Решение в радикалах или алгебраическое решение — это выражение в замкнутой форме , а точнее, алгебраическое выражение в замкнутой форме , то есть решение полиномиального уравнения , и оно зависит только от сложения , вычитания , умножения , деления , возведения в целые степени и извлечения корней n-й степени (квадратных корней, кубических корней и других целочисленных корней).
Известным примером является решение
квадратного уравнения
Существуют более сложные алгебраические решения для кубических уравнений [1] и уравнений четвертой степени . [2] Теорема Абеля–Руффини [ 3] : 211 и, в более общем смысле , теория Галуа утверждают, что некоторые уравнения пятой степени , такие как
не имеют алгебраического решения. То же самое верно для любой более высокой степени. Однако для любой степени существуют некоторые полиномиальные уравнения, которые имеют алгебраические решения; например, уравнение можно решить как Восемь других решений являются недействительными комплексными числами , которые также являются алгебраическими и имеют вид где r — пятый корень из единицы , который может быть выражен двумя вложенными квадратными корнями . См. также функцию квинтики § Другие разрешимые квинтики для различных других примеров в степени 5.
Эварист Галуа ввел критерий, позволяющий определить, какие уравнения разрешимы в радикалах. Точную формулировку его результата см. в разделе Радикальное расширение .
Алгебраические решения образуют подмножество выражений в замкнутой форме , поскольку последние допускают трансцендентные функции (неалгебраические функции), такие как показательная функция , логарифмическая функция , тригонометрические функции и их обратные.
![{\displaystyle x=\pm {\sqrt[{10}]{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/685464ac5a9ee481b1eaea4e3077295eaa876fc2)
![{\displaystyle x=\pm r{\sqrt[{10}]{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e280ec5745504f0316e7edcf240579cb60cd9202)