Скобка Ли векторных полей

Оператор в дифференциальной топологии

В математической области дифференциальной топологии скобка Ли векторных полей , также известная как скобка Якоби–Ли или коммутатор векторных полей , представляет собой оператор, который присваивает любым двум векторным полям X и Y на гладком многообразии M третье векторное поле, обозначаемое [ X , Y ] .

Концептуально скобка Ли [ X , Y ] является производной Y вдоль потока , порожденного X , и иногда обозначается («Производная Ли Y вдоль X»). Это обобщает производную Ли любого тензорного поля вдоль потока, порожденного X . ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y}$

Скобка Ли является R - билинейной операцией и превращает множество всех гладких векторных полей на многообразии M в (бесконечномерную) алгебру Ли .

Скобка Ли играет важную роль в дифференциальной геометрии и дифференциальной топологии , например, в теореме интегрируемости Фробениуса , а также имеет фундаментальное значение в геометрической теории нелинейных систем управления . ^[1]

В. И. Арнольд называет это «производным рыбака», поскольку можно представить себя рыбаком, держащим удочку и сидящим в лодке. И лодка, и поплавок текут согласно векторному полю X , а рыбак удлиняет/сжимает и поворачивает удочку согласно векторному полю Y. Скобка Ли — это величина сопротивления рыболовного поплавка относительно окружающей воды. ^[2]

Определения

Существует три концептуально разных, но эквивалентных подхода к определению скобки Ли:

Векторные поля как производные

Каждое гладкое векторное поле на многообразии M можно рассматривать как дифференциальный оператор , действующий на гладкие функции (где и класса ), когда мы определяем его как другую функцию, значение которой в точке является производной по направлению от f в точке p в направлении X ( п ). Таким образом, каждое гладкое векторное поле X становится дифференцированием на C∞ ( ^M ) . Более того , любой вывод на ^C∞ ( M ) возникает из единственного гладкого векторного поля X. ${\displaystyle X:M\rightarrow TM}$ ${\displaystyle f(p)}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle X(f)}$ ${\displaystyle p}$

В общем случае коммутатор любых двух дифференцирований и снова является дифференцированием, где обозначает композицию операторов. Это можно использовать для определения скобки Ли как векторного поля, соответствующего выводу коммутатора: ${\displaystyle \delta _{1}\circ \delta _{2}-\delta _{2}\circ \delta _{1}}$ ${\displaystyle \delta _{1}}$ ${\displaystyle \delta _{2}}$ ${\displaystyle \circ }$

${\displaystyle [X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f))\;\;{\text{ for all }}f\in C^{\infty }(M).}$

Потоки и ограничения

Пусть – поток , связанный с векторным полем X , и пусть D обозначает оператор производной касательного отображения . Тогда скобка Ли X и Y в точке x ∈ M может быть определена как производная Ли : ${\displaystyle \Phi _{t}^{X}}$

${\displaystyle [X,Y]_{x}\ =\ ({\mathcal {L}}_{X}Y)_{x}\ :=\ \lim _{t\to 0}{\frac {(\mathrm {D} \Phi _{-t}^{X})Y_{\Phi _{t}^{X}(x)}\,-\,Y_{x}}{t}}\ =\ \left.{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}(\mathrm {D} \Phi _{-t}^{X})Y_{\Phi _{t}^{X}(x)}.}$

Это также измеряет неспособность потока в последовательных направлениях вернуться в точку x : ${\displaystyle X,Y,-X,-Y}$

${\displaystyle [X,Y]_{x}\ =\ \left.{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\right|_{t=0}(\Phi _{-t}^{Y}\circ \Phi _{-t}^{X}\circ \Phi _{t}^{Y}\circ \Phi _{t}^{X})(x)\ =\ \left.{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}(\Phi _{\!-{\sqrt {t}}}^{Y}\circ \Phi _{\!-{\sqrt {t}}}^{X}\circ \Phi _{\!{\sqrt {t}}}^{Y}\circ \Phi _{\!{\sqrt {t}}}^{X})(x).}$

В координатах

Хотя приведенные выше определения скобки Ли являются внутренними (независимо от выбора координат на многообразии M ), на практике часто требуется вычислить скобку в терминах конкретной системы координат . Мы пишем для ассоциированного локального базиса касательного расслоения, так что можно записать общие векторные поля и для гладких функций . Тогда скобку Ли можно вычислить как: ${\displaystyle \{x^{i}\}}$ ${\displaystyle \partial _{i}={\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}}$ ${\displaystyle \textstyle X=\sum _{i=1}^{n}X^{i}\partial _{i}}$ ${\displaystyle \textstyle Y=\sum _{i=1}^{n}Y^{i}\partial _{i}}$ ${\displaystyle X^{i},Y^{i}:M\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle [X,Y]:=\sum _{i=1}^{n}\left(X(Y^{i})-Y(X^{i})\right)\partial _{i}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left(X^{j}\partial _{j}Y^{i}-Y^{j}\partial _{j}X^{i}\right)\partial _{i}.}$

