Рекуррентное отношение

Шаблон, определяющий бесконечную последовательность чисел

В математике рекуррентное соотношение — это уравнение , согласно которому пятый член последовательности чисел равен некоторой комбинации предыдущих членов. Часто в уравнении появляются только предыдущие члены последовательности для параметра, который не зависит от ; это число называется порядком отношения. Если значения первых чисел в последовательности заданы, остальную часть последовательности можно вычислить, повторно применяя уравнение. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

В линейных рекуррентах n-й член приравнивается к линейной функции предыдущих членов . Известный пример — повторяемость чисел Фибоначчи . ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$$

линейную рекуррентность с постоянными коэффициентамивыражение в замкнутойлинейные рекурренты с полиномиальными коэффициентами,специальныеряд Тейлораголономную функцию ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Решение рекуррентного соотношения означает получение решения в замкнутой форме : нерекурсивной функции от . ${\displaystyle n}$

Понятие рекуррентного отношения можно распространить на многомерные массивы , то есть индексированные семейства , которые индексируются кортежами натуральных чисел .

Определение

Рекуррентное отношение — это уравнение, которое выражает каждый элемент последовательности как функцию предыдущих. Точнее, в случае, когда задействован только непосредственно предшествующий элемент, рекуррентное отношение имеет вид

${\displaystyle u_{n}=\varphi (n,u_{n-1})\quad {\text{for}}\quad n>0,}$

где

${\displaystyle \varphi :\mathbb {N} \times X\to X}$

— функция, где X — множество, которому должны принадлежать элементы последовательности. Для любого это определяет уникальную последовательность, первым элементом которой является начальное значение . ^[1] ${\displaystyle u_{0}\in X}$ ${\displaystyle u_{0}}$

Определение для получения последовательностей, начиная с члена с индексом 1 или выше, легко изменить.

Это определяет рекуррентное отношение первого порядка . Рекуррентное соотношение порядка k имеет вид

${\displaystyle u_{n}=\varphi (n,u_{n-1},u_{n-2},\ldots ,u_{n-k})\quad {\text{for}}\quad n\geq k,}$

где – функция, включающая k последовательных элементов последовательности. В этом случае для определения последовательности необходимо k начальных значений. ${\displaystyle \varphi :\mathbb {N} \times X^{k}\to X}$

Примеры

Факториал

Факториал определяется рекуррентным соотношением

${\displaystyle n!=n(n-1)!\quad {\text{for}}\quad n>0,}$

и начальное состояние

${\displaystyle 0!=1.}$

Это пример линейной рекуррентности с полиномиальными коэффициентами порядка 1, с простым полиномом

${\displaystyle f(n)=n}$

как его единственный коэффициент.

Логистическая карта

Примером рекуррентного отношения является логистическая карта :

${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}),}$

с заданной константой ; учитывая начальный член , каждый последующий член определяется этим соотношением. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x_{0}}$

Числа Фибоначчи

Рекуррентность второго порядка, удовлетворяемая числами Фибоначчи, является каноническим примером однородного линейного рекуррентного соотношения с постоянными коэффициентами (см. Ниже). Последовательность Фибоначчи определяется с помощью рекуррентного выражения

${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$

с начальными условиями

${\displaystyle F_{0}=0}$

${\displaystyle F_{1}=1.}$

Явно, рекуррентность дает уравнения

${\displaystyle F_{2}=F_{1}+F_{0}}$

${\displaystyle F_{3}=F_{2}+F_{1}}$

${\displaystyle F_{4}=F_{3}+F_{2}}$

и т. д.

