Карл Вейерштрасс

Немецкий математик (1815–1897).

Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (нем. Weierstraß [ˈvaɪɐʃtʁaːs] ; ^[1] 31 октября 1815 – 19 февраля 1897) был немецким математиком , которого часто называют «отцом современного анализа ». Несмотря на то, что он покинул университет без ученой степени, он изучал математику и выучился на школьного учителя, в конечном итоге преподавал математику, физику, ботанику и гимнастику . ^[2] Позже он получил почетную докторскую степень и стал профессором математики в Берлине.

Среди многих других вкладов Вейерштрасс формализовал определение непрерывности функции и комплексного анализа , доказал теорему о промежуточном значении и теорему Больцано-Вейерштрасса и использовал последнюю для изучения свойств непрерывных функций на замкнутых ограниченных интервалах.

биография

Вейерштрасс родился в римско-католической семье в Остенфельде, деревне недалеко от Эннигерло , в провинции Вестфалия . ^[3]

Вейерштрасс был сыном Вильгельма Вейерштрасса, правительственного чиновника, и Теодоры Вондерфорст, которые оба были католиками из Рейнской области . Его интерес к математике начался, когда он был студентом гимназии Теодорианума в Падерборне . После окончания учебы его отправили в Боннский университет для подготовки к государственной должности. Поскольку его исследования должны были быть в области права, экономики и финансов, его надежды на изучение математики сразу же оказались в противоречии со своими надеждами. Он разрешил конфликт, не обращая внимания на запланированный курс обучения, но продолжая частное обучение математике. В результате он покинул университет без ученой степени. Затем он изучал математику в Мюнстерской академии (которая уже тогда славилась математикой), и его отец смог добиться для него места в педагогической школе в Мюнстере . Позже он получил сертификат учителя в этом городе. В этот период обучения Вейерштрасс посещал лекции Кристофа Гудермана и заинтересовался эллиптическими функциями .

В 1843 преподавал в Дойч-Кроне в Западной Пруссии , а с 1848 преподавал в лицее Hosianum в Браунсберге . ^[4] Помимо математики он также преподавал физику, ботанику и гимнастику. ^[3]

У Вейерштрасса, возможно, был внебрачный ребенок по имени Франц от вдовы его друга Карла Вильгельма Борхардта . ^[5]

После 1850 года Вейерштрасс долго болел, но смог публиковать математические статьи, которые принесли ему известность и признание. 31 марта 1854 года Кенигсбергский университет присвоил ему степень почетного доктора. В 1856 году он занял кафедру в Gewerbeinstitut в Берлине (институт для обучения технических рабочих, который позже объединился с Бауакадемией и образовал Технический университет Берлина ). В 1864 году он стал профессором Берлинского университета Фридриха Вильгельма, который позже стал Берлинским университетом Гумбольдта .

В 1870 году, в возрасте пятидесяти пяти лет, Вейерштрасс встретил Софью Ковалевскую , которую он обучал в частном порядке после того, как не смог добиться ее поступления в университет. У них были плодотворные интеллектуальные и добрые личные отношения, которые «намного превосходили обычные отношения учителя и ученика». Он был ее наставником в течение четырех лет и считал ее своей лучшей ученицей, помогая ей получить докторскую степень в Гейдельбергском университете без необходимости устной защиты диссертации. Он был неподвижен последние три года своей жизни и умер в Берлине от пневмонии . ^[6]

С 1870 года и до своей смерти в 1891 году Ковалевский переписывался с Вейерштрассом. Узнав о ее смерти, он сжег ее письма. Сохранилось около 150 его писем к ней. Профессор Рейнхард Бёллинг  [ де ] обнаружил черновик письма, которое она написала Вейерштрассу, когда прибыла в Стокгольм в 1883 году после назначения приват-доцентом Стокгольмского университета . ^[7]

Математический вклад

Правильность расчета

Вейерштрасс интересовался надежностью исчисления , и в то время существовали несколько двусмысленные определения основ исчисления, так что важные теоремы не могли быть доказаны с достаточной строгостью. Хотя Больцано разработал достаточно строгое определение предела еще в 1817 году (а, возможно, даже раньше), его работа оставалась неизвестной большей части математического сообщества до тех пор, пока годы спустя, и многие математики имели лишь расплывчатые определения пределов и непрерывности функций .

