Планигон

Выпуклый многоугольник, который может замостить плоскость сам по себе

Три правильных многоугольника , восемь планигонов, четыре полуправильных планигона и шесть неиспользуемых треугольников-планигонов, которые не могут участвовать в двойных однородных мозаиках; все в масштабе.

В геометрии планигон — это выпуклый многоугольник , который может заполнять плоскость только своими копиями ( изотопный фундаментальным единицам моноэдральных мозаик ). На евклидовой плоскости есть 3 правильных планигона; равносторонний треугольник , квадраты и правильные шестиугольники ; и 8 полуправильных планигонов; и 4 полуправильных планигона, которые могут замостить плоскость только другими планигонами.

Все углы планигона являются целыми делителями 360°. Замощения производятся путем соединения ребер перпендикулярными серединами ребер исходной равномерной решетки или центроидами вдоль общих ребер (они совпадают).

Мозаики, сделанные из планигонов, можно рассматривать как двойственные мозаики к правильным, полуправильным и полуправильным мозаикам плоскости правильными многоугольниками .

История

В книге 1987 года « Мозаики и узоры » Бранко Грюнбаум называет вершинно-однородные мозаики архимедовыми параллельными архимедовым телам . Их двойственные мозаики называются мозаиками Лавеса в честь кристаллографа Фрица Лавеса . ^{[1] [2]} Их также называют мозаиками Шубникова–Лавеса в честь Шубникова, Алексея Васильевича. ^[3] Джон Конвей называет однородные двойственные мозаики каталонскими мозаиками , параллельными каталонским телам .

У мозаик Лавеса вершины находятся в центрах правильных многоугольников, а ребра соединяют центры правильных многоугольников, имеющих общее ребро. Плитки мозаик Лавеса называются планигонами . Сюда входят 3 правильные плитки (треугольник, квадрат и шестиугольник) и 8 неправильных. ^[4] Каждая вершина имеет ребра, равномерно расположенные вокруг нее. Трехмерные аналоги планигонов называются стереоэдрами .

Эти плитки перечислены по их конфигурации граней , количеству граней в каждой вершине грани. Например, V4.8.8 (или V4.8 ² ) означает равнобедренные треугольные плитки с одним углом с четырьмя треугольниками и двумя углами, содержащими восемь треугольников.

Строительство

Операция Конвея для дуальных меняет местами грани и вершины. В архимедовых телах и k -однородных мозаиках новая вершина совпадает с центром каждой правильной грани или центроидом . В евклидовом (плоском) случае; для того, чтобы создать новые грани вокруг каждой исходной вершины, центроиды должны быть соединены новыми ребрами, каждое из которых должно пересекать ровно одно из исходных ребер. Поскольку правильные многоугольники обладают диэдральной симметрией , мы видим, что эти новые ребра центроид-центроид должны быть перпендикулярными биссектрисами общих исходных ребер (например, центроид лежит на всех перпендикулярных биссектрисах ребер правильного многоугольника). Таким образом, ребра k -двойственных однородных мозаик совпадают с отрезками линий центроид-середина ребра всех правильных многоугольников в k -однородных мозаиках.

Использование додекаграммы 12-5 (выше)

Все 14 единообразных используемых правильных вершинных планигонов также происходят ^[5] из 6-5 додекаграммы (где каждый сегмент охватывает радианы или 150 градусов). ${\displaystyle 5\pi /6}$

Вписанная окружность этой додекаграммы показывает, что все 14 VRP являются коциклическими , как альтернативно показано упаковками кругов . Отношение вписанной окружности к описанной равно:

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{12}}=\sin 15^{\circ }={\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}\approx 0.258819}$

и выпуклая оболочка — это в точности правильные двенадцатиугольники в k-однородной мозаике . Равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник и правильный двенадцатиугольник; показаны выше с VRP.

Фактически, любая группа планигонов может быть построена из рёбер полиграммы , где и — число сторон сторон в RP, смежных с каждой задействованной вершинной фигурой. Это происходит потому, что радиус описанной окружности любого правильного -угольника (от вершины до центроида) совпадает с расстоянием от центра полиграммы до её отрезков, пересекающихся под углом , поскольку все полиграммы допускают вписанные окружности с вписанными радиусами, касающимися всех их сторон. ${\displaystyle 2k{\text{-}}(k-1)}$ ${\displaystyle k=\gcd(n_{1},\dots ,n_{m})}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\csc {\frac {\pi }{n_{i}}}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle 2\pi /n_{i}}$ ${\displaystyle 2k{\text{-}}(k-1)}$ ${\displaystyle 1/2}$

Регулярные вершины

В Tilings and Patterns Грюнбаум также построил мозаики Лавеса, используя моноэдральные плитки с правильными вершинами . Вершина является правильной, если все углы, исходящие из нее, равны. Другими словами: ^[1]

1. Все вершины регулярны,
2. Все планигоны Лавеса конгруэнтны.