Получаем последовательность чисел Фибоначчи, которая начинается

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

Рекуррентность может быть решена методами, описанными ниже, с получением формулы Бине , которая включает в себя степени двух корней характеристического многочлена ; производящая функция последовательности является рациональной функцией ${\displaystyle t^{2}=t+1}$

${\displaystyle {\frac {t}{1-t-t^{2}}}.}$

Биномиальные коэффициенты

Простой пример многомерного рекуррентного отношения дают биномиальные коэффициенты , которые подсчитывают способы выбора элементов из множества элементов. Их можно вычислить с помощью рекуррентного соотношения ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}},}$

с базовыми случаями . Использование этой формулы для вычисления значений всех биномиальных коэффициентов создает бесконечный массив, называемый треугольником Паскаля . Те же значения также можно вычислить напрямую по другой формуле, которая не является повторением, но использует факториалы , умножение и деление, а не только сложение: ${\displaystyle {\tbinom {n}{0}}={\tbinom {n}{n}}=1}$

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}.}$

Биномиальные коэффициенты также можно вычислить с помощью одномерной рекуррентности:

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{k-1}}(n-k+1)/k,}$

с начальным значением (Деление не отображается в виде дроби, чтобы подчеркнуть, что оно должно вычисляться после умножения, чтобы не вводить дробные числа). Это повторение широко используется в компьютерах, поскольку оно не требует построения таблицы, как двумерное повторение, и включает в себя очень большие целые числа, как это делает формула с факториалами (если использовать все задействованные целые числа меньше конечного результата). . ${\textstyle {\binom {n}{0}}=1}$ ${\textstyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}},}$

Разностный оператор и разностные уравнения

The Оператор разности — этооператор, который отображаетпоследовательностив последовательности и, в более общем смысле,функциив функции. Его обычно обозначаюти определяют вфункциональной записикак ${\displaystyle \Delta ,}$

${\displaystyle (\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x).}$

Таким образом, это частный случай конечной разности .

При использовании индексной записи для последовательностей определение становится

${\displaystyle (\Delta a)_{n}=a_{n+1}-a_{n}.}$

Круглые скобки вокруг и обычно опускаются, и их следует понимать как член с индексом n в последовательности , а не применять к элементу. ${\displaystyle \Delta f}$ ${\displaystyle \Delta a}$ ${\displaystyle \Delta a_{n}}$ ${\displaystyle \Delta a,}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle a_{n}.}$

Учитывая последовательность ​ ${\displaystyle a=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} },}$первая разницаaэто ${\displaystyle \Delta a.}$

The Второе отличие : Простое вычисление показывает, что ${\displaystyle \Delta ^{2}a=(\Delta \circ \Delta )a=\Delta (\Delta a).}$

${\displaystyle \Delta ^{2}a_{n}=a_{n+2}-2a_{n+1}+a_{n}.}$

В более общем смысле: k -я разница определяется рекурсивно как и ${\displaystyle \Delta ^{k}=\Delta \circ \Delta ^{k-1},}$

${\displaystyle \Delta ^{k}a_{n}=\sum _{t=0}^{k}(-1)^{t}{\binom {k}{t}}a_{n+k-t}.}$

Это соотношение можно обратить, дав

${\displaystyle a_{n+k}=a_{n}+{k \choose 1}\Delta a_{n}+\cdots +{k \choose k}\Delta ^{k}(a_{n}).}$

АРазностное уравнение порядкаk— это уравнение, которое включает в себяkпервых разностей последовательности или функции точно так же, какдифференциальное уравнениепорядкаkсвязываетkпервыхпроизводныхфункции.

Два приведенных выше соотношения позволяют преобразовать рекуррентное соотношение k-го порядка в разностное уравнение k-го порядка и, наоборот, разностное уравнение k-го порядка в рекуррентное соотношение k-го порядка . Каждое преобразование является обратным другому, и решением разностного уравнения являются именно те последовательности, которые удовлетворяют рекуррентному соотношению.

Например, разностное уравнение

${\displaystyle 3\Delta ^{2}a_{n}+2\Delta a_{n}+7a_{n}=0}$

эквивалентно рекуррентному соотношению

${\displaystyle 3a_{n+2}=4a_{n+1}-8a_{n},}$

в том смысле, что двум уравнениям удовлетворяют одни и те же последовательности.

