Теорема о модульности

Связывает рациональные эллиптические кривые с модулярными формами

Теорема о модулярности (ранее называвшаяся гипотезой Таниямы–Шимуры , гипотезой Таниямы–Шимуры–Вейля или гипотезой о модулярности для эллиптических кривых ) утверждает, что эллиптические кривые над полем рациональных чисел связаны с модулярными формами определенным образом. Эндрю Уайлс и Ричард Тейлор доказали теорему о модулярности для полустабильных эллиптических кривых , что было достаточно для выведения Великой теоремы Ферма . Позднее серия статей бывших студентов Уайлса Брайана Конрада , Фреда Даймонда и Ричарда Тейлора, завершившаяся совместной статьей с Кристофом Брейлем , расширила методы Уайлса, чтобы доказать полную теорему о модулярности в 2001 году.

Заявление

Теорема утверждает , что любая эллиптическая кривая над может быть получена с помощью рационального отображения с целыми коэффициентами из классической модулярной кривой X ₀ ( N ) для некоторого целого числа N ; это кривая с целыми коэффициентами с явным определением. Это отображение называется модулярной параметризацией уровня N . Если N — наименьшее целое число, для которого может быть найдена такая параметризация (которое по самой теореме о модулярности теперь известно как число, называемое проводником ), то параметризация может быть определена в терминах отображения, сгенерированного определенным видом модулярной формы веса два и уровня N , нормализованной новой формой с целым q -расширением, за которым при необходимости следует изогения . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Связанные заявления

Теорема модульности подразумевает тесно связанное аналитическое утверждение:

Каждой эллиптической кривой E над мы можем приписать соответствующую L -серию . L -серия является рядом Дирихле , обычно записываемым ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle L(E,s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.}$

Производящая функция коэффициентов a n _тогда равна

${\displaystyle f(E,q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}q^{n}.}$

Если мы сделаем замену

${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$

мы видим, что мы записали разложение Фурье функции f ( E , τ ) комплексной переменной τ , поэтому коэффициенты ряда q также рассматриваются как коэффициенты Фурье функции f . Полученная таким образом функция, что примечательно, является формой параболы веса два и уровня N , а также собственной формой (собственным вектором всех операторов Гекке ); это гипотеза Хассе–Вейля , которая следует из теоремы о модулярности.

Некоторые модулярные формы веса два, в свою очередь, соответствуют голоморфным дифференциалам для эллиптической кривой. Якобиан модулярной кривой может (с точностью до изогении) быть записан как произведение неприводимых абелевых многообразий , соответствующих собственным формам Гекке веса 2. Одномерные факторы являются эллиптическими кривыми (могут быть и более многомерные факторы, поэтому не все собственные формы Гекке соответствуют рациональным эллиптическим кривым). Кривая, полученная путем нахождения соответствующей формы возврата и последующего построения из нее кривой, изогенна исходной кривой (но, в общем случае, не изоморфна ей).

История

Ютака Танияма ^[1] высказал предварительную (слегка неверную) версию гипотезы на международном симпозиуме по алгебраической теории чисел в Токио и Никко в 1955 году . Горо Шимура и Танияма работали над улучшением ее строгости до 1957 года. Андре Вейль ^[2] переоткрыл гипотезу и показал в 1967 году, что она будет следовать из (предполагаемых) функциональных уравнений для некоторых скрученных L -рядов эллиптической кривой; это было первым серьезным доказательством того, что гипотеза может быть верной. Вейль также показал, что проводником эллиптической кривой должен быть уровень соответствующей модулярной формы. Гипотеза Таниямы–Шимуры–Вейля стала частью программы Ленглендса . ^{[3] [4]}

Гипотеза привлекла значительный интерес, когда Герхард Фрей ^[5] предположил в 1986 году, что она подразумевает Великую теорему Ферма . Он сделал это, попытавшись показать, что любой контрпример к Великой теореме Ферма будет подразумевать существование по крайней мере одной немодулярной эллиптической кривой. Этот аргумент был завершен в 1987 году, когда Жан-Пьер Серр ^[6] выявил недостающее звено (теперь известное как гипотеза эпсилон или теорема Рибета) в оригинальной работе Фрея, за которым последовало завершение доказательства гипотезы эпсилон Кеном Рибетом два года спустя. ^[7]

Даже после того, как гипотеза Таниямы–Шимуры–Вейля привлекла к себе серьезное внимание, современные математики считали ее чрезвычайно сложной для доказательства или, возможно, даже недоступной для доказательства. ^[8] Например, научный руководитель Уайлса Джон Коутс утверждает, что ее «фактически невозможно доказать», а Кен Рибет считал себя «одним из подавляющего большинства людей, которые считали [ее] совершенно недоступной».

