Распределительное свойство

Свойство, включающее две математические операции

В математике распределительное свойство бинарных операций является обобщением дистрибутивного закона , утверждающего равенство

$${\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z}$$

элементарной алгебреэлементарной арифметике

$${\displaystyle 2\cdot (1+3)=(2\cdot 1)+(2\cdot 3).}$$

умножение распределяетсясложением

Это основное свойство чисел является частью определения большинства алгебраических структур , в которых есть две операции, называемые сложением и умножением, таких как комплексные числа , многочлены , матрицы , кольца и поля . Оно также встречается в булевой алгебре и математической логике , где каждое из логического и (обозначается ) и логического или (обозначается ) распределяется над другим. ${\displaystyle \,\land \,}$ ${\displaystyle \,\lor \,}$

Определение

Дан набор и два бинарных оператора и ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \,*\,}$ ${\displaystyle \,+\,}$ ${\displaystyle S,}$

• операция является леводистрибутивной по (или относительно), если для любых элементов ${\displaystyle \,*\,}$ ${\displaystyle \,+\,}$ ${\displaystyle x,y,{\text{ and }}z}$ ${\displaystyle S,}$

$${\displaystyle x*(y+z)=(x*y)+(x*z);}$$

• операция является правораспределительной по отношению к if при любых элементах ${\displaystyle \,*\,}$ ${\displaystyle \,+\,}$ ${\displaystyle x,y,{\text{ and }}z}$ ${\displaystyle S,}$

$${\displaystyle (y+z)*x=(y*x)+(z*x);}$$

• и операция дистрибутивна , если она лево- и праводистрибутивна. ^[1] ${\displaystyle \,*\,}$ ${\displaystyle \,+\,}$

Когда коммутативно , три приведенных выше условия логически эквивалентны . ${\displaystyle \,*\,}$

Значение

В примерах этого раздела используются операторы обычного сложения и умножения. ${\displaystyle \,+\,}$ ${\displaystyle \,\cdot .\,}$

Если обозначенная операция не является коммутативной, существует различие между левой и правой дистрибутивностью: ${\displaystyle \cdot }$

$${\displaystyle a\cdot \left(b\pm c\right)=a\cdot b\pm a\cdot c\qquad {\text{ (left-distributive) }}}$$

$${\displaystyle (a\pm b)\cdot c=a\cdot c\pm b\cdot c\qquad {\text{ (right-distributive) }}.}$$

В любом случае распределительное свойство можно описать словами как:

Чтобы умножить сумму (или разность ) на коэффициент, каждое слагаемое (или уменьшаемое и вычитаемое ) умножается на этот коэффициент, а полученные произведения складываются (или вычитаются).

Если операция вне круглых скобок (в данном случае умножение) коммутативна, то левая дистрибутивность влечет за собой правую дистрибутивность и наоборот, и говорят просто о дистрибутивности .

Одним из примеров операции, которая является «только» правораспределительной, является деление, которое не является коммутативным:

$${\displaystyle (a\pm b)\div c=a\div c\pm b\div c.}$$

$${\displaystyle a\div (b\pm c)\neq a\div b\pm a\div c}$$

Дистрибутивные законы входят в число аксиом колец (например, кольца целых чисел ) и полей (например, поля рациональных чисел ). Здесь умножение распределительно по отношению к сложению, но сложение не является распределительным по отношению к умножению. Примерами структур с двумя операциями, каждая из которых является дистрибутивной по отношению к другой, являются булевы алгебры, такие как алгебра множеств или алгебра переключения .

Умножение сумм можно выразить словами следующим образом: когда сумма умножается на сумму, умножьте каждое слагаемое суммы на каждое слагаемое другой суммы (следя за знаками), а затем сложите все полученные произведения.

Примеры

Вещественные числа

В следующих примерах иллюстрируется использование закона распределения на множестве действительных чисел . Когда в элементарной математике упоминается умножение, обычно имеется в виду именно этот вид умножения. С точки зрения алгебры действительные числа образуют поле , обеспечивающее справедливость закона распределения. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Первый пример (мысленное и письменное умножение)

При ментальной арифметике распределительность часто используется неосознанно:

$${\displaystyle 6\cdot 16=6\cdot (10+6)=6\cdot 10+6\cdot 6=60+36=96}$$

Таким образом, чтобы посчитать в уме, сначала нужно умножить и сложить промежуточные результаты. Письменное умножение также основано на распределительном законе. ${\displaystyle 6\cdot 16}$ ${\displaystyle 6\cdot 10}$ ${\displaystyle 6\cdot 6}$

Второй пример (с переменными)

$${\displaystyle 3a^{2}b\cdot (4a-5b)=3a^{2}b\cdot 4a-3a^{2}b\cdot 5b=12a^{3}b-15a^{2}b^{2}}$$

Третий пример (с двумя суммами)

$${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)\cdot (a-b)&=a\cdot (a-b)+b\cdot (a-b)=a^{2}-ab+ba-b^{2}=a^{2}-b^{2}\\&=(a+b)\cdot a-(a+b)\cdot b=a^{2}+ba-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}\\\end{aligned}}}$$

Здесь распределительный закон был применен дважды, и не имеет значения, какая скобка умножается первой.

Четвертый пример

Здесь распределительный закон применяется наоборот по сравнению с предыдущими примерами. Учитывать

$${\displaystyle 12a^{3}b^{2}-30a^{4}bc+18a^{2}b^{3}c^{2}\,.}$$

Поскольку множитель встречается во всех слагаемых, его можно исключить. То есть в силу распределительного закона получаем ${\displaystyle 6a^{2}b}$

$${\displaystyle 12a^{3}b^{2}-30a^{4}bc+18a^{2}b^{3}c^{2}=6a^{2}b\left(2ab-5a^{2}c+3b^{2}c^{2}\right).}$$

Матрицы

Дистрибутивный закон справедлив и для умножения матриц . Точнее,

$${\displaystyle (A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C}$$

${\displaystyle l\times m}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle C,}$

$${\displaystyle A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C}$$

${\displaystyle l\times m}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle B,C.}$

Другие примеры

• Умножение порядковых чисел , напротив, является только левораспределительным, а не правораспределительным.
• Перекрестное произведение является лево- и правораспределительным по векторному сложению , хотя и не коммутативно.
• Объединение множеств дистрибутивно по пересечению , а пересечение дистрибутивно по объединению.
• Логическая дизъюнкция («или») дистрибутивна по отношению к логическому союзу («и»), и наоборот.
• Для действительных чисел (и для любого полностью упорядоченного множества ) максимальная операция является дистрибутивной по отношению к минимальной операции, и наоборот:
  $${\displaystyle \max(a,\min(b,c))=\min(\max(a,b),\max(a,c))\quad {\text{ and }}\quad \min(a,\max(b,c))=\max(\min(a,b),\min(a,c)).}$$
• Для целых чисел наибольший общий делитель является распределительным по наименьшему общему кратному , и наоборот:
  $${\displaystyle \gcd(a,\operatorname {lcm} (b,c))=\operatorname {lcm} (\gcd(a,b),\gcd(a,c))\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {lcm} (a,\gcd(b,c))=\gcd(\operatorname {lcm} (a,b),\operatorname {lcm} (a,c)).}$$
• Для действительных чисел сложение распределяется по максимальной операции, а также по минимальной операции:
  $${\displaystyle a+\max(b,c)=\max(a+b,a+c)\quad {\text{ and }}\quad a+\min(b,c)=\min(a+b,a+c).}$$
• Для биномиального умножения распределение иногда называют методом FOIL ^[2] (первые термины Внешний Внутренний и Последний ), например: ${\displaystyle ac,}$ ${\displaystyle ad,}$ ${\displaystyle bc,}$ ${\displaystyle bd}$ ${\displaystyle (a+b)\cdot (c+d)=ac+ad+bc+bd.}$
• Во всех полукольцах , включая комплексные числа , кватернионы , полиномы и матрицы , умножение распределяется над сложением: ${\displaystyle u(v+w)=uv+uw,(u+v)w=uw+vw.}$
• Во всех алгебрах над полем , включая октонионы и другие неассоциативные алгебры , умножение распределяется по сложению.