Поскольку для последовательности эквивалентно удовлетворять рекуррентному соотношению или быть решением разностного уравнения, два термина «рекуррентное соотношение» и «разностное уравнение» иногда используются как синонимы. См. Рациональное разностное уравнение и Матричное разностное уравнение, где приведен пример использования «разностного уравнения» вместо «рекуррентного соотношения».

Разностные уравнения напоминают дифференциальные уравнения, и это сходство часто используется для имитации методов решения дифференцируемых уравнений, применяемых к решению разностных уравнений и, следовательно, рекуррентных соотношений.

Уравнения суммирования относятся к разностным уравнениям так же, как интегральные уравнения относятся к дифференциальным уравнениям. См. Исчисление шкалы времени для объединения теории разностных уравнений с теорией дифференциальных уравнений.

От последовательностей к сеткам

Рекуррентные отношения с одной переменной или одномерные рекуррентные отношения относятся к последовательностям (т.е. функциям, определенным на одномерных сетках). Многопараметрические или n-мерные рекуррентные отношения относятся к -мерным сеткам. Функции, определенные на -сетках, также можно изучать с помощью уравнений в частных производных . ^[2] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Решение

Решение линейных рекуррентных соотношений с постоянными коэффициентами

Решение неоднородных рекуррентных соотношений первого порядка с переменными коэффициентами

Более того, для общего неоднородного линейного рекуррентного соотношения первого порядка с переменными коэффициентами:

${\displaystyle a_{n+1}=f_{n}a_{n}+g_{n},\qquad f_{n}\neq 0,}$

есть также хороший способ решить эту проблему: ^[3]

${\displaystyle a_{n+1}-f_{n}a_{n}=g_{n}}$

${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{\prod _{k=0}^{n}f_{k}}}-{\frac {f_{n}a_{n}}{\prod _{k=0}^{n}f_{k}}}={\frac {g_{n}}{\prod _{k=0}^{n}f_{k}}}}$

${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{\prod _{k=0}^{n}f_{k}}}-{\frac {a_{n}}{\prod _{k=0}^{n-1}f_{k}}}={\frac {g_{n}}{\prod _{k=0}^{n}f_{k}}}}$

Позволять

${\displaystyle A_{n}={\frac {a_{n}}{\prod _{k=0}^{n-1}f_{k}}},}$

Затем

${\displaystyle A_{n+1}-A_{n}={\frac {g_{n}}{\prod _{k=0}^{n}f_{k}}}}$

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n-1}(A_{m+1}-A_{m})=A_{n}-A_{0}=\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {g_{m}}{\prod _{k=0}^{m}f_{k}}}}$

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{\prod _{k=0}^{n-1}f_{k}}}=A_{0}+\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {g_{m}}{\prod _{k=0}^{m}f_{k}}}}$

${\displaystyle a_{n}=\left(\prod _{k=0}^{n-1}f_{k}\right)\left(A_{0}+\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {g_{m}}{\prod _{k=0}^{m}f_{k}}}\right)}$

Если применить формулу к и взять предел , мы получим формулу для линейных дифференциальных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами; сумма становится интегралом, а произведение становится показательной функцией интеграла. ${\displaystyle a_{n+1}=(1+hf_{nh})a_{n}+hg_{nh}}$ ${\displaystyle h\to 0}$

Решение общих однородных линейных рекуррентных соотношений

Многие однородные линейные рекуррентные соотношения могут быть решены с помощью обобщенных гипергеометрических рядов . Особые случаи из них приводят к рекуррентным соотношениям для ортогональных многочленов и многим специальным функциям . Например, решение

${\displaystyle J_{n+1}={\frac {2n}{z}}J_{n}-J_{n-1}}$

дан кем-то

${\displaystyle J_{n}=J_{n}(z),}$

функция Бесселя , в то время как

${\displaystyle (b-n)M_{n-1}+(2n-b+z)M_{n}-nM_{n+1}=0}$

решается

${\displaystyle M_{n}=M(n,b;z)}$

сливающийся гипергеометрический ряд . Последовательности, являющиеся решениями линейных разностных уравнений с полиномиальными коэффициентами, называются P-рекурсивными . Для этих конкретных рекуррентных уравнений известны алгоритмы, которые находят полиномиальные , рациональные или гипергеометрические решения.