Основная идея доказательства дельта-эпсилон , возможно, впервые была найдена в работах Коши в 1820-х годах. ^{[8] [9]} Коши не проводил четкого различия между непрерывностью и равномерной непрерывностью на интервале. Примечательно, что в своем «Курсе анализа» 1821 года Коши утверждал, что (точечный) предел (точечных) непрерывных функций сам по себе (точечно) непрерывен, что в целом неверно. Правильным утверждением является, скорее, то, что равномерный предел непрерывных функций непрерывен (также равномерный предел равномерно непрерывных функций равномерно непрерывен). Для этого потребовалась концепция равномерной конвергенции , которая впервые была обнаружена советником Вейерштрасса Кристофом Гудерманном в статье 1838 года, где Гудерман отметил это явление, но не дал ему определения и не уточнил его. Вейерштрасс осознавал важность этой концепции, формализовал ее и широко применил в основах исчисления.

Формальное определение непрерывности функции, сформулированное Вейерштрассом, выглядит следующим образом:

${\displaystyle \displaystyle f(x)}$является непрерывным в том случае, если таково, что для каждого в области ,   Говоря простым языком, является непрерывным в точке , если для каждого достаточно близкого к , значение функции очень близко к , где ограничение «достаточно близко» обычно зависит от желаемой близости of to Используя это определение, он доказал теорему о промежуточном значении. Он также доказал теорему Больцано-Вейерштрасса и использовал ее для изучения свойств непрерывных функций на замкнутых и ограниченных интервалах. ${\displaystyle \displaystyle x=x_{0}}$ ${\displaystyle \displaystyle \forall \ \varepsilon >0\ \exists \ \delta >0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \displaystyle \ |x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .}$ ${\displaystyle \displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \displaystyle x=x_{0}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x_{0})}$ ${\displaystyle f(x_{0})}$ ${\displaystyle f(x).}$

Вариационное исчисление

Вейерштрасс также добился успехов в области вариационного исчисления . Используя аппарат анализа, который он помог разработать, Вейерштрасс смог дать полную переформулировку теории, проложившей путь к современному изучению вариационного исчисления. Среди нескольких аксиом Вейерштрасс установил необходимое условие существования сильных экстремумов вариационных задач. Он также помог разработать условие Вейерштрасса–Эрдмана , которое дает достаточные условия для того, чтобы экстремаль имела угол вдоль заданного экстремума, и позволяет найти минимизирующую кривую для данного интеграла.

Другие аналитические теоремы

• Теорема Стоуна – Вейерштрасса
• Теорема Казорати – Вейерштрасса
• Эллиптическая функция Вейерштрасса
• Функция Вейерштрасса
• М-тест Вейерштрасса
• Подготовительная теорема Вейерштрасса
• Теорема Линдеманна – Вейерштрасса
• Теорема факторизации Вейерштрасса
• Параметризация Вейерштрасса – Эннепера

Студенты

• Эдмунд Гуссерль

Почести и награды

Его именем названы лунный кратер Вейерштрасс и астероид 14100 Вейерштрасс . Также в Берлине есть Институт прикладного анализа и стохастики Вейерштрасса .

Избранные работы

• Zur Theorie der Abelschen Funktionen (1854)
• Теория дер Абельшен Функционен (1856)
• Abhandlungen-1 , Матем. Верке. Бд. 1. Берлин, 1894 год.
• Abhandlungen-2 , Матем. Верке. Бд. 2. Берлин, 1895 год.
• Abhandlungen-3 , Матем. Верке. Бд. 3. Берлин, 1903 год.
• Ворл. ueber die Theorie der Abelschen Transcendenten , Math. Верке. Бд. 4. Берлин, 1902 год.
• Ворл. ueber Variationsrechnung , Math. Верке. Бд. 7. Лейпциг, 1927 год.

