Симметричная группа

Тип группы в абстрактной алгебре

Граф Кэли симметричной группы S4 с использованием генераторов (красный) кругового сдвига вправо всех четырех элементов множества и (синий) кругового сдвига влево первых трех элементов множества.

Таблица Кэли ( без заголовка ) симметричной группы _S3 . Элементы представлены в виде матриц . Слева от матриц — их двухстрочный вид . Черные стрелки указывают непересекающиеся циклы и соответствуют обозначениям циклов . Зеленый круг — нечетная перестановка, белый — четная перестановка, черный — тождество.

Это позиции шести матриц

Некоторые матрицы не расположены симметрично главной диагонали – таким образом, симметрическая группа не является абелевой.

В абстрактной алгебре симметрическая группа , определенная над любым набором , — это группа , элементами которой являются все биекции множества в себя, а групповая операция — композиция функций . В частности, конечная симметрическая группа , определенная над конечным набором символов , состоит из перестановок , которые можно выполнить над символами. ^[1] Поскольку таких операций перестановки существует ( факториал ), порядок (количество элементов) симметричной группы равен . ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$ ${\displaystyle n!}$

Хотя симметрические группы могут быть определены на бесконечных множествах , эта статья фокусируется на конечных симметричных группах: их приложениях, их элементах, их классах сопряженности , конечном представлении , их подгруппах , их группах автоморфизмов и их теории представлений . В оставшейся части этой статьи «симметричная группа» будет означать симметрическую группу на конечном множестве.

Симметричная группа важна для различных областей математики, таких как теория Галуа , теория инвариантов , теория представлений групп Ли и комбинаторика . Теорема Кэли утверждает, что каждая группа изоморфна подгруппе симметрической группы на ( основном множестве ) . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Определение и первые свойства

Симметричная группа на конечном множестве — это группа, все элементы которой являются биективными функциями от до и групповая операция которой — это композиция функций . ^[1] Для конечных множеств «перестановки» и «биективные функции» относятся к одной и той же операции, а именно к перестановке. Симметричная группа степени — это симметрическая группа на множестве . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X=\{1,2,\ldots ,n\}}$

Симметричную группу на множестве обозначают различными способами, включая , , , и . ^[1] Если задано , имя может быть сокращено до , , или . ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{X}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{X}}$ ${\displaystyle \Sigma _{X}}$ ${\displaystyle X!}$ ${\displaystyle \operatorname {Sym} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{n}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sym} (n)}$

Симметричные группы на бесконечных множествах ведут себя совершенно иначе, чем симметрические группы на конечных множествах, и обсуждаются в (Скотт 1987, глава 11), (Диксон и Мортимер 1996, глава 8) и (Камерон 1999).

Симметричная группа на множестве элементов имеет порядок ( факториал ) . ^[2] Она абелева тогда и только тогда, когда меньше или равна 2. ^[3] Для и ( пустое множество и одноэлементное множество ) симметрические группы тривиальны (они имеют порядок ). Группа Sn _{разрешима} тогда и только тогда, когда . Это существенная часть доказательства теоремы Абеля–Руффини , которая показывает, что для каждого существуют многочлены степени , неразрешимые в радикалах, то есть решения не могут быть выражены путем выполнения конечного числа операций сложения, вычитания , умножение, деление и извлечение корня из коэффициентов многочлена. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle 0!=1!=1}$ ${\displaystyle n\leq 4}$ ${\displaystyle n>4}$ ${\displaystyle n}$

Приложения

Симметричная группа на множестве размера n является группой Галуа общего полинома степени n и играет важную роль в теории Галуа . В теории инвариантов симметрическая группа действует на переменные функции многих переменных, а функции, левоинвариантные, являются так называемыми симметрическими функциями . В теории представлений групп Ли фундаментальную роль играет теория представлений симметрической группы через идеи функторов Шура .

В теории групп Кокстера симметрической группой является группа Кокстера типа Ап _, встречающаяся как группа Вейля полной линейной группы . В комбинаторике симметричные группы, их элементы ( перестановки ) и их представления представляют собой богатый источник проблем, связанных с таблицами Юнга , пластическими моноидами и порядком Брюа . Подгруппы симметричных групп называются группами перестановок и широко изучаются из-за их важности для понимания групповых действий , однородных пространств и групп автоморфизмов графов , таких как группа Хигмана-Симса и граф Хигмана-Симса .

Групповые свойства и специальные элементы

Элементы симметрической группы на множестве X являются перестановками X .