В 1995 году Эндрю Уайлс с некоторой помощью Ричарда Тейлора доказал гипотезу Таниямы–Шимуры–Вейля для всех полустабильных эллиптических кривых . Уайлс использовал это для доказательства Великой теоремы Ферма, ^[9] а полная гипотеза Таниямы–Шимуры–Вейля была окончательно доказана Даймондом, ^[10] Конрадом, Даймондом и Тейлором; и Брейлем, Конрадом, Даймондом и Тейлором; основываясь на работе Уайлса, они постепенно откалывали оставшиеся случаи, пока полный результат не был доказан в 1999 году. ^{[11] [12]} После полного доказательства гипотеза стала известна как теорема о модулярности.

Несколько теорем в теории чисел, подобных Великой теореме Ферма, следуют из теоремы о модулярности. Например: никакой куб не может быть записан в виде суммы двух взаимно простых n -х степеней, n ≥ 3 . ^[a]

Обобщения

Теорема о модулярности является частным случаем более общих гипотез Роберта Ленглендса . Программа Ленглендса стремится прикрепить автоморфную форму или автоморфное представление (подходящее обобщение модулярной формы) к более общим объектам арифметической алгебраической геометрии, таким как каждая эллиптическая кривая над числовым полем . Большинство случаев этих расширенных гипотез еще не доказаны.

В 2013 году Фрейтас, Ле Хунг и Сиксек доказали, что эллиптические кривые, определенные над действительными квадратичными полями, являются модулярными. ^[13]

Пример

Например, ^{[14] [15] [16]} эллиптическая кривая y ² − y = x ³ − x с дискриминантом (и проводником) 37 связана с формой

${\displaystyle f(z)=q-2q^{2}-3q^{3}+2q^{4}-2q^{5}+6q^{6}+\cdots ,\qquad q=e^{2\pi iz}}$

Для простых чисел l, не равных 37, можно проверить свойство коэффициентов. Так, для l = 3 существует 6 решений уравнения по модулю 3: (0, 0) , (0, 1) , (1, 0) , (1, 1) , (2, 0) , (2, 1) ; таким образом, a (3) = 3 − 6 = −3 .

Гипотеза, выдвинутая ещё в 1950-х годах, была полностью доказана к 1999 году с использованием идей Эндрю Уайлса , который доказал её в 1994 году для большого семейства эллиптических кривых. ^[17]

Существует несколько формулировок этой гипотезы. Показать, что они эквивалентны, было главной задачей теории чисел во второй половине 20-го века. Модулярность эллиптической кривой E проводника N можно также выразить, сказав, что существует непостоянное рациональное отображение, определенное над ℚ , из модулярной кривой X ₀ ( N ) в E . В частности, точки E можно параметризовать модулярными функциями .

Например, модульная параметризация кривой y ² − y = x ³ − x задается формулой ^[18]

${\displaystyle {\begin{aligned}x(z)&=q^{-2}+2q^{-1}+5+9q+18q^{2}+29q^{3}+51q^{4}+\cdots \\y(z)&=q^{-3}+3q^{-2}+9q^{-1}+21+46q+92q^{2}+180q^{3}+\cdots \end{aligned}}}$

где, как и выше, q = e ^{2 πiz} . Функции x ( z ) и y ( z ) являются модулярными с весом 0 и уровнем 37; другими словами, они мероморфны , определены на верхней полуплоскости Im( z ) > 0 и удовлетворяют

${\displaystyle x\!\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=x(z)}$

и аналогично для y ( z ) , для всех целых чисел a , b , c , d с ad − bc = 1 и 37 | c .

