Число звезд

Центрированное фигурное число

Доска для китайских шашек имеет 121 лунку.

Звездное число — это центрированное фигурное число , центрированная гексаграмма (шестиконечная звезда), например, звезда Давида или доска, на которой играют в китайские шашки .

Число n -й звезды вычисляется по формуле S _n = 6 n ( n − 1) + 1. Первые 45 чисел звезды: 1, 13, 37, 73, 121, 181, 253, 337, 433, 541, 661, 793, 937, 1093, 1261, 1441, 1633, 1837, 2053, 2281, 2521, 2773, 3037, 3313, 3601, 3901, 4213, 4537, 4873, 5221, 5581, 5953, 6337, 6733, 7141, 7561, 7993, 8437, 8893, 9361, 9841, 10333, 10837, 11353 и 11881. (последовательность A003154 в OEIS )

Цифровой корень звездного числа всегда равен 1 или 4 и увеличивается в последовательности 1, 4, 1. Последние две цифры звездного числа в десятичной системе счисления всегда равны 01, 13, 21, 33, 37, 41, 53, 61, 73, 81 или 93.

Уникальным среди звездных чисел является число 35113, поскольку его простые множители (то есть 13, 37 и 73) также являются последовательными звездными числами.

Отношения к другим видам чисел

Доказательство без слов , что n -е звездное число в 12 раз больше ( n −1)-го треугольного числа, плюс один

Геометрически n- е звездное число состоит из центральной точки и 12 копий ( n −1)-го треугольного числа — что делает его численно равным n-му центрированному додекагональному числу , но расположенному по-другому. Таким образом, формула n- го звездного числа может быть записана как S_n=1+12T_n-1, где T_n=n(n+1)/2.

Бесконечное множество звездных чисел также являются треугольными числами , первые четыре из которых — S ₁ = 1 = T ₁ , S ₇ = 253 = T ₂₂ , S ₉₁ = 49141 = T ₃₁₃ и S ₁₂₆₁ = 9533161 = T ₄₃₆₆ (последовательность A156712 в OEIS ).

Бесконечное множество звездных чисел также являются квадратными числами , первые четыре из них: S ₁ = 1 ² , S ₅ = 121 = 11 ² , S ₄₅ = 11881 = 109 ² и S ₄₄₁ = 1164241 = 1079 ² (последовательность A054318 в OEIS ) для квадратных звезд (последовательность A006061 в OEIS ).

Звездное простое число — это звездное число, которое является простым . Первые несколько звездных простых чисел (последовательность A083577 в OEIS ) — это 13, 37, 73, 181, 337, 433, 541, 661, 937.

Суперзвездное простое число — это звездное простое число, индекс простого числа которого также является звездным числом. Первые два таких числа — 661 и 1750255921.

Обратное суперзвездное простое число — это звездное число, индекс которого является звездным простым числом. Первые несколько таких чисел — 937, 7993, 31537, 195481, 679393, 1122337, 1752841, 2617561, 5262193.

Термин «звездное число» или «звездчатое число» иногда используется для обозначения восьмиугольных чисел . ^[1]

Другие свойства

Гармонический ряд дробей со звездными числами в качестве знаменателей имеет вид : $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }&{\frac {1}{S_{n}}}\\&=1+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{37}}+{\frac {1}{73}}+{\frac {1}{121}}+{\frac {1}{181}}+{\frac {1}{253}}+{\frac {1}{337}}+\cdots \\&={\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}\tan({\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}})\\&\approx 1.159173.\\\end{aligned}}}$$

Знакопеременный ряд единичных дробей со звездочками в качестве знаменателей: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }&(-1)^{n-1}{\frac {1}{S_{n}}}\\&=1-{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{37}}-{\frac {1}{73}}+{\frac {1}{121}}-{\frac {1}{181}}+{\frac {1}{253}}-{\frac {1}{337}}+\cdots \\&\approx 0.941419.\\\end{aligned}}}$$

Смотрите также

• Центрированное шестиугольное число

Ссылки

1. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A000567". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.