Умножение

Групповая операция в симметричной группе представляет собой композицию функций, обозначаемую символом ∘ или просто композицию перестановок. Композиция f ∘ g перестановок f и g , произносится как « f of g », отображает любой элемент x из X в f ( g ( x )). Конкретно, пусть (см. перестановку для пояснения обозначений):

${\displaystyle f=(1\ 3)(4\ 5)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\3&2&1&5&4\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle g=(1\ 2\ 5)(3\ 4)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{pmatrix}}.}$

Применение f после g отображает 1 сначала в 2, а затем 2 в себя; от 2 до 5, а затем до 4; От 3 до 4, затем до 5 и так далее. Таким образом, составление f и g дает

${\displaystyle fg=f\circ g=(1\ 2\ 4)(3\ 5)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&5&1&3\end{pmatrix}}.}$

Цикл длины L = k · m , возведенный в k -ю степень, разложится на k циклов длины m : Например, ( k = 2 , m = 3 ),

${\displaystyle (1~2~3~4~5~6)^{2}=(1~3~5)(2~4~6).}$

Проверка аксиом группы

Чтобы проверить, что симметрическая группа на множестве X действительно является группой , необходимо проверить групповые аксиомы замыкания, ассоциативности, тождественности и инверсий. ^[4]

1. Операция композиции функций замкнута во множестве перестановок данного множества X .
2. Композиция функций всегда ассоциативна.
3. Тривиальная биекция, которая присваивает каждый элемент X самому себе, служит тождеством группы.
4. Каждая биекция имеет обратную функцию , которая отменяет ее действие, и, таким образом, каждый элемент симметричной группы имеет обратную функцию, которая также является перестановкой.

Транспозиции, знак и знакопеременная группа

Транспозиция — это перестановка, при которой два элемента заменяются местами, а все остальные остаются неизменными ; например (1 3) является транспозицией. Любую перестановку можно записать как произведение транспозиций; например, перестановку g сверху можно записать как g = (1 2)(2 5)(3 4). Поскольку g можно записать как произведение нечетного числа транспозиций, ее тогда называют нечетной перестановкой , тогда как f — четная перестановка.

Представление перестановки как продукта транспозиций не уникально; однако количество транспозиций, необходимых для представления данной перестановки, всегда либо четное, либо всегда нечетное. Существует несколько коротких доказательств инвариантности этой четности перестановки.

Произведение двух четных перестановок четно, произведение двух нечетных перестановок четно, а все остальные произведения нечетны. Таким образом, мы можем определить знак перестановки:

${\displaystyle \operatorname {sgn} f={\begin{cases}+1,&{\text{if }}f{\mbox{ is even}}\\-1,&{\text{if }}f{\text{ is odd}}.\end{cases}}}$

Используя это определение,

${\displaystyle \operatorname {sgn} \colon \mathrm {S} _{n}\rightarrow \{+1,-1\}\ }$

— групповой гомоморфизм ({+1, −1} — группа при умножении, где +1 — это e, нейтральный элемент ). Ядро этого гомоморфизма, т . е. множество всех четных перестановок, называется _{знакопеременной} группой An . Это нормальная подгруппа группы Sn _и при n ≥ 2 она имеет n !/2 элементов. Группа Sn _{является} полупрямым произведением An и любой подгруппы _, порожденной одной транспозицией.

Более того, каждую перестановку можно записать как произведение соседних транспозиций , то есть транспозиций вида ( a a +1) . Например, перестановку g сверху также можно записать как g = (4 5)(3 4)(4 5)(1 2)(2 3)(3 4)(4 5) . Алгоритм сортировки пузырьковой сортировкой является применением этого факта. Представление перестановки как произведения смежных транспозиций также не является единственным.

Циклы

Цикл длины k — это перестановка f , для которой существует элемент x из {1, ..., n } такой, что x , f ( x ), f ² ( x ) , ..., f ^k ( x ) = x — единственные элементы, перемещаемые с помощью f ; традиционно требуется, чтобы k ≥ 2 , поскольку при k = 1 сам элемент x также не будет перемещаться. Перестановка h, определенная формулой

${\displaystyle h={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\4&2&1&3&5\end{pmatrix}}}$

является циклом длины три, поскольку h (1) = 4 , h (4) = 3 и h (3) = 1 , оставляя 2 и 5 нетронутыми. Мы обозначаем такой цикл как (1 4 3) , но его с таким же успехом можно было бы записать (4 3 1) или (3 1 4) , начиная с другой точки. Порядок цикла равен его длине. Циклы длины два являются транспозициями. Два цикла являются непересекающимися, если они имеют непересекающиеся подмножества элементов. Непересекающиеся циклы коммутируют : например, в S6 _имеет место равенство (4 1 3)(2 5 6) = (2 5 6)(4 1 3) . Каждый элемент Sn _можно записать как произведение непересекающихся циклов; это представление уникально в зависимости от порядка факторов и свободы представления каждого отдельного цикла путем выбора его начальной точки.

