Алгебраическая дробь

Своеобразное математическое выражение

В алгебре алгебраическая дробь — это дробь , числитель и знаменатель которой являются алгебраическими выражениями . Двумя примерами алгебраических дробей являются и . Алгебраические дроби подчиняются тем же законам, что и арифметические дроби . ${\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}}$ ${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}}$

Рациональная дробь — это алгебраическая дробь, числитель и знаменатель которой являются полиномами . Таким образом , это рациональная дробь, но не потому, что числитель содержит функцию квадратного корня. ${\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}}$ ${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}},}$

Терминология

В алгебраической дроби делимое a называется числителем , а делитель b — знаменателем . Числитель и знаменатель называются членами алгебраической дроби. ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$

Сложная дробь — это дробь, числитель или знаменатель которой (или и то, и другое) содержит дробь. Простая дробь не содержит дробей ни в числителе, ни в знаменателе. Дробь является наименьшей , если единственный общий делитель числителя и знаменателя равен 1.

Выражение, не представленное в дробной форме, является целым выражением . Целочисленное выражение всегда можно записать в дробной форме, придав ему знаменатель 1. Смешанное выражение представляет собой алгебраическую сумму одного или нескольких целых выражений и одного или нескольких дробных членов.

Рациональные дроби

Если выражения a и b являются полиномами , алгебраическая дробь называется рациональной алгебраической дробью ^[1] или просто рациональной дробью . ^{[2] [3]} Рациональные дроби также известны как рациональные выражения. Рациональная дробь называется правильной, если , и неправильной в противном случае. Например, рациональная дробь правильная, а рациональные дроби и неправильные. Любую неправильную рациональную дробь можно выразить как сумму многочлена (возможно, постоянного) и правильной рациональной дроби. В первом примере неправильной дроби имеем ${\displaystyle {\tfrac {f(x)}{g(x)}}}$ ${\displaystyle \deg f(x)<\deg g(x)}$ ${\displaystyle {\tfrac {2x}{x^{2}-1}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}-x+1}{5x^{2}+3}}}$

${\displaystyle {\frac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}=(x+6)+{\frac {24x-35}{x^{2}-5x+6}},}$

где второй член — правильная рациональная дробь. Сумма двух правильных рациональных дробей также является правильной рациональной дробью. Обратный процесс выражения правильной рациональной дроби в виде суммы двух или более дробей называется ее разложением на простейшие дроби . Например,

${\displaystyle {\frac {2x}{x^{2}-1}}={\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x+1}}.}$

Здесь два члена справа называются частичными дробями.

Иррациональные дроби

Иррациональная дробь — это дробь, содержащая переменную под дробным показателем. ^[4] Примером иррациональной дроби является

${\displaystyle {\frac {x^{1/2}-{\tfrac {1}{3}}a}{x^{1/3}-x^{1/2}}}.}$

Процесс преобразования иррациональной дроби в рациональную известен как рационализация . Каждую иррациональную дробь, в которой радикалы являются мономами, можно рационализировать, найдя наименьшее общее кратное индексов корней и заменив эту переменную другой переменной с наименьшим общим кратным в качестве показателя степени. В приведенном примере наименьшее общее кратное равно 6, следовательно, мы можем заменить , чтобы получить ${\displaystyle x=z^{6}}$

${\displaystyle {\frac {z^{3}-{\tfrac {1}{3}}a}{z^{2}-z^{3}}}.}$

Смотрите также

• Частичное дробное разложение

Рекомендации

1. Лал, Банси (2006). Темы интегрального исчисления. Публикации Лакшми. п. 53. ИСБН 9788131800027.
2. Винберг, Эрнест Борисович (2003). Курс алгебры. Американское математическое общество. п. 131. ИСБН 9780821883945.
3. Гупта, Пармананд. Комплексная математика XII. Публикации Лакшми. п. 739. ИСБН 9788170087410.
4. Маккартни, Вашингтон (1844 г.). Принципы дифференциального и интегрального исчисления; и их применение в геометрии. п. 203.

• Бринк, Раймонд В. (1951). «IV. Дроби». Колледж алгебры .