Если M (открытое подмножество) R ⁿ , то векторные поля X и Y можно записать как гладкие отображения формы и , а скобка Ли задается формулой: ${\displaystyle X:M\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle Y:M\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle [X,Y]:M\to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle [X,Y]:=J_{Y}X-J_{X}Y}$

где и являются матрицами якобиана размера n × n ( и соответственно с использованием индексных обозначений), умножающими вектор-столбцы размера n × 1 X и Y . ${\displaystyle J_{Y}}$ ${\displaystyle J_{X}}$ ${\displaystyle \partial _{j}Y^{i}}$ ${\displaystyle \partial _{j}X^{i}}$

Характеристики

Скобка Ли векторных полей снабжает вещественное векторное пространство всех векторных полей на M (т.е. гладкие участки касательного расслоения ) структурой алгебры Ли , что означает, что [ • , • ] является отображением с: ${\displaystyle V=\Gamma (TM)}$ ${\displaystyle TM\to M}$ ${\displaystyle V\times V\to V}$

• Р - билинейность
• Антисимметрия, ${\displaystyle [X,Y]=-[Y,X]}$
• Личность Якоби , ${\displaystyle [X,[Y,Z]]+[Z,[X,Y]]+[Y,[Z,X]]=0.}$

Непосредственным следствием второго свойства является то, что для любого . ${\displaystyle [X,X]=0}$ ${\displaystyle X}$

Кроме того, для скобок Ли существует « правило произведения ». Учитывая гладкую (скалярную) функцию f на M и векторное поле Y на M , мы получаем новое векторное поле fY , умножая вектор Y _x на скаляр f ( x ) в каждой точке x ∈ M . Затем:

• ${\displaystyle [X,fY]\ =\ X\!(f)\,Y\,+\,f\,[X,Y],}$

где мы умножаем скалярную функцию X ( f ) на векторное поле Y и скалярную функцию f на векторное поле [ X , Y ] . Это превращает векторные поля со скобкой Ли в алгеброид Ли .

Исчезновение скобки Ли X и Y означает, что следование потокам в этих направлениях определяет поверхность, вложенную в M , с X и Y как координатными векторными полями:

Теорема: тогда и только тогда, когда потоки X и Y коммутируют локально, то есть для всех x ∈ M и достаточно малых s , t . ${\displaystyle [X,Y]=0\,}$ ${\displaystyle (\Phi _{t}^{Y}\Phi _{s}^{X})(x)=(\Phi _{s}^{X}\,\Phi _{t}^{Y})(x)}$

Это частный случай теоремы интегрируемости Фробениуса .

Примеры

Для группы Ли G соответствующая алгебра Ли представляет собой касательное пространство в единице , которое можно отождествить с векторным пространством левоинвариантных векторных полей на G. Скобка Ли двух левоинвариантных векторных полей также является левоинвариантной, что определяет операцию скобки Якоби–Ли . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle T_{e}G}$ ${\displaystyle [\,\cdot \,,\,\cdot \,]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

Для матричной группы Ли, элементами которой являются матрицы , каждое касательное пространство может быть представлено в виде матриц: , где означает умножение матрицы, а I - единичная матрица. Инвариантное векторное поле, соответствующее , определяется как , и вычисление показывает, что скобка Ли соответствует обычному коммутатору матриц: ${\displaystyle g\in G\subset M_{n\times n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle T_{g}G=g\cdot T_{I}G\subset M_{n\times n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}=T_{I}G}$ ${\displaystyle X_{g}=g\cdot X\in T_{g}G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [X,Y]\ =\ X\cdot Y-Y\cdot X.}$

Обобщения

Как упоминалось выше, производную Ли можно рассматривать как обобщение скобки Ли. Другим обобщением скобки Ли (на векторнозначные дифференциальные формы ) является скобка Фрелихера–Нийенхейса .

Рекомендации

1. Исайя 2009, стр. 20–21, неголономные системы ; Халил 2002, стр. 523–530, линеаризация обратной связи .
2. Арнольд, VI; Хесин, Борис А. (1999). Топологические методы в гидродинамике . Прикладные математические науки (Изв. 2. Печат. изд.). Нью-Йорк Берлин Гейдельберг: Springer. п. 6. ISBN 978-0-387-94947-5.

• «Скоба Лия», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Исайя, Пантелис (2009), «Контролируемая парковка [Спросите экспертов]», Журнал IEEE Control Systems Magazine , 29 (3): 17–21, 132, doi : 10.1109/MCS.2009.932394, S2CID  42908664
• Халил, Гонконг (2002), Нелинейные системы (3-е изд.), Аппер-Седл-Ривер, Нью-Джерси: Прентис-Холл , ISBN 0-13-067389-7
• Коларж И., Михор П. и Словак Дж. (1993), Естественные операции в дифференциальной геометрии, Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 3-540-56235-4{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)Обширное обсуждение скобок Ли и общей теории производных Ли.
• Ланг, С. (1995), Дифференциальные и римановы многообразия , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94338-1Для обобщений на бесконечные измерения.
• Льюис, Эндрю Д., Заметки по (нелинейной) теории управления (PDF)^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
• Уорнер, Франк (1983) [1971], Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Нью-Йорк-Берлин: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90894-3