Циклы допускают следующее свойство сопряжения с любой перестановкой , это свойство часто используется для получения его генераторов и отношений. ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sigma {\begin{pmatrix}a&b&c&\ldots \end{pmatrix}}\sigma ^{-1}={\begin{pmatrix}\sigma (a)&\sigma (b)&\sigma (c)&\ldots \end{pmatrix}}}$

Специальные элементы

Некоторые элементы симметрической группы {1, 2, ..., n } представляют особый интерес (их можно обобщить на симметрическую группу любого конечного полностью упорядоченного множества, но не на группу неупорядоченного множества).

The Перестановка, изменяющая порядок, определяется следующим образом:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\n&n-1&\cdots &1\end{pmatrix}}.}$

Это единственный максимальный элемент относительно порядка Брюа и самый длинный элемент в симметричной группе относительно порождающего набора, состоящего из соседних транспозиций ( i i +1) , 1 ≤ i ≤ n − 1 .

Это инволюция, состоящая из (несмежных) транспозиций. ${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$

${\displaystyle (1\,n)(2\,n-1)\cdots ,{\text{ or }}\sum _{k=1}^{n-1}k={\frac {n(n-1)}{2}}{\text{ adjacent transpositions: }}}$

${\displaystyle (n\,n-1)(n-1\,n-2)\cdots (2\,1)(n-1\,n-2)(n-2\,n-3)\cdots ,}$

поэтому он имеет знак:

${\displaystyle \mathrm {sgn} (\rho _{n})=(-1)^{\lfloor n/2\rfloor }=(-1)^{n(n-1)/2}={\begin{cases}+1&n\equiv 0,1{\pmod {4}}\\-1&n\equiv 2,3{\pmod {4}}\end{cases}}}$

который является 4-периодическим по n .

В S _{2 n} идеальное перемешивание — это перестановка, которая разбивает набор на 2 стопки и чередует их. Его признак также ${\displaystyle (-1)^{\lfloor n/2\rfloor }.}$

Обратите внимание, что реверс на n элементах и ​​идеальное перемешивание на 2 n элементах имеют один и тот же знак; они важны для классификации алгебр Клиффорда , которые являются 8-периодическими.

Классы сопряженности

Классы сопряженности Sn соответствуют циклам типов перестановок _; то есть два элемента Sn _{сопряжены} в Sn _тогда и только тогда, когда они состоят из одинакового числа непересекающихся циклов одинаковой длины. Например, в S ₅ (1 2 3)(4 5) и (1 4 3)(2 5) сопряжены; (1 2 3)(4 5) и (1 2)(4 5) нет. Сопряженный элемент Sn _может быть построен в «двухстрочной записи», помещая «циклические обозначения» двух сопряженных перестановок друг на друга. Продолжая предыдущий пример,

$${\displaystyle k={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&3&2&5\end{pmatrix}},}$$

$${\displaystyle (2~4)\circ (1~2~3)(4~5)\circ (2~4)=(1~4~3)(2~5).}$$

Классы сопряженности Sn _{соответствуют} целочисленным разбиениям n : разбиению µ = ( µ ₁ , µ ₂ , ..., µ _k ) с и µ ₁ ≥ µ ₂ ≥ ... ≥ µ _k , соответствует множество C _µ перестановок с циклами длин µ ₁ , µ ₂ , ..., µ _k . Тогда C _µ — класс сопряженности Sn _, элементы которого называются циклическими . ${\textstyle n=\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}}$ ${\displaystyle \mu }$

Группы низкой степени

Симметричные группы низкой степени имеют более простую и исключительную структуру, и их часто приходится рассматривать отдельно.

С ₀ и С ₁

Симметричные группы на пустом множестве и одноэлементном множестве тривиальны, что соответствует 0! = 1! = 1 . В этом случае знакопеременная группа согласуется с симметричной группой, а не является подгруппой индекса 2, а отображение знаков тривиально. В случае S0 _ее единственным членом является пустая функция .

С ₂

Эта группа состоит ровно из двух элементов: единицы и перестановки, меняющей местами две точки. Это циклическая группа и, следовательно, абелева . В теории Галуа это соответствует тому факту, что квадратичная формула дает прямое решение общего квадратичного многочлена после извлечения только одного корня. В теории инвариантов теория представления симметрической группы в двух точках довольно проста и рассматривается как запись функции двух переменных как суммы ее симметричной и антисимметричной частей: Полагая f _s ( x , y ) = f ( Икс , у ) + ж ( у , Икс ) и ж _а ( Икс , у ) знак равно ж ( Икс , у ) - ж ( у , Икс ) , получается, что 2⋅ ж знак равно ж _s + ж _а . Этот процесс известен как симметризация .