Решение рациональных разностных уравнений первого порядка

Рационально-разностное уравнение первого порядка имеет вид . Такое уравнение можно решить, записав его как нелинейное преобразование другой переменной, которая сама развивается линейно. Тогда стандартными методами можно решить линейно-разностное уравнение в . ${\displaystyle w_{t+1}={\tfrac {aw_{t}+b}{cw_{t}+d}}}$ ${\displaystyle w_{t}}$ ${\displaystyle x_{t}}$ ${\displaystyle x_{t}}$

Стабильность

Стабильность линейных рекурсий высшего порядка

Линейная рекуррентность порядка , ${\displaystyle d}$

${\displaystyle a_{n}=c_{1}a_{n-1}+c_{2}a_{n-2}+\cdots +c_{d}a_{n-d},}$

имеет характеристическое уравнение

${\displaystyle \lambda ^{d}-c_{1}\lambda ^{d-1}-c_{2}\lambda ^{d-2}-\cdots -c_{d}\lambda ^{0}=0.}$

Рекуррентность стабильна , что означает, что итерации асимптотически сходятся к фиксированному значению тогда и только тогда, когда все собственные значения (т. е. корни характеристического уравнения), действительные или комплексные, меньше единицы по абсолютной величине.

Устойчивость линейных матричных рекуррент первого порядка

В матричном разностном уравнении первого порядка

${\displaystyle [x_{t}-x^{*}]=A[x_{t-1}-x^{*}]}$

с вектором состояния и матрицей перехода асимптотически сходится к вектору установившегося состояния тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы перехода (действительные или комплексные) имеют абсолютное значение меньше 1. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{*}}$ ${\displaystyle A}$

Устойчивость нелинейных рекуррентов первого порядка.

Рассмотрим нелинейную рекуррентность первого порядка

${\displaystyle x_{n}=f(x_{n-1}).}$

Эта рекуррентность локально устойчива , что означает, что она сходится к фиксированной точке из точек, достаточно близких к , если наклон в окрестности меньше единицы по абсолютной величине: то есть, ${\displaystyle x^{*}}$ ${\displaystyle x^{*}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x^{*}}$

${\displaystyle |f'(x^{*})|<1.}$

Нелинейная рекуррентность может иметь несколько фиксированных точек, и в этом случае некоторые фиксированные точки могут быть локально стабильными, а другие локально нестабильными; для непрерывного f две соседние неподвижные точки не могут быть одновременно локально устойчивыми.

Нелинейное рекуррентное соотношение может также иметь цикл периода для . Такой цикл устойчив, то есть он привлекает набор начальных условий положительной меры, если сложная функция ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k>1}$

${\displaystyle g(x):=f\circ f\circ \cdots \circ f(x)}$

с появляющимися временами локально устойчива по тому же критерию: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle |g'(x^{*})|<1,}$

где находится любая точка цикла. ${\displaystyle x^{*}}$

В хаотическом рекуррентном отношении переменная остается в ограниченной области, но никогда не сходится к фиксированной точке или притягивающему циклу; любые неподвижные точки или циклы уравнения неустойчивы. См. также логистическую карту , диадическую трансформацию и карту палаток . ${\displaystyle x}$

Связь с дифференциальными уравнениями

При численном решении обыкновенного дифференциального уравнения обычно приходится сталкиваться с рекуррентным соотношением. Например, при решении задачи начального значения

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\ \ y(t_{0})=y_{0},}$

с помощью метода Эйлера и размера шага вычисляются значения ${\displaystyle h}$

${\displaystyle y_{0}=y(t_{0}),\ \ y_{1}=y(t_{0}+h),\ \ y_{2}=y(t_{0}+2h),\ \dots }$

из-за повторения

${\displaystyle \,y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}),t_{n}=t_{0}+nh}$

Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка можно дискретизировать точно аналитически, используя методы, показанные в статье о дискретизации .

