В математике четырехгруппа Клейна — это абелева группа из четырех элементов, в которой каждый элемент является самоинверсным (составление его с самим собой дает тождество) и в которой составление любых двух из трех нетождественных элементов дает третий. . Его можно описать как группу симметрии неквадратного прямоугольника (три неидентичных элемента — горизонтальное отражение , вертикальное отражение и вращение на 180 градусов ), как группу поразрядных операций исключающего или над двухбитовыми двоичными значениями. или, более абстрактно , как ℤ 2 × ℤ 2 , прямое произведение двух копий циклической группы порядка 2 по Фундаментальной теореме о конечно порожденных абелевых группах . Его назвали Vierergruppe ( нем. [ˈfiːʁɐˌɡʁʊpə]). ⓘ ), что означает четыре группы)Феликсом Кляйномв 1884 году.[1]Ее также называютгруппой Клейнаи часто обозначают буквойVилиK4.
Четырехгруппа Клейна с четырьмя элементами — наименьшая нециклическая группа . С точностью до изоморфизма существует только одна группа четвертого порядка: циклическая группа четвертого порядка. Обе группы абелевы.
Таблица Кэли группы Кляйна представлена:
Четырехгруппа Клейна также определяется представлением группы
Все неединичные элементы группы Клейна имеют порядок 2, поэтому в приведенном выше представлении генераторами могут служить любые два неединичных элемента. Четырехгруппа Клейна — наименьшая нециклическая группа . Однако это абелева группа и изоморфна группе диэдра порядка (мощности) 4, обозначаемой D 4 (или D 2 , используя геометрическое соглашение); кроме группы порядка 2, это единственная группа диэдра, которая является абелевой.
Четырехгруппа Клейна также изоморфна прямой сумме ℤ 2 ⊕ ℤ 2 , так что ее можно представить в виде пар {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1 )} при покомпонентном сложении по модулю 2 (или, что эквивалентно, битовые строки {00, 01, 10, 11} при побитовом исключающем ИЛИ ), где (0,0) является идентификационным элементом группы. Таким образом, четырехгруппа Клейна является примером элементарной абелевой 2-группы , которую также называют булевой группой . Таким образом, четырехгруппа Клейна также является группой, порожденной симметричной разностью как бинарной операцией над подмножествами степенного набора из двух элементов, то есть над полем множеств с четырьмя элементами, например { ∅, { α }, { β }, { α , β } }; в этом случае пустой набор является идентификационным элементом группы.
Другая численная конструкция четырехгруппы Клейна - это набор {1, 3, 5, 7} с операцией умножения по модулю 8 . Здесь a равно 3, b равно 5, а c = ab равно 3 × 5 = 15 ≡ 7 (mod 8) .
Четырехгруппа Клейна также имеет представление в виде вещественных матриц 2 × 2 с операцией умножения матриц:
На кубике Рубика узор «4 точки» можно сделать тремя способами, в зависимости от пары граней, которые остались пустыми; эти три позиции вместе с решенной позицией образуют пример группы Клейна, где решенная позиция служит тождеством.
В двух измерениях четырехгруппа Клейна представляет собой группу симметрии ромба и прямоугольников , не являющихся квадратами , причем четыре элемента представляют собой идентичность, вертикальное отражение, горизонтальное отражение и поворот на 180 °.
В трех измерениях существуют три различные группы симметрии, которые алгебраически являются четырехгруппой Клейна:
Три элемента второго порядка в четырехгруппе Клейна взаимозаменяемы: группа автоморфизмов V , таким образом, является группой перестановок этих трех элементов, то есть S 3 .
Перестановки собственных элементов четырехгруппы Клейна можно абстрактно рассматривать как ее представление перестановок в четырех точках:
В этом представлении V — нормальная подгруппа знакопеременной группы A 4 (а также симметрической группы S 4 ) на четырех буквах. Фактически, это ядро сюръективного гомоморфизма групп из S 4 в S 3 .
Другими представлениями в S 4 являются:
Они не являются нормальными подгруппами S 4 .
Согласно теории Галуа , существование четырёхгруппы Клейна (и, в частности, её перестановочного представления) объясняет существование формулы для вычисления корней уравнений четвертой степени в терминах радикалов , установленной Лодовико Феррари : отображение S 4 → S 3 соответствует резольвентной кубике в терминах резольвент Лагранжа .
При построении конечных колец восемь из одиннадцати колец с четырьмя элементами имеют в качестве аддитивной подструктуры четырехгруппу Клейна.
Если ℝ × обозначает мультипликативную группу ненулевых вещественных чисел и ℝ + мультипликативную группу положительных вещественных чисел , то ℝ × × ℝ × — это группа единиц кольца ℝ × ℝ, а ℝ + × ℝ + — подгруппа ℝ × × ℝ × (на самом деле это компонента тождества ℝ × × ℝ × ) . Факторгруппа (ℝ × × ℝ × ) / (ℝ + × ℝ + ) изоморфна четырёхгруппе Клейна. Аналогичным образом группа единиц расщепленного комплексного числового кольца , разделенная на ее единичный компонент, также приводит к четырехгруппе Клейна.
Среди простых связных графов самым простым (в смысле наличия наименьшего количества сущностей), который допускает четырехгруппу Клейна в качестве группы автоморфизмов, является ромбовидный граф, показанный ниже. Это также группа автоморфизмов некоторых других графов, которые проще в том смысле, что в них меньше сущностей. К ним относятся граф с четырьмя вершинами и одним ребром, который остается простым, но теряет связность, и граф с двумя вершинами, соединенными друг с другом двумя ребрами, который остается связным, но теряет простоту.
В музыкальной композиции четверка — основная группа перестановок в двенадцатитоновой технике . В этом случае таблица Кэли записывается [2]