Решение в радикалах или алгебраическое решение — это выражение в замкнутой форме , а точнее, алгебраическое выражение в замкнутой форме , которое является решением полиномиального уравнения и полагается только на сложение , вычитание , умножение , деление , возведение в целые степени, и извлечение корней n-й степени (квадратных, кубических и других целочисленных корней).
Известный пример — решение
квадратного уравнения
Существуют более сложные алгебраические решения для кубических уравнений [1] и уравнений четвертой степени . [2] Теорема Абеля-Руффини , [3] : 211 и, в более общем смысле , теория Галуа , утверждают, что некоторые уравнения пятой степени , такие как
не имеют алгебраического решения. То же самое верно для каждой высшей степени. Однако для любой степени существуют полиномиальные уравнения, имеющие алгебраические решения; например, уравнение можно решить как Восемь других решений представляют собой недействительные комплексные числа , которые также являются алгебраическими и имеют форму , где r — корень пятой степени из единицы , который может быть выражен с помощью двух вложенных квадратных корней . См. также функцию квинтики § Другие разрешимые квинтики для различных других примеров в степени 5.
Эварист Галуа ввел критерий, позволяющий решить, какие уравнения разрешимы в радикалах. См. Радикальное расширение для точной формулировки его результата.
Алгебраические решения образуют подмножество выражений в замкнутой форме , поскольку последние допускают трансцендентные функции (неалгебраические функции), такие как показательная функция , логарифмическая функция , а также тригонометрические функции и их обратные.
![{\displaystyle x=\pm {\sqrt[{10}]{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/685464ac5a9ee481b1eaea4e3077295eaa876fc2)
![{\displaystyle x=\pm r{\sqrt[{10}]{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e280ec5745504f0316e7edcf240579cb60cd9202)