Функция удара

Плавная и компактно поддерживаемая функция

График функции рельефа, где и ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mapsto \Psi (r),}$ ${\displaystyle r=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{1/2}}$ ${\displaystyle \Psi (r)=e^{-1/(1-r^{2})}\cdot \mathbf {1} _{\{|r|<1\}}.}$

В математике функция удара ( также называемая пробной функцией ) — это функция в евклидовом пространстве , которая одновременно является гладкой (в смысле наличия непрерывных производных всех порядков) и имеет компактный носитель . Набор всех функций выпуклости с областью определения образует векторное пространство , обозначаемое или. Двойственное пространство этого пространства , наделенное подходящей топологией, является пространством распределений . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{\mathrm {c} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).}$

Примеры

Функция 1d Bump ${\displaystyle \Psi (x).}$

Функция, заданная ${\displaystyle \Psi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \Psi (x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-x^{2}}}\right),&{\text{ if }}x\in (-1,1)\\0,&{\text{ if }}x\in \mathbb {R} \setminus \{(-1,1)\}\end{cases}}}$$

«Неаналитическая гладкая функция»функцию Гаусса, ${\displaystyle \exp \left(-y^{2}\right)}$ ${\displaystyle y^{2}={1}/{\left(1-x^{2}\right)}}$ ${\displaystyle x=\pm 1}$ ${\displaystyle y=\infty .}$

Простой пример (квадратной) функции рельефа в переменных получается путем произведения копий указанной выше функции рельефа в одной переменной, поэтому ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \Phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\Psi (x_{1})\Psi (x_{2})\cdots \Psi (x_{n}).}$$

Радиально-симметричную функцию рельефа в переменных можно сформировать, взяв функцию, определенную . Эта функция поддерживается для единичного шара с центром в начале координат. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Psi _{n}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Psi _{n}(\mathbf {x} )=\Psi (|\mathbf {x} |)}$

Функции плавного перехода

Рассматриваемая в статье неаналитическая гладкая функция f ( x ).

Рассмотрим функцию

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x}}}&{\text{if }}x>0,\\0&{\text{if }}x\leq 0,\end{cases}}}$

определено для каждого действительного числа x .

Здесь определен плавный переход g от 0 к 1.

Функция

${\displaystyle g(x)={\frac {f(x)}{f(x)+f(1-x)}},\qquad x\in \mathbb {R} ,}$

имеет строго положительный знаменатель всюду на вещественной прямой, следовательно, g также гладкая. Кроме того, g ( x ) = 0 для x  ≤ 0 и g ( x ) = 1 для x  ≥ 1, следовательно, он обеспечивает плавный переход с уровня 0 на уровень 1 в единичном интервале [0, 1]. Чтобы иметь плавный переход в вещественном интервале [ a , b ] с a  <  b , рассмотрим функцию

${\displaystyle \mathbb {R} \ni x\mapsto g{\Bigl (}{\frac {x-a}{b-a}}{\Bigr )}.}$

Для действительных чисел a < b < c < d гладкая функция

${\displaystyle \mathbb {R} \ni x\mapsto g{\Bigl (}{\frac {x-a}{b-a}}{\Bigr )}\,g{\Bigl (}{\frac {d-x}{d-c}}{\Bigr )}}$

равен 1 на замкнутом интервале [ b , c ] и исчезает за пределами открытого интервала ( a , d ), следовательно, он может служить функцией рельефа.

Необходимо соблюдать осторожность, поскольку, например, взятие приводит к: ${\displaystyle \{a=-1\}<\{b=c=0\}<\{d=1\}}$

${\displaystyle q(x)={\frac {1}{1+e^{\frac {1-2|x|}{x^{2}-|x|}}}}}$

которая не является бесконечно дифференцируемой функцией (поэтому не является «гладкой»), поэтому ограничения a < b < c < d должны строго выполняться.

Несколько интересных фактов о функции:

${\displaystyle q(x,a)={\frac {1}{1+e^{\frac {a(1-2|x|)}{x^{2}-|x|}}}}}$

Являются ли они плавными переходными кривыми с «почти» постоянными краями наклона (ведут себя как наклонные прямые на ненулевом интервале измерения). ${\displaystyle q\left(x,{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}$

Правильным примером плавной функции Bump может быть:

${\displaystyle u(x)={\begin{cases}1,{\text{if }}x=0,\\0,{\text{if }}|x|\geq 1,\\{\frac {1}{1+e^{\frac {1-2|x|}{x^{2}-|x|}}}},{\text{otherwise}},\end{cases}}}$

Правильным примером функции плавного перехода будет:

${\displaystyle w(x)={\begin{cases}{\frac {1}{1+e^{\frac {2x-1}{x^{2}-x}}}}&{\text{if }}0<x<1,\\0&{\text{if }}x\leq 0,\\1&{\text{if }}x\geq 1,\end{cases}}}$

где можно было заметить, что его можно представить также через гиперболические функции :

${\displaystyle {\frac {1}{1+e^{\frac {2x-1}{x^{2}-x}}}}={\frac {1}{2}}\left(1-\tanh \left({\frac {2x-1}{2(x^{2}-x)}}\right)\right)}$

Наличие функций рельефа

Иллюстрация наборов в конструкции.