Таким образом, все мозаики Лавеса уникальны, за исключением квадратной мозаики (1 степень свободы), пятиугольной мозаики амбара (1 степень свободы) и шестиугольной мозаики (2 степени свободы):

При применении к более высоким дуальным кооднородным мозаикам все дуальные корегулярные планигоны могут быть искажены, за исключением треугольников ( подобие AAA ), как показано ниже:

Вывод всех возможных планигонов

Для евклидовых мозаик «от края к краю» внутренние углы выпуклых многоугольников, встречающихся в вершине, должны в сумме давать 360 градусов. Правильный n -угольник имеет внутренние углы . Существует семнадцать комбинаций правильных многоугольников, внутренние углы которых в сумме дают 360 градусов, каждая из которых называется видом вершины ; в четырех случаях имеется два различных циклических порядка многоугольников, что дает двадцать один тип вершин. ${\displaystyle \left(1-{\frac {2}{n}}\right)180^{\circ }}$

Фактически, имея вершинные (внутренние) углы , мы можем найти все комбинации допустимых углов по следующим правилам: ${\displaystyle 60^{\circ },90^{\circ },108^{\circ },120^{\circ },128{\frac {4}{7}}^{\circ },135^{\circ },140^{\circ },144^{\circ },147{\frac {3}{11}}^{\circ },150^{\circ },\dots }$

1. Каждая вершина имеет как минимум степень 3 (вершина степени 2 должна иметь два прямых угла или один непрямой угол);
2. Если вершина имеет степень , то сумма наименьших углов вершины многоугольника составляет более ; ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d-1}$ ${\displaystyle 180^{\circ }}$
3. Углы при вершинах в сумме дают и должны быть углами правильных многоугольников с положительными целыми сторонами (последовательности ). ${\displaystyle 360^{\circ }}$ ${\displaystyle 60^{\circ },90^{\circ },108^{\circ },120^{\circ },128{\frac {4}{7}}^{\circ },135^{\circ },140^{\circ },144^{\circ },147{\frac {3}{11}}^{\circ },150^{\circ },\dots }$

Использование правил формирует следующий список:

Кластеры планигонов, которые не могут замостить плоскость. Обратите внимание, что 8-кластер V3.8.24 и 10-кластер V3.10.15 подразумевают перекрытия для 24-угольников и 15-угольников соответственно. Кроме того, V4.5.20 и V5 ² .10 могут генерировать линии и кривые, но они не могут быть завершены без перекрытия.

* Не могут сосуществовать с другими типами вершин. ${\displaystyle 90^{\circ }{\text{-}}135^{\circ }{\text{-}}135^{\circ }~(\times 1)}$

Решение задачи 9.46, Геометрия (Rusczyk), ^[6] находится в столбце Вершина степени 3 выше. Треугольник с одиннадцатиугольником (11-угольник) дает 13,2-угольник, квадрат с семиугольником (7-угольник) дает 9,3333-угольник, а пятиугольник с шестиугольником дает 7,5-угольник). Следовательно, существуют комбинации правильных многоугольников, которые встречаются в вершине. ${\displaystyle 1(1)+(1(2)+1)+(3(2)+1)+10=21}$

Планигоны в плоскости

Только одиннадцать из этих комбинаций углов могут встречаться в мозаике Лавеса из планигонов.

В частности, если три многоугольника встречаются в вершине и один из них имеет нечетное число сторон, то два других многоугольника должны быть такими же. Если это не так, то им придется чередоваться вокруг первого многоугольника, что невозможно, если число его сторон нечетное. Из-за этого ограничения эти шесть не могут появляться ни в какой мозаике правильных многоугольников:

Шесть планигонов, которые не могут замостить плоскость.

С другой стороны, эти четыре можно использовать в k -двойственно-однородных мозаиках:

Для каждого планигона V3 ² .4.12, V3.4.3.12, V3 ² .6 ² , V3.4 ² .6 существует один полуправильный двойственный многоугольник. И все четырехугольники могут замостить плоскость .

Наконец, если принять длину стороны за единицу, то все правильные многоугольники и пригодные для использования планигоны имеют длины сторон и площади, как показано в таблице ниже:

Количество двойных однородных мозаик

Каждая двойная однородная мозаика находится в соотношении 1:1 с соответствующей однородной мозаикой посредством построения планигонов выше и наложения.