Смотрите также

• Список вещей, названных в честь Карла Вейерштрасса

Рекомендации

1. Дуден. Das Aussprachewörterbuch. 7. Ауфляж. Библиографический институт, Берлин, 2015 г., ISBN  978-3-411-04067-4 .
2. Вейерштрасс, Карл Теодор Вильгельм. (2018). В Helicon (ред.), Полная энциклопедия Хатчинсона с атласом и путеводителем по погоде . [В сети]. Абингтон: Геликон. Доступно по адресу: http://libezproxy.open.ac.uk/login?url=https://search.credoreference.com/content/entry/heliconhe/weierstrass_karl_theodor_wilhelm/0?institutionId=292 [Проверено 8 июля 2018 г.].
3. О'Коннор, Джей-Джей; Робертсон, EF (октябрь 1998 г.). «Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс». Школа математики и статистики, Университет Сент-Эндрюс, Шотландия . Проверено 7 сентября 2014 г.
4. Эльстродт, Юрген (2016), Кениг, Вольфганг; Шпрекельс, Юрген (ред.), «Die prägenden Jahre im Leben von Karl Weierstraß», Карл Вейерштрасс (1815–1897) (на немецком языке), Висбаден: Springer Fachmedien Wiesbaden, стр. 11–51, doi : 10.1007/978-3 -658-10619-5_2, ISBN 978-3-658-10618-8, получено 12 августа 2023 г.
5. Бирманн, Курт-Р.; Шубринг, Герт (1996). «Einige Nachträge zur Biography von Karl Weierstraß. (Немецкий) [Некоторые постскриптумы к биографии Карла Вейерштрасса]». История математики . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. стр. 65–91.
6. Словарь научной биографии . Гиллиспи, Чарльз Коулстон, Американский совет научных обществ. Нью-Йорк. 1970. с. 223. ИСБН 978-0-684-12926-6. ОСЛК  89822.{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) CS1 maint: другие ( ссылка )
7. Кузнецов, Вадим Б., изд. (2002). «Жизнь С. В. Ковалевской Роджера Л. Кука». Собственность Ковалевского (Лидс, 2000 г.) Труды CRM и конспекты лекций, том. 32 . Американское математическое соц. стр. 1–19. ISBN 978-0-8218-7330-4; См. стр. 7 в книге 2002 года.{{cite book}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )онлайн-текст
8. Грабинер, Джудит В. (март 1983 г.), «Кто дал вам эпсилон? Коши и истоки строгого исчисления» (PDF) , The American Mathematical Monthly , 90 (3): 185–194, doi : 10.2307/2975545, JSTOR  2975545, заархивировано (PDF) из оригинала 29 ноября 2014 г.
9. Коши, А.-Л. (1823), «Septième Leçon – Valeurs de quelques выражения, которые присутствуют в неопределенных формах ∞ ∞, ∞ 0, … {\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }},\infty ^{0},\ ldots } Отношение, которое существует между взаимосвязями между различиями между конечными и заданными функциями", Résumé des leçons données à l'école royale Polytechnique sur le Calcul infinitésimal, Париж, заархивировано из оригинала 4 мая 2009 г., получено 05 мая 2009 г. 01 , с. 44. {{citation}}: Внешняя ссылка |postscript=( помощь )CS1 maint: постскриптум ( ссылка )

Внешние ссылки

• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Карл Вейерштрасс», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Оцифрованные версии оригинальных публикаций Вейерштрасса находятся в свободном онлайн-доступе в библиотеке Берлинской Бранденбургской академии Wissenschaften .
• Работы Карла Вейерштрасса в Project Gutenberg
• Работы Карла Вейерштрасса или о нем в Internet Archive