Можно построить функции рельефа «по спецификациям». Формально, если — это произвольный компактный набор в измерениях и открытое множество , содержащее, то существует функция рельефа , которая находится внутри и вне предела . включается и быстро падает наружу, оставаясь при этом гладким. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle K,}$

Функции Bump, определенные в терминах свертки

Строительство происходит следующим образом. Рассматривается компактная окрестность, содержащаяся в so. Характеристическая функция будет равна on и вне so, в частности, она будет находиться внутри и вне so. Однако эта функция не является гладкой. Основная идея — немного сгладить, взяв свертку с помощью сглаживателя . Последняя представляет собой просто функцию рельефа с очень маленькой опорой и интеграл которой равен. Такое смягчение можно получить, например, взяв функцию рельефа из предыдущего раздела и выполнив соответствующие масштабирования. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle K\subseteq V^{\circ }\subseteq V\subseteq U.}$ ${\displaystyle \chi _{V}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle \chi _{V}}$ ${\displaystyle \chi _{V}}$ ${\displaystyle 1.}$ ${\displaystyle \Phi }$

Функции Bump, определенные через функцию с поддержкой ${\displaystyle c:\mathbb {R} \to [0,\infty )}$ ${\displaystyle (-\infty ,0]}$

Теперь подробно описана альтернативная конструкция, не использующая свертку. Он начинается с построения гладкой функции , которая положительна на данном открытом подмножестве и обращается в нуль за пределами ^[1]. Носитель этой функции равен замыканию in , поэтому, если она компактна, то является выпуклой функцией. ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle {\overline {U}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle {\overline {U}}}$ ${\displaystyle f}$

Начните с любой гладкой функции , которая исчезает в отрицательных действительных числах и положительна в положительных действительных числах (т. е. там , где требуется непрерывность слева ); пример такой функции — для и иначе. ^[1] Зафиксируем открытое подмножество и обозначим обычную евклидову норму через (поэтому она наделена обычной евклидовой метрикой ). Следующая конструкция определяет гладкую функцию , которая положительна и равна нулю вне ^[1]. Так, в частности, если она относительно компактна, то эта функция будет выпуклой функцией. ${\displaystyle c:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle c=0}$ ${\displaystyle (-\infty ,0)}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle (0,\infty ),}$ ${\displaystyle c(0)=0}$ ${\displaystyle c(x):=e^{-1/x}}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle c(x):=0}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$

Если тогда пусть while if then let ; так что предположим, что нет ни того, ни другого. Пусть - открытое покрытие открытыми шарами, где открытый шар имеет радиус и центр. Тогда отображение , определенное как, является гладкой функцией, которая положительна на и равна нулю вне ^[1] Для каждого пусть ${\displaystyle U=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f=1}$ ${\displaystyle U=\varnothing }$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \left(U_{k}\right)_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{k}}$ ${\displaystyle r_{k}>0}$ ${\displaystyle a_{k}\in U.}$ ${\displaystyle f_{k}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{k}(x)=c\left(r_{k}^{2}-\left\|x-a_{k}\right\|^{2}\right)}$ ${\displaystyle U_{k}}$ ${\displaystyle U_{k}.}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,}$

$${\displaystyle M_{k}=\sup \left\{\left|{\frac {\partial ^{p}f_{k}}{\partial ^{p_{1}}x_{1}\cdots \partial ^{p_{n}}x_{n}}}(x)\right|~:~x\in \mathbb {R} ^{n}{\text{ and }}p_{1},\ldots ,p_{n}\in \mathbb {Z} {\text{ satisfy }}0\leq p_{i}\leq k{\text{ and }}p=\sum _{i}p_{i}\right\},}$$

верхняя грань^{[примечание 1]} ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle M_{k}}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{n}\setminus U_{k}\right)\cup {\overline {U_{k}}}=\mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U_{k},}$ ${\displaystyle {\overline {U_{k}}},}$

$${\displaystyle f~:=~\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {f_{k}}{2^{k}M_{k}}}}$$

^[1].[1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in \mathbb {Z} ,}$

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{p_{1}+\cdots +p_{n}}}{\partial ^{p_{1}}x_{1}\cdots \partial ^{p_{n}}x_{n}}}f~=~\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}M_{k}}}{\frac {\partial ^{p_{1}+\cdots +p_{n}}f_{k}}{\partial ^{p_{1}}x_{1}\cdots \partial ^{p_{n}}x_{n}}}}$$