Такие периодические мозаики можно классифицировать по числу орбит вершин, ребер и плиток. Если есть k орбит планигонов, мозаика известна как k -дуально-равномерная или k -изоэдральная; если есть t орбит дуальных вершин, как t -изогональная; если есть e орбит ребер, как e -изотоксальная.

k -двойственно-однородные мозаики с одинаковыми вершинными гранями можно дополнительно идентифицировать по их групповой симметрии обоев , которая идентична симметрии соответствующей k -однородной мозаики.

1-dual-uniform мозаики включают 3 правильные мозаики и 8 мозаик Лавеса с 2 или более типами вершин правильной степени. Существует 20 2-dual-uniform мозаик, 61 3-dual-uniform мозаика, 151 4-dual-uniform мозаика, 332 5-dual-uniform мозаики и 673 6--dual-uniform мозаики. Каждая может быть сгруппирована по числу m различных вершинных фигур, которые также называются m -архимедовыми мозаиками. ^[8]

Наконец, если число типов планигонов совпадает с однородностью ( m = k ниже), то говорят, что мозаика является двойственной Кротенхердтовой . В общем случае однородность больше или равна числу типов вершин ( m ≥ k ), так как разные типы планигонов обязательно имеют разные орбиты, но не наоборот. Если положить m = n = k , то для n = 1 существует 11 таких двойственных мозаик ; для n = 2 — 20; для n = 3 — 39; для n = 3 — 33 ; для n = 4 — 15; для n = 5 — 10 ; для n = 6 — 7 .

Регулярные и Лавесовские мозаики

Показаны 3 правильных и 8 полуправильных мозаик Лавеса, планигоны которых окрашены в соответствии с площадью, как в конструкции:

Более высокие двойные однородные мозаики

Вставки двойных планигонов в вершины более высокой степени

Люк в Центральном парке с плиточным покрытием CH (V3 ² .4.3.4,V3 ⁶ ).

• Вершину шестой степени можно заменить центральным правильным шестиугольником и шестью исходящими из него ребрами;
• Вершину двенадцатой степени можно заменить шестью дельтоидами (центральный дельтовидный шестиугольник) и двенадцатью исходящими из них ребрами;
• Вершину двенадцатой степени можно заменить шестью пятиугольниками Каира, центральным шестиугольником и двенадцатью исходящими из них ребрами (путем рассечения вершины шестой степени в центре предыдущего примера).

Это сделано выше для двойственной мозаики 3-4-6-12. Соответствующий однородный процесс — это рассечение , и он показан здесь .

2-Двойной-Униформа

Существует 20 мозаик, составленных из 2 типов планигонов, двойственных мозаикам из 2-однородных плиток (двойные мозаики Кротенхердта):

3-Двойной-Униформа

Существует 39 мозаик, составленных из 3 типов планигонов (двойных плиток Кротенхеердта):

4-Двойной-Униформа

Существует 33 мозаики, составленные из 4 типов планигонов (двойных плиток Кротенхеердта):

5-Двойной-Униформа

Существует 15 5-однородных двойных мозаик с 5 уникальными планигонами:

Krotenheerdt дуализирует с шестью планигонами

Существует 10 6-однородных двойных мозаик с 6 уникальными планигонами:

Кротенхердт двойные с семью планигонами

Существует 7 7-однородных двойных мозаик с 7 уникальными планигонами:

Последние две двойные однородные мозаики 7 имеют одинаковые типы вершин, хотя внешне они совершенно не похожи!

Начиная с этого момента, не существует ни однородных n мозаик с n типами вершин, ни однородных n двойственных мозаик с n различными (полу)планигонами. ^[9] ${\displaystyle n\geq 8}$

Фрактализация Двойственностик-Однородные плитки

Существует много способов создания новых k-двойственно-однородных мозаик из других k-однородных мозаик. Три способа — масштабирование, как показано ниже: ${\displaystyle 1+{\sqrt {3}},2+{\sqrt {3}},3+{\sqrt {3}}}$

Большая Фрактализация

Для увеличения планигонов V3 ² .4.12 и V3.4.3.12 с использованием метода усеченного тригексагона необходимо применить масштабный коэффициент : ${\displaystyle 2(3+{\sqrt {3}})}$

Большая Фрактализация

Двумя 9-однородными мозаиками в ^[10] достигается большая фрактализация с масштабным коэффициентом 3 во всех планигонах. В случае s,C,B,H его собственный планигон находится точно в центре:

Ниже показаны две 9-однородные мозаики, фрактализации полурегулярных мозаик DC и DB , а также общий пример на S ² TC :

Разнообразный

Центроид-центроидная конструкция

Двойные однородные плитки (красные) вместе с оригиналами (синими) выбранных плиток. ^{[7] [11]} Сгенерировано путем построения центра тяжести-ребра по средней точке с помощью обнаружения полигона-центроида-вершины, округляя угол каждого со-ребра до ближайших 15 градусов. Поскольку размер единицы плиток варьируется от 15 до 18 пикселей, а каждый правильный многоугольник немного отличается, ^[7] есть некоторые перекрытия или разрывы двойных ребер (генератор размером 18 пикселей неправильно генерирует со-ребра из пяти плиток размером 15 пикселей, классифицируя некоторые квадраты как треугольники).