С ₃

S ₃ — первая неабелева симметрическая группа. Эта группа изоморфна группе диэдра порядка 6 , группе симметрий отражения и вращения равностороннего треугольника , поскольку эти симметрии переставляют местами три вершины треугольника. Циклы длины два соответствуют отражениям, а циклы длины три — вращениям. В теории Галуа отображение знаков от S ₃ до S ₂ соответствует разрешающему квадрату для кубического многочлена , как обнаружил Джероламо Кардано , тогда как ядро ​​A ₃ соответствует использованию дискретного преобразования Фурье порядка 3 в решении, в виде резольвент Лагранжа . ^{[ нужна цитата ]}

С ₄

Группа S4 изоморфна группе собственных вращений вокруг противоположных граней, противоположных диагоналей и противоположных ребер, 9, 8 и 6 перестановок куба . ^[5] Вне группы A 4 , S ₄ имеет четырехгруппу Клейна V как собственную нормальную подгруппу , а именно четные транспозиции {(1), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4) , (1 4)(2 3)}, с фактором S ₃ . В теории Галуа это отображение соответствует разрешающей кубике к многочлену четвертой степени , что позволяет решать квартику радикалами, как установил Лодовико Феррари . Группу Клейна можно понимать в терминах резольвент Лагранжа квартики. Отображение от S ₄ до S ₃ также дает 2-мерное неприводимое представление, которое является неприводимым представлением симметричной группы степени n размерности ниже n - 1 , что происходит только для n = 4 .

С ₅

S ₅ — первая неразрешимая симметрическая группа. Наряду со специальной линейной группой SL(2, 5) и икосаэдрической группой A ₅ × S ₂ , S ₅ является одной из трех неразрешимых групп порядка 120 с точностью до изоморфизма. S ₅ является группой Галуа общего уравнения пятой степени , и тот факт, что S ₅ не является разрешимой группой , приводит к отсутствию общей формулы для решения полиномов пятой степени с помощью радикалов. Существует экзотическое отображение включения S ₅ → S ₆ как транзитивная подгруппа; очевидное отображение включения Sn → Sn _{+1 фиксирует} точку и, следовательно, не является транзитивным _. Это дает внешний автоморфизм S ₆ , обсуждаемый ниже, и соответствует резольвентной секстике квинтики.

С ₆

В отличие от всех других симметрических групп, S6 _{обладает} внешним автоморфизмом . Используя язык теории Галуа , это также можно понять в терминах резольвент Лагранжа . Резольвента квинтики имеет степень 6 — это соответствует экзотическому отображению включения S ₅ → S ₆ как транзитивной подгруппе (очевидное отображение включения S _n → Sn _{+1 фиксирует} точку и, следовательно, не является транзитивным) и, хотя это отображение не делает разрешимой общую квинтику, оно дает экзотический внешний автоморфизм S6 _— подробности см. в разделе «Автоморфизмы симметричных и знакопеременных групп» .

Обратите внимание, что хотя A ₆ и A ₇ имеют исключительный множитель Шура ( тройное накрытие ) и что они распространяются на тройные покрытия S ₆ и S ₇ , они не соответствуют исключительным множителям Шура симметричной группы.

Карты между симметричными группами

Помимо тривиального отображения Sn → C _{1 ≅} S ₀ ≅ S ₁ и отображения знаков Sn → S _{2 , наиболее заметными гомоморфизмами между симметричными группами} в порядке относительной размерности являются:

• S ₄ → S ₃ , соответствующий исключительной нормальной подгруппе V < A ₄ < S ₄ ;
• S ₆ → S ₆ (вернее, класс таких отображений с точностью до внутреннего автоморфизма), соответствующий внешнему автоморфизму S ₆ .
• S ₅ → S ₆ как транзитивная подгруппа, что дает внешний автоморфизм S ₆ , как обсуждалось выше.

Существует также множество других гомоморфизмов Sm → _{Sn ,} где m < n .

Связь с альтернативной группой

Для n ≥ 5 знакопеременная группа An является простой , а _{индуцированный фактор представляет собой} отображение знаков: An → Sn _→ S ₂ , которое разбивается путем транспозиции двух элементов. Таким образом, Sn _{является} полупрямым произведением An ⋊ S ₂ и не имеет других собственных нормальных подгрупп, поскольку они пересекались бы с An _либо в единице (и, таким образом, сами были единицей, либо 2-элементной группой, что не является нормальным) _. , или в An ₍ и, таким образом, сами являются An _или Sn ₎ .