Приложения

Математическая биология

Некоторые из наиболее известных разностных уравнений возникли в результате попытки смоделировать динамику населения . Например, числа Фибоначчи когда-то использовались в качестве модели роста популяции кроликов.

Логистическая карта используется либо непосредственно для моделирования роста населения, либо в качестве отправной точки для более детальных моделей динамики населения. В этом контексте связанные разностные уравнения часто используются для моделирования взаимодействия двух или более популяций . Например, модель Николсона-Бейли для взаимодействия хозяина и паразита имеет вид

${\displaystyle N_{t+1}=\lambda N_{t}e^{-aP_{t}}}$

${\displaystyle P_{t+1}=N_{t}(1-e^{-aP_{t}}),}$

с представлением хозяев и паразитов одновременно . ${\displaystyle N_{t}}$ ${\displaystyle P_{t}}$ ${\displaystyle t}$

Интегроразностные уравнения представляют собой форму рекуррентного соотношения, важную для пространственной экологии . Эти и другие разностные уравнения особенно подходят для моделирования унивольтинных популяций.

Информатика

Рекуррентные соотношения также имеют фундаментальное значение при анализе алгоритмов . ^{[4] [5]} Если алгоритм спроектирован так, что он разбивает проблему на более мелкие подзадачи ( «разделяй и властвуй »), время его работы описывается рекуррентным соотношением.

Простой пример — время, необходимое алгоритму для поиска элемента в упорядоченном векторе с элементами, в худшем случае. ${\displaystyle n}$

Наивный алгоритм будет искать слева направо, по одному элементу за раз. Наихудший возможный сценарий — когда требуемый элемент является последним, поэтому количество сравнений равно . ${\displaystyle n}$

Лучший алгоритм называется двоичным поиском . Однако для этого требуется отсортированный вектор. Сначала он проверит, находится ли элемент в середине вектора. Если нет, то он проверит, больше или меньше средний элемент искомого элемента. На этом этапе половину вектора можно отбросить и снова запустить алгоритм на другой половине. Количество сравнений будет определяться выражением

${\displaystyle c_{1}=1}$

${\displaystyle c_{n}=1+c_{n/2}}$

временная сложность которого будет . ${\displaystyle O(\log _{2}(n))}$

Цифровая обработка сигналов

В цифровой обработке сигналов рекуррентные отношения могут моделировать обратную связь в системе, где выходные данные в один момент времени становятся входными данными для будущего времени. Таким образом, они возникают в цифровых фильтрах с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ) .

Например, уравнение для гребенчатого БИХ- фильтра задержки с «прямой связью» : ${\displaystyle T}$

${\displaystyle y_{t}=(1-\alpha )x_{t}+\alpha y_{t-T},}$

где вход в time , выход в time и контролирует, какая часть задержанного сигнала возвращается обратно на выход. Из этого мы можем видеть, что ${\displaystyle x_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle y_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle y_{t}=(1-\alpha )x_{t}+\alpha ((1-\alpha )x_{t-T}+\alpha y_{t-2T})}$

${\displaystyle y_{t}=(1-\alpha )x_{t}+(\alpha -\alpha ^{2})x_{t-T}+\alpha ^{2}y_{t-2T}}$

и т. д.

Экономика

Рекуррентные соотношения, особенно линейные рекуррентные соотношения, широко используются как в теоретической, так и в эмпирической экономике. ^{[6] [7]} В частности, в макроэкономике можно разработать модель различных широких секторов экономики (финансовый сектор, товарный сектор, рынок труда и т. д.), в которой действия некоторых агентов зависят от запаздывающих переменных. Затем модель будет решена для текущих значений ключевых переменных ( процентная ставка , реальный ВВП и т. д.) с точки зрения прошлых и текущих значений других переменных.

Смотрите также

• Голономные последовательности
• Итерированная функция
• Ортогональные полиномы
• Рекурсия
• Рекурсия (информатика)
• Генератор Фибоначчи с запаздыванием
• Основная теорема (анализ алгоритмов)
• Доказательство сегментов точек круга
• Непрерывная дробь
• Расчет шкалы времени
• Комбинаторные принципы
• Бесконечная импульсная характеристика
• Интегрирование по формулам приведения
• Математическая индукция

Рекомендации

Сноски

1. Джейкобсон, Натан, Основная алгебра 2 (2-е изд.), § 0.4. стр 16.
2. Уравнения в частных разностях, Суй Сунь Ченг, CRC Press, 2003, ISBN  978-0-415-29884-1
3. «Архивная копия» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 5 июля 2010 г. Проверено 19 октября 2010 г.{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
4. Кормен Т. и др., Введение в алгоритмы , MIT Press, 2009 г.
5. Р. Седжвик, Ф. Флажоле, Введение в анализ алгоритмов , Аддисон-Уэсли, 2013 г.
6. Стоки, Нэнси Л .; Лукас, Роберт Э. младший ; Прескотт, Эдвард К. (1989). Рекурсивные методы в экономической динамике. Кембридж: Издательство Гарвардского университета. ISBN 0-674-75096-9.
7. Юнгквист, Ларс ; Сарджент, Томас Дж. (2004). Рекурсивная макроэкономическая теория (второе изд.). Кембридж: MIT Press. ISBN 0-262-12274-Х.

Библиография

• Батчелдер, Пол М. (1967). Введение в линейные разностные уравнения . Дуврские публикации.
• Миллер, Кеннет С. (1968). Линейные разностные уравнения . В. А. Бенджамин.
• Филлмор, Джей П.; Маркс, Моррис Л. (1968). «Линейно-рекурсивные последовательности». СИАМ преп . Том. 10, нет. 3. С. 324–353. JSTOR  2027658.
• Бруссо, Альфред (1971). Линейная рекурсия и последовательности Фибоначчи. Ассоциация Фибоначчи.
• Томас Х. Кормен , Чарльз Э. Лейзерсон , Рональд Л. Ривест и Клиффорд Стейн . Введение в алгоритмы , второе издание. MIT Press и McGraw-Hill, 1990. ISBN 0-262-03293-7 . Глава 4: Рецидивы, стр. 62–90. 
• Грэм, Рональд Л.; Кнут, Дональд Э.; Паташник, Орен (1994). Конкретная математика: Фонд информатики (2-е изд.). Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-55802-5.
• Эндерс, Уолтер (2010). Прикладной эконометрический временной ряд (3-е изд.). Архивировано из оригинала 10 ноября 2014 г.
• Калл, Пол; Флахайв, Мэри ; Робсон, Робби (2005). Разностные уравнения: от кроликов к хаосу . Спрингер. ISBN 0-387-23234-6.глава 7.
• Жак, Ян (2006). Математика для экономики и бизнеса (Пятое изд.). Прентис Холл. стр. 551–568. ISBN 0-273-70195-9.Глава 9.1: Разностные уравнения.
• Минь, Тан; Ван То, Тан (2006). «Использование производящих функций для решения линейных неоднородных рекуррентных уравнений» (PDF) . Учеб. Межд. Конф. Моделирование, моделирование и оптимизация, СМО'06 . стр. 399–404. Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г. Проверено 7 августа 2014 г.
• Полянин Андрей Дмитриевич «Разностные и функциональные уравнения: точные решения».в EqWorld - Мир математических уравнений.
• Полянин Андрей Дмитриевич «Разностные и функциональные уравнения: методы».в EqWorld - Мир математических уравнений.
• Ван, Сян-Шэн; Вонг, Родерик (2012). «Асимптотика ортогональных многочленов посредством рекуррентных соотношений». Анальный. Приложение . 10 (2): 215–235. arXiv : 1101.4371 . дои : 10.1142/S0219530512500108. S2CID  28828175.

Внешние ссылки

• «Рекуррентное соотношение», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Рекуррентное уравнение». Математический мир .
• «Индекс OEIS Rec». Индекс OEIS для нескольких тысяч примеров линейных повторений, отсортированных по порядку (количеству терминов) и сигнатуре (вектору значений постоянных коэффициентов)