Проекционная мера

Математическая операторная мера, представляющая интерес для квантовой механики и функционального анализа.

В математике , особенно в функциональном анализе , проекционнозначная мера (или спектральная мера ) — это функция, определенная на определенных подмножествах фиксированного множества и значения которой являются самосопряженными проекциями на фиксированное гильбертово пространство . ^[1] Проекционная мера (PVM) формально похожа на вещественную меру , за исключением того, что ее значения являются самосопряженными проекциями, а не действительными числами. Как и в случае с обычными мерами, по PVM можно интегрировать комплексные функции ; результатом такого интегрирования является линейный оператор в данном гильбертовом пространстве.

Проекционнозначные меры используются для выражения результатов в спектральной теории , таких как важная спектральная теорема для самосопряженных операторов , и в этом случае PVM иногда называют спектральной мерой . Борелевское функциональное исчисление для самосопряженных операторов строится с использованием интегралов по ПВМ. В квантовой механике PVM представляют собой математическое описание проективных измерений . ^{[ необходимы пояснения ]} Они обобщаются положительными операторнозначными мерами (POVM) в том же смысле, в котором смешанное состояние или матрица плотности обобщают понятие чистого состояния .

Определение

Обозначим сепарабельное комплексное гильбертово пространство и измеримое пространство , состоящее из множества и борелевской σ-алгебры на . Проекционнозначная мера — это отображение из множества ограниченных самосопряженных операторов , удовлетворяющее следующим свойствам: ^{[2] [3]} ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (X,M)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H}$

• ${\displaystyle \pi (E)}$является ортогональной проекцией для всех ${\displaystyle E\in M.}$
• ${\displaystyle \pi (\emptyset )=0}$и , где – пустое множество и тождественный оператор . ${\displaystyle \pi (X)=I}$ ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle I}$
• Если в не пересекаются, то для всех , ${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\dotsc }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle v\in H}$

${\displaystyle \pi \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }E_{j}\right)v=\sum _{j=1}^{\infty }\pi (E_{j})v.}$

• ${\displaystyle \pi (E_{1}\cap E_{2})=\pi (E_{1})\pi (E_{2})}$для всех ${\displaystyle E_{1},E_{2}\in M.}$

Второе и четвертое свойство показывают, что если и не пересекаются, т. е. , то изображения и ортогональны друг другу. ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle E_{1}\cap E_{2}=\emptyset }$ ${\displaystyle \pi (E_{1})}$ ${\displaystyle \pi (E_{2})}$

Пусть и его ортогональное дополнение обозначают соответственно образ и ядро ​​. Если — замкнутое подпространство, то его можно записать как ортогональное разложение , и он является уникальным тождественным оператором, удовлетворяющим всем четырем свойствам. ^{[4] [5]} ${\displaystyle V_{E}=\operatorname {im} (\pi (E))}$ ${\displaystyle V_{E}^{\perp }=\ker(\pi (E))}$ ${\displaystyle \pi (E)}$ ${\displaystyle V_{E}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H=V_{E}\oplus V_{E}^{\perp }}$ ${\displaystyle \pi (E)=I_{E}}$ ${\displaystyle V_{E}}$

Для каждого и проекционнозначная мера образует комплекснозначную меру , определяемую как ${\displaystyle \xi ,\eta \in H}$ ${\displaystyle E\in M}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle \mu _{\xi ,\eta }(E):=\langle \pi (E)\xi \mid \eta \rangle }$

с общей вариацией не более . ^[6] Оно сводится к действительной мере , когда ${\displaystyle \|\xi \|\|\eta \|}$

${\displaystyle \mu _{\xi }(E):=\langle \pi (E)\xi \mid \xi \rangle }$

и вероятностная мера, когда – единичный вектор . ${\displaystyle \xi }$

Пример. Пусть σ -конечное пространство с мерой и для всех пусть ${\displaystyle (X,M,\mu )}$ ${\displaystyle E\in M}$

${\displaystyle \pi (E):L^{2}(X)\to L^{2}(X)}$

быть определен как

${\displaystyle \psi \mapsto \pi (E)\psi =1_{E}\psi ,}$

т.е. как умножение на индикаторную функцию на L 2 ( X ) . Затем определяет меру с проекционным значением. ^[6] Например, если , , и существует соответствующая комплексная мера , которая принимает измеримую функцию и дает интеграл ${\displaystyle 1_{E}}$ ${\displaystyle \pi (E)=1_{E}}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle E=(0,1)}$ ${\displaystyle \phi ,\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mu _{\phi ,\psi }}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu _{\phi ,\psi }=\int _{0}^{1}f(x)\psi (x){\overline {\phi }}(x)\,dx}$

Расширение прогнозных показателей

Если π — проекционнозначная мера на измеримом пространстве ( X , M ), то отображение

${\displaystyle \chi _{E}\mapsto \pi (E)}$

продолжается до линейного отображения векторного пространства ступенчатых функций на X . На самом деле легко проверить, что это отображение является кольцевым гомоморфизмом . Это отображение каноническим образом распространяется на все ограниченные комплекснозначные измеримые функции на X , и мы имеем следующее.

Теорема  .  Для любой ограниченной борелевской функции на существует единственный ограниченный оператор такой, что ^{[7] [8]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T:H\to H}$

${\displaystyle \langle T\xi \mid \xi \rangle =\int _{X}f(\lambda )\,d\mu _{\xi }(\lambda ),\quad \forall \xi \in H.}$

где – конечная борелевская мера, определяемая формулой ${\displaystyle \mu _{\xi }}$

${\displaystyle \mu _{\xi }(E):=\langle \pi (E)\xi \mid \xi \rangle ,\quad \forall E\in M.}$

Следовательно, – пространство с конечной мерой . ${\displaystyle (X,M,\mu )}$

Теорема верна и для неограниченных измеримых функций , но тогда это будет неограниченный линейный оператор в гильбертовом пространстве . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H}$

Это позволяет определить борелевское функциональное исчисление для таких операторов, а затем перейти к измеримым функциям с помощью теоремы о представлении Рисса–Маркова–Какутани . То есть, если – измеримая функция, то существует единственная мера такая, что ${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle g(T):=\int _{\mathbb {R} }g(x)\,d\pi (x).}$

Спектральная теорема

Пусть – сепарабельное комплексное гильбертово пространство , – ограниченный самосопряженный оператор и спектр . Тогда спектральная теорема утверждает, что существует единственная проекционнозначная мера , определенная на борелевском подмножестве , такая, что ^[9] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle \sigma (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \pi ^{A}}$ ${\displaystyle E\subset \sigma (A)}$

${\displaystyle A=\int _{\sigma (A)}\lambda \,d\pi ^{A}(\lambda ),}$

где интеграл продолжается до неограниченной функции, когда спектр неограничен. ^[10] ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A}$

Прямые интегралы

Сначала мы предоставим общий пример проекционнозначной меры, основанной на прямых интегралах . Предположим, ( X , M , µ) — пространство с мерой, и пусть { H _x } _{x ∈ X} — µ-измеримое семейство сепарабельных гильбертовых пространств. Для каждого E ∈ M пусть π ( E ) — оператор умножения на 1 _E в гильбертовом пространстве.

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}\ d\mu (x).}$

Тогда π — проекционнозначная мера на ( X , M ).

Предположим, π , ρ — проекционнозначные меры на ( X , M ) со значениями в проекциях H , K. π , ρ унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда существует унитарный оператор U : H → K такой, что

${\displaystyle \pi (E)=U^{*}\rho (E)U\quad }$

для любого E ∈ M.

Теорема . Если ( X , M ) — стандартное борелевское пространство , то для каждой проекционнозначной меры π на ( X , M ), принимающей значения в проекциях сепарабельного гильбертова пространства, существует борелевская мера µ и µ-измеримое семейство Гильбертовые пространства { H _x } _{x ∈ X} , такие, что π унитарно эквивалентно умножению на 1 _E в гильбертовом пространстве

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}\ d\mu (x).}$

Класс меры ^{[ необходимо уточнение ]} µ и класс эквивалентности меры функции кратности x → dim H _x полностью характеризуют проекционнозначную меру с точностью до унитарной эквивалентности.

Проекционнозначная мера π является однородной кратности n тогда и только тогда, когда функция кратности имеет постоянное значение n . Четко,

Теорема . Любая проекционнозначная мера π , принимающая значения в проекциях сепарабельного гильбертова пространства, является ортогональной прямой суммой однородных проекционнозначных мер:

${\displaystyle \pi =\bigoplus _{1\leq n\leq \omega }(\pi \mid H_{n})}$

где

${\displaystyle H_{n}=\int _{X_{n}}^{\oplus }H_{x}\ d(\mu \mid X_{n})(x)}$

и

${\displaystyle X_{n}=\{x\in X:\dim H_{x}=n\}.}$

Применение в квантовой механике

В квантовой механике, если дана проекционная мера измеримого пространства X в пространство непрерывных эндоморфизмов на гильбертовом пространстве H ,

• проективное пространство гильбертова пространства H интерпретируется как множество возможных состояний Φ квантовой системы,
• измеримое пространство X - это пространство значений некоторого квантового свойства системы («наблюдаемого»),
• проекционная мера π выражает вероятность того, что наблюдаемая принимает различные значения.

Обычным выбором для X является реальная линия, но она также может быть

• R ³ (для положения или импульса в трех измерениях),
• дискретный набор (по угловому моменту, энергии связанного состояния и т.п.),
• набор из двух точек «истина» и «ложь» для истинностного значения произвольного предложения о Φ.

Пусть E — измеримое подмножество измеримого пространства X и Φ — нормализованное векторное состояние в H , так что его гильбертова норма унитарна, ||Φ|| = 1. Вероятность того, что наблюдаемая примет свое значение в подмножестве E, если система находится в состоянии Φ, равна

${\displaystyle P_{\pi }(\varphi )(E)=\langle \varphi \mid \pi (E)(\varphi )\rangle =\langle \varphi |\pi (E)|\varphi \rangle ,}$

где последнее обозначение является предпочтительным в физике.

Мы можем проанализировать это двумя способами.

Во-первых, для каждого фиксированного E проекция π ( E ) является самосопряженным оператором на H , чье 1-собственное пространство — это состояния Φ, для которых значение наблюдаемой всегда лежит в E , а чье 0-собственное пространство — это состояния Φ. для которого значение наблюдаемой никогда не лежит в E.

Во-вторых, для каждого фиксированного нормализованного векторного состояния ассоциация ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle P_{\pi }(\psi ):E\mapsto \langle \psi \mid \pi (E)\psi \rangle }$

— это вероятностная мера X , превращающая значения наблюдаемой в случайную величину.

Измерение, которое может быть выполнено с помощью проекционнозначной меры π, называется проективным измерением .

Если X — линия действительных чисел, существует связанный с π эрмитов оператор A , определенный на H формулой

${\displaystyle A(\varphi )=\int _{\mathbf {R} }\lambda \,d\pi (\lambda )(\varphi ),}$

который принимает более читабельную форму

${\displaystyle A(\varphi )=\sum _{i}\lambda _{i}\pi ({\lambda _{i}})(\varphi )}$

если носитель π является дискретным подмножеством R .

Вышеупомянутый оператор A называется наблюдаемой, ассоциированной со спектральной мерой.

Обобщения

Идея проекционнозначной меры обобщается положительной операторнозначной мерой (POVM), где необходимость ортогональности, подразумеваемая проекционными операторами, заменяется идеей набора операторов, которые представляют собой неортогональное разбиение единицы. ^{[ нужны разъяснения ]} . Это обобщение мотивировано приложениями к квантовой теории информации .

Смотрите также

• Спектральная теорема
• Спектральная теория компактных операторов
• Спектральная теория нормальных C*-алгебр

Примечания

1. Конвей 2000, с. 41.
2. Холл 2013, с. 138.
3. Рид и Саймон 1980, с. 234.
4. Рудин 1991, с. 308.
5. Холл 2013, с. 541.
6. Конвей 2000, стр. 42.
7. Ковальски, Эммануэль (2009), Спектральная теория в гильбертовых пространствах (PDF) , конспекты лекций ETH Zürich, стр. 50
8. Рид и Саймон 1980, с. 227 235.
9. Рид и Саймон 1980, с. 235.
10. Холл 2013, с. 205.

Рекомендации

• Конвей, Джон Б. (2000). Курс теории операторов . Провиденс (Род-Айленд): Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-2065-0.
• Холл, Брайан С. (2013). Квантовая теория для математиков . Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4614-7116-5.
• Макки, Г.В., Теория представлений унитарных групп , The University of Chicago Press, 1976.
• Моретти, В. (2017), Спектральная теория и квантовая механика, Математические основы квантовых теорий, симметрии и введение в алгебраические формулировки , том. 110, Спрингер, Бибкод : 2017stqm.book.....M, ISBN 978-3-319-70705-1
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Рид, М .; Саймон, Б. (1980). Методы современной математической физики: Том 1: Функциональный анализ . Академическая пресса. ISBN 978-0-12-585050-6.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Бостон, Массачусетс: McGraw-Hill Science, Engineering & Mathematics. ISBN 978-0-07-054236-5.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Г. Тешль , Математические методы в квантовой механике с приложениями к операторам Шрёдингера , https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/, Американское математическое общество, 2009.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.
• Варадараджан В.С., Геометрия квантовой теории, часть 2, Springer Verlag, 1970.