Sn действует на своей подгруппе An _{сопряжением} , и при _n ≠ 6 Sn является полной группой автоморфизмов An _{: Aut} (A _n ) ≅ S _n . _{Сопряжение} четными элементами является внутренним автоморфизмом An _, тогда как внешний автоморфизм An порядка 2 соответствует сопряжению нечетным элементом. Для n = 6 существует исключительный внешний автоморфизм An _, поэтому Sn _не является полной группой автоморфизмов _An .

И наоборот, для n ≠ 6 , Sn _не имеет внешних автоморфизмов, а для n ≠ 2 у него нет центра, поэтому для n ≠ 2, 6 это полная группа , как обсуждается в группе автоморфизмов ниже.

Для n ≥ 5 Sn является почти простой группой _, поскольку она находится между простой группой An _и ее группой автоморфизмов.

Sn можно вложить в An _{+ 2} добавлением транспозиции ( n +1, n +2) _ко всем нечетным перестановкам, тогда как вложение в An _{+ 1} невозможно для n > 1 .

Генераторы и отношения

Симметричная группа из n букв генерируется соседними транспозициями , которые меняют местами i и i + 1 . ^[6] Коллекция генерирует Sn _при условии соблюдения следующих соотношений: ^[7] ${\displaystyle \sigma _{i}=(i,i+1)}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}}$

• ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}=1,}$
• ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}}$для и ${\displaystyle |i-j|>1}$
• ${\displaystyle (\sigma _{i}\sigma _{i+1})^{3}=1,}$

где 1 представляет собой тождественную перестановку. Это представление наделяет симметричную группу структурой группы Кокстера (а значит, и группы отражения ).

Другие возможные порождающие наборы включают набор транспозиций, которые меняют местами 1 и i на 2 ≤ i ≤ n , ^{[ нужна ссылка ]} и набор, содержащий любой n -цикл и 2 -цикл соседних элементов в n -цикле. ^[8]

Структура подгруппы

Подгруппа симметричной группы называется группой перестановок .

Нормальные подгруппы

Нормальные подгруппы конечных симметрических групп хорошо изучены. Если n ≤ 2 , Sn _имеет не более 2 элементов и поэтому не имеет нетривиальных собственных подгрупп. Знакопеременная группа степени n всегда является нормальной подгруппой, собственной при n ≥ 2 и нетривиальной при n ≥ 3 ; для n ≥ 3 это фактически единственная нетривиальная собственная нормальная подгруппа в _Sn , за исключением случаев, когда n = 4 , где есть еще одна такая нормальная подгруппа, изоморфная четверной группе Клейна .

Симметричная группа на бесконечном множестве не имеет подгруппы индекса 2, поскольку Витали (1915 ^[9] ) доказал, что каждую перестановку можно записать в виде произведения трех квадратов. Однако он содержит нормальную подгруппу S перестановок, фиксирующих все элементы, кроме конечного числа, которая порождается транспозициями. Те элементы S , которые являются произведениями четного числа транспозиций, образуют подгруппу индекса 2 в S , называемую знакопеременной подгруппой A. Поскольку A — даже характеристическая подгруппа S , она также является нормальной подгруппой полной симметрической группы бесконечного множества. Группы A и S — единственные нетривиальные собственные нормальные подгруппы симметрической группы на счетном множестве. Впервые это было доказано Онофри (1929 ^[10] ) и независимо Шрейером – Уламом (1934 ^[11] ). Более подробную информацию см. (Скотт 1987, гл. 11.3) или (Диксон и Мортимер 1996, гл. 8.1).

Максимальные подгруппы

Максимальные подгруппы группы Sn делятся на три класса: интранзитивные, импримитивные и примитивные _. Интранзитивные максимальные подгруппы — это в точности подгруппы вида S _k × S _{n – k} для 1 ≤ k < n /2 . Импримитивные максимальные подгруппы — это в точности подгруппы вида Sk _k wr S _{n / k} , где 2 ≤ k ≤ n /2 — собственный делитель n , а «wr» обозначает сплетение . Примитивные максимальные подгруппы идентифицировать труднее, но с помощью теоремы О'Нэна-Скотта и классификации конечных простых групп (Либек, Прагер и Саксл, 1988) дал вполне удовлетворительное описание максимальных подгрупп этого типа. , согласно (Dixon & Mortimer 1996, стр. 268).

Силовские подгруппы

Силовские подгруппы симметрических групп являются важными примерами p -групп . Их легче описать сначала в особых случаях:

Силовские p -подгруппы симметрической группы степени p — это не что иное, как циклические подгруппы, порожденные p -циклами. Существует ( p − 1)!/( p − 1) = ( p − 2)! такие подгруппы просто путем подсчета образующих . Таким образом , нормализатор имеет порядок p ⋅( p − 1) и известен как группа Фробениуса F _{p ( p − 1)} (особенно для p = 5 ) и является аффинной общей линейной группой AGL(1 , p ) .

