Алгебра Ли

Алгебраическая структура, используемая в анализе

В математике алгебра Ли (произносится / l iː / LEE ) представляет собой векторное пространство вместе с операцией, называемой скобкой Ли , знакопеременным билинейным отображением , которое удовлетворяет тождеству Якоби . Другими словами, алгебра Ли — это алгебра над полем , для которой операция умножения (называемая скобкой Ли) является знакопеременной и удовлетворяет тождеству Якоби. Скобка Ли двух векторов и обозначается . Алгебра Ли обычно является неассоциативной алгеброй . Однако каждая ассоциативная алгебра порождает алгебру Ли, состоящую из того же векторного пространства с коммутаторной скобкой Ли . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle [x,y]}$ ${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$

Алгебры Ли тесно связаны с группами Ли , которые также являются гладкими многообразиями : каждая группа Ли порождает алгебру Ли, которая является касательным пространством в единице. (В этом случае скобка Ли измеряет несостоятельность коммутативности группы Ли.) И наоборот, любой конечномерной алгебре Ли над действительными или комплексными числами существует соответствующая связная группа Ли, единственная с точностью до накрывающих пространств ( группа Ли третья теорема ). Это соответствие позволяет изучать строение и классификацию групп Ли в терминах алгебр Ли, которые являются более простыми объектами линейной алгебры.

Более подробно: для любой группы Ли операция умножения вблизи единичного элемента 1 коммутативна первому порядку. Другими словами, каждая группа Ли G является (в первом порядке) приближенно вещественным векторным пространством, а именно касательным пространством к G в единице. Во втором порядке групповая операция может быть некоммутативной, а члены второго порядка, описывающие некоммутативность группы G вблизи единицы, дают структуру алгебры Ли. Примечательно, что эти члены второго порядка (алгебра Ли) полностью определяют групповую структуру группы G вблизи единицы. Они даже определяют G глобально, вплоть до покрытия пространств. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

В физике группы Ли появляются как группы симметрии физических систем, а их алгебры Ли (касательные векторы вблизи единицы) можно рассматривать как бесконечно малые движения симметрии. Таким образом, алгебры Ли и их представления широко используются в физике, особенно в квантовой механике и физике элементарных частиц.

Элементарным примером (не пришедшим напрямую из ассоциативной алгебры) является трехмерное пространство со скобкой Ли, определенной векторным произведением . Это кососимметрично , поскольку и вместо ассоциативности оно удовлетворяет тождеству Якоби: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle [x,y]=x\times y.}$ ${\displaystyle x\times y=-y\times x}$

${\displaystyle x\times (y\times z)+\ y\times (z\times x)+\ z\times (x\times y)\ =\ 0.}$

Это алгебра Ли группы Ли вращений пространства , и каждый вектор можно представить как бесконечно малое вращение вокруг оси с угловой скоростью, равной величине . Скобка Ли является мерой некоммутативности между двумя вращениями. Поскольку вращение коммутирует само с собой, оно обладает переменным свойством . ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle [x,x]=x\times x=0}$

История

Алгебры Ли были введены для изучения концепции бесконечно малых преобразований Софусом Ли в 1870-х годах ^[1] и независимо открыты Вильгельмом Киллингом ^[2] в 1880-х годах. Название « алгебра Ли» было дано Германом Вейлем в 1930-х годах; в старых текстах использовался термин бесконечно малая группа .

Определение алгебры Ли

Алгебра Ли — это векторное пространство над полем вместе с бинарной операцией, называемой скобкой Ли, удовлетворяющее следующим аксиомам: ^[a] ${\displaystyle \,{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle [\,\cdot \,,\cdot \,]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

• Билинейность ,

${\displaystyle [ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],}$

${\displaystyle [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]}$

для всех скаляров и всех элементов в . ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• Переменное свойство ,

${\displaystyle [x,x]=0\ }$

для всех в . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• Личность Якоби ,

${\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0\ }$

для всех в . ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Для группы Ли тождество Якоби для ее алгебры Ли следует из ассоциативности групповой операции.

Использование билинейности для расширения скобки Ли и использование свойства альтернирования показывает, что для всех в . Таким образом, билинейность и знакопеременность вместе подразумевают ${\displaystyle [x+y,x+y]}$ ${\displaystyle [x,y]+[y,x]=0}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• Антикоммутативность ,

${\displaystyle [x,y]=-[y,x],\ }$

для всех в . Если поле не имеет характеристики 2, то из антикоммутативности следует знакопеременность, поскольку из нее следует ^[3] ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [x,x]=-[x,x].}$

Алгебру Ли принято обозначать строчной дробной буквой, например . Если алгебра Ли связана с группой Ли, то алгебра обозначается фрактурной версией имени группы: например, алгебра Ли группы SU( n ) равна . ${\displaystyle {\mathfrak {g,h,b,n}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$

Генераторы и размерность

Размерность алгебры Ли над полем означает ее размерность как векторного пространства . В физике базис векторного пространства алгебры Ли группы Ли G можно назвать набором образующих для G . (Они, так сказать, являются «бесконечно-малыми генераторами» для G.) В математике набор S генераторов для алгебры Ли означает такое подмножество , что любая подалгебра Ли (как определено ниже), содержащая S , должна быть полностью из . Эквивалентно, охватывается (как векторное пространство) всеми повторяющимися скобками элементов S . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Основные примеры

Абелевы алгебры Ли

Любое векторное пространство , наделенное тождественно нулевой скобкой Ли, становится алгеброй Ли. Такая алгебра Ли называется абелевой . Любая одномерная алгебра Ли абелева в силу знакопеременного свойства скобки Ли. ${\displaystyle V}$

Алгебра Ли матриц

• В ассоциативной алгебре над полем с умножением , записанным как скобка Ли может быть определена коммутатором . С этой скобкой является алгеброй Ли. (Тождество Якоби следует из ассоциативности умножения на .) ^[4] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$
• Кольцо эндоморфизмов -векторного пространства с указанной выше скобкой Ли обозначается . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$
• Для поля F и положительного целого числа n пространство n × n матриц над F , обозначаемое или , является алгеброй Ли со скобкой, заданной коммутатором матриц: . ^[5] Это частный случай предыдущего примера; это, вероятно, самый важный пример алгебры Ли. Она называется общей линейной алгеброй Ли. ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(F)}$ ${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$

