Алгебраическая дробь

Вид математического выражения

В алгебре алгебраическая дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими выражениями . Два примера алгебраических дробей — и . Алгебраические дроби подчиняются тем же законам, что и арифметические дроби . ${\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}}$ ${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}}$

Рациональная дробь — это алгебраическая дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами . Таким образом , является рациональной дробью, но не потому, что числитель содержит функцию квадратного корня. ${\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}}$ ${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}},}$

Терминология

В алгебраической дроби делимое a называется числителем , а делитель b называется знаменателем . Числитель и знаменатель называются членами алгебраической дроби. ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$

Сложная дробь — это дробь, числитель или знаменатель которой, или оба, содержат дробь. Простая дробь не содержит дроби ни в числителе, ни в знаменателе. Дробь находится в наименьшем члене , если единственный множитель, общий для числителя и знаменателя, равен 1.

Выражение, которое не находится в дробной форме, является целочисленным выражением . Целочисленное выражение всегда можно записать в дробной форме, присвоив ему знаменатель 1. Смешанное выражение является алгебраической суммой одного или нескольких целочисленных выражений и одного или нескольких дробных членов.

Рациональные дроби

Если выражения a и b являются многочленами , то алгебраическая дробь называется рациональной алгебраической дробью ^[1] или просто рациональной дробью . ^{[2] [3]} Рациональные дроби также известны как рациональные выражения. Рациональная дробь называется правильной, если , и неправильной в противном случае. Например, рациональная дробь является правильной, а рациональные дроби и являются неправильными. Любая неправильная рациональная дробь может быть выражена как сумма многочлена (возможно, константы) и правильной рациональной дроби. В первом примере неправильной дроби имеем ${\displaystyle {\tfrac {f(x)}{g(x)}}}$ ${\displaystyle \deg f(x)<\deg g(x)}$ ${\displaystyle {\tfrac {2x}{x^{2}-1}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}-x+1}{5x^{2}+3}}}$

${\displaystyle {\frac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}=(x+6)+{\frac {24x-35}{x^{2}-5x+6}},}$

где второй член — правильная рациональная дробь. Сумма двух правильных рациональных дробей также является правильной рациональной дробью. Обратный процесс выражения правильной рациональной дроби в виде суммы двух или более дробей называется разложением ее на простейшие дроби . Например,

${\displaystyle {\frac {2x}{x^{2}-1}}={\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x+1}}.}$

Здесь два члена справа называются простейшими дробями.

Иррациональные дроби

Иррациональная дробь — это дробь, которая содержит переменную под дробным показателем степени. ^[4] Примером иррациональной дроби является

${\displaystyle {\frac {x^{1/2}-{\tfrac {1}{3}}a}{x^{1/3}-x^{1/2}}}.}$

Процесс преобразования иррациональной дроби в рациональную дробь известен как рационализация . Каждая иррациональная дробь, в которой радикалы являются одночленами, может быть рационализирована путем нахождения наименьшего общего кратного индексов корней и замены переменной на другую переменную с наименьшим общим кратным в качестве показателя степени. В приведенном примере наименьшим общим кратным является 6, поэтому мы можем подставить, чтобы получить ${\displaystyle x=z^{6}}$

${\displaystyle {\frac {z^{3}-{\tfrac {1}{3}}a}{z^{2}-z^{3}}}.}$

Смотрите также

• Разложение дробной части

Ссылки

1. Лал, Банси (2006). Темы интегрального исчисления. Laxmi Publications. стр. 53. ISBN 9788131800027.
2. Винберг, Эрнест Борисович (2003). Курс алгебры. Американское математическое общество. стр. 131. ISBN 9780821883945.
3. Гупта, Пармананд. Всеобъемлющая математика XII. Laxmi Publications. стр. 739. ISBN 9788170087410.
4. Маккартни, Вашингтон (1844). Принципы дифференциального и интегрального исчисления и их применение в геометрии. стр. 203.

• Бринк, Рэймонд В. (1951). "IV. Дроби". Колледжская алгебра .