Другая формулировка зависит от сравнения представлений Галуа, прикрепленных с одной стороны к эллиптическим кривым, а с другой стороны к модулярным формам. Последняя формулировка использовалась в доказательстве гипотезы. Работа с уровнем форм (и связью с проводником кривой) особенно деликатна.

Наиболее впечатляющим применением этой гипотезы является доказательство Великой теоремы Ферма (ВТФ). Предположим, что для простого числа p ≥ 5 уравнение Ферма

${\displaystyle a^{p}+b^{p}=c^{p}}$

имеет решение с ненулевыми целыми числами, следовательно, контрпример к FLT. Тогда, как первым заметил Ив Хеллегуар  [fr] , ^[19] эллиптическая кривая

${\displaystyle y^{2}=x(x-a^{p})(x+b^{p})}$

дискриминанта

${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{256}}(abc)^{2p}}$

не может быть модульным. ^[7] Таким образом, доказательство гипотезы Таниямы–Шимуры–Вейля для этого семейства эллиптических кривых (называемых кривыми Хеллегуарха–Фрея) подразумевает FLT. Доказательство связи между этими двумя утверждениями, основанное на идее Герхарда Фрея (1985), является сложным и техничным. Оно было установлено Кеннетом Рибетом в 1987 году. ^[20]

Примечания

1. Случай n = 3 был известен еще Эйлеру .

Ссылки

1. Танияма 1956.
2. Вайль 1967.
3. Харрис, Майкл (2020). «Добродетели приоритета». arXiv : 2003.08242 [math.HO].
4. Ланг, Серж (ноябрь 1995 г.). «Некоторая история гипотезы Шимуры-Таниямы» (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 42 (11): 1301–1307 . Получено 08.11.2022 .
5. Фрей 1986.
6. Серр 1987.
7. Рибет 1990.
8. Сингх 1997, стр. 203–205, 223, 226.
9. Уайлс 1995a; Уайлс 1995b.
10. Даймонд 1996.
11. Конрад, Даймонд и Тейлор 1999.
12. Брейль и др. 2001.
13. Фрейтас, Ле Хунг и Сиксек 2015.
14. Для расчетов см., например, Zagier 1985, стр. 225–248.
15. LMFDB: http://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/37/a/1
16. OEIS: https://oeis.org/A007653
17. Синтетическое представление (на французском языке) основных идей можно найти в этой статье Бурбаки Жан-Пьера Серра . Более подробную информацию см. в Hellegouarch 2001
18. Загер, Д. (1985). «Модульные точки, модульные кривые, модульные поверхности и модульные формы». Арбайтстагунг Бонн, 1984 год . Конспект лекций по математике. Том. 1111. Спрингер. стр. 225–248. дои : 10.1007/BFb0084592. ISBN 978-3-540-39298-9.
19. Хеллегуарх, Ив (1974). «Points d'Ordre 2ph sur les Courbes elliptiques» (PDF) . Акта Арифметика . 26 (3): 253–263. дои : 10.4064/aa-26-3-253-263 . ISSN  0065-1036. МР  0379507.
20. См. обзор Рибета, К. (1990b). «От гипотезы Таниямы–Шимуры до Последней теоремы Ферма». Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse . 11 : 116–139. doi : 10.5802/afst.698 .

