В математике термин «линейная функция» относится к двум различным, но связанным понятиям: [1]
В исчислении, аналитической геометрии и смежных областях линейная функция представляет собой полином первой или меньшей степени, включая нулевой полином (последний не считается имеющим нулевую степень).
Когда функция имеет только одну переменную , она имеет вид
где a и b — константы , часто действительные числа . График такой функции одной переменной представляет собой невертикальную линию . a часто называют наклоном линии, а b - точкой пересечения.
Если a > 0 , то градиент положительный и график имеет наклон вверх.
Если a < 0 , то градиент отрицательный и график имеет наклон вниз.
Для функции любого конечного числа переменных общая формула имеет вид
и график является гиперплоскостью размерности k .
Постоянная функция также считается линейной в этом контексте, поскольку она представляет собой полином нулевой степени или нулевой полином. Его график при наличии только одной переменной представляет собой горизонтальную линию.
В этом контексте функция, которая также является линейной картой (другое значение), может называться однородной линейной функцией или линейной формой . В контексте линейной алгебры полиномиальные функции степени 0 или 1 представляют собой скалярнозначные аффинные отображения .
В линейной алгебре линейная функция — это отображение f между двумя векторными пространствами st
Здесь a обозначает константу, принадлежащую некоторому полю K скаляров ( например , действительных чисел ), а x и y — элементы векторного пространства , которым может быть само K.
Другими словами, линейная функция сохраняет сложение векторов и скалярное умножение .
Некоторые авторы используют «линейную функцию» только для линейных карт, которые принимают значения в скалярном поле; [6] их чаще называют линейными формами .
«Линейные функции» исчисления квалифицируются как «линейные карты», когда (и только когда) f (0, ..., 0) = 0 или, что то же самое, когда константа b равна нулю в приведенном выше многочлене одной степени. Геометрически график функции должен проходить через начало координат.