Когда F — действительные числа, — это алгебра Ли общей линейной группы , группы обратимых вещественных матриц размера n x n (или, что то же самое, матриц с ненулевым определителем ), где групповой операцией является умножение матриц. Аналогично – алгебра Ли комплексной группы Ли . Скобка Ли описывает несостоятельность коммутативности при умножении матриц или, что то же самое, при составлении линейных карт . Для любого поля F его можно рассматривать как алгебру Ли алгебраической группы . ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n)_{F}}$

Определения

Подалгебры, идеалы и гомоморфизмы

Скобка Ли не обязательно должна быть ассоциативной , то есть она не обязательно должна быть равна . Тем не менее, большая часть терминологии ассоциативных колец и алгебр (а также групп) имеет аналоги для алгебр Ли. Подалгебра Ли — это линейное подпространство , замкнутое относительно скобки Ли. Идеал – это линейное подпространство, удовлетворяющее более сильному условию: [ ^6] ${\displaystyle [[x,y],z]}$ ${\displaystyle [x,[y,z]]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {i}}\subseteq {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {i}}]\subseteq {\mathfrak {i}}.}$

В соответствии между группами Ли и алгебрами Ли подгруппы соответствуют подалгебрам Ли, а нормальные подгруппы соответствуют идеалам.

Гомоморфизм алгебры Ли — это линейное отображение, совместимое с соответствующими скобками Ли:

${\displaystyle \phi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g'}},\quad \phi ([x,y])=[\phi (x),\phi (y)]\ {\text{for all}}\ x,y\in {\mathfrak {g}}.}$

Изоморфизм алгебр Ли — это биективный гомоморфизм .

Как и в случае с нормальными подгруппами в группах, идеалы в алгебрах Ли являются в точности ядрами гомоморфизмов. Для данной алгебры Ли и идеала в ней определяется факторалгебра Ли с сюръективным гомоморфизмом алгебр Ли. Первая теорема об изоморфизме справедлива для алгебр Ли. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}}$

Для алгебры Ли группы Ли скобка Ли является своего рода инфинитезимальным коммутатором. В результате говорят , что для любой алгебры Ли два элемента коммутируют , если их скобка обращается в нуль: . ${\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [x,y]=0}$

Подалгебра централизатора подмножества - это набор элементов, коммутирующих с : то есть . Центратор сам по себе является центром . Аналогично, для подпространства S подалгебра нормализатора равна . ^[7] Если — подалгебра Ли, — это наибольшая подалгебра, которая является идеалом . ${\displaystyle S\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}\ \mid \ [x,s]=0\ {\text{ for all }}s\in S\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}\ \mid \ [x,s]\in S\ {\text{ for all}}\ s\in S\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)}$

Пример

Подпространство диагональных матриц в является абелевой подалгеброй Ли. (Это картановская подалгебра в , аналогичная максимальному тору в теории компактных групп Ли .) Здесь нет идеала в для . Например, при , это следует из расчета: ${\displaystyle {\mathfrak {t}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}x&0\\0&y\end{bmatrix}}\right]&={\begin{bmatrix}ax&by\\cx&dy\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}ax&bx\\cy&dy\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}0&b(y-x)\\c(x-y)&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

(что не всегда есть ). ${\displaystyle {\mathfrak {t}}_{2}}$

Каждое одномерное линейное подпространство алгебры Ли является абелевой подалгеброй Ли, но оно не обязательно должно быть идеалом. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Продукт и полупрямой продукт

Для двух алгебр Ли и произведение алгебры Ли представляет собой векторное пространство, состоящее из всех упорядоченных пар со скобкой Ли ^[8] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g'}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g'}}}$ ${\displaystyle (x,x'),\,x\in {\mathfrak {g}},\ x'\in {\mathfrak {g'}}}$

${\displaystyle [(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y']).}$

Это произведение из категории алгебр Ли. Обратите внимание, что копии и коммутируют друг с другом: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}'}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g'}}}$ ${\displaystyle [(x,0),(0,x')]=0.}$

Пусть – алгебра Ли и идеал . Если каноническое отображение расщепляется (т. е. допускает сечение как гомоморфизм алгебр Ли), то говорят, что оно является полупрямым произведением и , . См. также полупрямую сумму алгебр Ли . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}\to {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}\ltimes {\mathfrak {i}}}$

Выводы

Для алгебры A над полем F дифференцирование A над F представляет собой линейное отображение , удовлетворяющее правилу Лейбница . ${\displaystyle D\colon A\to A}$

${\displaystyle D(xy)=D(x)y+xD(y)}$

для всех . (Определение имеет смысл для возможно неассоциативной алгебры .) Учитывая два вывода и их коммутатор снова является выводом. Эта операция превращает пространство всех дифференцирований A над F в алгебру Ли. ^[9] ${\displaystyle x,y\in A}$ ${\displaystyle D_{1}}$ ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle [D_{1},D_{2}]:=D_{1}D_{2}-D_{2}D_{1}}$ ${\displaystyle {\text{Der}}_{k}(A)}$

Неформально говоря , пространство дифференцирований A является алгеброй Ли группы автоморфизмов A . (Это буквально верно, когда группа автоморфизмов является группой Ли, например, когда F — действительные числа, а A имеет конечную размерность как векторное пространство.) По этой причине пространства дифференцирований являются естественным способом построения алгебр Ли: они являются «бесконечно малыми автоморфизмами» A . Действительно, выписав условие, что

${\displaystyle (1+\epsilon D)(xy)\equiv (1+\epsilon D)(x)\cdot (1+\epsilon D)(y){\pmod {\epsilon ^{2}}}}$

(где 1 обозначает тождественное отображение на A ) дает точное определение D как вывода.

Пример: алгебра Ли векторных полей. Пусть A — кольцо гладких функций на гладком многообразии X. Тогда дифференцирование A над эквивалентно векторному полю на X . (Векторное поле v дает вывод пространства гладких функций путем дифференцирования функций в направлении v .) Это превращает пространство векторных полей в алгебру Ли (см. скобку Ли векторных полей ). ^[10] Неформально говоря, является алгеброй Ли группы диффеоморфизмов X . Таким образом, скобка Ли векторных полей описывает некоммутативность группы диффеоморфизмов. Действие группы Ли G на многообразии X определяет гомоморфизм алгебр Ли . ${\displaystyle C^{\infty }(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\text{Vect}}(X)}$ ${\displaystyle {\text{Vect}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\text{Vect}}(X)}$

Алгебру Ли можно рассматривать как неассоциативную алгебру, и поэтому каждая алгебра Ли над полем F определяет свою алгебру Ли дифференцирований, . То есть вывод - это линейное отображение такое, что ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle D\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle D([x,y])=[D(x),y]+[x,D(y)]}$.