Силовские p - ^{подгруппы} симметрической группы степени p2 являются сплетением двух циклических групп порядка p . Например, когда p = 3 , силовская 3-подгруппа Sym(9) порождается a = (1 4 7)(2 5 8)(3 6 9) и элементами x = (1 2 3), y = (4 5 6), z = (7 8 9) и каждый элемент силовской 3-подгруппы имеет вид a ⁱ x ^j y ^k z ^l для . ${\displaystyle 0\leq i,j,k,l\leq 2}$

Силовские p -подгруппы симметрической группы степени p ⁿ иногда обозначаются W _p ( n ), и используя это обозначение, можно получить, что W _p ( n + 1) является сплетением W _p ( n ) и W _p ( 1).

В общем, силовские p -подгруппы симметричной группы степени n являются прямым произведением a _i копий W _p ( i ), где 0 ≤ a _i ≤ p − 1 и n = a ₀  +  p ⋅ a ₁  + ... +  p ^k ⋅ a _k ( разложение n по основанию p ).

Например, W ₂ (1) = C ₂ и W ₂ (2) = D ₈ , группа диэдра порядка 8 , и поэтому силовская 2-подгруппа симметрической группы степени 7 порождается { (1,3 )(2,4), (1,2), (3,4), (5,6) } и изоморфен D ₈ × C ₂ .

Эти расчеты приписываются (Калужнин, 1948) и более подробно описаны в (Ротман, 1995, стр. 176). Однако обратите внимание, что (Кербер 1971, стр. 26) приписывает результат работе Коши 1844 года и упоминает, что он даже описан в форме учебника в (Нетто 1882, §39–40).

Транзитивные подгруппы

Транзитивной подгруппой группы Sn называется подгруппа, действие которой на {1, 2, ,...  _, n } транзитивно . Например, группа Галуа ( конечного ) расширения Галуа является транзитивной подгруппой Sn _для некоторого n .

Молодые подгруппы

Подгруппа группы _Sn , порожденная транспозициями, называется подгруппой Юнга . Все они имеют вид где – целочисленный раздел n . Эти группы также можно охарактеризовать как параболические подгруппы группы Sn _, если рассматривать ее как группу отражений . ${\displaystyle S_{a_{1}}\times \cdots \times S_{a_{\ell }}}$ ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{\ell })}$

Теорема Кэли

Теорема Кэли утверждает, что каждая группа G изоморфна подгруппе некоторой симметрической группы. В частности, можно взять подгруппу симметрической группы на элементах G , поскольку каждая группа действует на себя точно путем (левого или правого) умножения.

Циклические подгруппы

Циклические группы — это группы, которые генерируются одной перестановкой. Когда перестановка представлена ​​в обозначениях циклов, порядок порождаемой ею циклической подгруппы равен наименьшему общему кратному длин ее циклов. Например, в S ₅ одна циклическая подгруппа порядка 5 порождается (13254), тогда как самые большие циклические подгруппы S ₅ генерируются элементами типа (123) (45), которые имеют один цикл длины 3 и другой цикл длины 3. длина 2. Это исключает множество групп как возможные подгруппы симметричных групп заданного размера. ^{[ нужна цитата ]} Например, S ₅ не имеет подгруппы порядка 15 (дивизора порядка S ₅ ), потому что единственная группа порядка 15 - это циклическая группа. Максимально возможный порядок циклической подгруппы (т. е. максимально возможный порядок элемента в Sn ₎ задается функцией Ландау .

Группа автоморфизмов

Для n ≠ 2,6 Sn является полной группой : ее _{центральная} и внешняя группа автоморфизмов тривиальны.

При n = 2 группа автоморфизмов тривиальна, но S2 _{нетривиальна} : она изоморфна C2 _, которая абелева, и, следовательно, центром является вся группа.

При n = 6 он имеет внешний автоморфизм порядка 2: Out(S6 ₎ = C2 _, а группа автоморфизмов представляет собой полупрямое произведение Aut( _S6 ) = _S6 ⋊ _C2 .

Фактически, для любого множества X мощности, отличной от 6, каждый автоморфизм симметрической группы на X является внутренним, что впервые было получено (Шрайер и Улам 1936) согласно (Диксон и Мортимер 1996, стр. 259).

