йорданова алгебра

Not-necessarily-associative commutative algebra satisfying (𝑥𝑦)𝑥²=𝑥(𝑦𝑥²)

В абстрактной алгебре йорданова алгебра — это неассоциативная алгебра над полем , умножение которой удовлетворяет следующим аксиомам:

1. ${\displaystyle xy=yx}$( коммутативный закон)
2. ${\displaystyle (xy)(xx)=x(y(xx))}$(идентичность Джордана ).

Произведение двух элементов x и y в йордановой алгебре также обозначается x ∘ y , в частности, чтобы избежать путаницы с произведением родственной ассоциативной алгебры .

Аксиомы подразумевают ^[1] , что йорданова алгебра является ассоциативной по мощности , то есть это не зависит от того, как мы заключаем это выражение в скобки. Они также подразумевают ^[1] , что для всех положительных целых чисел m и n . Таким образом, мы можем эквивалентно определить йорданову алгебру как коммутативную, ассоциативную по мощности алгебру, такую, что для любого элемента все операции умножения на степени коммутируют. ${\displaystyle x^{n}=x\cdots x}$ ${\displaystyle x^{m}(x^{n}y)=x^{n}(x^{m}y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{n}}$

Йордановы алгебры были введены Паскуалем Йорданом  (1933) в попытке формализовать понятие алгебры наблюдаемых в квантовой электродинамике . Вскоре было показано, что алгебры бесполезны в этом контексте, однако с тех пор они нашли множество применений в математике. ^[2] Первоначально алгебры назывались «системами r-чисел», но были переименованы в «йордановы алгебры» Авраамом Адрианом Альбертом  (1946), который начал систематическое изучение общих йордановых алгебр.

Специальные йордановы алгебры

Сначала заметим, что ассоциативная алгебра является йордановой алгеброй тогда и только тогда, когда она коммутативна.

Для любой ассоциативной алгебры A (не характеристики 2) можно построить йорданову алгебру A ⁺ с помощью того же базового сложения и нового умножения — жорданова произведения , определяемого как:

${\displaystyle x\circ y={\frac {xy+yx}{2}}.}$

Эти йордановы алгебры и их подалгебры называются специальными йордановыми алгебрами , тогда как все остальные являются исключительными йордановыми алгебрами . Эта конструкция аналогична алгебре Ли, связанной с A , произведение которой (скобка Ли) определяется коммутатором . ${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$

Теорема Ширшова -Кона утверждает, что любая йорданова алгебра с двумя образующими является специальной. ^[3] В связи с этим теорема Макдональда утверждает, что любой многочлен от трех переменных, имеющий степень один по одной из переменных и обращающийся в нуль в каждой специальной йордановой алгебре, обращается в нуль в каждой йордановой алгебре. ^[4]

Эрмитовы йордановы алгебры

Если ( A , σ ) — ассоциативная алгебра с инволюцией σ , то при σ ( x ) = x и σ ( y ) = y следует, что Таким образом, множество всех элементов, фиксируемых инволюцией (иногда называемых эрмитовыми элементами), образуют подалгебру алгебры A ⁺ , которую иногда обозначают H( A , σ ). ${\textstyle \sigma (xy+yx)=xy+yx.}$

Примеры

1. Множество самосопряженных действительных , комплексных или кватернионных матриц с умножением

${\displaystyle (xy+yx)/2}$

образуют специальную йорданову алгебру.

2. Набор самосопряженных матриц 3×3 над октонионами , снова с умножением

${\displaystyle (xy+yx)/2,}$

является 27-мерной исключительной йордановой алгеброй (исключительной она является потому, что октонионы не ассоциативны). Это был первый пример алгебры Альберта . Ее группа автоморфизмов является исключительной группой Ли F 4 . Поскольку над комплексными числами это единственная простая исключительная йорданова алгебра с точностью до изоморфизма, ^[5] ее часто называют «исключительной йордановой алгеброй». Над действительными числами существует три класса изоморфизма простых исключительных йордановых алгебр. ^[5]

Выводы и структурная алгебра

Вывод йордановой алгебры A — это эндоморфизм D алгебры A , такой что D ( xy ) = D ( x ) y + xD ( y ). Выводы образуют алгебру Ли der ( A ). Из тождества Жордана следует, что если x и y являются элементами A , то эндоморфизм, переводящий z в x ( yz ) − y ( xz ), является выводом. Таким образом, прямую сумму A и der ( A ) можно превратить в алгебру Ли, называемую структурной алгеброй A , str ( A ).