Внутренний вывод, связанный с любым, представляет собой присоединенное отображение, определенное . (Это вывод как следствие тождества Якоби.) Это дает гомоморфизм алгебр Ли . Образ является идеалом в , а алгебра Ли внешних дифференцирований определяется как факторалгебра Ли . (Это в точности аналогично внешней группе автоморфизмов группы.) Для полупростой алгебры Ли (определенной ниже) над полем нулевой характеристики каждое дифференцирование является внутренним. ^[11] Это связано с теоремой о том, что внешняя группа автоморфизмов полупростой группы Ли конечна. ^[12] ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}}$ ${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}(y):=[x,y]}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\text{Inn}}_{F}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\text{Out}}_{F}({\mathfrak {g}})={\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})/{\text{Inn}}_{F}({\mathfrak {g}})}$

Напротив, абелева алгебра Ли имеет много внешних дифференцирований. А именно, для векторного пространства с нулевой скобкой Ли алгебру Ли можно отождествить с . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\text{Out}}_{F}(V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$

Примеры

Матричные алгебры Ли

Группа матриц — это группа Ли, состоящая из обратимых матриц, где групповая операция G — умножение матриц. Соответствующая алгебра Ли представляет собой пространство матриц, которые являются касательными векторами к G внутри линейного пространства : оно состоит из производных гладких кривых в G в единичной матрице : ${\displaystyle G\subset \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle M_{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\{X=c'(0)\in M_{n}(\mathbb {C} )\ \mid \ {\text{ smooth }}c:\mathbb {R} \to G,\ c(0)=I\}.}$

Скобка Ли задается коммутатором матриц . Учитывая алгебру Ли , можно восстановить группу Ли как подгруппу, порожденную матричной экспонентой элементов . ^[13] (Если быть точным, это дает единичный компонент G , если G не связен.) Здесь экспоненциальное отображение определяется как , которое сходится для каждой матрицы . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \exp :M_{n}(\mathbb {R} )\to M_{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \exp(X)=I+X+{\tfrac {1}{2!}}X^{2}+{\tfrac {1}{3!}}X^{3}+\cdots }$ ${\displaystyle X}$

Те же комментарии применимы к комплексным подгруппам Ли и комплексной матричной экспоненте (определяемой той же формулой). ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \exp :M_{n}(\mathbb {C} )\to M_{n}(\mathbb {C} )}$

Вот некоторые матричные группы Ли и их алгебры Ли. ^[14]

• Для положительного целого числа n специальная линейная группа состоит из всех вещественных матриц размера n  ×  n с определителем 1. Это группа линейных отображений из в себя, которые сохраняют объем и ориентацию . Более абстрактно, это подгруппа-коммутант общей линейной группы . Ее алгебра Ли состоит из всех вещественных матриц размера n  ×  n со следом 0. Аналогично можно определить аналогичную комплексную группу Ли и ее алгебру Ли . ${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\rm {SL}}(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )}$
• Ортогональная группа играет основную роль в геометрии: это группа линейных отображений из в себя, сохраняющих длину векторов. Например, вращения и отражения принадлежат . Эквивалентно, это группа ортогональных матриц размера n x n , что означает, что . Ортогональная группа имеет две компоненты связности; единичный компонент называется специальной ортогональной группой , состоящей из ортогональных матриц с определителем 1. Обе группы имеют одну и ту же алгебру Ли , подпространство кососимметричных матриц в ( ). См. также бесконечно малые вращения с кососимметричными матрицами . ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$ ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }=A^{-1}}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle X^{\rm {T}}=-X}$

Комплексная ортогональная группа , ее единичный компонент и алгебра Ли задаются теми же формулами, которые применяются к комплексным матрицам размера n x n . Эквивалентно, это подгруппа, которая сохраняет стандартную симметричную билинейную форму на . ${\displaystyle \mathrm {O} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

• Унитарная группа — это подгруппа, которая сохраняет длину векторов в (относительно стандартного эрмитова скалярного произведения ). Эквивалентно, это группа унитарных матриц размера n  ×  n (удовлетворяющих , где обозначает сопряженное транспонирование матрицы). Его алгебра Ли состоит из косоэрмитовых матриц из ( ). Это алгебра Ли над , а не над . (Действительно, i раз косоэрмитова матрица является эрмитовой, а не косоэрмитовой.) Точно так же унитарная группа является вещественной подгруппой Ли комплексной группы Ли . Например, – группа окружностей , а ее алгебра Ли (с этой точки зрения) – . ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle A^{*}=A^{-1}}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle X^{*}=-X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$ ${\displaystyle i\mathbb {R} \subset \mathbb {C} ={\mathfrak {gl}}(1,\mathbb {C} )}$
• Специальная унитарная группа — это подгруппа матриц с определителем 1 в . Ее алгебра Ли состоит из косоэрмитовых матриц с нулевым следом. ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {su} (n)}$
• Симплектическая группа — это подгруппа, сохраняющая стандартную знакопеременную билинейную форму на . Ее алгебра Ли является симплектической алгеброй Ли . ${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {R} )}$
• Классическими алгебрами Ли являются перечисленные выше, а также их варианты над любым полем.

Два измерения

Здесь описаны некоторые алгебры Ли малой размерности. Дополнительные примеры см. в классификации маломерных вещественных алгебр Ли .

