В функциональном анализе , разделе математики , операторная алгебра — это алгебра непрерывных линейных операторов в топологическом векторном пространстве с умножением, заданным композицией отображений .
Результаты, полученные при изучении операторных алгебр, часто формулируются в алгебраических терминах, а используемые методы часто носят высокоаналитический характер . [1] Хотя изучение операторных алгебр обычно классифицируется как раздел функционального анализа, оно имеет прямые приложения к теории представлений , дифференциальной геометрии , квантовой статистической механике , квантовой информации и квантовой теории поля .
Операторные алгебры можно использовать для одновременного изучения произвольных наборов операторов с небольшими алгебраическими связями . С этой точки зрения операторные алгебры можно рассматривать как обобщение спектральной теории одного оператора. В общем случае операторные алгебры являются некоммутативными кольцами .
Обычно требуется, чтобы операторная алгебра была замкнута в заданной операторной топологии внутри всей алгебры непрерывных линейных операторов. В частности, это набор операторов, обладающих как алгебраическими, так и топологическими свойствами замыкания. В некоторых дисциплинах такие свойства аксиомизируются и предметом исследования становятся алгебры с определенной топологической структурой.
Хотя алгебры операторов изучаются в различных контекстах (например, алгебры псевдодифференциальных операторов , действующих в пространствах распределений ), термин « операторная алгебра» обычно используется по отношению к алгебрам ограниченных операторов в банаховом пространстве или, что еще более конкретно, в ссылка на алгебры операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве , наделенные топологией операторной нормы .
В случае операторов в гильбертовом пространстве эрмитово сопряженное отображение операторов дает естественную инволюцию , которая обеспечивает дополнительную алгебраическую структуру, которую можно наложить на алгебру. В этом контексте наиболее изученными примерами являются самосопряженные операторные алгебры, то есть они замкнуты относительно сопряженных. К ним относятся C*-алгебры , алгебры фон Неймана и AW*-алгебры . С*-алгебры легко абстрактно охарактеризовать условием, связывающим норму, инволюцию и умножение. Такие абстрактно определенные С*-алгебры можно отождествить с некоторой замкнутой подалгеброй алгебры непрерывных линейных операторов на подходящем гильбертовом пространстве. Аналогичный результат справедлив и для алгебр фон Неймана.
Коммутативные самосопряженные операторные алгебры можно рассматривать как алгебру комплекснозначных непрерывных функций на локально компактном пространстве или алгебру измеримых функций на стандартном измеримом пространстве . Таким образом, общие операторные алгебры часто рассматриваются как некоммутативные обобщения этих алгебр или структуры базового пространства , на котором определены функции. Эта точка зрения разрабатывается как философия некоммутативной геометрии , которая пытается изучать различные неклассические и/или патологические объекты с помощью некоммутативных операторных алгебр.
Примеры операторных алгебр, которые не являются самосопряженными, включают: