Родившееся правило

Правило расчета в квантовой механике

Правило Борна — это постулат квантовой механики , который определяет вероятность того, что измерение квантовой системы даст заданный результат. ^[1] В своей простейшей форме он утверждает, что плотность вероятности нахождения системы в данном состоянии при измерении пропорциональна квадрату амплитуды волновой функции системы в этом состоянии. Она была сформулирована и опубликована немецким физиком Максом Борном в июле 1926 года.

Подробности

Правило Борна гласит, что наблюдаемая , измеренная в системе с нормированной волновой функцией (см. обозначение Бра-кета ), соответствует самосопряженному оператору , спектр которого дискретен, если: ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle A}$

• результат измерения будет одним из собственных значений , и ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A}$
• вероятность измерения данного собственного значения будет равна , где – проекция на собственное пространство соответствующего . ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \langle \psi |P_{i}|\psi \rangle }$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$

(В случае, когда собственное пространство, соответствующее одномерному и натянутому нормализованным собственным вектором , равно , поэтому вероятность равна . Поскольку комплексное число известно как амплитуда вероятности , которую вектор состояния присваивает собственному вектору правило Борна принято описывать так: вероятность равна квадрату амплитуды (на самом деле амплитуда, умноженная на собственное комплексно-сопряженное число ). Эквивалентно, вероятность можно записать как .) ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle |\lambda _{i}\rangle }$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle |\lambda _{i}\rangle \langle \lambda _{i}|}$ ${\displaystyle \langle \psi |P_{i}|\psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \psi |\lambda _{i}\rangle \langle \lambda _{i}|\psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \lambda _{i}|\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\lambda _{i}\rangle }$ ${\displaystyle {\big |}\langle \lambda _{i}|\psi \rangle {\big |}^{2}}$

В случае, когда спектр не вполне дискретен, спектральная теорема доказывает существование некоторой проекционнозначной меры — спектральной меры . В этом случае: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle A}$

• вероятность того, что результат измерения лежит в измеримом множестве, определяется выражением . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \langle \psi |Q(M)|\psi \rangle }$

Волновая функция для одной бесструктурной частицы в пространстве означает, что функция плотности вероятности для измерения положения частицы во времени равна: ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle t_{0}}$

${\displaystyle p(x,y,z,t_{0})=|\psi (x,y,z,t_{0})|^{2}.}$

В некоторых приложениях такая трактовка правила Борна обобщается с использованием мер с положительным операторным значением (POVM) . POVM — это мера , значения которой являются положительными полуопределенными операторами в гильбертовом пространстве . POVM являются обобщением измерений фон Неймана и, соответственно, квантовые измерения, описываемые POVM, являются обобщением квантовых измерений, описываемых самосопряженными наблюдаемыми. Грубо говоря, POVM по отношению к PVM — то же самое, что смешанное состояние по отношению к чистому состоянию . Смешанные состояния необходимы для определения состояния подсистемы более крупной системы (см. Очистка квантового состояния ); аналогично, POVM необходимы для описания воздействия на подсистему проективного измерения, выполненного в более крупной системе. POVM — это наиболее общий вид измерений в квантовой механике, который также может использоваться в квантовой теории поля . ^[2] Они широко используются в области квантовой информации .

В простейшем случае POVM с конечным числом элементов, действующих в конечномерном гильбертовом пространстве , POVM представляет собой набор положительных полуопределенных матриц в гильбертовом пространстве , сумма которых равна единичной матрице , ^{[3] : 90} : ${\displaystyle \{F_{i}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=I.}$

Элемент POVM связан с результатом измерения , так что вероятность его получения при измерении квантового состояния определяется выражением: ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle p(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i}),}$

где находится оператор трассировки . Это POVM-версия правила Борна. Когда измеряемое квантовое состояние является чистым, эта формула сводится к: ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle p(i)=\operatorname {tr} {\big (}|\psi \rangle \langle \psi |F_{i}{\big )}=\langle \psi |F_{i}|\psi \rangle .}$

Правило Борна вместе с унитарностью оператора временной эволюции (или, что то же самое, эрмитовым гамильтонианом ) подразумевает унитарность теории , которая считается необходимой для непротиворечивости. Например, унитарность гарантирует, что сумма вероятностей всех возможных результатов равна 1 (хотя это не единственный вариант выполнения этого конкретного требования ^{[ необходимы разъяснения ]} ). ${\displaystyle e^{-i{\hat {H}}t}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$

История

Правило Борна было сформулировано Борном в статье 1926 года. ^[4] В этой статье Борн решает уравнение Шредингера для задачи рассеяния и, вдохновленный Альбертом Эйнштейном и вероятностным правилом Эйнштейна для фотоэлектрического эффекта , ^[5] заключает в сноске, что правило Борна дает единственно возможную интерпретацию решение. (В основной части статьи говорится, что амплитуда «даёт вероятность» [ bestimmt die Wahrscheinlichkeit ], а в сноске, добавленной в доказательство, говорится, что вероятность пропорциональна квадрату ее величины.) В 1954 году вместе с Вальтером Боте За эту и другие работы Борн был удостоен Нобелевской премии по физике . ^[5] Джон фон Нейман обсуждал применение спектральной теории к правилу Борна в своей книге 1932 года. ^[6]

Вывод из более основных принципов

Теорема Глисона показывает, что правило Борна можно вывести из обычного математического представления измерений в квантовой физике вместе с предположением о неконтекстуальности . Эндрю М. Глисон впервые доказал эту теорему в 1957 году в ^[7] по вопросу, заданному Джорджем Макки . ^{[8] [9]} Эта теорема имела историческое значение, поскольку она сыграла роль в демонстрации того, что широкие классы теорий скрытых переменных несовместимы с квантовой физикой. ^[10]

Несколько других исследователей также пытались вывести правило Борна из более фундаментальных принципов. В контексте многомировой интерпретации был предложен ряд выводов . К ним относятся подход теории принятия решений, впервые предложенный Дэвидом Дойчем ^[11] и позднее развитый Хилари Гривз ^[12] и Дэвидом Уоллесом; ^[13] и «инвариантный» подход Войцеха Х. Зурека . ^[14] Эти доказательства, однако, были раскритикованы как циркулярные. ^{[15] В 2018 году Чарльз Себенс и} Шон М. Кэрролл предложили подход, основанный на неопределенности самоопределения ; ^[16] это также подверглось критике. ^[17] Саймон Сондерс в 2021 году представил вывод правила Борна с подсчетом ветвей. Важнейшей особенностью этого подхода является определение ветвей так, чтобы все они имели одинаковую величину или 2-норму . Определенные таким образом отношения числа ветвей дают вероятности различных результатов измерения в соответствии с правилом Борна. ^[18]

В 2019 году Луис Масанес, Томас Галлей и Маркус Мюллер предложили вывод, основанный на постулатах, включая возможность оценки состояния. ^{[19] [20]}

Также утверждалось, что теорию пилот-волны можно использовать для статистического вывода правила Борна, хотя это остается спорным. ^[21]

В рамках QBist- интерпретации квантовой теории правило Борна рассматривается как расширение нормативного принципа когерентности , который обеспечивает самосогласованность оценок вероятности по целому набору таких оценок. Можно показать, что агент, который думает, что он делает ставку на результаты измерений в достаточно квантовоподобной системе, но отказывается использовать правило Борна при размещении ставок, уязвим для голландской книги . ^[22]

Рекомендации

1. Временная эволюция квантовой системы полностью детерминирована согласно уравнению Шредингера . Именно благодаря правилу Борна вероятность входит в теорию.
2. Перес, Ашер ; Терно, Дэниел Р. (2004). «Квантовая информация и теория относительности». Обзоры современной физики . 76 (1): 93–123. arXiv : Quant-ph/0212023 . Бибкод :2004РвМП...76...93П. doi : 10.1103/RevModPhys.76.93. S2CID  7481797.
3. Нильсен, Майкл А .; Чуанг, Исаак Л. (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация (1-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-63503-5. ОСЛК  634735192.
4. Борн, Макс (1926). «Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge» [К квантовой механике столкновений]. Zeitschrift für Physik . 37 (12): 863–867. Бибкод : 1926ZPhy...37..863B. дои : 10.1007/BF01397477. S2CID  119896026.Перепечатано как Борн, Макс (1983). «К квантовой механике столкновений». В Уиллере, штат Джорджия ; Журек, WH (ред.). Квантовая теория и измерения . Издательство Принстонского университета. стр. 52–55. ISBN 978-0-691-08316-2.
5. Борн, Макс (11 декабря 1954 г.). «Статистическая интерпретация квантовой механики» (PDF) . www.nobelprize.org . nobelprize.org . Проверено 7 ноября 2018 г. И снова идея Эйнштейна дала мне преимущество. Он пытался сделать двойственность частиц (квантов света или фотонов) и волн понятной, интерпретируя квадрат амплитуд оптических волн как плотность вероятности появления фотонов. Это понятие можно сразу перенести на пси-функцию: |psi| ² должна представлять плотность вероятности для электронов (или других частиц).
6. Нейман (фон), Джон (1932). Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik [ Математические основы квантовой механики ]. Перевод Бейера, издательство Роберта Т. Принстонского университета (опубликовано в 1996 г.). ISBN 978-0691028934.
7. Глисон, Эндрю М. (1957). «Меры на замкнутых подпространствах гильбертова пространства». Математический журнал Университета Индианы . 6 (4): 885–893. дои : 10.1512/iumj.1957.6.56050 . МР  0096113.
8. Макки, Джордж В. (1957). «Квантовая механика и гильбертово пространство». Американский математический ежемесячник . 64 (8П2): 45–57. дои : 10.1080/00029890.1957.11989120. JSTOR  2308516.
9. Чернофф, Пол Р. (ноябрь 2009 г.). «Энди Глисон и квантовая механика» (PDF) . Уведомления АМС . 56 (10): 1253–1259.
10. Мермин, Н. Дэвид (1 июля 1993 г.). «Скрытые переменные и две теоремы Джона Белла». Обзоры современной физики . 65 (3): 803–815. arXiv : 1802.10119 . Бибкод : 1993РвМП...65..803М. doi : 10.1103/RevModPhys.65.803. S2CID  119546199.
11. Дойч, Дэвид (8 августа 1999 г.). «Квантовая теория вероятностей и решений». Труды Королевского общества А. 455 (1988): 3129–3137. arXiv : Quant-ph/9906015 . Бибкод : 1999RSPSA.455.3129D. дои : 10.1098/rspa.1999.0443. S2CID  5217034 . Проверено 5 декабря 2022 г.
12. Гривз, Хилари (21 декабря 2006 г.). «Вероятность в интерпретации Эверетта» (PDF) . Философский компас . 2 (1): 109–128. дои : 10.1111/j.1747-9991.2006.00054.x . Проверено 6 декабря 2022 г.
13. Уоллес, Дэвид (2010). «Как доказать правило Борна». В Кенте, Адриан; Уоллес, Дэвид; Барретт, Джонатан; Сондерс, Саймон (ред.). Много миров? Эверетт, Квантовая теория и реальность . Издательство Оксфордского университета. стр. 227–263. arXiv : 0906.2718 . ISBN 978-0-191-61411-8.
14. Журек, Войцех Х. (25 мая 2005 г.). «Вероятности из запутанности, правило Борна из неизменности». Физический обзор А. 71 : 052105. arXiv : quant-ph/0405161 . doi :10.1103/PhysRevA.71.052105 . Проверено 6 декабря 2022 г.
15. Ландсман, НП (2008). «Правило Борна и его интерпретация» (PDF) . В Вайнерт, Ф.; Хентшель, К.; Гринбергер, Д.; Фалькенбург, Б. (ред.). Сборник квантовой физики . Спрингер. ISBN 978-3-540-70622-9. Вывод, по-видимому, состоит в том, что общепринятого вывода правила Борна до сих пор не дано, но это не означает, что такой вывод в принципе невозможен.
16. Себенс, Чарльз Т.; Кэрролл, Шон М. (март 2018 г.). «Самоопределяющаяся неопределенность и происхождение вероятности в эвереттовской квантовой механике». Британский журнал философии науки . 69 (1): 25–74. arXiv : 1405.7577 . дои : 10.1093/bjps/axw004 .
17. Вайдман, Лев (2020). «Выводы правила Борна» (PDF) . Квант, Вероятность, Логика . Иерусалимские исследования в области философии и истории науки. Спрингер. стр. 567–584. дои : 10.1007/978-3-030-34316-3_26. ISBN 978-3-030-34315-6. S2CID  156046920.
18. Сондерс, Саймон (24 ноября 2021 г.). «Подсчет ветвей в интерпретации Эверетта квантовой механики». Труды Королевского общества А. 477 (2255): 1–22. arXiv : 2201.06087 . Бибкод : 2021RSPSA.47710600S. дои : 10.1098/rspa.2021.0600. S2CID  244491576.
19. Масанес, Луис; Галлей, Томас; Мюллер, Маркус (2019). «Постулаты квантовой механики об измерениях функционально избыточны». Природные коммуникации . 10 (1): 1361. arXiv : 1811.11060 . Бибкод : 2019NatCo..10.1361M. дои : 10.1038/s41467-019-09348-x. ПМК 6434053 . ПМИД  30911009. 
20. Болл, Филип (13 февраля 2019 г.). «Таинственное квантовое правило, восстановленное с нуля». Журнал Кванта . Архивировано из оригинала 13 февраля 2019 г.
21. Гольдштейн, Шелдон (2017). «Бомовская механика». В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета.
22. ДеБрота, Джон Б.; Фукс, Кристофер А.; Пиенаар, Жак Л.; Стейси, Блейк С. (2021). «Правило Борна как квантовое расширение байесовской когерентности». Физ. Преподобный А. 104 (2). 022207.arXiv : 2012.14397 . _ Бибкод : 2021PhRvA.104b2207D. doi :10.1103/PhysRevA.104.022207.

Внешние ссылки

• Квантовая механика не в опасности: физики экспериментально подтверждают ключевой принцип десятилетней давности ScienceDaily (23 июля 2010 г.)