• Над любым полем F существует единственная неабелева алгебра Ли размерности 2 с точностью до изоморфизма. ^[15] Здесь имеется основа , для которой скобка задается формулой . (Это полностью определяет скобку Ли, поскольку аксиомы подразумевают, что и .) Над действительными числами можно рассматривать как алгебру Ли группы Ли аффинных преобразований действительной прямой, . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle \left[X,Y\right]=Y}$ ${\displaystyle [X,X]=0}$ ${\displaystyle [Y,Y]=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G=\mathrm {Aff} (1,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle x\mapsto ax+b}$

Аффинную группу G можно отождествить с группой матриц

${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}a&b\\1&0\end{array}}\right)}$

при матричном умножении, при , . Ее алгебра Ли представляет собой подалгебру Ли , состоящую из всех матриц ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(2,\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}c&d\\0&0\end{array}}\right).}$

В этих терминах приведенная выше основа для задается матрицами ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle X=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right),\qquad Y=\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right).}$

Для любого поля одномерное подпространство является идеалом в двумерной алгебре Ли по формуле . Обе алгебры Ли и абелевы (поскольку одномерны). В этом смысле его можно разбить на абелевы «куски», что означает, что оно разрешимо (хотя и не нильпотентно), в терминологии, приведенной ниже. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\cdot Y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [X,Y]=Y\in F\cdot Y}$ ${\displaystyle F\cdot Y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/(F\cdot Y)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Три измерения

• Алгебра Гейзенберга над полем F — это трёхмерная алгебра Ли с базисом таким, что ^[16] ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(F)}$ ${\displaystyle X,Y,Z}$

${\displaystyle [X,Y]=Z,\quad [X,Z]=0,\quad [Y,Z]=0}$.

Ее можно рассматривать как алгебру Ли строго верхнетреугольных матриц 3 × 3 с коммутаторной скобкой Ли и базисом

${\displaystyle X=\left({\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right),\quad Y=\left({\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}}\right),\quad Z=\left({\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right)~.\quad }$

Над действительными числами — алгебра Ли группы Гейзенберга , то есть группа матриц ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {H} _{3}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \left({\begin{array}{ccc}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{array}}\right)}$

при матричном умножении.

Для любого поля F центром является 1-мерный идеал , а фактор абелев, изоморфен . В терминологии, приведенной ниже, отсюда следует, что оно нильпотентно (хотя и не абелева). ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(F)}$ ${\displaystyle F\cdot Z}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(F)/(F\cdot Z)}$ ${\displaystyle F^{2}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(F)}$

• Алгебра Ли группы вращения представляет собой пространство кососимметричных матриц размером 3x3 над . Основу задают три матрицы ^[17] ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle F_{1}=\left({\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{array}}\right),\quad F_{2}=\left({\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{array}}\right),\quad F_{3}=\left({\begin{array}{ccc}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{array}}\right)~.\quad }$

Коммутационные отношения между этими генераторами таковы:

${\displaystyle [F_{1},F_{2}]=F_{3},}$

${\displaystyle [F_{2},F_{3}]=F_{1},}$

${\displaystyle [F_{3},F_{1}]=F_{2}.}$

Взаимное произведение векторов в определяется по той же формуле в стандартном базисе; так что алгебра Ли изоморфна . Кроме того, эквивалентен операторам компонента углового момента спина (физика) для частиц со спином 1 в квантовой механике . ^[18] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

Алгебру Ли нельзя разбить на части так, как это можно сделать в предыдущих примерах: она проста , что означает, что она не абелева, и ее единственные идеалы — 0 и все из . ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

• Другая простая алгебра Ли размерности 3, в данном случае над , представляет собой пространство матриц 2 x 2 с нулевым следом. Основу задают три матрицы ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle H=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right),\ E=\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right),\ F=\left({\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}}\right).}$

Скобка Ли определяется следующим образом:

${\displaystyle [H,E]=2E,}$

${\displaystyle [H,F]=-2F,}$

${\displaystyle [E,F]=H.}$

Используя эти формулы, можно показать, что алгебра Ли проста, и классифицировать ее конечномерные представления (определенные ниже). ^{[19] В терминологии квантовой механики} E и F можно рассматривать как повышающие и понижающие операторы . Действительно, для любого представления из приведенных выше соотношений следует, что E отображает c - собственное пространство H ( для комплексного числа c ) в -собственное пространство, а F отображает c -собственное пространство в -собственное пространство. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle (c+2)}$ ${\displaystyle (c-2)}$

Алгебра Ли изоморфна комплексификации , что означает тензорное произведение . Формулы для скобок Ли легче анализировать в случае . В результате комплексные представления группы принято анализировать , связывая их с представлениями алгебры Ли . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

Бесконечные размеры

• Алгебра Ли векторных полей на гладком многообразии положительной размерности является бесконечномерной алгеброй Ли над . ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Алгебры Каца – Муди представляют собой большой класс бесконечномерных алгебр Ли, скажем, над , со структурой, очень похожей на структуру конечномерных простых алгебр Ли (таких как ). ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )}$
• Алгебра Мойала — бесконечномерная алгебра Ли, содержащая все классические алгебры Ли в качестве подалгебр.
• Алгебра Вирасоро играет важную роль в теории струн .
• Функтор, который переводит алгебру Ли над полем F в базовое векторное пространство, имеет левый сопряженный элемент , называемый свободной алгеброй Ли в векторном пространстве V. Он натянут на все повторяющиеся скобки Ли элементов V по модулю только отношений, вытекающих из определения алгебры Ли. Свободная алгебра Ли бесконечномерна для V размерности не менее 2. ^[20] ${\displaystyle V\mapsto L(V)}$ ${\displaystyle L(V)}$

Представительства

Определения

Учитывая векторное пространство V , пусть обозначает алгебру Ли, состоящую из всех линейных отображений из V в себя, со скобкой, заданной . Представление алгебры Ли на V — это гомоморфизм алгебры Ли . ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \pi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V).}$

То есть отправляет каждый элемент в линейное отображение из V в себя таким образом, что скобка Ли соответствует коммутатору линейных отображений. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Представление называется точным, если его ядро ​​равно нулю. Теорема Адо утверждает, что каждая конечномерная алгебра Ли над полем нулевой характеристики имеет точное представление в конечномерном векторном пространстве. Кенкичи Ивасава распространил этот результат на конечномерные алгебры Ли над полем любой характеристики. ^[21] Эквивалентно, каждая конечномерная алгебра Ли над полем F изоморфна подалгебре Ли для некоторого положительного целого числа n . ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$

Присоединенное представление

Для любой алгебры Ли присоединенным представлением является представление ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$

предоставлено . ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)(y)=[x,y]}$

Цели теории представлений

Одним из важных аспектов изучения алгебр Ли (особенно полупростых алгебр Ли, как они определены ниже) является изучение их представлений. Хотя теорема Адо является важным результатом, основная цель теории представлений не состоит в том, чтобы найти точное представление данной алгебры Ли . Действительно, в полупростом случае присоединенное представление уже является точным. Скорее, цель состоит в том, чтобы понять все возможные представления . Для полупростой алгебры Ли над полем нулевой характеристики теорема Вейля ^[22] утверждает, что каждое конечномерное представление является прямой суммой неприводимых представлений (тех, у которых нет нетривиальных инвариантных подпространств). Конечномерные неприводимые представления хорошо понятны с нескольких точек зрения; см. теорию представлений полупростых алгебр Ли и формулу характера Вейля . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Универсальная обертывающая алгебра

Функтор, который переводит ассоциативную алгебру A над полем F в A как алгебру Ли (по ), имеет левый сопряженный , называемый универсальной обертывающей алгеброй . Чтобы построить это: учитывая алгебру Ли , пусть ${\displaystyle [X,Y]:=XY-YX}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\mapsto U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle T({\mathfrak {g}})=F\oplus {\mathfrak {g}}\oplus ({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\oplus ({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\oplus \cdots }$

быть тензорной алгеброй на , также называемой свободной ассоциативной алгеброй на векторном пространстве . Здесь обозначается тензорное произведение F -векторных пространств . Пусть I — двусторонний идеал , порожденный элементами для ; тогда универсальная обертывающая алгебра является факторкольцом . Оно удовлетворяет теореме Пуанкаре – Биркгофа – Витта : если это базис для k -векторного пространства, то базис для задается всеми упорядоченными произведениями с натуральными числами. В частности, отображение инъективно. ^[23] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle XY-YX-[X,Y]}$ ${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})=T({\mathfrak {g}})/I}$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle e_{1}^{i_{1}}\cdots e_{n}^{i_{n}}}$ ${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})}$

Представления эквивалентны модулям над универсальной обертывающей алгеброй. Тот факт, что это инъективно, означает, что каждая алгебра Ли (возможно, бесконечной размерности) имеет точное представление (бесконечной размерности), а именно ее представление на . Это также показывает, что каждая алгебра Ли содержится в алгебре Ли, ассоциированной с некоторой ассоциативной алгеброй. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

Теория представлений в физике

Теория представлений алгебр Ли играет важную роль в различных разделах теоретической физики. Там рассматриваются операторы в пространстве состояний, удовлетворяющие некоторым естественным коммутационным соотношениям. Эти коммутационные отношения обычно возникают из-за симметрии задачи, в частности, они представляют собой отношения алгебры Ли соответствующей группы симметрии. Примером являются операторы углового момента , коммутационные соотношения которых аналогичны коммутационным соотношениям алгебры Ли группы вращений SO(3) . Обычно пространство состояний далеко не является неприводимым относительно соответствующих операторов, но можно попытаться разложить его на неприводимые части. При этом необходимо знать неприводимые представления данной алгебры Ли. Например, при изучении квантового атома водорода учебники по квантовой механике классифицируют (более или менее явно) конечномерные неприводимые представления алгебры Ли . ^[18] ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

Теория структуры и классификация

Алгебры Ли можно до некоторой степени классифицировать. Это мощный подход к классификации групп Ли.

Абелева, нильпотентная и разрешимая

Аналогично абелевым , нильпотентным и разрешимым группам можно определить абелевы, нильпотентные и разрешимые алгебры Ли.

Алгебра Ли абелева ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$если скобка Ли исчезает; то есть [ x , y ] = 0 для всех x и y в . В частности, алгебра Ли абелевой группы Ли (такой как сложенная группа или группа тора ) является абелевой. Каждая конечномерная абелева алгебра Ли над полем изоморфна для некоторого , что означает n -мерное векторное пространство с нулевой скобкой Ли. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

Более общий класс алгебр Ли определяется обращением в нуль всех коммутаторов заданной длины. Во-первых, подалгебра-коммутант (или производная подалгебра ) алгебры Ли — это , что означает линейное подпространство, натянутое на все скобки с . Коммутаторная подалгебра — это идеал в , фактически наименьший идеал такой, что фактор-алгебра Ли абелева. Это аналог коммутанта группы . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ ${\displaystyle [x,y]}$ ${\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Алгебра Ли нильпотентна , если нижний центральный ряд ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\supseteq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\supseteq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]\supseteq [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]\supseteq \cdots }$

становится нулевым после конечного числа шагов. Эквивалентно, является нильпотентным, если существует конечная последовательность идеалов в , ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle 0={\mathfrak {a}}_{0}\subseteq {\mathfrak {a}}_{1}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {a}}_{r}={\mathfrak {g}},}$

такое, что является центральным для каждого j . По теореме Энгеля алгебра Ли над любым полем нильпотентна тогда и только тогда, когда для любого u из присоединенного эндоморфизма ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{j}/{\mathfrak {a}}_{j-1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}}_{j-1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \operatorname {ad} (u):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}},\quad \operatorname {ad} (u)v=[u,v]}$

является нильпотентным . ^[24]

В более общем смысле алгебра Ли называется разрешимой , если ее производный ряд : ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\supseteq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\supseteq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]\supseteq [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]\supseteq \cdots }$

становится нулевым после конечного числа шагов. Эквивалентно, разрешима, если существует конечная последовательность подалгебр Ли, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle 0={\mathfrak {m}}_{0}\subseteq {\mathfrak {m}}_{1}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {m}}_{r}={\mathfrak {g}},}$

такой, что является идеалом с абелевой для каждого j . ^[25] ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{j-1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{j}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{j}/{\mathfrak {m}}_{j-1}}$

Каждая конечномерная алгебра Ли над полем имеет единственный максимальный разрешимый идеал, называемый ее радикалом . ^[26] При соответствии Лия нильпотентные (соответственно разрешимые) группы Ли соответствуют нильпотентным (соответственно разрешимым) алгебрам Ли над . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Например, для положительного целого числа n радикал является его центром, одномерным подпространством, охватываемым единичной матрицей. Примером разрешимой алгебры Ли является пространство верхнетреугольных матриц в ; это не нильпотентно, когда . Примером нильпотентной алгебры Ли является пространство строго верхнетреугольных матриц в ; это не абелева ситуация, когда . ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$ ${\displaystyle n\geq 3}$

