумма квадратов составляющих . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\sqrt {2p}}}$ ${\displaystyle 2\pi p>4p}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\vec {w}}\in S}$ ${\displaystyle {\vec {w}}\in D}$ ${\displaystyle \|{\vec {w}}\|^{2}<2p}$ ${\displaystyle p\mid \|{\vec {w}}\|^{2}}$ ${\displaystyle p=\|{\vec {w}}\|^{2}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\vec {w}}}$

«Доказательство одним предложением» Загера

Пусть будет простым, обозначим натуральные числа (с нулем или без него) и рассмотрим конечное множество троек чисел. Тогда имеет две инволюции : очевидную , неподвижные точки которой соответствуют представлениям в виде суммы двух квадратов, и более сложную, ${\displaystyle p=4k+1}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle S=\{(x,y,z)\in \mathbb {N} ^{3}:x^{2}+4yz=p\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (x,z,y)}$ ${\displaystyle (x,y,y)}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle (x,y,z)\mapsto {\begin{cases}(x+2z,~z,~y-x-z),\quad {\textrm {if}}\,\,\,x<y-z\\(2y-x,~y,~x-y+z),\quad {\textrm {if}}\,\,\,y-z<x<2y\\(x-2y,~x-y+z,~y),\quad {\textrm {if}}\,\,\,x>2y\end{cases}}}$

который имеет ровно одну неподвижную точку . Это доказывает, что мощность нечетна. Следовательно, имеет также неподвижную точку относительно очевидной инволюции. ${\displaystyle (1,1,k)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Это доказательство, принадлежащее Загеру , является упрощением более раннего доказательства Хита-Брауна , которое, в свою очередь, было вдохновлено доказательством Лиувилля . Техника доказательства представляет собой комбинаторный аналог топологического принципа, согласно которому эйлеровы характеристики топологического пространства с инволюцией и его множества неподвижных точек имеют одинаковую четность, и напоминает использование знакопереворачивающих инволюций в доказательствах комбинаторные биекции.

Это доказательство эквивалентно геометрическому или «визуальному» доказательству с использованием фигур «ветряных мельниц», данному Александром Спиваком в 2006 году и описанному в этом посте MathOverflow и этом видео Mathologer на YouTube. Почему это визуальное доказательство пропадало в течение 400 лет? (Теорема Ферма о двух квадратах) на YouTube .

Доказательство с помощью теории разделов

В 2016 году А. Дэвид Кристофер дал доказательство на основе теории разделов , рассмотрев разделы нечетного простого числа , имеющие ровно два размера , каждое из которых встречается ровно раз, и показав, что по крайней мере один такой раздел существует, если он конгруэнтен 1 по модулю 4. ^{[15] ]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{i}(i=1,2)}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle n}$

Смотрите также

• Теорема Лежандра о трёх квадратах
• Теорема Лагранжа о четырех квадратах
• Константа Ландау – Рамануджана
• Лемма Туэ
• Теорема Фридлендера – Иванца

Рекомендации

• Д.А. Кокс (1989). Простые числа формы x ²  + ny ² . Уайли-Интерсайенс. ISBN 0-471-50654-0.*Ричард Дедекинд, Теория целых алгебраических чисел .
• ЛЕ Диксон . История теории чисел Vol. 2. Издательство Челси, Нью-Йорк, 1920 г.
• Гарольд М. Эдвардс , Великая теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел . Тексты для аспирантов по математике нет. 50, Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк, 1977.
• К. Ф. Гаусс, Disquisitiones Arithmeticae (английское издание). Перевод Артур А. Кларк. Спрингер-Верлаг, 1986.
• Гольдман, Джей Р. (1998), Королева математики: исторически мотивированное руководство по теории чисел , AK Peters , ISBN 1-56881-006-7
• Д. Р. Хит-Браун, Теорема Ферма о двух квадратах . Инвариант, 11 (1984), стр. 3–5.
• Джон Стиллвелл , Ричард Дедекинд «Введение в теорию алгебраических целых чисел ». Кембриджская математическая библиотека, издательство Кембриджского университета, 1996. ISBN 0-521-56518-9 
• Дон Загер . Доказательство в одном предложении того, что каждое простое число p ≡ 1 по модулю 4 является суммой двух квадратов . амер. Математика. Ежемесячник 97 (1990), вып. 2, 144, дои : 10.2307/2323918

Примечания

1. Доказательство обратного см., например, 20.1, теоремы 367 и 368, в: GH Hardy and EM Wright. Введение в теорию чисел, Оксфорд, 1938 г.
2. Саймон Стевин . «Арифметика Симона Стевена де Брюгге», с аннотациями Альберта Жирара, Лейд, 1625, стр. 622.
3. Л. Е. Диксон, История теории чисел, Vol. II, гл. VI, с. 227. «А. Жирар... уже дал определение чисел, выражаемых суммой двух целых квадратов: каждого квадрата, каждого простого числа 4n+1, произведения, составленного из таких чисел, и двойника предыдущих»
4. Л. Е. Диксон, История теории чисел, Vol. II, гл. VI, с. 228.
5. Вагон, Стэн (1990), «Уголок редактора: Евклидов алгоритм снова наносит удар», American Mathematical Monthly , 97 (2): 125, doi : 10.2307/2323912, MR  1041889.
6. De numeris qui sunt aggregata duorum Quadatorum. (Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 4 (1752/3), 1758, 3–40)
7. Демонстрация теоремы ФЕРМАТИАНИ omnem numerum primum formae 4n+1 esse summam duorumquadatorum. (Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 5 (1754/5), 1760, 3–13)
8. Загер, Д. (1990), «Доказательство одним предложением того, что каждое простое число p  ≡ 1 (по модулю 4) является суммой двух квадратов», American Mathematical Monthly , 97 (2): 144, doi : 10.2307/2323918, МР  1041893.
9. А. Дэвид Кристофер. «Теоретико-раздельное доказательство теоремы Ферма о двух квадратах», Discrete Mathematics 339 : 4: 1410–1411 (6 апреля 2016 г.) doi : 10.1016/j.disc.2015.12.002
10. Эйлер а Гольдбах, письмо CXXV
11. De numeris qui sunt aggregata duorum Quadatorum. (Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 4 (1752/3), 1758, 3–40) [1]
12. Демонстрация теоремы ФЕРМАТИАНИ omnem numerum primum formae 4n+1 esse summam duorumquadatorum. (Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 5 (1754/5), 1760, 3–13) [2]
13. Краткое содержание основано на книге Эдвардса, страницы 45–48.
14. Ноув. Память акад. Берлин, 1771 год, 125; там же. Анна 1773, 275; там же, 1775 г., 351.
15. А. Дэвид Кристофер, Теоретико-раздельное доказательство теоремы Ферма о двух квадратах», Discrete Mathematics, 339 (2016) 1410–1411.

Внешние ссылки

• Еще два доказательства на PlanetMath.org.
• «Доказательство теоремы одним предложением». Архивировано из оригинала 5 февраля 2012 года.{{cite web}}: CS1 maint: unfit URL (link)
• Теорема Ферма о двух квадратах, Д. Р. Хит-Браун, 1984.
• Польстер, Буркард (2019) «Теорема Рождества Ферма: визуализация скрытого круга в π/4 = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + ...» (Видео). Матолог .