stringtranslate.com

Алгебраическое выражение

В математике алгебраическое выражение — это выражение , составленное из постоянных алгебраических чисел , переменных и алгебраических операций ( сложение , вычитание , умножение , деление и возведение в степень с помощью показателя, который является рациональным числом ). [1] Например, 3 x 2 − 2 xy + c — алгебраическое выражение. Поскольку извлечение квадратного корня равнозначно возведению в степень1/2, следующее также является алгебраическим выражением:

Алгебраическое уравнение — это уравнение , содержащее только алгебраические выражения.

Напротив, трансцендентные числа, такие как π и e , не являются алгебраическими, поскольку они не являются производными от целочисленных констант и алгебраических операций. Обычно π строится как геометрическое соотношение, а определение e требует бесконечного числа алгебраических операций.

Рациональное выражение — это выражение , которое можно переписать в рациональную дробь , используя свойства арифметических операций ( коммутативные свойства и ассоциативные свойства сложения и умножения, распределительное свойство и правила действий над дробями). Другими словами, рациональное выражение — это выражение, которое можно составить из переменных и констант, используя только четыре арифметических операции . Таким образом,

является рациональным выражением, тогда как

нет, т.е. это иррациональное выражение.

Рациональное уравнение — это уравнение, в котором две рациональные дроби (или рациональные выражения) вида

устанавливаются равными друг другу. Эти выражения подчиняются тем же правилам, что и дроби . Уравнения можно решить перекрестным умножением . Деление на ноль не определено, поэтому решение, вызывающее формальное деление на ноль, отклоняется.

Терминология

В алгебре есть своя терминология для описания частей выражения:


1 – показатель степени (степень), 2 – коэффициент, 3 – член, 4 – оператор, 5 – константа, – переменные

В корнях многочленов

Корни полиномиального выражения степени n или , что то же самое, решения полиномиального уравнения всегда можно записать как алгебраические выражения, если n <5 (см. квадратную формулу , кубическую функцию и уравнение четвертой степени ). Такое решение уравнения называется алгебраическим решением . Но теорема Абеля–Руффини утверждает, что алгебраических решений не существует для всех таких уравнений (только для некоторых из них), если n ≥ 5.

Конвенции

Переменные

По соглашению, буквы в начале алфавита (например , ) обычно используются для обозначения констант , а буквы в конце алфавита (например, и ) используются для обозначения переменных . [2] Обычно они пишутся курсивом. [3]

Экспоненты

По соглашению члены с наивысшей степенью ( показатель степени ) записываются слева, например, пишется слева от . Когда коэффициент равен единице, он обычно опускается (например, пишется ). [4] Аналогично, когда показатель степени (степень) равен единице (например, пишется ), [5] и когда показатель степени равен нулю, результат всегда равен 1 (например, пишется , поскольку всегда ). [6]

Алгебраические и другие математические выражения

В таблице ниже показано, как алгебраические выражения сравниваются с некоторыми другими типами математических выражений по типу элементов, которые они могут содержать, в соответствии с общими, но не универсальными соглашениями.

Рациональное алгебраическое выражение (или рациональное выражение ) — это алгебраическое выражение, которое можно записать как частное полиномов , например x 2 + 4 x + 4 . Иррациональное алгебраическое выражение — это выражение, которое не является рациональным, например √ x + 4 .

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Моррис, Кристофер Г. (1992). Словарь академической прессы по науке и технике . Профессиональное издательство Персидского залива. п. 74. Алгебраическое выражение над полем.
  2. ^ Уильям Л. Хош (редактор), Британское руководство по алгебре и тригонометрии , Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, ISBN 1615302190 , 9781615302192, стр. 71 
  3. ^ Джеймс Э. Джентл, Численная линейная алгебра для приложений в статистике , Издательство: Springer, 1998, ISBN 0387985425 , 9780387985428, 221 страница, [Джеймс Э. Джентл, страница 183] 
  4. ^ Дэвид Алан Херцог, Научите себя визуально алгебре , издатель John Wiley & Sons, 2008, ISBN 0470185597 , 9780470185599, 304 страницы, страница 72 
  5. ^ Джон К. Петерсон, Техническая математика с исчислением , издательство Cengage Learning, 2003, ISBN 0766861899 , 9780766861893, 1613 страниц, стр. 31 
  6. ^ Джером Э. Кауфманн, Карен Л. Швиттерс, Алгебра для студентов колледжей , издательство Cengage Learning, 2010, ISBN 0538733543 , 9780538733540, 803 страницы, страница 222 

Рекомендации

Внешние ссылки