Простое и полупростое

Алгебра Ли называется простой , если она не абелева и единственными идеалами в ней являются 0 и . (В частности, одномерная — обязательно абелева — алгебра Ли по определению не является простой, даже если ее единственные идеалы — 0 и .) Конечномерная алгебра Ли называется полупростой , если единственный разрешимый идеал в ней равен 0. В характеристике нуль, алгебра Ли полупроста тогда и только тогда, когда она изоморфна произведению простых алгебр Ли, . ^[27] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\cong {\mathfrak {g}}_{1}\times \cdots \times {\mathfrak {g}}_{r}}$

Например, алгебра Ли проста для любого поля F нулевой характеристики (или просто характеристики, не делящей n ). Алгебра Ли проста для любого . Алгебра Ли над проста, если или . ^[28] (Существуют «исключительные изоморфизмы» и .) ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle n\geq 5}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)\cong {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(4)\cong {\mathfrak {su}}(2)\times {\mathfrak {su}}(2)}$

Понятие полупростоты алгебр Ли тесно связано с полной сводимостью (полупростотой) их представлений. Когда основное поле F имеет нулевую характеристику, каждое конечномерное представление полупростой алгебры Ли является полупростым (т. е. прямой суммой неприводимых представлений). ^[22]

Конечномерная алгебра Ли над полем нулевой характеристики называется редуктивной, если ее присоединенное представление полупросто. Любая редуктивная алгебра Ли изоморфна произведению абелевой алгебры Ли и полупростой алгебры Ли. ^[29]

Например, является редуктивным для F нулевой характеристики: при , он изоморфен произведению ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)\cong F\times {\mathfrak {sl}}(n,F),}$

где F обозначает центр одномерного подпространства, охватываемого единичной матрицей. Поскольку специальная линейная алгебра Ли проста, содержит мало идеалов: только 0, центр F , и все из . ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$

Критерий Картана

Критерий Картана ( Эли Картана ) дает условия для того, чтобы конечномерная алгебра Ли нулевой характеристики была разрешимой или полупростой. Это выражается через форму Киллинга , симметричную билинейную форму, определяемую формулой ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle K(u,v)=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (u)\operatorname {ad} (v)),}$

где tr обозначает след линейного оператора. А именно: алгебра Ли полупроста тогда и только тогда, когда форма Киллинга невырождена . Алгебра Ли разрешима тогда и только тогда, когда ^[30] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle K({\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])=0.}$

Классификация

Разложение Леви утверждает, что каждая конечномерная алгебра Ли над полем нулевой характеристики является полупрямым произведением своего разрешимого радикала и полупростой алгебры Ли. ^[31] Более того, полупростая алгебра Ли нулевой характеристики является произведением простых алгебр Ли, как упоминалось выше. Это фокусирует внимание на проблеме классификации простых алгебр Ли.

Простые алгебры Ли конечной размерности над алгебраически замкнутым полем F нулевой характеристики были классифицированы Киллингом и Картаном в 1880-х и 1890-х годах с использованием систем корней . _А именно, каждая простая алгебра Ли имеет тип An , _{Bn ,} Cn , _Dn , _E6 , _{E7 ,} E8 _, F4 или _G2 . ^[32] Здесь простая алгебра Ли типа An _равна , B _n равна , C _n равна , а D _n равна . Остальные пять известны как исключительные алгебры Ли . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n+1,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n+1,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n,F)}$

Классификация конечномерных простых алгебр Ли более сложна, но она также была решена Картаном ( эквивалентную классификацию см. В простой группе Ли ). Алгебру Ли можно анализировать, рассматривая ее комплексификацию . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$

В годы, предшествовавшие 2004 году, конечномерные простые алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем характеристик были классифицированы Ричардом Эрлом Блоком , Робертом Ли Уилсоном, Александром Преметом и Хельмутом Стрейдом. (См. Ограниченная алгебра Ли # Классификация простых алгебр Ли .) Оказывается, в положительной характеристике гораздо больше простых алгебр Ли, чем в нулевой характеристике. ${\displaystyle p>3}$

Связь с группами Ли

Касательное пространство сферы в точке . Если бы касательное пространство было единичным элементом группы Ли, оно было бы алгеброй Ли. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Хотя алгебры Ли можно изучать сами по себе, исторически они возникли как средство изучения групп Ли .

Отношения между группами Ли и алгебрами Ли можно резюмировать следующим образом. Каждая группа Ли определяет алгебру Ли над (точнее, касательным пространством в единице). И наоборот, для каждой конечномерной алгебры Ли существует связная группа Ли с алгеброй Ли . Это третья теорема Ли ; см. формулу Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа . Эта группа Ли не определена однозначно; однако любые две группы Ли с одной и той же алгеброй Ли локально изоморфны и, более строго, имеют одно и то же универсальное накрытие . Например, специальная ортогональная группа SO(3) и специальная унитарная группа SU(2) порождают одну и ту же алгебру Ли, которая изоморфна алгебре Ли с векторным произведением, но SU(2) представляет собой односвязное двойное накрытие группы SO. (3). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Для односвязных групп Ли имеется полное соответствие: взятие алгебры Ли дает эквивалентность категорий односвязных групп Ли алгебрам Ли конечной размерности над . ^[33] ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Соответствие между алгебрами Ли и группами Ли используется несколькими способами, в том числе в классификации групп Ли и теории представлений групп Ли. Для конечномерных представлений существует эквивалентность категорий между представлениями вещественной алгебры Ли и представлениями соответствующей односвязной группы Ли. Это упрощает теорию представлений групп Ли: часто легче классифицировать представления алгебры Ли, используя линейную алгебру.

Любая связная группа Ли изоморфна своему универсальному накрытию по модулю дискретной центральной подгруппы. ^[34] Таким образом, классификация групп Ли становится просто вопросом подсчета дискретных подгрупп центра , как только алгебра Ли известна. Например, действительные полупростые алгебры Ли были классифицированы Картаном, и поэтому классификация полупростых групп Ли хорошо понятна.