Гомология

Групповые гомологии Sn вполне регулярны и стабилизируются: первая гомология (точнее, абелианизация ₎ такова :

${\displaystyle H_{1}(\mathrm {S} _{n},\mathbf {Z} )={\begin{cases}0&n<2\\\mathbf {Z} /2&n\geq 2.\end{cases}}}$

Первая группа гомологий представляет собой абелианизацию и соответствует отображению знаков Sn _→ S2 _, которое является абелианизацией для n ≥ 2; при n < 2 симметрическая группа тривиальна. Эту гомологию легко вычислить следующим образом: Sn _{порождается} инволюциями (2-циклами, имеющими порядок 2), поэтому единственными нетривиальными отображениями S _n → C _p являются S ₂ , и все инволюции сопряжены, следовательно, отображаются в тот же элемент в абелианизации (поскольку в абелевых группах сопряжение тривиально). Таким образом, единственно возможные отображения Sn → S ₂ ≅ {±1} _{переводят} инволюцию в 1 (тривиальное отображение) или в −1 (отображение знаков). Необходимо также показать, что отображение знаков корректно определено, но при этом предположении, что это дает первые гомологии _Sn .

Вторая гомология (точнее, множитель Шура ):

${\displaystyle H_{2}(\mathrm {S} _{n},\mathbf {Z} )={\begin{cases}0&n<4\\\mathbf {Z} /2&n\geq 4.\end{cases}}}$

Это было вычислено в (Шур, 1911) и соответствует двойному накрытию симметрической группы 2 · _Sn .

Обратите внимание, что исключительные маломерные гомологии знакопеременной группы ( соответствующие нетривиальной абелианизации и исключительные трехмерные накрытия) не меняют гомологии симметрической группы; явления чередующихся групп действительно приводят к симметричным групповым явлениям – отображение продолжается , а тройные накрытия A ₆ и A ₇ расширяются до тройных накрытий S ₆ и S ₇ – но они не гомологичны – отображение не меняет абелианизацию S ₄ , и тройные накрытия также не соответствуют гомологиям. ${\displaystyle H_{1}(\mathrm {A} _{3})\cong H_{1}(\mathrm {A} _{4})\cong \mathrm {C} _{3},}$ ${\displaystyle H_{2}(\mathrm {A} _{6})\cong H_{2}(\mathrm {A} _{7})\cong \mathrm {C} _{6},}$ ${\displaystyle \mathrm {A} _{4}\twoheadrightarrow \mathrm {C} _{3}}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{4}\twoheadrightarrow \mathrm {S} _{3},}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{4}\twoheadrightarrow \mathrm {S} _{3}}$

Гомологии «стабилизируются» в смысле стабильной теории гомотопий: существует отображение включения S _n → Sn _{+1 ,} а при фиксированном k индуцированное отображение гомологии H _k (S _n ) → H _k (S _{n +1} ) является изоморфизмом для достаточно больших n . Это аналогично гомологии семейств, стабилизирующихся в группах Ли .

Гомологии бесконечной симметрической группы вычислены в (Накаока, 1961), при этом алгебра когомологий образует алгебру Хопфа .

Теория представлений

Теория представлений симметрической группы является частным случаем теории представлений конечных групп , для которого может быть получена конкретная и подробная теория. Это имеет большую область потенциальных приложений: от теории симметричных функций до задач квантовой механики для ряда одинаковых частиц .

Симметричная группа Sn _имеет порядок n !. Его классы сопряженности помечены разбиениями n  . Следовательно, согласно теории представлений конечной группы, число неэквивалентных неприводимых представлений над комплексными числами равно числу разбиений  n . В отличие от общей ситуации для конечных групп, на самом деле существует естественный способ параметризовать неприводимое представление с помощью того же набора, который параметризует классы сопряженных элементов, а именно с помощью разбиений n или , что то же самое, диаграмм Юнга размера  n .

Каждое такое неприводимое представление может быть реализовано над целыми числами (любая перестановка, действующая матрицей с целыми коэффициентами); его можно явно построить путем вычисления симметризаторов Юнга , действующих в пространстве, порожденном таблицами Юнга формы, заданной диаграммой Юнга.

В других областях ситуация может значительно усложниться. Если поле K имеет характеристику , равную нулю или большую n , то по теореме Машке групповая алгебра KSn _{полупроста} . В этих случаях неприводимые представления, определенные над целыми числами, дают полный набор неприводимых представлений (после приведения по модулю характеристики, если необходимо).

Однако неприводимые представления симметрической группы в произвольной характеристике неизвестны. В этом контексте более привычно использовать язык модулей, а не представлений. Представление, полученное из неприводимого представления, определенного над целыми числами путем сокращения по модулю характеристики, вообще говоря, не будет неприводимым. Модули, построенные таким образом, называются модулями Шпехта , и каждое неприводимое действительно возникает внутри некоторого такого модуля. Неприводимых теперь стало меньше, и хотя их можно классифицировать, они очень плохо изучены. Например, вообще не известны даже их размеры .

Определение неприводимых модулей симметрической группы над произвольным полем широко рассматривается как одна из наиболее важных открытых проблем теории представлений.