⁾ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle k\geq p_{1}+\cdots +p_{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \leq {\tfrac {M_{k}}{2^{k}M_{k}}}={\tfrac {1}{2^{k}}}}$

Как следствие, для данных двух непересекающихся замкнутых подмножеств приведенной выше конструкции гарантируется существование гладких неотрицательных функций таких, что для любого тогда и только тогда и аналогично тогда и только тогда, когда функция ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle f_{A},f_{B}:\mathbb {R} ^{n}\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle f_{A}(x)=0}$ ${\displaystyle x\in A,}$ ${\displaystyle f_{B}(x)=0}$ ${\displaystyle x\in B,}$

$${\displaystyle h~:=~{\frac {f_{A}}{f_{A}+f_{B}}}:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]}$$

^[1] ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle h(x)=0}$ ${\displaystyle x\in A,}$ ${\displaystyle h(x)=1}$ ${\displaystyle x\in B,}$ ${\displaystyle 0<h(x)<1}$ ${\displaystyle x\not \in A\cup B.}$ ${\displaystyle h(x)\neq 0}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}\smallsetminus A,}$ ${\displaystyle U:=\mathbb {R} ^{n}\smallsetminus A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$ ${\displaystyle B\subseteq U}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\overline {U}}.}$

Свойства и использование

Хотя функции рельефа являются гладкими, теорема тождества запрещает им быть аналитическими , если они не исчезают тождественно. Функции Bump часто используются в качестве смягчающих функций , функций плавного отсечения и для формирования плавных разбиений единицы . Это наиболее распространенный класс тестовых функций, используемых в анализе. Пространство рельефных функций замкнуто относительно многих операций. Например, сумма, произведение или свертка двух рельефных функций снова является ударной функцией, и любой дифференциальный оператор с гладкими коэффициентами, примененный к ударной функции, создаст другую ударную функцию.

Если границы области области функции Bump должны соответствовать требованию «гладкости», она должна сохранять непрерывность всех своих производных, что приводит к следующему требованию на границах ее области: ${\displaystyle \partial x,}$

$${\displaystyle \lim _{x\to \partial x^{\pm }}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)=0,\,{\text{ for all }}n\geq 0,\,n\in \mathbb {Z} }$$

Преобразование Фурье рельефной функции является (действительной) аналитической функцией, и ее можно расширить на всю комплексную плоскость: следовательно, она не может иметь компактный носитель, если она не равна нулю, поскольку единственной полной аналитической рельефной функцией является нулевая функция (см. Теорема Пэли–Винера и теорема Лиувилля ). Поскольку функция удара бесконечно дифференцируема, ее преобразование Фурье должно затухать быстрее, чем любая конечная степень для большой угловой частоты ^[2] Преобразование Фурье конкретной функции удара ${\displaystyle 1/k}$ ${\displaystyle |k|.}$

$${\displaystyle \Psi (x)=e^{-1/(1-x^{2})}\mathbf {1} _{\{|x|<1\}}}$$

перевала

$${\displaystyle |k|^{-3/4}e^{-{\sqrt {|k|}}}}$$

^[3] ${\displaystyle |k|.}$

Смотрите также

• Функция Cutoff  — ядра интеграции для сглаживания резких особенностей.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Лапласиан индикатора  – Предел последовательности гладких функций
• Неаналитическая гладкая функция  - математические функции, которые являются гладкими, но не аналитическими.
• Пространство Шварца  - функциональное пространство всех функций, производные которых быстро убывают.

Цитаты

1. Частные производные являются непрерывными функциями, поэтому образ компактного подмножества является компактным подмножеством Супремум относится ко всем неотрицательным целым числам, где, поскольку и фиксированы, эта верхняя грань принимается только к конечному числу частных производных, поэтому ${\displaystyle {\frac {\partial ^{p}f_{k}}{\partial ^{p_{1}}x_{1}\cdots \partial ^{p_{n}}x_{n}}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\overline {U_{k}}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle 0\leq p=p_{1}+\cdots +p_{n}\leq k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M_{k}<\infty .}$

1. Неструев 2020, стр. 13–16.
2. К. О. Мид и Л. М. Дельвс, «О скорости сходимости обобщенных разложений Фурье», IMA J. Appl. Математика. , том. 12, стр. 247–259 (1973) doi :10.1093/imamat/12.3.247.
3. Стивен Г. Джонсон , Интегрирование в седловой точке «выпуклых» функций C∞, arXiv:1508.04376 (2015).

Рекомендации

• Неструев, Джет (10 сентября 2020 г.). Гладкие многообразия и наблюдаемые . Тексты для аспирантов по математике . Том. 220. Чам, Швейцария: Springer Nature . ISBN 978-3-030-45649-8. ОСЛК  1195920718.