Для бесконечномерных алгебр Ли теория Ли работает хуже. Экспоненциальное отображение не обязательно должно быть локальным гомеоморфизмом (например, в группе диффеоморфизмов окружности существуют диффеоморфизмы, сколь угодно близкие к единице, не входящие в образ экспоненциального отображения). Более того, в рамках существующих представлений о бесконечномерных группах Ли некоторые бесконечномерные алгебры Ли не происходят ни из какой группы. ^[35]

Теория Ли также не так хорошо работает для бесконечномерных представлений конечномерной группы. Даже для аддитивной группы бесконечномерное представление обычно не может быть дифференцировано для получения представления ее алгебры Ли в том же пространстве, или наоборот. ^[36] Теория модулей Хариш-Чандры представляет собой более тонкую связь между бесконечномерными представлениями групп и алгебрами Ли. ${\displaystyle G=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle G}$

Реальная форма и комплексификация

Учитывая комплексную алгебру Ли , реальная алгебра Ли называется вещественной формой , если комплексификация изоморфна . Реальная форма не обязательно должна быть уникальной; например, имеет две вещественные формы с точностью до изоморфизма, и . ^[37] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

Учитывая полупростую комплексную алгебру Ли , ее расщепленная форма - это действительная форма, которая расщепляется; т. е. у нее есть подалгебра Картана, которая действует через присоединенное представление с действительными собственными значениями. Расщепляемая форма существует и единственна (с точностью до изоморфизма). Компактная форма — это действительная форма, которая является алгеброй Ли компактной группы Ли. Компактная форма существует и также единственна с точностью до изоморфизма. ^[37] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Алгебра Ли с дополнительными структурами

Алгебра Ли может быть снабжена дополнительными структурами, совместимыми со скобкой Ли. Например, градуированная алгебра Ли — это алгебра Ли (или, в более общем смысле, супералгебра Ли ) с совместимой градуировкой. Дифференциальная градуированная алгебра Ли также включает в себя дифференциал, что делает базовое векторное пространство цепным комплексом .

Например, гомотопические группы односвязного топологического пространства образуют градуированную алгебру Ли, используя произведение Уайтхеда . В аналогичной конструкции Дэниел Квиллен использовал дифференциально-градуированные алгебры Ли над рациональными числами для описания теории рациональной гомотопии в алгебраических терминах. ^[38] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Кольцо лжи

Определение алгебры Ли над полем распространяется на определение алгебры Ли над любым коммутативным кольцом R . А именно, алгебра Ли над R — это R - модуль с знакопеременным R -билинейным отображением , удовлетворяющим тождеству Якоби. Алгебру Ли над кольцом целых чисел иногда называют кольцом Ли . (Это не имеет прямого отношения к понятию группы Ли.) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [\ ,\ ]\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Кольца Ли используются при изучении конечных p-групп (для простого числа p ) посредством соответствия Лазара . ^[39] Нижние центральные факторы конечной p -группы являются конечными абелевыми p -группами. Прямая сумма нижних центральных множителей задается структурой кольца Ли путем определения скобки как коммутатора двух представителей смежного класса; см. пример ниже.

p-адические группы Ли связаны с алгебрами Ли над полем p -адических чисел , а также над кольцом p -адических целых чисел . ^[40] Часть конструкции Клода Шевалле конечных групп лиева типа включает в себя показ того, что простая алгебра Ли над комплексными числами происходит из алгебры Ли над целыми числами, а затем (с большей осторожностью) групповая схема над целыми числами. . ^[41] ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

Примеры

• Вот конструкция колец Ли, возникшая в результате изучения абстрактных групп. Для элементов группы определите коммутатор . Пусть – фильтрация группы , то есть цепочка подгрупп такая, что содержится в для всех . (Для соответствия Лазара фильтрацией считается нижний центральный ряд группы G. ) Тогда ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle [x,y]=x^{-1}y^{-1}xy}$ ${\displaystyle G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq G_{2}\supseteq \cdots \supseteq G_{n}\supseteq \cdots }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [G_{i},G_{j}]}$ ${\displaystyle G_{i+j}}$ ${\displaystyle i,j}$

${\displaystyle L=\bigoplus _{i\geq 0}G_{i}/G_{i+1}}$

является кольцом Ли со сложением, заданным групповым умножением (абелевым на каждой факторгруппе ), и со скобкой Ли, заданной коммутаторами в группе: ^[42] ${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}}$ ${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}\times G_{j}/G_{j+1}\to G_{i+j}/G_{i+j+1}}$

${\displaystyle [xG_{i+1},yG_{j+1}]:=[x,y]G_{i+j+1}.}$

Например, кольцо Ли, связанное с нижним центральным рядом на группе диэдра порядка 8, представляет собой алгебру Ли Гейзенберга размерности 3 над полем . ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Определение с использованием теоретико-категорной нотации

Определение алгебры Ли можно переформулировать более абстрактно на языке теории категорий . А именно, можно определить алгебру Ли в терминах линейных отображений, то есть морфизмов в категории векторных пространств , без рассмотрения отдельных элементов. (В этом разделе предполагается, что поле, в котором определяется алгебра, имеет характеристику, отличную от 2.)

Для теоретико-категорного определения алгебр Ли необходимы два изоморфизма кос . Если A — векторное пространство, изоморфизм обмена определяется формулой ${\displaystyle \tau :A\otimes A\to A\otimes A}$

${\displaystyle \tau (x\otimes y)=y\otimes x.}$

Переплетение циклических перестановок определяется как ${\displaystyle \sigma :A\otimes A\otimes A\to A\otimes A\otimes A}$

${\displaystyle \sigma =(\mathrm {id} \otimes \tau )\circ (\tau \otimes \mathrm {id} ),}$

где тождественный морфизм. Эквивалентно, определяется ${\displaystyle \mathrm {id} }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sigma (x\otimes y\otimes z)=y\otimes z\otimes x.}$

С помощью этих обозначений алгебру Ли можно определить как объект в категории векторных пространств вместе с морфизмом ${\displaystyle A}$

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon A\otimes A\rightarrow A}$

которое удовлетворяет двум равенствам морфизмов

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ (\mathrm {id} +\tau )=0,}$

и

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ([\cdot ,\cdot ]\otimes \mathrm {id} )\circ (\mathrm {id} +\sigma +\sigma ^{2})=0.}$

Смотрите также

• Аффинная алгебра Ли
• Автоморфизм алгебры Ли
• Когомологии Гельфанда–Фукса
• Индекс алгебры Ли
• Когомологии алгебры Ли
• Расширение алгебры Ли
• Представление алгебры Ли
• Биалгебра лжи
• Коалгебра лжи
• Ложь операда
• Физика элементарных частиц и теория представлений
• Супералгебра Ли
• Ортогональная симметричная алгебра Ли
• Алгебра Пуассона
• Предварительная алгебра Ли
• Квантовые группы
• Алгебра Мойала
• Квазифробениусовая алгебра Ли
• Квази-алгебра Ли
• Ограниченная алгебра Ли
• Серрские отношения

Примечания

1. В более общем смысле, существует понятие алгебры Ли над любым коммутативным кольцом R : R -модуль с знакопеременным R -билинейным отображением, которое удовлетворяет тождеству Якоби (Бурбаки (1989, раздел 2)).