Простой пример — эрмитовы йордановы алгебры H( A , σ ). В этом случае любой элемент x из A с σ ( x )=− x определяет вывод. Во многих важных примерах структурная алгебра H( A , σ ) — это A .

Алгебры вывода и структуры также являются частью конструкции магического квадрата Фрейденталя, разработанной Титсом .

Формально действительные йордановы алгебры

Алгебра (возможно, неассоциативная) над действительными числами называется формально действительной , если она удовлетворяет свойству, что сумма n квадратов может исчезнуть, только если каждый из них исчезнет по отдельности. В 1932 году Джордан попытался аксиоматизировать квантовую теорию, заявив, что алгебра наблюдаемых любой квантовой системы должна быть формально действительной алгеброй, которая является коммутативной ( xy = yx ) и ассоциативной по степеням (ассоциативный закон выполняется для произведений, включающих только x , так что степени любого элемента x определяются однозначно). Он доказал, что любая такая алгебра является йордановой алгеброй.

Не каждая йорданова алгебра формально действительна, но Йордан, фон Нейман и Вигнер (1934) классифицировали конечномерные формально действительные йордановы алгебры, также называемые евклидовыми йордановыми алгебрами . Каждая формально действительная йорданова алгебра может быть записана как прямая сумма так называемых простых , которые сами по себе не являются прямыми суммами нетривиальным образом. В конечных измерениях простые формально действительные йордановы алгебры делятся на четыре бесконечных семейства, вместе с одним исключительным случаем:

• Йорданова алгебра самосопряженных вещественных матриц размера n × n , как указано выше.
• Йорданова алгебра самосопряженных комплексных матриц размера n × n , как указано выше.
• Йорданова алгебра самосопряженных кватернионных матриц размера n × n . как указано выше.
• Йорданова алгебра, свободно порожденная R ⁿ с соотношениями

  ${\displaystyle x^{2}=\langle x,x\rangle }$

где правая часть определяется с помощью обычного скалярного произведения на R ⁿ . Иногда это называют спин-фактором или йордановой алгеброй типа Клиффорда .

• Йорданова алгебра самосопряженных октонионных матриц 3×3, как указано выше (исключительная йорданова алгебра, называемая алгеброй Альберта ).

Из этих возможностей, пока что, по-видимому, природа использует только комплексные матрицы n × n в качестве алгебр наблюдаемых. Однако спиновые факторы играют роль в специальной теории относительности , и все формально реальные йордановы алгебры связаны с проективной геометрией .

Разложение Пирса

Если e — идемпотент в йордановой алгебре A ( e ²  =  e ), а R — операция умножения на e , то

• Р (2 Р  − 1)( Р  − 1) = 0

поэтому единственными собственными значениями R являются 0, 1/2, 1. Если йорданова алгебра A конечномерна над полем характеристики, отличной от 2, это означает, что она является прямой суммой подпространств A  =  A ₀ ( e ) ⊕  A _1/2 ( e ) ⊕  A ₁ ( e ) трех собственных пространств. Это разложение было впервые рассмотрено Йорданом, фон Нейманом и Вигнером (1934) для полностью вещественных йордановых алгебр. Позднее оно было изучено в полной общности Альбертом (1947) и названо разложением Пирса для A относительно идемпотента  e . ^[6]

Специальные виды и обобщения

Бесконечномерные йордановы алгебры

В 1979 году Ефим Зельманов классифицировал бесконечномерные простые (и простые невырожденные) йордановы алгебры. Они бывают либо эрмитового, либо клиффордова типа. В частности, единственными исключительными простыми йордановыми алгебрами являются конечномерные алгебры Альберта , имеющие размерность 27.

Алгебры операторов Йордана

Теория операторных алгебр была расширена и теперь охватывает йордановы операторные алгебры .