Логика высказываний

Правило замены

В стандартной логике высказываний с функциональной истинностью распределение ^{[3] [4]} в логических доказательствах использует два действительных правила замены для расширения отдельных вхождений определенных логических связок внутри некоторой формулы в отдельные применения этих связок в подформулах данной формулы. Правила

$${\displaystyle (P\land (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\lor (P\land R))\qquad {\text{ and }}\qquad (P\lor (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\land (P\lor R))}$$

металогический символлогически эквивалентен ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \,\equiv ,\,}$

Истинные функциональные связки

Дистрибутивность — это свойство некоторых логических связок истинностно-функциональной логики высказываний . Следующие логические эквивалентности демонстрируют, что дистрибутивность является свойством определенных связок. Ниже приведены истиннофункциональные тавтологии .

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{13}&(P&&\;\land &&(Q\lor R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\land Q)&&\;\lor (P\land R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ conjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ disjunction }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\;\land (P\lor R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ disjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ conjunction }}\\&(P&&\;\land &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\land Q)&&\;\land (P\land R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ conjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ conjunction }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\lor R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\;\lor (P\lor R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ disjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ disjunction }}\\&(P&&\to &&(Q\to R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\to (P\to R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ implication }}&&{\text{ }}&&{\text{ }}\\&(P&&\to &&(Q\leftrightarrow R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\leftrightarrow (P\to R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ implication }}&&{\text{ over }}&&{\text{ equivalence }}\\&(P&&\to &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\;\land (P\to R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ implication }}&&{\text{ over }}&&{\text{ conjunction }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\leftrightarrow R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\leftrightarrow (P\lor R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ disjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ equivalence }}\\\end{alignedat}}}$$

Двойное распределение

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{13}&((P\land Q)&&\;\lor (R\land S))&&\;\Leftrightarrow \;&&(((P\lor R)\land (P\lor S))&&\;\land ((Q\lor R)\land (Q\lor S)))&&\\&((P\lor Q)&&\;\land (R\lor S))&&\;\Leftrightarrow \;&&(((P\land R)\lor (P\land S))&&\;\lor ((Q\land R)\lor (Q\land S)))&&\\\end{alignedat}}}$$

Распределение и округление

В приближенной арифметике, такой как арифметика с плавающей запятой , распределительное свойство умножения (и деления) над сложением может не работать из-за ограничений арифметической точности . Например, тождество не получается в десятичной арифметике , независимо от количества значащих цифр . В некоторых случаях могут помочь такие методы, как банковское округление , а также повышение используемой точности, но в конечном итоге некоторые ошибки в расчетах неизбежны. ${\displaystyle 1/3+1/3+1/3=(1+1+1)/3}$

В кольцах и других конструкциях

Дистрибутивность чаще всего встречается в полукольцах , особенно в частных случаях колец и дистрибутивных решеток .

Полукольцо имеет две бинарные операции, обычно обозначаемые и и требующие, которые должны распределяться по ${\displaystyle \,+\,}$ ${\displaystyle \,*,}$ ${\displaystyle \,*\,}$ ${\displaystyle \,+.}$

Кольцо — это полукольцо с аддитивными обратными.

Решетка — это еще один вид алгебраической структуры с двумя бинарными операциями. Если одна из этих операций распределяется по другой (скажем, распределяется по ), то обратное также справедливо ( распределяется по ), и решетка называется дистрибутивной. См. также Дистрибутивность (теория порядка) . ${\displaystyle \,\land {\text{ and }}\lor .}$ ${\displaystyle \,\land \,}$ ${\displaystyle \,\lor }$ ${\displaystyle \,\lor \,}$ ${\displaystyle \,\land \,}$

Булеву алгебру можно интерпретировать либо как особый вид кольца ( булевое кольцо ), либо как особый вид дистрибутивной решетки ( булева решетка ). Каждая интерпретация отвечает за разные законы распределения в булевой алгебре.

Подобные структуры без законов распределения представляют собой околокольца и околополя вместо колец и тел . Операции обычно определяются как распределительные справа, а не слева.