Смотрите также

• Группа кос
• История теории групп
• Знаковая симметрическая группа и Обобщенная симметрическая группа
• Симметрия в квантовой механике § Симметрия обмена или симметрия перестановок
• Симметричная инверсная полугруппа
• Симметричная мощность

Примечания

1. Jacobson 2009, с. 31
2. Джейкобсон 2009, с. 32 Теорема 1.1
3. «Симметричная группа не абелева / Доказательство 1» .
4. Васиштха, Арканзас; Васиштха, АК (2008). «2. Группы Определение группы S3». Современная алгебра . Кришна Пракашан Медиа. п. 49. ИСБН 9788182830561.
5. Нойбюзер, Дж. (1967). Die Untergruppenverbände der Gruppen der Ordnungen ̤100 mit Ausnahme der Ordnungen 64 и 96 (доктор философии). Университет Киля.
6. Саган, Брюс Э. (2001), Симметричная группа (2-е изд.), Springer, стр. 4, ISBN 978-0-387-95067-9
7. Бьорнер, Андерс ; Бренти, Франческо (2005), Комбинаторика групп Кокстера , Springer, стр. 4. Пример 1.2.3, ISBN 978-3-540-27596-1
8. Артин, Майкл (1991), Алгебра , Пирсон, Упражнение 6.6.16, ISBN 978-0-13-004763-2
9. Виталий, Г. (1915). «Sostituzioni sopra una infinità numerabile di elements». Боллеттино Матезис . 7 : 29–31.
10. §141, стр.124 в Онофри, Л. (1929). «Теория соституционизма, которая оперирует бесконечными исчисляемыми элементами». Аннали ди Математика . 7 (1): 103–130. дои : 10.1007/BF02409971 . S2CID  186219904.
11. Шрайер, Дж.; Улам, С. (1933). «Über die Permutationsgruppe der Natürlichen Zahlenfolge» (PDF) . Студия Матем . 4 (1): 134–141. дои : 10.4064/см-4-1-134-141.

Рекомендации

• Кэмерон, Питер Дж. (1999), Группы перестановок , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 45, Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-65378-7
• Диксон, Джон Д.; Мортимер, Брайан (1996), Группы перестановок , Тексты для выпускников по математике, том. 163, Шпрингер-Верлаг , ISBN 978-0-387-94599-6, МР  1409812
• Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , том. 1 (2-е изд.), Дувр, ISBN 978-0-486-47189-1.
• Калужнин, Лео (1948), «Силовская структура p-групп симметричных конечных групп», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 3, 65 : 239–276, doi : 10.24033/asens.961 , ISSN  0012 -9593, МР  0028834
• Кербер, Адальберт (1971), Представления групп перестановок. I , Конспект лекций по математике, Vol. 240, том. 240, Springer-Verlag , номер документа : 10.1007/BFb0067943, ISBN. 978-3-540-05693-5, МР  0325752
• Либек, М.В.; Прегер, CE ; Саксл, Дж. (1988), «О теореме О'Нана–Скотта для конечных примитивных групп подстановок», Журнал Австралийского математического общества , 44 (3): 389–396, doi : 10.1017/S144678870003216X
• Накаока, Минору (март 1961 г.), «Гомологии бесконечной симметричной группы», Annals of Mathematics , 2, 73 (2): 229–257, doi : 10.2307/1970333, JSTOR  1970333
• Нетто, Ойген (1882), Substitutionentheorie und ihre Anwendungen auf die Algebra (на немецком языке), Лейпциг. Тойбнер, JFM  14.0090.01
• Ротман, Джозеф Дж. (1995), «Расширения и когомологии» (PDF) , Введение в теорию групп , Тексты для аспирантов по математике, том. 148, Springer, стр. 154–216, номер документа : 10.1007/978-1-4612-4176-8_7, ISBN. 978-1-4612-8686-8
• Скотт, WR (1987), Теория групп , Dover Publications , стр. 45–46, ISBN 978-0-486-65377-8
• Шур, Иссаи (1911), «Über die Darstellung der symmetrischen und der alternierenden Gruppe durch gebrochene Lineare Substitutionen», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1911 (139): 155–250, doi : 10.1515/crll.1911.139.155, S2CID  122809608
• Шрайер, Юзеф ; Улам, Станислав (1936), «Über die Automorphismen der Permutationsgruppe der natürlichen Zahlenfolge» (PDF) , Fundamenta Mathematicae (на немецком языке), 28 : 258–260, doi : 10.4064/fm-28-1-258-260, Zbl  0016.20301

Внешние ссылки

• «Симметричная группа», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Симметричная группа». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Граф симметричной группы». Математический мир .
• Маркюс дю Сотуа: Симметрия, загадка реальности (видео выступления)
• Записи OEIS , касающиеся Symmetric Group