Аналогами C*-алгебр являются алгебры JB, которые в конечных размерностях называются евклидовыми йордановыми алгебрами . Норма на вещественной йордановой алгебре должна быть полной и удовлетворять аксиомам:

${\displaystyle \displaystyle {\|a\circ b\|\leq \|a\|\cdot \|b\|,\,\,\,\|a^{2}\|=\|a\|^{2},\,\,\,\|a^{2}\|\leq \|a^{2}+b^{2}\|.}}$

Эти аксиомы гарантируют, что йорданова алгебра формально действительна, так что если сумма квадратов членов равна нулю, эти члены должны быть равны нулю. Комплексификации йордановых алгебр называются йордановыми C*-алгебрами или JB*-алгебрами. Они широко использовались в комплексной геометрии для расширения йордановой алгебраической обработки Кёхера ограниченных симметричных областей до бесконечных измерений. Не все йордановы алгебры могут быть реализованы как йордановы алгебры самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, точно так же, как в конечных измерениях. Исключительная алгебра Альберта является общим препятствием.

Аналог йордановой алгебры алгебр фон Неймана играют алгебры JBW. Они оказываются алгебрами JB, которые, как банаховы пространства, являются дуальными пространствами банаховых пространств. Большая часть структурной теории алгебр фон Неймана может быть перенесена на алгебры JBW. В частности, факторы JBW — те, центр которых сведен к R — полностью понятны в терминах алгебр фон Неймана. За исключением исключительной алгебры Альберта , все факторы JWB могут быть реализованы как йордановы алгебры самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, замкнутом в слабой операторной топологии . Из них спиновые факторы могут быть очень просто построены из действительных гильбертовых пространств. Все другие факторы JWB являются либо самосопряженной частью фактора фон Неймана , либо его подалгеброй неподвижной точки относительно периода 2 *-антиавтоморфизма фактора фон Неймана. ^[7]

кольца Джордана

Йорданово кольцо — это обобщение йордановых алгебр, требующее только, чтобы йорданово кольцо было над общим кольцом, а не над полем. Альтернативно можно определить йорданово кольцо как коммутативное неассоциативное кольцо , которое соблюдает тождество Жордана.

Йордановы супералгебры

Йордановы супералгебры были введены Кацем, Кантором и Капланским; это -градуированные алгебры , где — йорданова алгебра и имеет «подобное Ли» произведение со значениями в . ^[8] ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle J_{0}\oplus J_{1}}$ ${\displaystyle J_{0}}$ ${\displaystyle J_{1}}$ ${\displaystyle J_{0}}$

Любая -градуированная ассоциативная алгебра становится йордановой супералгеброй относительно градуированной йордановой скобки ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle A_{0}\oplus A_{1}}$

${\displaystyle \{x_{i},y_{j}\}=x_{i}y_{j}+(-1)^{ij}y_{j}x_{i}\ .}$

Йордановы простые супералгебры над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 были классифицированы Кацем (1977). Они включают несколько семейств и некоторые исключительные алгебры, в частности и . ${\displaystyle K_{3}}$ ${\displaystyle K_{10}}$

J-структуры

Понятие J-структуры было введено Спрингером (1998) для разработки теории йордановых алгебр с использованием линейных алгебраических групп и аксиом, принимая инверсию Жордана как базовую операцию и тождество Хуа как базовое отношение. В характеристике, не равной 2, теория J-структур по сути та же самая, что и теория йордановых алгебр.

Квадратичные йордановы алгебры

Квадратичные йордановы алгебры являются обобщением (линейных) йордановых алгебр, введенных Кевином Маккриммоном (1966). Фундаментальные тождества квадратичного представления линейной йордановой алгебры используются в качестве аксиом для определения квадратичной йордановой алгебры над полем произвольной характеристики. Существует единообразное описание конечномерных простых квадратичных йордановых алгебр, независимое от характеристики: в характеристике, не равной 2, теория квадратичных йордановых алгебр сводится к теории линейных йордановых алгебр.

Смотрите также

• Алгебра Фрейденталя
• тройная система Иордана
• Пара Джордана
• Конструкция Кантора–Кёхера–Титса
• сорт Скорца

Примечания

1. Jacobson 1968, стр. 35–36, в частности замечание перед (56) и теоремой 8
2. Дан, Райан (01.01.2023). «Нацисты, эмигранты и абстрактная математика». Physics Today . 76 (1): 44–50. doi : 10.1063/PT.3.5158 .
3. Маккриммон 2004, стр. 100
4. Маккриммон 2004, стр. 99
5. Springer & Veldkamp 2000, §5.8, стр. 153
6. McCrimmon 2004, стр. 99 и последующие , 235 и последующие.
7. См.:
   • Ханхе-Ольсен и Стёрмер 1984
   • Упмайер 1985
   • Упмайер 1987
   • Фараут и Корани 1994
8. Маккриммон 2004, стр. 9–10