Обобщения

В нескольких математических областях рассматриваются обобщенные законы дистрибутивности. Это может включать ослабление вышеуказанных условий или распространение на бесконечные операции. Особенно в теории порядка можно найти множество важных вариантов дистрибутивности, некоторые из которых включают бесконечные операции, такие как бесконечный закон распределения ; другие определяются при наличии только одной бинарной операции, например, соответствующие определения и их отношения приведены в статье дистрибутивность (теория порядка) . Сюда также входит понятие полностью дистрибутивной решетки .

При наличии отношения упорядочения можно также ослабить приведенные выше равенства, заменив их на либо или. Естественно, это приведет к осмысленным понятиям лишь в некоторых ситуациях. Применением этого принципа является понятие субдистрибутивности , объясненное в статье об интервальной арифметике . ${\displaystyle \,=\,}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \,\geq .}$

В теории категорий , если и являются монадами в категории, то дистрибутивный закон является естественным преобразованием , которое представляет собой нестрогую карту монад и карту колакса монад. Это именно те данные, которые необходимы для определения структуры монады : карта умножения а карта единиц — См.: Закон распределения между монадами . ${\displaystyle (S,\mu ,\nu )}$ ${\displaystyle \left(S^{\prime },\mu ^{\prime },\nu ^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle S.S^{\prime }\to S^{\prime }.S}$ ${\displaystyle \lambda :S.S^{\prime }\to S^{\prime }.S}$ ${\displaystyle \left(S^{\prime },\lambda \right)}$ ${\displaystyle S\to S}$ ${\displaystyle (S,\lambda )}$ ${\displaystyle S^{\prime }\to S^{\prime }.}$ ${\displaystyle S^{\prime }.S}$ ${\displaystyle S^{\prime }\mu .\mu ^{\prime }S^{2}.S^{\prime }\lambda S}$ ${\displaystyle \eta ^{\prime }S.\eta .}$

Обобщенный распределительный закон был также предложен в области теории информации .

Антидистрибутивность

Вездесущее тождество , которое связывает обратные операции с бинарными операциями в любой группе , а именно которое принимается как аксиома в более общем контексте полугруппы с инволюцией , иногда называют антидистрибутивным свойством (инверсии как унарной операции ). ^[5] ${\displaystyle (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1},}$

В контексте околокольца , которое устраняет коммутативность аддитивно записанной группы и предполагает только одностороннюю дистрибутивность, можно говорить о (двусторонних) дистрибутивных элементах , но также и об антидистрибутивных элементах . Последние меняют порядок (некоммутативного) сложения; предполагая приближение слева (т. е. тот, который все элементы распределяют при умножении слева), тогда антираспределительный элемент меняет порядок сложения при умножении вправо: ^[6] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (x+y)a=ya+xa.}$

При изучении логики высказываний и булевой алгебры термин «антидистрибутивный закон» иногда используется для обозначения обмена между соединением и дизъюнкцией, когда импликация влияет на них: ^[7]

$${\displaystyle (a\lor b)\Rightarrow c\equiv (a\Rightarrow c)\land (b\Rightarrow c)}$$

$${\displaystyle (a\land b)\Rightarrow c\equiv (a\Rightarrow c)\lor (b\Rightarrow c).}$$

Эти две тавтологии являются прямым следствием двойственности законов Де Моргана .

Примечания

1. Распределение бинарных операций из Mathonline
2. Ким Стюард (2011) Умножение полиномов из виртуальной математической лаборатории в Университете A&M Западного Техаса
3. Эллиот Мендельсон (1964) Введение в математическую логику , стр. 21, Компания Д. Ван Ностранда
4. Альфред Тарский (1941) Введение в логику , стр. 52, Oxford University Press
5. Крис Бринк; Вольфрам Каль; Гюнтер Шмидт (1997). Реляционные методы в информатике . Спрингер. п. 4. ISBN 978-3-211-82971-4.
6. Селестина Котти Ферреро; Джованни Ферреро (2002). Неринги: некоторые события, связанные с полугруппами и группами . Академическое издательство Клувер. стр. 62 и 67. ISBN. 978-1-4613-0267-4.
7. Эрик CR Хенер (1993). Практическая теория программирования . Springer Science & Business Media. п. 230. ИСБН 978-1-4419-8596-5.

Внешние ссылки

• Демонстрация закона распределения для целочисленной арифметики (из «разрубить узел »)