Библиография

• Брейль, Кристоф; Конрад, Брайан; Даймонд, Фред; Тейлор, Ричард (2001), «О модулярности эллиптических кривых над Q : дикие 3-адические упражнения», Журнал Американского математического общества , 14 (4): 843–939, doi : 10.1090/S0894-0347-01-00370-8 , ISSN  0894-0347, MR  1839918
• Конрад, Брайан; Даймонд, Фред; Тейлор, Ричард (1999), «Модулярность некоторых потенциально Барсотти–Тейта Галуа представлений», Журнал Американского математического общества , 12 (2): 521–567, doi : 10.1090/S0894-0347-99-00287-8 , ISSN  0894-0347, MR  1639612
• Корнелл, Гэри; Сильверман, Джозеф Х.; Стивенс, Гленн, ред. (1997), Модулярные формы и последняя теорема Ферма, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94609-2, г-н  1638473
• Дармон, Анри (1999), «Объявлено доказательство полной гипотезы Шимуры–Таниямы–Вейля» (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 46 (11): 1397–1401, ISSN  0002-9920, MR  1723249Содержит краткое введение в теорему и схему доказательства.
• Даймонд, Фред (1996), «О кольцах деформации и кольцах Гекке», Annals of Mathematics , вторая серия, 144 (1): 137–166, doi :10.2307/2118586, ISSN  0003-486X, JSTOR  2118586, MR  1405946
• Фрейтас, Нуно; Ле Хунг, Бао В.; Сиксек, Самир (2015), «Эллиптические кривые над действительными квадратичными полями являются модулярными», Inventiones Mathematicae , 201 (1): 159–206, arXiv : 1310.7088 , Bibcode : 2015InMat.201..159F, doi : 10.1007/s00222-014-0550-z, ISSN  0020-9910, MR  3359051, S2CID  119132800
• Фрей, Герхард (1986), "Связи между устойчивыми эллиптическими кривыми и некоторыми диофантовыми уравнениями", Annales Universitatis Saraviensis. Серия Mathematicae , 1 (1): iv+40, ISSN  0933-8268, MR  0853387
• Мазур, Барри (1991), «Теория чисел как овод», The American Mathematical Monthly , 98 (7): 593–610, doi :10.2307/2324924, ISSN  0002-9890, JSTOR  2324924, MR  1121312Обсуждается гипотеза Таниямы–Шимуры–Вейля за 3 года до того, как она была доказана для бесконечного числа случаев.
• Рибет, Кеннет А. (1990), «О модулярных представлениях Gal( Q / Q ), возникающих из модулярных форм», Inventiones Mathematicae , 100 (2): 431–476, Bibcode : 1990InMat.100..431R, doi : 10.1007/BF01231195, hdl : 10338.dmlcz/147454 , ISSN  0020-9910, MR  1047143, S2CID  120614740
• Серр, Жан-Пьер (1987), «Sur les representation modulaires de degree 2 de Gal ( Q / Q)», Duke Mathematical Journal , 54 (1): 179–230, doi : 10.1215/S0012-7094-87-05413 -5, ISSN  0012-7094, МР  0885783
• Шимура, Горо (1989), «Ютака Танияма и его время. Очень личные воспоминания», Бюллетень Лондонского математического общества , 21 (2): 186–196, doi : 10.1112/blms/21.2.186 , ISSN  0024-6093, MR  0976064
• Сингх, Саймон (1997), Последняя теорема Ферма , Четвертое сословие, ISBN 978-1-85702-521-7
• Танияма, Ютака (1956), «Задача 12», Сугаку (на японском языке), 7 : 269Перевод на английский язык в (Шимура 1989, стр. 194)
• Тейлор, Ричард; Уайлс, Эндрю (1995), «Кольцевые теоретико-свойства некоторых алгебр Гекке», Annals of Mathematics , вторая серия, 141 (3): 553–572, CiteSeerX  10.1.1.128.531 , doi :10.2307/2118560, ISSN  0003-486X, JSTOR  2118560, MR  1333036
• Вейль, Андре (1967), «Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen», Mathematische Annalen , 168 : 149–156, doi : 10.1007/BF01361551, ISSN  0025-5831, MR  0207658, S2CID  12055372 3
• Уайлс, Эндрю (1995a), «Модулярные эллиптические кривые и последняя теорема Ферма», Annals of Mathematics , вторая серия, 141 (3): 443–551, CiteSeerX  10.1.1.169.9076 , doi :10.2307/2118559, ISSN  0003-486X, JSTOR  2118559, MR  1333035
• Уайлс, Эндрю (1995b), «Модулярные формы, эллиптические кривые и последняя теорема Ферма», Труды Международного конгресса математиков, т. 1, 2 (Цюрих, 1994) , Базель, Бостон, Берлин: Birkhäuser, стр. 243–245, MR  1403925

Внешние ссылки

• Дармон, Х. (2001) [1994], «Гипотеза Шимуры–Таниямы», Энциклопедия математики , EMS Press
• Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Таниямы–Шимуры». MathWorld .