Другие сравнения конструкций Edge-Edge

Другие сравнения конструкции край-край. Поворачивается каждые 3 секунды.

Аффинные линейные расширения

Ниже приведены аффинные линейные расширения других однородных мозаик, от исходной до двойственной и обратно:

Первая 12-однородная мозаика содержит все планигоны с тремя типами вершин, а вторая 12-однородная мозаика содержит все типы ребер.

Оптимизированные плитки

Двойственная однородная мозаика 14-каталавесов с использованием p4g . Такие мозаики могут предполагать любую группу обоев, кроме p4m, поскольку p4m допускает только планигоны O, S, T, D, s, C, B, H. ^[10]

Если - мозаика означает двойную однородную мозаику, мозаику Каталавеса, то существует мозаика 11-9, ^[7] мозаика 13-10, мозаика 15-11, мозаика 19-12, две мозаики 22-13 и мозаика 24-14. Также существует мозаика плит 13-8 и мозаика 14-10 без часов. Наконец, существуют мозаики 7-5, использующие все часовые планигоны: ^[10] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Упаковка круга

Каждая равномерная мозаика соответствует упаковке кругов, в которой круги диаметром 1 размещены во всех вершинах, соответствующих планигонам. ^[11] Ниже приведены упаковки кругов оптимизированных мозаик и мозаики со всеми ребрами:

Круги окрашены в соответствии с типом вершины, а промежутки окрашены в соответствии с правильным многоугольником.

5-двойственно-однородные 4-каталавесные мозаики

Слайд-шоу всех 94 5-двойственно-однородных мозаик с 4 различными планигонами. Меняется каждые 6 секунд, циклы каждые 60 секунд.

Часы мозаика

Ниже показаны все мозаики с правильными двенадцатиугольниками в ^[7] , чередующиеся между однородными и двойственно-однородными каждые 5 секунд:

Ниже показаны все мозаики с правильными двенадцатиугольниками , чередующиеся между однородными и двойственно-однородными каждые 5 секунд.

65к-Однородные плитки

Сравнение 65k однородных мозаик в однородных плоских мозаиках и их двойственных однородных мозаиках. Две нижние строки совпадают и масштабируются:

Сравнение 65 k однородных мозаик в однородных плоских мозаиках и их двойственных однородных мозаиках. Две нижние строки совпадают и масштабированы.

Ссылки

1. Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987). Tilings and Patterns . WH Freeman and Company. стр. 59, 96. ISBN 0-7167-1193-1.
2. Конвей, Джон Х .; Берджил, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (18 апреля 2008 г.). "Глава 21, Наименование архимедовых и каталонских многогранников и мозаик, мозаики на евклидовой плоскости ". Симметрии вещей. AK Peters / CRC Press . стр. 288. ISBN 978-1-56881-220-5. Архивировано из оригинала 2010-09-19.
3. Энциклопедия математики: Орбита - Уравнение Рэлея, 1991
4. Иванов, AB (2001) [1994], "Planigon", Энциклопедия математики , EMS Press
5. "СИСТЕМА БОЛЬШОГО СПИСКА МОЗАИК ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ". СИСТЕМА БОЛЬШОГО СПИСКА МОЗАИК ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ . Получено 2019-08-30 .
6. Rusczyk, Richard. (2006). Введение в геометрию . Alpine, CA: AoPS Inc. ISBN 0977304523. OCLC  68040014.
7. "n-однородные мозаики". probabilitysports.com . Получено 21.06.2019 .
8. k-однородные мозаики правильными многоугольниками Архивировано 30.06.2015 на Wayback Machine Нильс Леннгрен, 2009 ^{[ требуется проверка ]}
9. "11,20,39,33,15,10,7 - OEIS". oeis.org . Получено 2019-06-26 .
10. "Каталог тесселяции". zenorogue.github.io . Получено 2022-03-21 .
11. JE Soto Sánchez, On Periodic Tilings with Right Polygons, докторская диссертация, IMPA, август 2020 г.

• Планигонная тесселяция клеточных автоматов Александр Коробов, 30 сентября 1999 г.
• Б. Н. Делоне, “Теория планигонов”, Изв. Акад. Наук СССР сер. Мат., 23:3 (1959), 365–386.