Ссылки

• Альберт, А. Адриан (1946), «О йордановых алгебрах линейных преобразований», Труды Американского математического общества , 59 (3): 524–555, doi : 10.1090/S0002-9947-1946-0016759-3 , ISSN  0002-9947, JSTOR  1990270, MR  0016759
• Альберт, А. Адриан (1947), «Структурная теория йордановых алгебр», Annals of Mathematics , вторая серия, 48 (3): 546–567, doi :10.2307/1969128, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969128, MR  0021546
• Baez, John C. (2002). «Октонионы, 3: проективная октонионная геометрия». Бюллетень Американского математического общества . Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2): 145–205. doi : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X . MR  1886087. S2CID  586512.. Онлайн-версия HTML.
• Фараут, Дж.; Корани, А. (1994), Анализ симметричных конусов , Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, ISBN 0198534779
• Ханче-Олсен, Х.; Стермер, Э. (1984), Жордановые операторные алгебры, Монографии и исследования по математике, том. 21, Питмэн, ISBN 0273086197
• Якобсон, Натан (2008) [1968], Структура и представления йордановых алгебр , Публикации коллоквиума Американского математического общества, т. 39, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 9780821831793, МР  0251099
• Джордан, Паскуаль (1933), «Über Verallgemeinerungsmöglichkeiten des Formalismus der Quantenmechanik», Nachr. Акад. Висс. Геттинген. Математика. Физ. кл. Я , 41 : 209–217.
• Jordan, P.; von Neumann, J .; Wigner, E. (1934), «Об алгебраическом обобщении квантово-механического формализма», Annals of Mathematics , 35 (1): 29–64, doi :10.2307/1968117, JSTOR  1968117
• Кац, Виктор Г (1977), «Классификация простых Z-градуированных супералгебр Ли и простых йордановых супералгебр», Communications in Algebra , 5 (13): 1375–1400, doi :10.1080/00927877708822224, ISSN  0092-7872, MR  0498755
• Маккриммон, Кевин (1966), «Общая теория колец Иордана», Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 56 (4): 1072–1079, Bibcode : 1966PNAS...56.1072M, doi : 10.1073/pnas.56.4.1072 , JSTOR  57792, MR  0202783, PMC  220000 , PMID  16591377, Zbl  0139.25502
• Маккриммон, Кевин (2004), Вкус йордановых алгебр, Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/b97489, ISBN 978-0-387-95447-9, MR  2014924, Збл  1044.17001, Поправки
• Ичиро Сатаке (1980), Алгебраические структуры симметричных областей , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08271-4. Обзор
• Шефер, Ричард Д. (1996), Введение в неассоциативные алгебры , Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-68813-8, ЗБЛ  0145.25601
• Жевлаков К.А.; Слинько А.М.; Шестаков, ИП; Ширшов, А.И. (1982) [1978]. Кольца, которые почти ассоциативны . Академическая пресса . ISBN 0-12-779850-1. MR  0518614. Zbl  0487.17001.
• Слинько, А.М. (2001) [1994], "Йорданова алгебра", Энциклопедия математики , EMS Press
• Springer, Tonny A. (1998) [1973], Йордановы алгебры и алгебраические группы , Классика математики, Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-642-61970-0, ISBN 978-3-540-63632-8, MR  1490836, Zbl  1024.17018
• Springer, Tonny A.; Veldkamp, ​​Ferdinand D. (2000) [1963], Октонионы, йордановы алгебры и исключительные группы, Springer Monographs in Mathematics, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-662-12622-6, ISBN 978-3-540-66337-9, г-н  1763974
• Upmeier, H. (1985), Симметричные банаховы многообразия и йордановы C∗-алгебры , North-Holland Mathematics Studies, т. 104, ISBN 0444876510
• Upmeier, H. (1987), Йордановы алгебры в анализе, теории операторов и квантовой механике , CBMS Regional Conference Series in Mathematics, т. 67, Американское математическое общество, ISBN 082180717X

Дальнейшее чтение

• Кнус, Макс-Альберт; Меркурьев, Александр ; Рост, Маркус ; Тиньоль, Жан-Пьер (1998), Книга инволюций , Colloquium Publications, т. 44, с предисловием Дж. Титса, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 0-8218-0904-0, ЗБЛ  0955.16001

Внешние ссылки

• Иорданова алгебра на PlanetMath
• Алгебры Жордана-Банаха и Жордана-Ли на PlanetMath