Рекомендации

1. О'Коннор и Робертсон 2000.
2. О'Коннор и Робертсон 2005.
3. Хамфрис 1978, с. 1.
4. Бурбаки 1989, §1.2. Пример 1.
5. Бурбаки 1989, §1.2. Пример 2.
6. В силу антикоммутативности коммутатора понятия левого и правого идеала в алгебре Ли совпадают.
7. Джейкобсон 1979, с. 28.
8. Бурбаки 1989, раздел I.1.1.
9. Хамфрис 1978, с. 4.
10. Варадараджан 1984, с. 49.
11. Серр 2006, Часть I, раздел VI.3.
12. Фултон и Харрис 1991, Предложение D.40.
13. Варадараджан 1984, раздел 2.10, примечание 2.
14. Холл 2015, §3.4.
15. Эрдманн и Уилдон 2006, Теорема 3.1.
16. Эрдманн и Уилдон 2006, раздел 3.2.1.
17. Холл 2015, пример 3.27.
18. Wigner 1959, главы 17 и 20.
19. Эрдманн и Уилдон 2006, Глава 8.
20. Серр 2006, Часть I, Глава IV.
21. Джейкобсон 1979, гл. VI.
22. Hall 2015, Теорема 10.9.
23. Хамфрис 1978, раздел 17.3.
24. Джейкобсон 1979, раздел II.3.
25. Джейкобсон 1979, раздел I.7.
26. Джейкобсон 1979, с. 24.
27. Джейкобсон 1979, гл. III, § 5.
28. Эрдманн и Уилдон 2006, Теорема 12.1.
29. Варадараджан 1984, Теорема 3.16.3.
30. Варадараджан 1984, раздел 3.9.
31. Джейкобсон 1979, гл. III, § 9.
32. Джейкобсон 1979, раздел IV.6.
33. Варадараджан 1984, Теоремы 2.7.5 и 3.15.1.
34. Варадараджан 1984, раздел 2.6.
35. Милнор 2010, Предупреждения 1.6 и 8.5.
36. Кнапп 2001, раздел III.3, Проблема III.5.
37. Фултон и Харрис 1991, §26.1.
38. Квиллен 1969, Следствие II.6.2.
39. Хухро 1998, Гл. 6.
40. Серр 2006, Часть II, раздел V.1.
41. Хамфрис 1978, раздел 25.
42. Серр 2006, Часть I, Глава II.

Источники

• Бурбаки, Николя (1989). Группы Ли и алгебры Ли: главы 1-3. Спрингер. ISBN 978-3-540-64242-8. МР  1728312.
• Эрдманн, Карин ; Уилдон, Марк (2006). Введение в алгебры Ли . Спрингер. ISBN 1-84628-040-0. МР  2218355.
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. МР  1153249. OCLC  246650103.
• Холл, Брайан С. (2015). Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение . Тексты для аспирантов по математике. Том. 222 (2-е изд.). Спрингер. дои : 10.1007/978-3-319-13467-3. ISBN 978-3319134666. ISSN  0072-5285. МР  3331229.
• Хамфрис, Джеймс Э. (1978). Введение в алгебры Ли и теорию представлений . Тексты для аспирантов по математике. Том. 9 (2-е изд.). Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-90053-7. МР  0499562.
• Джейкобсон, Натан (1979) [1962]. Алгебры лжи . Дувр. ISBN 978-0-486-63832-4. МР  0559927.
• Хухро, Э.И. (1998), p-автоморфизмы конечных p-групп , издательство Кембриджского университета , doi : 10.1017/CBO9780511526008, ISBN 0-521-59717-Х, МР  1615819
• Кнапп, Энтони В. (2001) [1986], Теория представлений полупростых групп: обзор, основанный на примерах , Princeton University Press , ISBN 0-691-09089-0, МР  1880691
• Милнор, Джон (2010) [1986], «Замечания о бесконечномерных группах Ли», Сборник статей Джона Милнора , том. 5, стр. 91–141, ISBN. 978-0-8218-4876-0, МР  0830252
• О'Коннор, Джей Джей ; Робертсон, Э.Ф. (2000). «Ложь Мариуса Софуса». MacTutor Архив истории математики.
• О'Коннор, Джей Джей ; Робертсон, Э.Ф. (2005). «Вильгельм Карл Йозеф Киллинг». MacTutor Архив истории математики.
• Куиллен, Дэниел (1969), «Рациональная теория гомотопий», Annals of Mathematics , 90 (2): 205–295, doi : 10.2307/1970725, JSTOR  1970725, MR  0258031
• Серр, Жан-Пьер (2006). Алгебры Ли и группы Ли (2-е изд.). Спрингер. ISBN 978-3-540-55008-2. МР  2179691.
• Варадараджан, Виравали С. (1984) [1974]. Группы Ли, алгебры Ли и их представления . Спрингер. ISBN 978-0-387-90969-1. МР  0746308.
• Вигнер, Юджин (1959). Теория групп и ее применение к квантовой механике атомных спектров . Перевод Джей Джей Гриффина. Академическая пресса . ISBN 978-0127505503. МР  0106711.

Внешние ссылки

• Кац, Виктор Г .; и другие. Конспекты курса MIT 18.745: Введение в алгебры Ли. Архивировано из оригинала 20 апреля 2010 г.
• «Алгебра Ли», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Маккензи, Дуглас (2015). «Элементарное введение в алгебры Ли для физиков».